Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán tổ hợp – xác suất

Lý do chọn đề tài: Tổ hợp – Xác suất là một phần quan trọng, mới lạ khác với các kiến thức đại số khác trong chương trình toán học THPT.. Qua thực tiễn qua trình dạy họcđồng thời

1.MỞ ĐẦU:

1.1 Lý do chọn đề tài:

Tổ hợp – Xác suất là một phần quan trọng, mới lạ khác với các kiến thức đại

số khác trong chương trình toán học THPT Các dạng bài về quy tắc đếm, tổ hợp,chỉnh hợp, xác suất rất đa dạng và dễ nhầm lẫn Qua thực tiễn qua trình dạy họcđồng thời thông qua tìm hiểu, điều tra từ giáo viên và học sinh ở trong trườngTHPT Tĩnh Gia 2, tôi thấy giáo viên khó khăn trong việc đưa ra hệ thống bài tập về

Tổ hợp – Xác suất phong phú, đa dạng sao cho học sinh có thể nhận định và đưa racách giải chính xác Học sinh thì vì hay gặp sai lầm trong khi đưa ra lời giải, hoặcchưa xác định đúng ý tưởng của bài đã vội kết luận lời giải, một số khác thấy mơ

hồ, rối rắm khi thấy các dữ kiện nhiều, phức tạp, từ đó nhụt ý chí, dẫn đến ngại suynghĩ và đưa ra ý tưởng giải bài tập loại này Mặt khác, trong các đề thi đại học từnăm 2014 trở về trước, và trong các kỳ thi học sinh giỏi tỉnh Thanh hóa và các tỉnhkhác, bài toán này là một trong những bài trọng điểm để phân loại năng lực họcsinh, khi giải được loại toán này các em mới đạt vào top khá giỏi Để giúp học sinh

có thể hệ thống và nắm vững các cách tư duy giải các dạng bài Tổ hợp- Xác suấtchương trình toán 11 nên tôi đã nghiên cứu ra đề tài này

Đặc biệt năm nay được phân công dạy lớp chọn số 1, đảm nhiệm đội tuyển

học sinh giỏi, qua nghiên cứu giảng dạy tôi thấy việc triển khai sáng kiến “ Hướng

dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất ” là sát thực, phù

hợp và cần thiết với việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi và ôn luyện chohọc sinh thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng trong kỳ thi THPT QG, đặc biệt giúp bảnthân tôi ôn luyện cho đội tuyển học sinh giỏi của trường tham gia kỳ thi học sinhgiỏi cấp tỉnh Do vậy tôi chọn đề tài này để nghiên cứu nhằm phần nào đáp ứng yêucầu trên và góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài tập về Tổ hợp – Xác suất nằm trong chương trình toán học 11 trung họcphổ thông, trong các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần này

- Thông qua việc kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu của học sinh

- Thông qua trao đổi góp ý và học tập kinh nghiệp từ các đồng nghiệp

- Thông qua sách giáo khoa, sách bài tập, hệ thống bài tập và tài liệu tham khảo

- Thông qua các đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 tỉnh thanh hóa các năm 2011 đếnnay của tỉnh Thanh Hóa và các đề thi học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 của các trườngTHPT trên toàn quốc.

- Thông qua các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng từ năm 2015 đến nay

- Thông qua các đề thi thử đại học của các trường THPT trên toàn quốc

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Căn cứ vào lý thuyết chương II: ’’ Tổ hợp – Xác suất’’ trong chương trình đại số vàgiải tích 11 cơ bản Tôi tóm tắt nội dung lý thuyết như sau:

2.1.1 Hai quy tắc đếm:

2.1.1.1 Quy tắc cộng:

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động

này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó m+n cách thực hiện.

- Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động

2.1.1.2 Quy tắc nhân:

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất, và ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

- Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp

A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n

phần tử đã cho

- Quy ước:0! 1 

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử :

! ( )!

k n

n A

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi

là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Số các tổ hợp chập k của n phần tử :

!

!.( )!

k n

n C

k n k





2.1.3 Xác suất của biến cố:

2.1.3.1 Phép thử, không gian mẫu, biến cố:

- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó,mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó

- Tập hợp các kết quả có thể thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫucủa phép thử và kí hiệu là 

- Số phần tử của không gian mẫu : n ( )

- Biến cố là tập con của không gian mẫu Tập  là biến cố không thể, tập  là biến

cố chắc chắn

2.1.3.2 Các phép toán trên các biến cố:

- Biến cố đối của biến cố A là A \A

- Hợp của hai biến cố A, B là A B

- Giao của hai biến cố A, B là A B

Nếu A B thì A và B xung khắc

2.1.3.3 Xác suất của biến cố:

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu  chỉ có một

số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số

( ) ( )

n A

n  là xác suất của biến

cố A, kí hiệu là

( ) ( )

Nếu A và B xung khắc thì P A B(  )P A( )P B( )

Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P A B( )P A P B( ) ( )

Từ cơ sở lý thuyết về số phức tôi định hướng giải quyết bài toán tổ hợp xác suất trong các tiết ôn tập:

- Phân loại các dạng bài tập Tổ hợp – Xác suất.

- Nêu cách định hướng giải cho từng loại bài toán Tổ hợp – Xác suất.

Với đề tài " Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp –

Xác suất.'' sẽ giúp học sinh giải quyết nhanh chính xác trước một bài toán Tổ hợp –

Xác suất trong chương trình Đại số và giải tích 11

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Trong quá trình ôn tập thi học kỳ 2, ôn thi HSG lớp 11 cấp trường cho học

sinh lớp 11 phần Tổ hợp – Xác suất Học sinh chỉ mới giải quyết được một số bài

toán dễ , khi gặp một số bài toán yêu cầu cao hơn đa số các em chưa đưa ra được

hướng giải quyết ngay, hoặc đưa ra lời giải sai, hoặc có em đưa ra được hướng giảiquyết thì giải quyết chậm và trưa triệt để bài toán.

Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút về Tổhợp – Xác suất Kết quả :

- Nêu các cách sử dụng máy tính casio bỏ túi để tính toán nhanh kết quả

- Cuối chuyên đề cho học sinh làm bài kiểm tra

2.3.2 Nội dung giải pháp:

Phương pháp chung:

- Xác định được khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào dùng quy tắc nhân.

- Khi bài toán có sự sắp xếp thứ tự của tất cả các phần tử một tập hợp thì dùng hoán vị Có sự sắp xếp thứ tự một số phần tử thì dùng chỉnh hợp Nếu chỉ cần chọn một số phần tử nào đó mà không quan tâm đến thứ tự của chúng thì dùng tổ hợp.

- Đối với bài toán xác suất, xác định đúng không gian mẫu, xác định đúng biến cố.

Đa số đưa về cách tính xác suất cơ bản, nếu biến cố đối dễ xác định hơn chúng ta nên đưa về tính xác suất của biến cố đối Nếu xuất hiện biến cố độc lập thì chúng

ta dùng công thức nhân xác suất.

- Nắm vững các dấu hiệu chia hết.

- Đưa về một trong các dạng cơ bản sau.

A DẠNG BÀI LẬP SỐ, CHỌN SỐ TỰ NHIÊN :

Phương pháp:

- Chọn chữ số có tính chất đặc biệt trong các chữ số cần lập trước, sau đó chúng

ta mới chọn các chữ số còn lại Chú ý đến vị trí thứ tự của các chữ số, sự giống nhau và khác nhau của các chữ số Chữ số đầu tiên có điều kiện khác 0.

- Tránh trường hợp dùng các quy tắc đếp bị trùng lặp khi đó số lượng đếm được sẽ

bị dư ra.

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau mà chữ số liền trước

lớn hơn chữ số liền sau?

Hướng dẫn: - Số thỏa mãn đề bài chỉ được lập duy nhất từ một bộ số gồm 5 chữ

số bất kỳ

Bài giải:

Chọn ra 5 chữ số bất kỳ có C105 cách Mà mỗi bộ 5 chữ số đó lập được duy nhất một

số gồm năm chữ số thỏa mãn chữ số liền trước lớn hơn chữ số liền sau

Suy ra cóC 105 252 (số)

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau thỏa mãn:

a) số đó chia hết cho 5

b) số đó có chứa chữ số 0 nhưng không có chữ số 1

Hướng dẫn: - Ở câu a, chọn chữ số thỏa mãn dấu hiệu chia hết cho 5 trước.

- Ở câu b, chọn vị trí cho số 0 trước.

Bài giải:

a) Gọi số cần tìm có dạng abcdef a, ( 0; , , , , ,a b c d e f đôi một khác nhau)

Vì

0 5

5

f abcdef

Với f 0 thì abcde cóA95 cách chọn

Với f 5 thì abcde có8.A84 cách chọn

Vây theo quy tắc cộng thì cóA95 8.A84  28560(số)

b) Gọi số cần tìm có dạng abcdef a, ( 0; , , , , ,a b c d e f đôi một khác nhau và khác 1)Chọn vị trí trong abcdef cho chữ số 0 có 5 cách

Năm vị trí còn lại chọn từ tập N\ 0;1  cóA85 cách chọn

Vây theo quy tắc nhân thì có5.A 85 33600(số)

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau trong đó có ba chữ số

chẵn và ba chữ số lẻ

Hướng dẫn: - Vì chữ số đầu khác 0 nên ta chọn chữ số đứng đầu trước Sau đó

chọn vị trí cho các chữ số còn lại.

Bài giải:

Gọi số cần tìm có dạng abcdef a, ( 0; , , , , ,a b c d e f đôi một khác nhau)

TH1: Với a chẵn thì a có 4 cách chọn

Có C42cách chọn hai chữ số chẵn còn lại, vàA52cách chọn vị trí để xếp hai chữ số đó

Có A53 cách chọn và xếp 3 chữ số lẻ

Theo quy tắc nhân thì có: 4 .C A A 42 52 53 28800(số)

TH2: Với a lẻ thì a có 5 cách chọn

Có C42cách chọn hai chữ số lẻ còn lại, và A52cách chọn vị trí để xếp hai chữ số đó

Có A53 cách chọn và xếp 3 chữ số chẵn

Theo quy tắc nhân thì có: 5 .C A A 42 52 53 36000 (số)

Vậy có tất cả 28800 36000 64800  (số)

Ví dụ 4: Từ hai số 1 và 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm tám chữ số trong đó

không có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau

Hướng dẫn: - Vì số được lập từ hai chữ số nên ta phải chia các trường hợp rồi

chọn vị trí cho nhiều chữ số giống nhau trước.

Bài giải:

Th1: Số cần lập có tám chữ số 6 Có 1 (số)

Th2: Số cần lập có một chữ số 1 và bảy chữ số 6

Có 8 cách chọn vị trí cho chữ số 1 Có 8 (số)

Th3: Số cần lập có hai chữ số 1 và sáu chữ số 6

Có C72 cách chọn vị trí cho hai chữ số 1( hai khoảng trống trong 7 khoảng trốnggiữa, trước và sau khi xếp sáu chữ số sáu) Có C72(số)

Th4: Số cần lập có ba chữ số 1 và năm chữ số 6

Có C63 cách chọn vị trí cho ba chữ số 1( ba khoảng trống trong 6 khoảng trống giữa,trước và sau khi xếp năm chữ số sáu) Có C63 (số)

Th5: Số cần lập có bốn chữ số 1 và bốn chữ số 6

Có C54 cách chọn vị trí cho bốn chữ số 1( bốn khoảng trống trong 5 khoảng trốnggiữa, trước và sau khi xếp bốn chữ số sáu) Có C54 (số)

Theo quy tắc cộng thì có tất cả: 1 8  C72C63C54  55(số)

Ví dụ 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy

chữ số trong đó có hai chữ số 1, hai chữ số 2, các chữ số 3, 4, 5 chỉ có mặt một lần,đồng thời các chữ số giống nhau thì không đứng cạnh nhau

Hướng dẫn: - Bài toán này ta dùng biến cố đối Chọn vị trí cho các chữ số giống

nhau đứng cạnh nhau trước.

Bài giải:

Gọi số cần tìm có dạng abcde fg

TH1: Lập số tự nhiên gồm bảy chữ số trong đó có hai chữ số 1, hai chữ số 2, cácchữ số 3, 4, 5 có mặt một lần

Có C72 cách chọn vị trí cho hai chữ số 1, có C52 cách chọn vị trí cho hai chữ số 2 và3! cách chọn ba vị trí cho ba chữ số 3, 4, 5

Theo quy tắc nhân, trường hợp này có C C72 .3! 1260 52  (số)

TH2: Xét các trường hợp có hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau.

*) Trường hợp hai chữ số một đứng cạnh nhau, hai chữ số hai đứng cạnh nhau Coimỗi cặp là một vị trí, vậy có 5! ( số)

*) Trường hợp hai chữ số một đứng cạnh nhau, hai chữ số hai không đứng cạnhnhau Coi cặp hai chữ số 1 là một vị trí

Có C 62 5 cách chọn hai vị trí cho hai chữ số 2 không đứng cạnh nhau

Có 4! Cách sếp các chữ sô 3, 4, 5 và cặp chữ số 1

Theo quy tắc nhân có (C 62 5).4! (số)

*) Trường hợp hai chữ số một không đứng cạnh nhau, hai chữ số hai đứng cạnhnhau Coi cặp hai chữ số 2 là một vị trí

Có C 62 5 cách chọn hai vị trí cho hai chữ số 1 không đứng cạnh nhau

Có 4! Cách sếp các chữ sô 3, 4, 5 và cặp chữ số 2

Theo quy tắc nhân có (C 62 5).4! (số)

Theo quy tắc cộng, trường hợp này có: 5! 2.(  C62 5).4! 600  (số)

Vậy có tất cả: 1260 600 660   (số)

Ví dụ 6: Cho tập A 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 , gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm bốnchữ số được lập từ tập A Chọn nhẫu nhiên một số từ S Tính xác suất để số đượcchọn chia hết cho 6

(Trích đề thi khảo sát lớp 11 lần 1 -Trường THPT Tĩnh gia 2.)

Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 2 chọn vị trí cho chữ số tận cùng trước.

Sau đó dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 suy ra các cách chọn các chữ số còn lại.

Bài giải:

Số cách lập số tự nhiên gồm bốn chữ số được lập từ tập A là: 9.9.9.9 9  4

Không gian mẫu: n  ( ) 94

Gọi biến cố A: “ Số được chọn từ tập S chia hết cho 6”

Gọi số cần tìm có dạng

Nếu a b d  3k1,k N  c: 3dư 2 c2;5;8  ccó 3 cách chọn

Nếu a b d  3k2,k N  c: 3dư 1 c1; 4;7  ccó 3 cách chọn

Do đó ab bất kỳ thì ccó 3 cách chọn

Theo quy tắc nhân:n A ( ) 4.9.9.3 972

Vậy xác suất của biến cố A là:

( ) 4 ( )

Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm sáu chữ số Chọn nhẫu nhiên một số

từ S Tính xác suất để số được chọn gồm sáu chữ số khác nhau trong đó hai chữ số

kề nhau không cùng là số lẻ

(Trích đề thi khảo sát HSG lớp 11 lần 2 -Trường THPT Tĩnh gia 2.)

Hướng dẫn:

- Từ điều kiện đề bài cho biết tổng số chữ số lẻ có trong số cần lập là bao nhiêu Từ các trường hợp chọn chữ số đầu chẵn hay lẻ rồi chọn vị trí cho các chữ số lẻ không cạnh nhau

Bài giải:

Số cách lập số tự nhiên gồm sáu chữ số là: 9.10.10.10.10.10 9.10  5

Không gian mẫu: n  ( ) 9.105

Gọi biến cố A: “ Số được chọn từ tập S gồm sáu chữ số khác nhau trong đó hai chữ

số kề nhau không cùng là số lẻ.”

Gọi số cần tìm có dạng abcdef a, ( 0; , , , , ,a b c d e f đôi một khác nhau)

Để thỏa mãn số được chọn gồm sáu chữ số khác nhau trong đó hai chữ số kề nhaukhông cùng là số lẻ thì trong số này có không quá 3 chữ số lẻ

Th1: Có một chữ số lẻ và năm chữ số chẵn.

Nếu a chẵn thì có a có 4 cách chọn Chọn 3 số lẻ và xếp vào ba vị trí không kềnhau có A53cách, 2 số chẵn còn lại có A42 cách chọn và xếp vào các vị trí còn trống.

 có 4 .A A 53 42 2880

Trường hợp này có : 10800 2880 13680  (số)

Theo quy tắc cộng:n A ( ) 3000 21120 13680 37800  

Vậy xác suất của biến cố A là:

( ) 21 ( )

Ví dụ 8: Ba bạn Cường, Lương, Tâm mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự

nhiên thuộc đoạn 1;19 Tính xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3

( Trích đề thi THPT QG năm 2019 BGD&ĐT)

Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 3, dựa vào dấu hiệu số dư một số bất kỳ

chia cho 3 để xét các trường hợp

Bài giải:

Mỗi bạn có 19 cách viết một số Không gian mẫu: n  ( ) 19.19.19 6859

Gọi biến cố A: “ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3.”

Xét trên đoạn 1;19 có sáu số tự nhiên chia hết cho 3, bảy số tự nhiên chia cho 3 dư

1 và sáu số tự nhiên chia cho 3 dư 2

Biến cố A xảy ra các trường hợp sau:

TH1: Cả ba bạn đều viết số chia hết cho 3  có 6.6.6 216 (cách)

TH2: Cả ba bạn đều viết số chia cho 3 dư 1  có 7.7.7 343 (cách)

TH3: Cả ba bạn đều viết số chia cho 3 dư 2  có 6.6.6 216 (cách)

TH4: Một bạn viết số chia hết cho 3, một bạn viết số chia cho 3 dư 1, một bạn viết

số chia cho 3 dư 2 có 6.7.6.3! 1512 (cách)

Theo quy tắc cộng:n A ( ) 216 343 216 1512 2287   

Vậy xác suất của biến cố A là:

( ) 2287 ( )

Ví dụ 9: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6

chữ số và là bội số của 3, đồng thời bé hơn 2.105

( Trích đề thi giữa kỳ 2 năm học 2017-2018 trường THPT Hưng Nhân – Thái Bình)

Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 3, dựa vào dấu hiệu số dư một số bất kỳ

chia cho 3 để xét các trường hợp

Bài giải:

Do số cần lập bé hơn 2.105nên có dạng 1bcdef

Tổng tất cả các số có 6 chữ số dạng 1bcdef được lập từ các chữ số trên là :

5

1.6.6.6.6.6 6 

Do 6 35 nên tổng số số chia hết cho 3 bằng tổng số số chia cho 3 dư 1 và bằng tổng

số số chia cho 3 dư 2

Vì vậy tổng số số tự nhiên gồm 6 chữ số và là bội số của 3, đồng thời bé hơn 2.105là:

11.( Trích đề thi khảo sát THPT QG năm 2019, Sở GD&ĐT Thanh Hóa)

Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 11 để suy ra các điều kiện của các chữ số.

Bài giải:

Số phần tử của S là n S  A94  3024

Gọi số tự nhiên thuộc S có dạng abcd

Vì abcd1000a100b10c d 1001a99b11c ( a c ) ( b d )

nên abcd11b d  (a c ) 11

Từ giả thiết

11 11

Các cặp có tổng chia hết cho 11 là 2;9 ,(3;8),(4;7);(5;6)

Vậy số cách chọn số abcd thỏa mãn là

Bài 1: Có bao nhiêu số có 8 chữ số khác nhau mà có mặt hai chữ số lẻ và ba chữ số

chẵn, trong đó mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần ( đáp số : 428400số)

( Trích đề thi HSG lớp 11 tỉnh năm 2019- Sở GD&ĐT Thanh Hóa)

Bài 2: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập số tự nhiên có 9 chữ số Lấy ngẫu nhiên một số

vừa lập Tính xác suất để số lập được là số có 9 chữ sô trong đó chữ số 5 có mặtđúng bốn lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần ( đáp số :

7

4374)

Bài 3: Trong tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số Tính xác suất để lấy được số lẻ

gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, lớn hơn 500000.( đáp số :

Bài 6: Gọi A là tập hợp các ước số tự nhiên của 40500 Chọn ngẫu nhiên một số từ

tập A Tính xác suất để số chọn được chia hết cho 6 ( đáp số :

8

15 )

( Trích đề thi giao lưu HSG lớp 11 năm 2018 – Trường THPT Đặng Thai Mai)

Bài 7: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số Chọn ngẫu nhiên một

số từ tập A Tính xác suất để chọn được một số có hàng đơn vị bằng 1 và số đó chiahết cho 7 ( đáp số :

643

45000)

( Trích đề thi chọn HSG lớp 11- năm học 2017-2018 Trường THPT Tĩnh Gia 2)

Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại

đúng ba lần ( đáp số : 15120 số)

Bài 9: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau Chọn

ngẫu nhiên một số từ tập A Tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 3 ( đáp số :

11

27)

( Trích đề thi chọn HSG lớp 11- năm học 2017-2018 Trường THPT Nghi Sơn)

Bài 10: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 lập số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt

đúng hai lần, chữ số 1 có mặt đúng một lần, các chữ số còn lại có mặt không quámột lần Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập Tính xác suất để số lập được là số chia hếtcho 4 ( đáp số :

9

52)

( Trích đề thi chọn HSG lớp 11-năm học 2017-2018,Trường THPT Đặng Thai Mai)

Bài 11: Gọi M là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau

dạng abcde f Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M Tính xác suất để số được chọn làmột số chẵn, đồng thời thỏa mãn a b c d e     f ( đáp số :

37

34020 )

Bài 12: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm

5 chữ số khác nhau và số đó chia hết cho 15 ( đáp số : 222 )

(Trích đề thi khảo sát THPTQG lần 3 năm học 2017-2018, THPT Tĩnh gia 2.)

Bài 13: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ

số khác nhau sao cho 3 và 5 không đứng cạnh nhau ( đáp số : 31680 số)

B DẠNG BÀI CHỌN NGƯỜI, CHỌN VẬT :

Phương pháp:

- Chọn người hoặc chọn vật chú ý đến vị trí thứ tự , điều kiện của bài toán, xét đầy

đủ các trường hợp tránh trùng lặp

Ví dụ 1: Một tiểu đội gồm 11 người trong đó có 4 bạn nữ và 7 bạn nam Hỏi có bao

nhiêu cách sắp xếp tiểu đội thành một hàng dọc thỏa mãn: