Hướng dẫn học sinh làm quen với bài toán xác định thiết diện của hình chóp

Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua ba điểm Trong dạng bài tập này chúng ta sẽ khai thác công việc tìm hai điểm chung khác nhau của mặt phẳng đề bài yêu cầu và các mặt của

MỤC LỤC

A PHẦN MỞ ĐẦU……….2

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI……… 2

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU………2

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU………2

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU………2

B PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………4

I CƠ SỞ LÍ LUẬN………4

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………5

III HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP………6

IV HIỆU QUẢ BƯỚC ĐẦU CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……16

C PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……… 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….18

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình môn toán trung học phổ thông, bắt đầu từ cuối lớp 10 học sinh sẽ phải tiếp cận với những kiến thức mới lạ Phần lớn học sinh đều bỡ ngỡ

và có thái độ buông xuôi, cũng bởi ngày này các em được gần gủi với nhiều trò chơi vô bổ để quên đi công việc học tập cần thiết Đặc biệt phân môn hình học thực

sự gây vô vàn khó khăn cho học sinh khi các em bước sang phần “hình học không

gian”, từ “Chương II – ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG” của lớp 11

Qua thực tế giảng dạy tôi thấy cần tạo cho học sinh một sự tự tin nhất định

để các em có thêm tình yêu với phần hình học không gian Cụ thể là khi học sinh học phần thiết diện của hình chóp, các em thường vẽ hình sai hoặc chưa có hướng

để thực hiện bài toán Vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra đề tài: “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP”.

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đề tài cung cấp cho học sinh một số dạng khi xác định thiết diện của hình chóp giúp các em phần nào đó dễ dàng hơn trong cách tư duy

Đề tài cũng là một góp ý nhỏ cho các đồng nghiệp trong khi thiết kế bài giảng của mình

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đối tượng được đề tài nghiên cứu là các bài toán xác định thiết diện của hình chóp trong phạm vi kiến thức quan hệ song song

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết

Củng cố khái niệm giao tuyến của hai mặt phẳng, một số kết quả về sự song song của hai đường thẳng trong không gian

Nghiên cứu các dạng bài toán xác định thiết diện của hình chóp

2 Phương pháp thu thập thông tin, thống kê, xử lí số liệu

Thu thập thông tin thông qua các nhiệm vụ giao cho học sinh như: Bài tập vận dụng trên lớp, bài tập về nhà

Thống kê số lượng học sinh hoàn thành nhiệm vụ, biết vận dụng để từ đó đánh giá được hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Lấy ý kiến phản biện từ các đồng nghiệp

Điều chỉnh nội dung và phương pháp để sáng kiến kinh nghiệm đạt hiệu quả cao nhất

B PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I CƠ SỞ LÍ LUẬN [1], [2], [3], [4]

1 Giao tuyến của hai mặt phẳng

Nếu hai mặt phẳng phân biệt  P và   có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung  duy nhất chứa tất cả các điểm chung Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng và viết là    P   

P





2 Giao tuyến của hai mặt phẳng liên quan đến sự song song giữa một đường thẳng

và một mặt phẳng

Cho mặt phẳng   song song với đường thẳng d

Nếu mặt phẳng  P chứa đường thẳng d và có giao tuyến với mặt phẳng   là

đường thẳng  thì đường thẳng  song song với đường thẳng d



P



3 Giao tuyến của hai mặt phẳng liên quan đến sự song song giữa hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng   song song với mặt phẳng  

Nếu mặt phẳng  P có giao tuyến với mặt phẳng   là đường thẳng 1 và có giao tuyến với mặt phẳng   là đường thẳng 2 thì đường thẳng 1 song song với đường thẳng 2





P

1



2



4 Thiết diện của hình chóp và cách xác định

Thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng là phần chung của hình chóp và mặt phẳng

Để xác định thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng  P ta thực

hiện các bước sau:

Bước 1 Xác định các đoạn giao tuyến (Phần của giao tuyến nằm trong các

mặt của hình chóp) của mặt phẳng  P với các mặt của hình chóp nếu có.

Bước 2 Hình đa giác được tạo thành bởi các đoạn giao tuyến ở trên chính là

thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng  P

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Khi bước sang phần hình học không gian thì học sinh rất ngại vẽ hình, các

em thường vẽ hình sai, vẽ hình không có nét đứt hoặc vẽ hình không thoáng Một

bộ phận học sinh trung bình khá vẽ hình tạm ổn nhưng chưa thể định hình bài toán

III HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP [1], [2], [3], [4], [5]

1 Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua ba điểm

Trong dạng bài tập này chúng ta sẽ khai thác công việc tìm hai điểm chung khác nhau của mặt phẳng đề bài yêu cầu và các mặt của hình chóp, để từ đó có được các đoạn giao tuyến

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M nằm giữa hai điểm B và C , điểm N

nằm giữa hai điểm C và D , điểm P nằm giữa hai điểm D và A sao cho hai đường thẳng MN và BD không song song với nhau Xác định thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng MNP 

Dấu hiệu khai thác: Do hai đường thẳng MN và BD không song song với nhau

mà cùng nằm trong mặt phẳng BCD nên chúng cắt nhau.

Giải:

Trong mặt phẳng BCD , gọi I là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD 

Trong mặt phẳng ABD , gọi Q là giao điểm của hai đường thẳng IP và AB 

Khi đó ta có:

MNP  BCD MN MNP  ACD NP

MNP  ABD PQ MNP  ABC QM

Vậy thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng MNP là tứ giác MNPQ 

A

B

C

M

N

P Q

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Lấy điểm M

nằm giữa hai điểm A và B , điểm N nằm giữa hai điểm S và A Xác định thiết

diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng CMN 

Dấu hiệu khai thác: Do điểm M nằm giữa hai điểm A và B nên hai đường thẳng

CM và AD cùng nằm trong mặt phẳng  ABCD và không song song với nhau, từ

đó chúng cắt nhau.

Giải:

Trong mặt phẳng ABCD , gọi I là giao điểm của hai đường thẳng CM và AD 

Trong mặt phẳng SAD , gọi P là giao điểm của hai đường thẳng IN và SD 

Khi đó ta có:

CMN  ABCD CM CMN  SAB MN

CMN  SAD NP CMN  SCD PC Vậy thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng CMN là tứ giác

CMNP

C D

M

N P

I

Ví dụ 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Lấy điểm M

nằm giữa hai điểm A và D , điểm N nằm giữa hai điểm A và B , điểm Q nằm giữa hai điểm S và C Xác định thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt

phẳng MNQ 

Dấu hiệu khai thác: Do điểm M nằm giữa hai điểm A và D , điểm N nằm giữa hai điểm A và B nên các cặp đường thẳng MN và BC , MN và CD cùng nằm trong mặt phẳng ABCD và không song song với nhau, từ đó chúng cắt nhau.

Giải:

Trong mặt phẳng ABCD , gọi E là giao điểm của hai đường thẳng MN và CD,

F là giao điểm của hai đường thẳng MN và BC

Trong mặt phẳng SBC , gọi P là giao điểm của hai đường thẳng FQ và SB 

Trong mặt phẳng SCD , gọi R là giao điểm của hai đường thẳng EQ và SD 

Khi đó ta có:

MNQ  ABCD MN MNQ  SAB NP

MNQ  SBC PQ MNQ  SCD QR

MNQ  SAD RM

Vậy thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng MNQ là ngũ giác MNPQR

S

C D

M

N

P

Q R

E

F

Ví dụ 4 Cho hình chóp S ABCD Lấy điểm E nằm trong tam giác SCD Xác

định thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng  ABE 

Dấu hiệu khai thác: Do điểm E nằm trong tam giác SCD nên hai đường thẳng

SE và CD cùng nằm trong mặt phẳng ABCD và không song song với nhau, từ 

đó chúng cắt nhau

Giải:

Trong mặt phẳng SCD , gọi F là giao điểm của hai đường thẳng SE và CD 

Trong mặt phẳng ABCD , gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AC và BF 

Trong mặt phẳng SBF , gọi J là giao điểm của hai đường thẳng BE và SI 

Trong mặt phẳng SAC , gọi M là giao điểm của hai đường thẳng AJ và SC 

Trong mặt phẳng SCD , gọi N là giao điểm của hai đường thẳng ME và SC 

Khi đó ta có:

ABE  ABCD AB ABE  SAB AB

ABE  SBC BM ABE  SCD MN

ABE  SAD NA Vậy thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng ABE là tứ giác

ABMN

S

A

B

C

D E

I

J

F M

N

2 Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau

Trong dạng bài tập này chúng ta sẽ khai thác công việc tìm giao tuyến của mặt phẳng đề bài yêu cầu và các mặt của hình chóp có chứa đường thẳng song song với nó, để từ đó có được các đoạn giao tuyến

Ví dụ 5 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M nằm giữa hai điểm B và C Giả sử

  là mặt phẳng đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng AB và CD Xác định thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng  

Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng   và mặt phẳng ABC có điểm chung là M

và mặt phẳng   song song với đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng ABC 

nên giao tuyến của mặt phẳng   và mặt phẳng  ABC là đường thẳng đi qua 

điểm M và song song với đường thẳng AB (Tương tự với đường thẳng CD ) Giải:

Trong mặt phẳng ABC , kẻ đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường 

thẳng AB , cắt đường thẳng AC tại điểm Q

Trong mặt phẳng BCD , kẻ đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường 

thẳng CD , cắt đường thẳng BD tại điểm N

Trong mặt phẳng ABD , kẻ đường thẳng đi qua điểm N và song song với đường 

thẳng AB , cắt đường thẳng AD tại điểm P

Khi đó ta có:

    ABC MQ     BCD MN

    ABD NP     ACD PQ

Vậy thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng   là hình bình hành

MNPQ

A

B

C

D M

N

P Q

Ví dụ 6 Cho hình chóp S ABCD Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và

BD Giả sử   là mặt phẳng đi qua điểm O và song song với hai đường thẳng

CD và SB Xác định thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng  

Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng   và mặt phẳng ABCD có điểm chung là

O và mặt phẳng   song song với đường thẳng CD nằm trong mặt phẳng

ABCD nên giao tuyến của mặt phẳng    và mặt phẳng  ABCD là đường 

thẳng đi qua điểm O và song song với đường thẳng CD (Tương tự với đường thẳng SB ).

Giải:

Trong mặt phẳng ABCD , kẻ đường thẳng đi qua điểm O và song song với 

đường thẳng CD , cắt các đường thẳng AD BC lần lượt tại các điểm ,, P Q

Trong mặt phẳng SBC , kẻ đường thẳng đi qua điểm Q và song song với đường 

thẳng SB , cắt đường thẳng SC tại điểm M

Trong mặt phẳng SCD , kẻ đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường 

thẳng CD , cắt đường thẳng SD tại điểm N

Khi đó ta có:

    ABCD PQ     SBC QM

    SCD MN     SAD NP Vậy thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng   là hình thang

MNPQ với hai đáy là MN và PQ

S

A

B

C

D

O

M

N

P

Q

3 Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua hai điểm và song song với một đường thẳng

Trong dạng bài tập này chúng ta vẫn sẽ khai thác công việc tìm giao tuyến của mặt phẳng đề bài yêu cầu và các mặt của hình chóp có chứa đường thẳng song song với nó, để từ đó có được các đoạn giao tuyến

Ví dụ 7 Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh CD , lấy điểm P nằm

giữa hai điểm A và B Giả sử   là mặt phẳng đi qua hai điểm ,M P và song

song với đường thẳng AC

a Xác định thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng  

b Xác định vị trí của điểm P để thiết diện là một hình bình hành.

Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng   và mặt phẳng ACD có điểm chung là

M và mặt phẳng   song song với đường thẳng AC nằm trong mặt phẳng

ACD nên giao tuyến của mặt phẳng    và mặt phẳng ACD là đường thẳng 

đi qua điểm M và song song với đường thẳng AC (Tương tự với điểm P ).

Giải:

a Trong mặt phẳng  ACD , kẻ đường thẳng đi qua điểm M và song song với 

đường thẳng AC , cắt đường thẳng AD tại điểm N

Trong mặt phẳng ABC , kẻ đường thẳng đi qua điểm P và song song với đường 

thẳng AC , cắt đường thẳng BC tại điểm Q

Khi đó ta có:

    ACD MN     ABC PQ

    BCD MQ     ABD PN

Vậy thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng   là hình thang MNPQ với hai đáy là MN và PQ

b Hình thang MNPQ có hai đáy MN PQ là một hình bình hành khi MN PQ, 

Do MN là đường trung bình của tam giác ACD nên

1 2

MN  AC

, từ đó MN PQ

khi

1

2

PQ AC

Vậy P là trung điểm của cạnh AB

B

C

D M

P

N

Q

Ví dụ 8 Cho hình chóp S ABCD Lấy điểm M nằm giữa hai điểm A và B , điểm

N nằm giữa hai điểm C và D Giả sử   là mặt phẳng đi qua hai điểm ,M N và

song song với đường thẳng SA

a Xác định thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng  

b Xác định điều kiện của đường thẳng MN để thiết diện là một hình thang.

Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng   và mặt phẳng SAB có điểm chung là M 

và mặt phẳng   song song với đường thẳng SA nằm trong mặt phẳng SAB nên

giao tuyến của mặt phẳng   và mặt phẳng SAB là đường thẳng đi qua điểm

M và song song với đường thẳng SA.

Giải:

a Trong mặt phẳng SAB , kẻ đường thẳng đi qua điểm M và song song với 

đường thẳng SA, cắt đường thẳng SB tại điểm Q

Trong mặt phẳng ABCD , gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AC và MN

Trong mặt phẳng SAC , kẻ đường thẳng đi qua điểm I và song song với đường 

thẳng SA, cắt đường thẳng SC tại điểm P

Khi đó ta có:

    ABCD MN     SAB MQ

    SBC QP     SCD PN

Vậy thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng   là tứ giác MNPQ

b Tứ giác MNPQ là hình thang khi hai đường thẳng MQ và PN song song với nhau hoặc hai đường thẳng MN và PQ song song với nhau

* Nếu hai đường thẳng MQ và PN song song với nhau thì đường thẳng SA sẽ song song với đường thẳng PN Khi đó đường thẳng SA song song với mặt phẳng

SCD (Vô lí) 

* Nếu hai đường thẳng MN và PQ song song với nhau thì khi đó hai mặt phẳng

ABCD , SBC lần lượt chứa hai đường thẳng  MN PQ và có giao tuyến là đường,

thẳng BC nên đường thẳng MN song song với đường thẳng BC Ngược lại nếu đường thẳng MN song song với đường thẳng BC thì khi đó hai mặt

phẳng    , SBC lần lượt chứa hai đường thẳng MN BC và có giao tuyến là ,

đường thẳng PQ nên đường thẳng PQ song song với đường thẳng MN Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BC

S

A

D

P Q

I

4 Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng

Trong dạng bài tập này chúng ta sẽ khai thác công việc tìm giao tuyến của mặt phẳng đề bài yêu cầu và các mặt của hình chóp không song song với nó, để từ

đó có được các đoạn giao tuyến

Ví dụ 9 Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M là trung điểm

của cạnh BD Giả sử   là mặt phẳng đi qua điểm M và song song với mặt

phẳng  ACD 

a Xác định thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng  

b Tính diện tích của thiết diện

Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng   song song với mặt phẳng ACD Khi đó 

mặt phẳng thứ ba ABD sẽ cắt hai mặt phẳng     , ACD theo hai giao tuyến song song với nhau

Giải:

a Trong mặt phẳng  ABD , kẻ đường thẳng đi qua điểm M và song song với 

đường thẳng AD , cắt đường thẳng AB tại điểm P

Trong mặt phẳng BCD , kẻ đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường 

thẳng CD , cắt đường thẳng BC tại điểm N

Khi đó ta có:

    ABD PM     BCD MN

    ABC NP

Vậy thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng   là tam giác đều MNP

b Ta có MN là đường trung bình của tam giác BCD nên

MN  CD a

Vậy

2

MNP

S  MN   a  a