Rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về quen cho học sinh lớp 12 thông qua một lớp các bài toán tích phân hàm

Để giải quyết cơ bản được các dạng toán này ta sử dụng hai phương pháp tính tích phân quen thuộc nhưng rất hữu hiệu là đổi biến số và tích phân từng phần.. Yêu cầu tính tích phân có hàm

Trang 1

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Tích phân là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 12 Để hoàn thành tốt được kiến thức phần này thực sự không đơn giản Đặc biệt khi hàm dưới dấu tính phân không phải là một hàm cụ thể Trong các dạng tích phân này ta thường gặp một số dạng: hàm dưới dấu tích phân là hàm

Để giải quyết cơ bản được các dạng toán này ta sử dụng hai phương pháp tính tích phân quen thuộc nhưng rất hữu hiệu là đổi biến số và tích phân từng phần Tuy nhiên vận dụng hai phương pháp đó như thế nào để có thể giải quyết tốt được các bài toán tích phân hàm ẩn thực sự gây không ít khó khăn cho học sinh Do vậy với bản chất là một dạng toán mới lạ, đòi hỏi sự suy luận cao, tư duy lôgic cộng với việc tính toán nhanh thì đây chính là thách thức đối với học sinh lớp 12

Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về quen cho học sinh

lớp 12 thông qua một lớp các bài toán tích phân hàm ẩn” làm đề tài sáng

kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2018 – 2019 Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là hình thành cách tính nhanh, chính xác một số dạng toán tích phân hàm ẩn trong chương trình Giải tích 12 nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:

- Năng lực tư duy quy lạ về quen, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio)

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Kỹ năng vận dụng kiến thức về các phương pháp tính tích phân

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là phương pháp tích phân đổi biến số và

tích phân từng phần - Chương III - Giải tích 12 để rèn luyện các kỹ năng và phát

triển các năng lực Toán học của học sinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học phần tích phân hàm ẩn ở trường THPT Triệu Sơn 3 để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng hai phương pháp tính tích phân quen

Trang 2

thuộc trong việc nâng cao chất lượng dạy học.

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo

khoa Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và

Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết

kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là một nhiệm

vụ quan trọng của người giáo viên

Trong bài “Nguyên hàm và tích phân” sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đưa

ra hai phương pháp tính tích phân là đổi biến số và từng phần Đây là hai phương pháp cơ bản nhất, giải quyết được khá nhiều các bài tập nguyên hàm và

tích phân quen thuộc Không những vậy một số dạng bài tập tích phân “lạ” –

dạng tích phân mà hàm dưới dấu tích phân không phải là hàm cụ thể mà là hàm

ẩn thì hai phương pháp này vẫn là công cụ cực kì hữu ích Vì vậy, tôi nhận thấy rất cần thiết rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về quen, giúp học sinh dễ dàng giải quyết dạng toán này

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134; có nhiều học sinh

là con em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư duy của học sinh chậm, điều kiện kinh tế còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả học tập của các em

Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy một điều đó là để làm tốt, nhanh phần tích phân hàm ẩn thì cần phải nắm vững kiến thức, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phán đoán, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ năng trình bày chặt chẽ

và tư duy logic cao, kỹ năng phân tích dạng toán, biết quy lạ về quen Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm yếu của không ít học sinh, kể cả học sinh khá

giỏi, do đó dẫn đến tâm lý chán, ngại làm các dạng tích phân khó, lạ

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Ôn tập một số kiến thức cần dùng cho học sinh.

- Bảng nguyên hàm của hàm số sơ cấp, hàm số hợp

Trang 3

- Tính chất của nguyên hàm và tích phân, đặc biệt

- Phương pháp đổi biến số

- Phương pháp tích phân từng phần

- Công thức lượng giác

- Đạo hàm các hàm số lượng giác

2.3.2 Tìm hiểu tích phân hàm ẩn

Tích phân hàm ẩn là tích phân mà hàm dưới dấu tích phân không phải là

2.3.3 Hướng dẫn và rèn luyện một số dạng tích phân hàm ẩn bằng phương pháp tư duy quy lạ về quen.

Dạng 1: Sử dụng phép đổi biến tích phân

Khi câu tích phân xuất hiện những biểu thức ở đề bài là dấu hiệu quan trọng giúp ta nghĩ đến phép đổi biến số

Bài 1: Cho tích phân Tính

Đề chính thức mã 101– BGD – 2017

Phân tích:

- Yếu tố lạ: Giả thiết cho tích phân có hàm dưới dấu tích phân không phải là

biểu thức cụ thể mà là Yêu cầu tính tích phân có hàm dưới dấu tích phân

là

- Yếu tố quen: Sự xuất hiện của tuy lạ nhưng lại là một gợi ý để chúng ta nghĩ đến phép đổi biến số Mặt khác cận của tích phân ở giả thiết là từ

còn cận của tích phân cần tính là Vậy đặt

Hướng dẫn: Đổi biến

Đáp án D

Bài 2: Cho hàm số thỏa mãn Tính

A B C D

Trang 4

Trích đề thi thử lần 1 năm 2019 của trường chuyên ĐH KHTN Hà Nội

Phân tích: Sự xuất hiện của là gợi ý quan trọng để ta nghĩ đến phép đổi biến

Đáp án A

Bài 3: Cho tích phân Tính theo tích phân

A. B C D

Trích đề thi thử lần 2 năm 2019 của trường THPT Hậu Lộc 1 - Thanh Hóa

Phân tích:

- Yếu tố lạ: Giả thiết cho tích phân có hàm dưới dấu tích phân không phải là

biểu thức cụ thể mà là Yêu cầu tính tích phân có hàm dưới dấu tích phân

là

- Yếu tố quen: Sự xuất hiện của tuy lạ nhưng lại là một gợi ý để chúng ta nghĩ đến phép đổi biến số Mặt khác cận của tích phân ở giả thiết là từ còn cận của tích phân cần tính là Vậy ta đặt

Đáp án C

Bài 4: Cho hàm số là hàm số chẵn và liên tục trên Biết:

Tính

A. B C D.

Trích đề thi thử lần 3 năm 2018 của trường chuyên ĐH Vinh

Phân tích:

- Yếu tố lạ, khó: Giả thiết cho tích phân có hàm dưới dấu tích phân không phải

là biểu thức cụ thể mà là Yêu cầu tính tích phân có hàm dưới dấu tích phân là Mặt khác mẫu là gây khó khăn cho việc tính tích phân

Vậy để tính được tích phân I cần khử mẫu

Trang 5

- Yếu tố quen: giả thiết cho là hàm số chẵn và liên tục trên nên

là một gợi ý để chúng ta nghĩ đến phép đổi biến số

Mặt khác cận của tích phân ở giả thiết là từ và còn cận của tích phân cần tính là Vậy ta đặt

Hướng dẫn:

Ta có:

Đổi biến:

Đáp án B

Bài 5: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn:

Tính

A B C. D

Trích đề thi thử lần 1 năm 2019 của trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa

Phân tích: Sự xuất hiện của nhắc chúng ta đổi biến

Hướng dẫn: Đổi biến Ta có:

Đáp án A

Tính

A B C D.

Trích đề thi thử lần 2 năm 2019 của trường THPT Vĩnh Lộc - Thanh Hóa

Trang 6

Phân tích:

- Yếu tố lạ, khó: Giả thiết cho Yêu cầu tính tích phân có hàm dưới dấu tích phân là Cả giả thiết và kết luận của bài toán đều chứa hàm ẩn

- Yếu tố quen: Sự xuất hiện của tuy lạ nhưng từ giả thiết ta rút được

lại là một gợi ý quan trọng giúp ta việc đổi biến

Hướng dẫn:

Đổi biến: Ta có:

Tính

Đáp án C

Bài 7: Biết hàm số là hàm số chẵn trên và:

Tính tích phân

Phân tích: Sự xuất hiện của khiến nhiều em học sinh đã đổi biến

và gặp khó khăn Đây chính là cái “bẫy” Để ý được giả thiết cho

biến hợp lý phải là

Trang 7

Đáp án B

Bài 8: Cho hàm số liên tục trên và

Tính

Trích đề thi thử năm 2019 của trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên

Phân tích: Bài toán xuất hiện khá nhiều hàm ẩn tuy nhiên chính những hàm ẩn này lại giúp ta nghĩ đến việc đổi biến

Hướng dẫn:

Xét tích phân , đổi biến

Đáp án D

Một số dạng thường gặp:

1 Giả thiết cho tích phân Tính

Phương pháp: Đặt rồi biến đổi tích phân theo biến t.

Trang 8

Phương pháp: Đặt rồi biến đổi tích phân theo biến t

để suy ra tích phân cần tính

thể và là hàm số chẵn Tính

Phương pháp: Đặt rồi biến đổi tích phân theo biến t.

Phương pháp: Đặt rồi biến đổi tích phân hoặc

theo biến t

5 Giả thiết cho hai tích phân dạng:

Phương pháp: Đặt rồi biến đổi hai tích phân

theo biến Đặt: để suy ra tích phân cần tính theo hai tích phân trên

Dạng 2: Sử dụng tích phân từng phần

Khi câu tích phân xuất hiện đạo hàm của một hàm nào đó dưới dấu tích phân giúp ta nghĩ đến việc sử dụng công thức tính tích phân từng phần

Bài 1: Cho hàm số liên tục trên và , Tính tích

Trích đề thi thử lần 1 năm 2019 trường THPT chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái

Phân tích:

Trang 9

- Yếu tố lạ: Sự xuất hiện của các hàm ẩn trong đề bài

- Yếu tố quen: Yêu cầu tính tích phân có chứa hàm lại gợi cho ta nghĩ đến công thức tích phân từng phần

Hướng dẫn: Đặt

Ta có:

Mà:

Đáp án A

Bài 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn ,

Tính

Trích đề thi thử lần 2 năm 2019 của trường THPT Ngô Sỹ Liên - Bắc Giang

Phân tích: Hàm dưới dấu tích phân cần tính xuất hiện và thừa số nhân với chính là Từ đó nhận ra để sử dụng công thức tích phân từng phần

Đáp án A

A B C D

Trích đề thi thử lần 1 năm 2019 của trường THPT Phan Châu Trinh - Đà Nẵng

Phân tích: Hàm dưới dấu tích phân ở giả thiết xuất hiện và thừa số nhân với chính là Từ đó nhận ra để sử dụng công thức tích phân từng phần

Trang 10

Ta có:

Đáp án A

Ta có:

Đáp án D

Bài 5: Cho hàm số thỏa mãn Biết:

Tính

Phân tích:

- Yếu tố lạ: Sự xuất hiện của cả hai hàm ẩn trong cùng một tích phân

- Yếu tố quen: Sự xuất hiện của dưới dấu tích phân ở giả thiết và thừa số nhân với là giúp ta nghĩ đến công thức tích phân từng phân quen thuộc

Hướng dẫn:

Ta có:

Trang 11

Đặt

Khi đó:

Đáp án B

Bài 6: Cho hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn

Trích đề thi thử lần 2 năm 2019 của trường THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa

Phân tích:

- Yếu tố lạ: Sự xuất hiện của hàm ẩn trong giả thiết và hàm ẩn trong tích phân cần tính

- Yếu tố quen: Ta có nên sử dụng công thức tích phân từng phần

để biến đổi tích phân ở giả thiết hoặc tích phân cần tính

Hướng dẫn:

Cách1: Đặt

Khi đó:

Cách 2: Đặt

Khi đó:

Đáp án B

Trang 12

Tính

Phân tích:

- Yếu tố lạ: Sự xuất hiện của

- Yếu tố quen: là gợi ý sử dụng công thức tích phân từng phần

Hướng dẫn:

Đặt

Đáp án A

Phương pháp: Đặt rồi biến đổi tích phân

Phương pháp: Đặt rồi biến đổi tích phân để suy ra tích phân cần tính

theo tích phân

Dạng 3: Sử dụng phối hợp hai phương pháp tích phân từng phần và đổi biến

Trang 13

Khi câu tích phân xuất hiện đạo hàm của một hàm nào đó dưới dấu tích phân và những biểu thức ở giả thiết là dấu hiệu giúp ta nghĩ đến việc dùng cả hai phương pháp đổi biến số và tính tích phân từng phần

Bài 1: Cho hàm số thỏa mãn có đạo hàm liên tục trên , và

Tính

dụng phương pháp đổi biến số

Đổi biến:

Lại có:

Suy ra:

Đáp án B

Bài 2: Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên

Trang 14

Phân tích: Sự xuất hiện của nhắc chúng ta sử dụng cả công thức tích phân từng phần và phép đổi biến số

Đổi biến:

Suy ra:

Đáp án C

Phân tích: Sự xuất hiện của là một gợi ý để ta sử dụng công thức tích phân từng phần Tuy nhiên cũng gợi cho ta tư duy

để sử dụng tích phân liên kết thông qua phép đổi biến số

Ta có:

Đổi biến , ta được:

Trang 15

Đáp án D

1 Giả thiết cho có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn

và Tính

Tiếp tục biến đổi tích phân trên bằng cách đặt để suy ra kết quả

2 Giả thiết cho có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn

và Tính

Tiếp tục biến đổi tích phân trên bằng cách đặt để suy ra kết quả

2.3.4 Hệ thống bài tập tích phân hàm ẩn giúp học sinh rèn luyện.

Bài 1: Cho hàm số thỏa mãn: Tính

Bài 3: Cho hàm số thỏa mãn Tính

Trích đề thi thử lần 1 năm 2019 của trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa (đề thi thử lần 2 năm 2019 của trường THPT Phan Bội Châu - Nghệ An)

Trang 16

Tính

Trích đề thi thử lần 1 năm 2019 của trường THPT Đào Duy Từ - Thanh Hóa

Bài 5: Cho hàm số là hàm số chẵn và liên tục trên , thỏa mãn:

Bài 6: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn:

Tính

Bài 7: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn điều kiện:

Tính

Bài 8: Cho hàm số là hàm lẻ và liên tục trên biết:

Trích đề thi thử lần 2 năm 2019 trường THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa

Tính

Trang 17

Trích đề thi thử năm 2019 của Sở Giáo Dục Hà Nội năm 2019

Bài 11: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn:

Bài 12: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và:

Trích đề thi thử lần 3 năm 2019 của trường THPT chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa

Bài 13: Cho hàm số liên tục trên và:

Tính

Trích đề thi thử lần 2 năm 2019 của trường THPT Nho Quan – Ninh Bình

Bài 14: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và:

Tính

Trích đề thi thử năm 2019 của Sở GD Bắc Ninh

Bài 15: Cho hàm số liên tục và Giả sử ta có:

Bài 16: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn:

Tính

Trang 18

Bài 17: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn:

Trích đề thi thử lần 3 năm 2019 của trường THPT Kinh Môn 2 – Hải Dương

Bài 18: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn:

Biết rằng tích phân Trong đó là phân số tối giản Tính

Trích đề thi thử năm 2019 của Sở Giáo Dục tỉnh Kiên Giang

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Thông qua việc đưa ra các một lớp các bài toán tích phân hàm ẩn đồng thời nêu các dạng bài tập thường gặp yêu cầu học sinh nhớ và biết cách áp dụng vào những bài toán cụ thể tôi thấy học sinh thoải mái hơn, hứng thú học tập hơn, tính nhanh và độ chính xác cao hơn Từ đó kết quả kiểm tra tốt hơn rõ rệt

Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh của các lớp 12D3

và 12D4 mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn nhưng thời gian làm bài ngắn hơn và kết quả tốt hơn rõ rệt Kết quả khảo sát và thực nghiệm cụ thể như sau:

Kết quả kiểm tra lần 1

Lớp Số HS thực

nghiệm

Điểm dưới 5 Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10

12D3 43 5 11,63% 19 44,19% 16 37,21% 3 6,98%

12D4 43 8 18,61% 20 46,51% 14 32,56% 1 2,32%

Kết quả kiểm tra lần 2

Lớp Số HS thực

nghiệm

Điểm dưới 5 Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	1,52 MB