Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11CB rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, khó vẽ hình, và thiếu tính thực tế.. Qua nhi
Trang 11 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài :
Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: Cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11CB rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, khó vẽ hình, và thiếu tính thực tế Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn
học này Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được “Một số
giải pháp nhằm nâng cao kỹ năng giải các bài toán về quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - sách giáo khoa hình học 11” nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng
giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên
1.2 Mục đích nghiên cứu:
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp
11 có thêm một số kỹ năng cơ bản trong vẽ hình biểu diễn một hình không gian
và phương pháp giải một số dạng toán trong chương 2 - sách giáo khoa hình học
11 Để học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi làm bài tập bắt buộc trong sách giáo khoa Hình học lớp 11CB
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
Sử dụng kiến thức về: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song” để phân loại và đưa ra phương pháp giải một số bài toán thường gặp ở chương 2 - Hình học lớp 11
Lớp được áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm: 11B3, 11B4
Lớp đối chứng: 11B2
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu lí luận chung; khảo sát điều tra thực tế dạy và học; tổng hợp
so sánh, đút rút kinh nghiệm; trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến đồng nghiệp
1.5 Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:
Nâng cao chất lượng giáo dục được xác định là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi năm học đối với các trường phổ thông nói chung và đối với mỗi thầy cô giáo nói riêng Vì vậy, việc đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh luôn là vấn đề quan trọng được đặt ra đối với mỗi giáo viên khi đứng lớp Từ đó giúp học sinh tiếp thu kiến thức ngày càng tốt hơn, hiệu quả giảng dạy của giáo viên cũng được nâng dần Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính hệ thống, do đó mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải quyết các bài toán
Trang 22 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận:
Những trường THPT có chất lượng đầu vào thấp thì hầu như các em đều
bị mất căn bản và không có hứng thú với việc học Có nhiều em đến trường chỉ
là ngồi cho có lớp, cho vừa lòng cha mẹ chứ không có mục tiêu học tập Bên cạnh đó, cũng có những em đến trường là để thực hiện ước mơ nghề nghiệp của mình sau này nhưng do kiến thức càng học lên cao càng khó, hơn nữa để học tốt môn toán thì các em phải nắm vững kiến thức cơ bản ở những lớp dưới nhưng các em lại bị hổng kiến thức cơ bản, do đó khi học lên cấp ba các em được nghe thầy cô giảng thấy khá hay nhưng vẫn không hiểu gì Cứ như vậy, các em sinh
ra chán học, thiếu tự tin trong học tập
Nâng cao chất lượng giáo dục được xác định là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi năm học đối với các trường phổ thông nói chung và đối với mỗi thầy cô giáo nói riêng Vì vậy, việc dạy học phù hợp với đối tượng học sinh luôn là vấn
đề quan trọng được đặt ra đối với mỗi giáo viên khi đứng lớp Từ đó giúp học sinh tiếp thu kiến thức ngày càng tốt hơn, hiệu quả giảng dạy của giáo viên cũng được nâng dần
2.2 Thực trạng:
Trong năm học 2017-2018 tôi được nhà trường phân công dạy toán các lớp 11B2, 11B3, 11B4 Sau đây là bảng số liệu thống kê về kết quả học tập môn toán của HS lớp 11B2, 11B3, 11B4 trường THPT Thường Xuân 2 trong kỳ thi khảo sát hai tháng đầu năm năm học 2017 – 2018:
Lớp
Tổng
số
HS
8 ≤ Điểm ≤ 10 6.5 ≤ Điểm < 8 5 ≤ Điểm < 6.5 3.5 ≤ Điểm < 5 0 ≤ Điểm < 3.5
Thống kê trên cho ta thấy được lực học môn toán của học sinh đa số là rất thấp Việc đổi mới phương pháp dạy và học cho phù hợp với đối tượng học sinh
là một việc làm cấp bách
Đặc biệt trong môn hình học không gian, khi làm một bài toán, học sinh phải vẽ hình và tìm hướng giải quyết Đối với các học sinh trung bình, yếu, đây
là một việc hết sức khó khăn vì nó đòi hỏi học sinh phải hình dung được hình
vẽ, kẻ thêm các đường phụ rồi giải quyết bài toán đấy như thế nào? Trong đầu các em luôn đặt câu hỏi tại sao lại kẻ thêm những đường phụ như vậy? Và các bước tiếp theo sẽ phải làm gì thì mới giải quyết được bài toán?
Hiểu được tâm lý học sinh như vậy, nên tôi đưa đề tài này và được thực
hiện theo hướng như sau:
+ Một số kỹ năng vẽ hình biểu diễn của hình học không gian
+ Phân loại theo dạng toán, đưa ra phương pháp giải Kèm theo các ví dụ minh họa cho mỗi dạng và có các lời bình, giải thích tại sao ta lại làm như vậy? + Các bài tập tương tự để học sinh luyện tập
Trang 32.3 Biện pháp giải quyết vấn đề.
Để giải được bài hình học tốt theo tôi nghĩ có một số giải pháp tăng cường
kỹ năng kiến thức cho học sinh đó là:
* Đối với học sinh:
- Nắm vững lý thuyết cơ bản nhất
- Vẽ hình đúng – trực quan nó gợi mở và tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải các bài toán và phát huy trí tưởng tượng không gian, phát huy tính tích cực
và niềm say mê học tập của học sinh Vẽ đúng – trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh được các sai lầm đáng tiếc
* Đối với giáo viên:
- Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm trong hình học không gian như : hình chóp; tứ diện; hình hộp; hình hộp chữ nhật; ….; quan
hệ song song của hai đường thẳng; hai mặt phẳng; đường thẳng và mặt phẳng,…
- Dạy học theo các chủ đề, các dạng toán, mạch kiến thức mà giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất
Biện pháp 1: Hướng dẫn học sinh cách vẽ hình biểu diễn của một hình
không gian(sách giáo khoa hình học 11- trang 45):
- Dùng nét liền biểu diễn cho đường nhìn thấy, nét đứt biểu diễn cho đường
bị che khuất
- Hình bình hành biểu diễn cho: Mặt phẳng, Hình bình hành, Hình chữ nhật, Hình thoi, Hình vuông
- Một tam giác biểu diễn cho một tam giác bất kỳ
- Bảo toàn: Sự song song, tỷ lệ của các đoạn thẳng cùng phương, quan hệ thuộc, sự thẳng hàng, thứ tự các điểm
- Không được bảo toàn: Độ lớn của góc, góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, tỷ lệ các đoạn thẳng không cùng phương
- Nên đọc hết cả bài toán trước khi vẽ hình Vừa đọc vừa dựa vào lí thuyết, giả thiết và cả đến điều cần phải chứng minh để chọn cách vẽ hình rõ ràng và tốt nhất
Biện pháp 2 : Phân dạng bài tập và phương pháp giải các dạng bài tập ở
chương 2
Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và ()(Sách bài tập hình
học 11 – trang 57).
Phương pháp giải:
Cách 1: Xác định hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng.
Hình 1
B A
A
thì AB =
Trang 4Cách 2: Xác định một điểm chung và sử dụng quan hệ song song
Dựa vào các định lý sau:
* Định lý 2: (SGK trang 57) Nếu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c
thì / / / /
, ,
a b c
a b c
đồng quy
* Hệ quả: Nếu
/ / ( ), ( ) ( ) ( )
a b
d
thì
/ / / /
d a b
trùng với trùng với
* Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu
/ /( ) ( ) ( ) ( )
a a
b
thì a // b (hình 5)
* Hệ quả : Nếu
( ) / / ( ) / / ( ) ( )
d d a
thì a // d (hình 6)
* Định lý 3: (SGK trang 67) Nếu ( ) / /( )( ) ( ) a
thì ( ) ( )a b/ / b
* Nhận xét:
- Cách giải 1: Học sinh sử dụng cách này để làm các bài tập tìm giao tuyến trong sách giáo khoa sau bài 1
- Cách giải 2: Học sinh chỉ sử dụng được từ sau bài học 2 trở đi
- Để làm bài tốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đĩ
Trang 5Ví dụ 1: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E,) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E,
AC và BD cắt nhau tại F Gọi S là một điểm nằm ngoài mp(α) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E,) Tìm giao tuyến của các mp sau:
a) mp(SAC) và mp(SBD)
b) mp(SAB) và mp(SCD)
c) mp(SEF) và mp(SAD)
Nhận xét: Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm được giao tuyến
Với câu c GV cần gợi ý cho HS phát hiện ra được điểm chung thứ hai
Lời giải:
a) Ta có: S (SAC) (SBD)(1);
F = AC BD F (SAC) (SBD) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : SF = (SAC) (SBD)
b) Ta có: S (SAB) (SCD) (1);
E = AB CD E (SAB) (SCD) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : SE = (SAB) (SCD)
c) Trong mp(ADE) kéo dài EF cắt AD tại N.
Xét hai mp(SAD) và (SEF) có:
S (SAD) (SEF) ; N (SAD) (SEF)
Vậy : SN = (SAD) (SEF)
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang (AB // CD,
AB > CD)
a) Tìm giao tuyến của hai mp(SAD) và (SBC).
b) Tìm giao tuyến của hai mp(SAB) và (SDC).
Trang 6Nhận xét: Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm được điểm chung thứ nhất
là S Với câu a học sinh sẽ tìm điểm chung thứ hai dựa vào giả thiết AB>CD nên
AD cắt BC Đối với câu b học sinh sẽ dùng giả thiết là AB//CD để áp dụng hệ quả nêu trên
Lời giải:
a) Ta có S là điểm chung thứ nhất
Trong mp(ABCD) có AD cắt BC tại E
E AD E SAD
E BC E SBC
Suy ra : SE = (SAD) (SBC)
b) Ta có S là điểm chung thứ nhất
Lại có:
( ) ( ) ( ) thì / / / / / /
AB SAB
AB CD
Dạng 2 : Tìm giao điểm của đường thẳng d và mp(α).
Phương pháp giải(Sách bài tập hình học 11 – trang 58) :
- Trường hợp 1: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E,) có sẵn đường thẳng a cắt d tại A.
Ta có ngay: d ( ) A
- Trường hợp 2: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E,) không có sẵn đường thẳng a cắt d Khi đó ta
thực hiện như sau:
1 Chọn mặt phẳng phụ ( ) chứa d và ( ) a
2 Đặt A = a d Ta có: d ( ) A
* Nhận xét : Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a Nhiệm
vụ của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a
và nếu phải chọn mp() thì cần chọn sao cho tìm giao tuyến a là dễ nhất
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và
3
AJ AD Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD)
Nhận xét :
- HS dễ dàng phát hiện ra đường thẳng a chính là đường thẳng BD
- GV cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng phải cùng nằm trên một mặt phẳng và không song song
Trang 7Lời giải :
3
AJ AD và 1
2
AI AB, suy ra IJ không song song BD Gọi
K IJ
K IJ BD
K BD BCD
Vậy K = IJ (BCD)
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD).
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là điểm tùy ý thuộc đoạn SD
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp(SBC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM)
Nhận xét:
Câu a)
- HS dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC Không nhìn ra được đường thẳng nào
nằm trong mp(SAC) để cắt được BM
- GV gợi ý cho HS biết chọn mp phụ chứa BM đó là mp(SBD) và xác định giao tuyến của 2mp(SBD) và (SAC)
Câu b)
- HS gặp khó khăn khi không nhìn ra được đường nào nằm trong mp(SBC)
để cắt IM
- GV cần hướng dẫn HS chọn 1 mp phụ thích hợp chứa IM
Trang 8Câu c)
- Tương tự câu a) ta cần chọn mp phụ chứa SC và tìm giao tuyến của mp đó với mp(IJM) Có mp nào chứa SC?
- Giáo viên hướng dẫn học sinh chọn mp nào cho việc tìm giao tuyến với (IJM) thuận lợi
Lời giải:
a) Ta có BM (SBD)
Xét 2 mp(SAC) và (SBD) có S là điểm chung thứ nhất (1)
Gọi O = AC BD O là điểm chung thứ hai (2)
Từ (1) và (2) SO = (SAC) (SBD)
Trong mp(SBD) có BM cắt SO tại P Vậy P = BM (SAC)
b) Ta có IM (SAD)
Xét hai mp(SAD) và (SBC) có: S là điểm chung thứ nhất
Gọi E = AD BC E là điểm chung thứ hai
SE = (SAD) (SBC)
Trong mp(SAE) có IM cắt SE tại F Vậy F = IM (SBC)
c) Ta có SC (SBC)
Xét 2 mp(IJM) và (SBC) ta có : JF = (IJM) (SBC)
Trong mp(SBE) có JF cắt SC tại H Vậy H = SC (IJM)
Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
Trang 9Phương pháp giải(Sách bài tập hình học 11 – trang 58): Để chứng minh 3
điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc 2 mặt phẳng phân biệt
Ví dụ 5: Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA,
SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC
a Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
b Tìm giao điểm I = BC ( LMN) và J = SC ( LMN)
c Chứng minh M , I , J thẳng hàng
Giải
a Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
Ta có : N là điểm chung của (LMN) và (ABC)
Trong (SAB) , LM không song song với AB
Gọi K = AB LM
K LM mà LM (LMN ) K (LMN )
K AB mà AB ( ABC) K ( ABC)
(ABC) ( LMN) = NK
b Tìm giao điểm I = BC ( LMN).
Trong (ABC), gọi I = NK BC
I BC I NK mà NK (LMN ) I (LMN) Vậy : I = BC ( LMN)
Tìm giao điểm J = SC ( LMN).
Trong (SAC), LN không song song với SC Gọi J = LN SC
J SC J LN mà LN (LMN ) J (LMN) Vậy : J = SC ( LMN)
c Chứng minh M , I , J thẳng hàng.
Ta có : M , I , J là điểm chung của (LMN) và ( SBC)
Vậy : M , I , J thẳng hàng.
Dạng 4: Tìm thiết diện của một mặt phẳng và một hình.
Phương pháp giải (Ví dụ 5 – sách giáo khoa hình học 11):
K
J I
S
C
M
L
N
B A
Trang 10- Xác định các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình
- Xác định giao điểm của các giao tuyến với các cạnh của hình đến khi ta thu được một đa giác khép kín, đa giác khép kín đó chính là thiết diện
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là một điểm nằm trong tam giác
SCD
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
b) Tìm giao tuyến của đường thẳng BM và mp(SAC)
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (ABM)
Bài giải:
a) Gọi N SMC OD, ACBN
Ta thấy SO=(SAC)(SBM)
b) Trong mp (SBM), đường thẳng
BM cắt SO tại I
Ta có I BM SAC
c) Trong mp (SAC), đường thẳng AI
cắt SC tại P, ta có P và M là hai điểm
chung của mp (ABM) và mp (SCD)
Vậy ABM SCD MP đường thẳng PM
cắt SD tại Q.Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (ABM) là tứ giác ABPQ
Dạng 5: Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α)
Phương pháp giải: (Định lí 1 SGK trang 61)
Tóm tắt: Nếu
( ) / / ( )
d
d a a
thì d // (α) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E,)
Nhận xét: Vấn đề nêu lên ở đây là đường thẳng a có trên hình vẽ hay chưa, nó
được xác định như thế nào, làm thế nào để xác định được nó GV cần làm cho
HS biết hướng giải quyết của bài toán là dựa vào giả thiết của từng bài toán mà xác định đường thẳng a như thế nào cho phù hợp
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác ACB.A’B’C’ Gọi H là trung điểm của
A’B’
a) Tìm giao tuyến của hai mp(AB’C’) và (ABC).
I
M
P
N
C B
S
O
Trang 11b) Chứng minh rằng CB’ // (AHC’)
Lời giải:
a) Ta có : ( ' ')
A AB C
A ABC
A là điểm chung của (AB’C’) và (ABC)
Mà
' '/ / ' ' ( ' ')
B C BC
B C AB C
BC ABC
nên (AB’C’) (ABC) = Ax và Ax // BC // B’C’
b) Ta có tứ giác AA’CC’ là hình bình hành
Suy ra A’C cắt AC’ tại trung điểm I của mỗi đường
Do đó IH // CB’ (IH là đường trung bình của CB’A’)
Mặt khác IH (AHC’) nên CB’ // (AHC’)
Dạng 7 : Chứng minh hai mp(α) và mp() song song với nhau.
Phương pháp giải: (Định lí 1 SGK trang 64)
Tóm tắt : Nếu
, ( ) / /( ), / /( )
a b P
a b I
a Q b Q
thì (P) // (Q)
* Nhận xét : Tương tự như bài toán chứng minh đường thẳng song song
với mặt phẳng, vấn đề đặt ra là chọn hai đường thẳng a, b như thế nào ? Nằm trên mặt phẳng (P) hay mp(Q) ? GV cần hướng dẫn, gợi mở cho HS phát hiện ra được vấn đề của bài toán
Ví dụ 8: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD, AC cắt
BD tại O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, CD Chứng minh (MNO) // (SAD)
Lời giải :
Trong SCD có MN là đường trung bình
MN // SD mà SD (SAD)
MN // (SAD) (1)
Trong SAC có MO là đường trung bình
MO // SA mà SA (SAD)
MO // (SAD) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MNO) // (SAD)
Biện pháp 3: Bài tập rèn luyện :
x
I
H A' B'
C
B
A C'