Một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không gian

Để làm được câu hỏi dạng này đòi hỏi học sinh ngoài việc học tốt kiến thức về hình học không gian còn phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp để từ đó quy bài toán khó về dễ và phù

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Mỗi một nội dung trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh Trong quá trình giảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng đắn Thực tế dạy và học cho thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết như học sinh học hình còn yếu, đặc biệt là khi phải vẽ thêm đường phụ, chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo, trong quá trình giải toán hình học không gian Đặc biệt từ năm học 2017 – 2018, chương trình Toán 11 được đưa vào kỳ thi THPT Quốc gia, những học sinh sử dụng kết quả môn Toán để xét Đại học – Cao đẳng cần phải làm được câu hỏi ở mức độ vận dụng, đặc biệt

là những câu hỏi vận dụng về góc trong hình học không gian Để làm được câu hỏi dạng này đòi hỏi học sinh ngoài việc học tốt kiến thức về hình học không gian còn phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp để từ đó quy bài toán khó về dễ và phù hợp với kiến thức mình đang có, đặc biệt là kỹ năng phân tích, xác định phương pháp và tính toán nhanh để đạt được yêu cầu kiến thức lẫn thời gian của một câu hỏi trắc nghiệm

Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, tác giả trăn trở về vấn đề này

nên chọn đề tài “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không gian”để giúp các em có hướng làm bài hiệu quả hơn mà rút ngắn

được thời gian

1.2 Mục đích nghiên cứu

Để giải bài toán về góc, chúng ta thường xác định góc rồi tính giá trị của góc đó Nhưng để giải quyết bài toán bằng phương pháp này yêu cầu học sinh phải biết cách xác định các đường vẽ phụ, mà điều này không phải lúc nào cũng đơn giản, nên khi gặp bài toán khó học sinh thường gặp khó khăn để định hướng cho việc tìm lời giải Qua thực tế giảng dạy, tác giả rút ra được kinh nghiệm nhỏ

trong việc xác định góc trong hình học không gian “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không gian”là đề tài giúp các em

học sinh không còn e ngại giải các bài tập liên quan đến góc trong hình học không gian, hơn nữa còn giúp các em giải quyết các bài toán trắc nghiệm một cách hiệu quả trong thời gian ngắn nhất

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu một số vấn đề như sau:

Nêu hướng giải quyết các bài toán tìm góc nhanh trong không gian về

1.3.1 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1.3.2 Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng

Ngoài ra một đối tượng nghiên cứu khác chính là các em học sinh của lớp 11A5; 11A7 trường THPT Sầm Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập ở một số trường trong tỉnh

1.4.2 Nghiên cứu tài liệu

1.4.3 Thực nghiệm

1.4.4 Nhận xét

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Vấn đề tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung góc trong hình học không gian ở chương trình hình học 11 Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận, liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán

đã làm và bài toán mới Các bài tập của một chuyên đề phải được thiết kế theo một hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy, phát huy tính tích cực của học sinh Hệ thống bài tập giúp các em học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lời giải Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt hơn Trong quá trình giảng dạy nội dung góc của hình học không gian lớp 11 và ôn thi THPT Quốc gia lớp 12, tôi thấy kỹ năng giải bài toán về góc của học sinh còn yếu, đặc biệt là các bài toán trắc nghiệm đòi hỏi thời gian ngắn đa số các em bỏ qua Do đó cần phải cho học sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng, thiết kế trình tự bài giảng hợp lí giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo

và lĩnh hội kiến thức mới, xây dựng kỹ năng làm các bài toán trắc nghiệm khách quan, từ đó đạt kết quả cao nhất trong các kỳ thi

2.1.1 Góc giữa hai đường thẳng

2.1.1.1 [1] Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng  1 và  2 là góc giữa hai đường thẳng  ' 1 và

2

'

 cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với  1 và  2

2.1.1.2 Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng  1 và  2 bất kì trong không gian Từ điểm O nào

đó, ta vẽ hai đường thẳng  ' 1 và  ' 2 lần lượt song song (hoặc trùng) với  1 và

2

 Khi đó góc giữa hai đường thẳng  ' 1 và  ' 2chính là góc giữa hai đường thẳng  1 và  2

2.1.1.3 Chú ý

Góc giữa hai đường thẳng có giá trị trong đoạn 0 ;900 0

2.1.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2.1.2.1 [1] Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( )P thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( )P bằng 900

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( )P thì góc giữa a

và hình chiếu a' của nó trên ( )P gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng

( )P

2.1.2.2 Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Khi a không vuông góc với mặt phẳng ( )P và a cắt ( )P tại điểm O, ta lấy một điểm A tùy ý trên akhác điểm O Gọi H là hình chiếu của A lên ( )P và 

là góc giữa avà ( )P thì AOH  

2.1.2.3 Chú ý

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có giá trị trong đoạn 0 ;90 0 0

2.1.3 Góc giữa hai mặt phẳng

2.1.3.1 [1] Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

2.1.3.2 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Giả sử hai mặt phẳng  P và  Q cắt nhau theo giao tuyến là  Từ một điểm I bất kì nằm trên  ta dựng một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng  P vuông góc với  và dựng một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng  Q vuông

góc với  Góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q là góc giữa hai đường thẳng a

và b

2.1.3.3 Chú ý

Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng có giá trị trong đoạn

0 0

0 ;90

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Nội dung góc trong hình học không gian lớp 11 là một phần kiến thức tương đối khó với học sinh Học sinh rất nhanh quên và không vận dụng được những kiến thức đã học vào giải toán Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018,

2019 nội dung này được đưa ra dưới hình thức trắc nghiệm Với thực thế ấy để giúp học sinh có định hướng tốt hơn trong quá trình giải bài toán góc, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận bài toán, khai thác các yếu tố đặc trưng của bài toán để tìm lời giải Trong đó việc hình thành cho học sinh kỹ năng quy lạ về quen, quy cái chưa biết về cái đã có Chính vì vậy đề tài này đưa

ra giúp giáo viên hướng dẫn bài toán góc cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạo của bản thân, chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc gia Vì vậy, tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày càng vận dụng tốt các kiến thức về góc trong hình học không gian để đưa ra giải pháp nhằm giải quyết bài toán về góc một cách nhanh chóng, chính xác và hiệu quả nhất

2.3 Các giải pháp thực hiện

2.3.1 Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng ABkhông song song với mặt phẳng  P , gọi  là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng  P , đặt  C AB P Thì ta có

( , ) ( , )

( , ) ( , )

d A P d B P

d A C d B C

Nếu  B AB P thì ta có

( , ) ( , ) sin

( , )

d A P d A P

d A B AB

Chú ý: Cho tứ diện ABCD gọi  là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng

BCD thì ta có

  ( , ) 3 sin

.

ABCD BCD

d A BCD V

AB AB S

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a Đường thẳng SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB là  , khi đó tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau

A

1

tan

2

 

B tan   1 C tan   2 D tan  3

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử

dụng công thức (1)

Lời giải

B C

S

Ta có SCSAB   S nên

sin

d C SAB BC a

d C S SC a

Vậy

1 tan

2

 

Chọn A.

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a Đường thẳng SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 6 Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC là  , khi đó hệ thức nào sau đây đúng

A

14

cos

14

 

B

14 sin

14

 

2 cos

14

 

2 sin

14

 

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1)

Lời giải

B C

S

Ta có SBSAC S nên

( , ) sin

( , )

d B SAC

d B S

 

Do SASAC nên

a

Vậy

14 sin

14

 

Chọn B.

Ví dụ 3 Cho hình chóp S ABCD. có SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có AD3 ,a AC5a Góc giữa hai mặt phẳng SCD

và ABCD bằng 450.Gọi  là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SBC

Hệ thức nào sau đây đúng

A

2

cos

5

 

14 cos

5

 

C

2 2 cos

5

 

D

17 cos

5

 

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1)

Lời giải

B C

S

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD

Ta có SCD  ABCD CD nên

Mặt khác SDSBC   S nên

1

sin

d D SBC d A SBC SA AB





Vậy

17 cos

5

 

Chọn D.

Ví dụ 4 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ', đáy ABC là tam giác vuông tại A,

,

AC a BC 2a và AA'a 3 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm cạnh A B' ' Gọi  là góc giữa đường thẳng IG mặt phẳng ABC Tính cos 

A

7 cos

115

B

6 3 cos

115

C

2 2 cos

5

 

D

17 cos

5

 

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1)

Lời giải

G

B'

B

A'

A

C'

C M

I

Gọi M là trung điểm AB

Ta có IGABC   G nên

 

sin

( , )

d I ABC d A ABC AA



Mà

a

MG CM 

Vậy

Chọn A.

Ví dụ 5.[4] (Đề thi THPTQG năm 2018)

Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB2a Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng

A 60 0 B 90 0 C 30 0 D 45 0

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1)

Lời giải

B C

S

Ta có SBABCD   B nên

sin( ,( ))

SB ABCD



Vậy (SB ABCD ,( )) 600 Chọn A.

Ví dụ 6.[5] (Đề thi thử THPTQG Trường Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 2 năm 2019)

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là nửa lục giác đều và AB BC CD a   Hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD, góc giữa

SC và ABCD bằng 600 Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD

A

3 3

8 B

6

6 C

3

8 D

3

2

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1)

Lời giải

H

C B

S

Vì SCABCD   C nên

sin ,

d S ABCD SH SH

d S C SC SH HC



Ta có SCSAD   S nên      

3

sin ,

,

d H SAD

d C SAD

SC SAD

Mà 2   2 2    

,

a

d H SAD

d H SAD HS d H AD  

Do đó sin ,   3 3

8

SC SAD 

Chọn A.

Ví dụ 7.[6] (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quãng Ngãi -2019)

Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình chữ nhật, AD2 ,a AB a ; O là giao điểm

của AC và BD, SO vuông góc với mặt phẳng ABCD và 2

a

SO 

Gọi  là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD, tính sin

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1)

Lời giải

O

S

Ta có SCSAD   S nên

( , ) 2 ( , ) sin

( , )

d C SAD d O SAD

Mà

2 2

1 ( , )

( , )

a

d O SAD

SO d O AD



;

2

a

SC SO OC 

Vậy

1 sin

3

 

Ví dụ 8.[6] (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 11- Sở GD & ĐT Hà Tĩnh - 2019)

Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có đáy là hình chữ nhật tâm O, cạnh

, 2

AB a AD  a Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh SA BC, Biết rằng

SA SB SC SD   và góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD là 600 Tính sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1)

Lời giải

O

S M

N

I K

P

Vì SA SB SC SD   nên SOABCD

Ta có MN(ABCD) N nên      

1

sin ,

( , )

SO

d M ABCD

MN ABCD

Gọi I là hình chiếu của M lên ABCD

MN  MI IN  IK KN  

Suy ra

39 2

a

SO 

Gọi P là trung điểm của SD Khi đó MNCP là hình bình hành nên MN song song với CP

Do đó sinMN SBD,    sinCP SBD,  

( , )

d C SBD

CP SBD

d C P



a

d C SBD



;

13 ( , )

2

a

d C P CP MN 

Vậy sin ,   sin ,   4

65

MN SBD  CP SBD 

2.3.2 Công thức tính góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng

Cho tứ diện ABCD gọi là góc giữa mặt phẳng ABC và mặt phẳng

BCD thì ta có

( , ) ( , )

d A BCD d D ABC

d A BC d D BC

Với BCABC  BCD, tổng quát ta có:

sin

ABCD

d A BCD V

d A BC S S

Chú ý: Ta có một công thức đổi khoảng cách như sau

Cho tứ diện ABCD ta có

( , ) ( , ) ( ,( )) ( , )

d A BCD d A CD

d B ACD d B CD ,trong đó BCD  ACD CD

Công thức này thực ra chính là công thức đổi đỉnh khi sử dụng công thức thể tích để tính khoảng cách, tuy nhiên bằng công thức sin  số (2) ta có thể dễ dàng chứng minh nó mà không cần thông qua khái niệm thể tích của lớp 12

Ví dụ 9 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng ABCD là , khi đó tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau

A

3

tan

3

 

B tan 1 C tan   2 D tan  3

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2)

Lời giải

B C

S

Ta có SCD  ABCDCD nên

sin

d S ABCD SA a

d S CD SD a

Vậy tan 1 Chọn B.

Ví dụ 10 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, AB BC a AD  , 2a Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 45 0 Tính góc  giữa hai mặt phẳng SAD và SCD

A  300 B  450 C  600 D  900

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2)

Lời giải

S

Vì SCABCD   C nên

sin 45 sin( ,( ))

d S ABCD SA

SC ABCD

d S C SC

2

2 2

SA

SA a

Mặt khác SAD  SCD SD nên

sin

2 4

d A SD



Vậy  600 Chọn C.

Ví dụ 11 Cho hình chóp S ABC. có đường cao SA bằng 2a, tam giác ABC

vuông ở C có AB2 ,a CAB 300 Gọi H là hình chiếu của A trên SC Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC Tính sin

A

7

sin

7

 

42 sin

7

 

2 sin

7

 

1 sin

6

 

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2)

Lời giải

B S

H

Ta có SAB  SBC SB nên

1

sin

1

d A SBC SA AC

d A SB

SA AB







Vậy

42 sin

7

 

Chọn B.

Ví dụ 12.[5] (Đề thi thử THPTQG của Sở GD & ĐT Thanh Hóa năm 2019)

Cho hình chóp đều S ABCD. có tất cả các cạnh bằng a Gọi M là trung điểm của

SC Tính góc  giữa hai mặt phẳng MBD và ABCD

A  600 B  300 C  450 D  900

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2)

Lời giải

H

S

M

Ta có MBD  ABCD BD nên

2

( , ( ))

sin

1

2

d S ABCD SH

Vậy  450 Chọn C.

Ví dụ 13.[5] (Đề thi thử THPTQG của Sở GD & ĐT Bắc Giang năm 2019)

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a AD , 2a Cạnh

SA vuông góc với đáy ABCD, SA 2a Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng

SBD và ABCD

A

5

2 B 5 C

1

5 D

2

5

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2)

Lời giải