Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 lựa chọn cách giải phù hợp năng lực tư duy đối với các bài toán tí

Dạng Toán tính khoảng cách và góc giữa các yếu tố hình học trong khônggian là một trong những dạng Toán hay, đòi hỏi tư duy đối với học sinh THPT vàthường có từ 3 đến 5 câu trong đề thi

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Nhiệm vụ quan trọng của nguời thầy nói chung và nguời thầy giảng dạy bộmôn Toán nói riêng đó là: Phải tìm được phương pháp truyền đạt phù hợp vớinăng lực của từng đối tượng học sinh, để các em biết vận dụng, biết khai thác cáckiến thức mới đã được lĩnh hội vào giải Toán; Giúp các em rèn luyện và dần thôngthạo kĩ năng giải Toán

Để làm được điều đó, trước tiên người giáo viên dạy Toán phải tìm hiểu thật

kĩ về tính cách, tâm lí, năng lực tiếp nhận… của từng đối tượng học sinh Đặc biệt,trước ý định truyền đạt hướng dẫn học sinh giải một bài toán thì người giáo viênphải tự mình nghiên cứu, phân tích kĩ bài toán đó rồi mới hướng dẫn cho các em.Hoạt động này rất quan trọng, nó vừa giúp cho học sinh thấy được mối liên hệchặt chẽ giữa các kiến thức khác nhau, thấy được nhiều phương pháp để giải quyếtmột bài toán, vừa gợi được động cơ cho các em học tập kiến thức mới Bởi tôi

nhận thấy không có một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối tượng học

sinh, thậm chí có những quá trình phân tích -Tổng hợp rất hiệu quả đối với học

sinh này nhưng lại “vô nghĩa” với học sinh khác

Thực tế, kì thi THPT Quốc Gia như hiện nay, môn Toán được thi dưới hìnhthức trắc nghiệm: chọn phương án đúng Vì vậy, việc tìm ra kết quả đúng vànhanh nhất là nhiệm vụ ưu tiên hàng đầu Đứng trước một bài toán có rất nhiềuphương pháp giải, việc lựa chọn cách giải phù hợp năng lực sẽ có hiệu quả nhanhnhất

Dạng Toán tính khoảng cách và góc giữa các yếu tố hình học trong khônggian là một trong những dạng Toán hay, đòi hỏi tư duy đối với học sinh THPT vàthường có từ 3 đến 5 câu trong đề thi THPT Quốc Gia Khi gặp dạng Toán nàyhọc sinh thường lúng túng, không biết hướng giải quyết như thế nào

Để góp phần giúp học sinh có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy sángtạo, gợi cho các em hướng giải quyết tốt khi gặp dạng Toán này và những dạng

Toán liên quan Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:”Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 lựa chọn cách giải phù hợp năng lực tư duy đối với các bài toán tính góc, tính khoảng cách trong không gian nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy và đáp ứng yêu cầu đổi mới của kỳ thi THPT Quốc gia” để giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Người giáo viên dạy Toán cần hình thành cách lựa chọn phương pháp tối ưu,phù hợp với năng lực của từng đối tượng học sinh; giúp các em tính nhanh, chínhxác một số dạng toán tính khoảng cách và góc trong không gian Đồng thời, rènluyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển một số năng lực cho các emnhư:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio)

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Kỹ năng vận dụng kiến thức về các phương pháp tính khoảng cách và góctrong không gian

1.3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài

Một số bài toán hình học không gian dạng tính khoảng cách và góc ở các đềthi trắc nghiệm của các năm học trước và các đề thi tham khảo

1.4 Phương pháp nghiên cứu của đề tài

Để có cơ sở tiến hành nghiên cứu và áp dụng đề tài vào thực tế dạy học, tôiđã:

- Tìm hiểu việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, đặc biệt là phươngpháp truyền đạt nội dung kiến thức môn hình học không gian

-Tìm hiểu về thực trạng giải bài tập môn hình học không gian ở học sinhtrường THPT Triệu Sơn 3

- Tìm hiểu về kĩ năng sử dụng thiết bị, sơ đồ tư duy trong học tập hình họckhông gian

- Tổ chức thực hiện đề tài áp dụng đề tài vào thực tế dạy ơ một số lớp 12trường THPT Triệu Sơn 3

- Tiến hành so sánh, đối chiếu và đánh giá về hiệu quả của đề tài khi áp dụng

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

1.2.1 Giả thuyết của đề tài

Khi tiến hành nghiên cứu đề tài, tôi đã đặt ra các giả thuyết sau:

- Đề tài có tìm ra phương pháp phù hợp với học sinh 12 khi giải các bài tậphình học không gian không?

- Đề tài có tạo được hứng thú cho học sinh khi áp dụng vào việc giải các đềthi minh hoạ và các đề thi Toán THPTQG qua các năm hay không?

- Đề tài có rèn luyện, phát triển trí tưởng tượng không gian, phát triển tư duylogic – khoa học và có nâng cao được kết quả học tập bộ môn Hình học khônggian cho học sinh hay không?

1.2.2 Mục tiêu của đề tài

Từ các giả thuyết đã nêu trên, mục tiêu của đề tài cần phải đạt được đó là:

- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh khi giảicác bài tập hình học không gian

- Tạo được hứng thú cho học sinh khi giải bài tập Hình học không gian Đồngthờigiúp các em góp nâng cao kết quả học tập bộ môn này

- Rèn luyện, nâng cao, phát triển được trí tưởng tượng không gian, phát triển

tư duy logic – khoa học cho học sinh

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

* Đối với học sinh:

- Hình học không gian vốn là một môn học có tính trừu tượng, đòi hỏi người

học phải có trí tưởng tượng không gian và cần có tính sáng tạo cao nhưng phầnlớn học sinh có trí tượng tượng và tính sáng tạo còn hạn chế

- Rất nhiều học sinh chỉ quen với Hình học phẳng nên khi học Hình khônggian thường hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy các kết quả của Hình học phẳng được sửdụng trong Hình không gian nên chưa biết vận dụng các tính chất của Hình họcphẳng cho Hình không gian

- Ngoài ra, có không ít học sinh chưa xác định đúng đắn động cơ học tập,không có phương pháp học tập cụ thể cho từng bộ môn, từng phân môn hay từngchuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho các em

* Đối với giáo viên:

- Trong quá trình dạy học bộ môn, phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mứctrang bị lý thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh với một vài bài tập cụ thể màchưa khai thác bài toán ở nhiều dạng khác nhau; chưa tìm được phương pháp dạyhọc phù hợp với từng nội dung và năng lực của học sinh

- Vẫn có không ít giáo viên còn hạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sửdụng phương tiện, công cụ, thiết bị và đồ dùng dạy học bộ môn…

- Giáo viên đã cố gắng đưa ra hệ thống các câu hỏi gợi mở để dẫn dắt họcsinh tìm hiểu các vấn đề nêu ra, học sinh tập trung đọc sách giáo khoa, quan sáthình vẽ, tích cực suy nghĩ, phát hiện và giải quyết các vấn đề theo yêu cầu của câuhỏi Kết quả là học sinh thuộc bài, nhưng hiểu chưa sâu sắc về kiến thức, kĩ năngvận dụng vào thực tế chưa cao Đặc biệt, sau một thời gian không thường xuyên

ôn tập hoặc khi tiếp tục học thêm các nội dung tiếp theo thì học sinh không cònnắm vững được các kiến thức đã học trước đó.

Từ các nguyên nhân trên dẫn đến học sinh chưa hứng thú học tập môn hìnhhọc không gian, còn lúng túng khi tìm cách giải các bài toán hình học không gian.Dẫn đến kết quả học tập chưa cao

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Một số giải pháp

* Đưa ra các quy tắc, các bước cũng như yêu cầu khi vẽ hình không gian để có

được hình vẽ đẹp, dễ quan sát các mối quan hệ có trong hình dễ dàng giải quyếtcác bài tập

* Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh nắm vững các mối quan hệ giữacác đối tượng hình học không gian như quan hệ song song của hai đường thẳng,của hai mặt phẳng, của đường thẳng và mặt phẳng; quan hệ vuông góc của haiđường thẳng, của hai mặt phẳng, của đường thẳng với mặt phẳng … hiểu được cáckhái niệm khoảng cách trong không gian

* Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mô hình trong khônggian, các phần mềm giảng dạy như Cabir, GSPS, Geogebra…

* Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia từkhối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu cáckiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất

* Sử dụng sơ đồ tư duy để ôn tập củng cố các kiến thức cho học sinh

2.3.2 Biện pháp thực hiện:

2.3.2.1 Hệ thống các kiến thức cơ bản cần vận dụng:

a Khoảng cách:

a.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng:

 d M a( , )MH : trong đó H là hình chiếu của M trên a

 d M P( ,( ))MH : trong đó H là hình chiếu của M trên (P)

a.2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song:

 d a P ,   d M P ,  : trong đó M là điểm bất kì nằm trên a

 d P    , Q  d M Q ,  : trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P)

a.3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông gócchung của hai đường thẳng đó

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa mộttrong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳngcòn lại

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa haimặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

b Góc:

 Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 là góc giữa hai đường thẳng  và 1' '2cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với 1 và 2

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hìnhchiếu của nó trên mặt phẳng

 Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông gócvới hai mặt phẳng

c Liên hệ giữa định tính và định lượng:

,

u u M M d

2.3.2.2 Xây dựng thuật giải từ một bài toán:

Xây dựng các thuật giải : Thực chất là các quy trình, các bước thực hiện cốđịnh để tìm ra đáp số của một lớp các bài toán có yêu cầu tương tự nhau Thôngqua việc hình thành và xây dựng thuật giải giúp cho học sinh phát triển tư duythuật giải – một loại hình tư duy rất quan trọng không chỉ trong Toán học mà cảtrong nhiều lĩnh vực khoa học khác; Tạo tâm lý hứng thú, tự tin cho học sinh khigiải các bài tập về góc và khoảng cách trong không gian

Bài toán 1: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 29)

Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a BC , 2a , SAvuông góc với mặt phẳng đáy và SA a  Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng:

Cách 1: Sử dụng kiến thức Hình học không gian tổng hợp(Kiến thức lớp 11).

a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:

a.1 Cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Trong không gian cho ( )P và một điểm M không nằm trên ( ) P , để xác định khoảng cách từ điểm M đến ( ) P ta làm như sau:

Bước 1: Dựng ( )Q đi qua M và vuông góc với ( ) P

Bước 2: Xác định giao tuyến d của ( ) P và ( ) Q

Bước 3: Kẻ MH vuông góc với d tại H  MH ( )P  d M P ,( ) MH

a.2 Cách xác định khoảng giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cho hai đường thẳng a b, chéo nhau:

TH1: a b

Chọn điểm M a (thuận lợi nhất), kẻ MH b H b,(  ) ( , )a H  b

Kẻ HK a K a,(  )  d a b ,  HK

TH2: a b, bất kỳ:

Dựng mặt phẳng   chứa b và song song với a , d a b ,  d a ,( )  d M ,( ) 

, với M là điểm bất kỳ trên a

b) Lời giải: Chọn B

Dựng hình bình hành ACBE  AC(SBE) d AC SB( , )d A SBE( ,( ))h

Ta có: AS AB AE đôi một vuông góc với nhau, ,

3

a h

Cách 2: Sử dụng thể tích các khối đa diện và diện tích các hình đa diện (Kiến

thức Chương I - Hình học 12).

a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:

Bước 1: Xác định yếu tố khoảng cách là đường cao của một khối chóp

Bước 2: Tính thể tích khối chóp, diện tích mặt đáy

Bước 3: Áp dụng công thức thể tích để suy ra khoảng cách

Bước 2: Tìm tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán

Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ

Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học thông

Bài toán 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 37)

Cho hình lập phương ABCD A B C D có tâm O Gọi I là tâm của hình vuông ' ' ' '

Cách 1: Sử dụng kiến thức Hình học không gian tổng hợp(Kiến thức lớp 11).

a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:

Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q

Bước 1: Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q

Bước 2: Dựng hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng ( ),( ) P Q và cùng vuông góc với d (thường chọn đường thẳng thỏa mãn định lý 3 đường vuông góc) Bước 3: Sử dụng giả thuyết tính góc phẳng tạo bởi hai đường thẳng từ đó suy ra

góc giữa hai mặt phẳng (góc nhọn)

b) Lời giải: Chọn B

Gọi ,P Q lần lượt là trung điểm của ' ' C D và AB

Giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB và () MC D' ')

là đường thẳng ( ) qua M và song song với

85340

Bước 2: Tìm tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán

Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ

Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học thông

D' A'

C' B'

M

Nhận xét: Với các cách giải cho một bài toán tính khoảng cách, tính góc trong

không gian ta có thể khẳng định không có cách giải nào là tối ưu nhất, tuy nhiên khi đứng trước nhiệm vụ giải một bài toán, nguời giáo viên cần định hướng cho học sinh tư duy lựa chọn cách giải sao cho phù hợp nhất.

Với cách giải 1: Thường áp dụng cho các hình đa diện tương đối đặc biệt và việc xác định các yếu tố liên quan một cách dễ dàng.

Với cách giải 2:Thường được áp dụng trong trường hợp dựng hình tương đối phức tạp nhưng quá trình tính thể tích các khối đa diện và diện tích các hình đa diện đơn giản (học sinh không cần dựng hình)

Với cách giải 3: Thường áp dụng khi việc dựng hình khó khăn phức tạp nhưng lại

dễ thấy yếu tố trực giao của ba đường thẳng dựng được hệ trục tọa độ hợp lý; áp dụng công thức dễ dàng, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh.

2.3.2.3 Lớp các bài toán tính góc, khoảng cách sử dụng kiến thức hình học không gian tổng hợp.

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng

a

C

62

a

D

63

a

Nhận xét: Với giả thuyết đã cho thì việc dựng các

yếu tố vuông góc trong hình chóp đều là dễ dàng từ

đó ta định hướng cho học sinh lựa chọn cách giải

1.

Lời giải: Chọn D

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Ta có SOABCD Gọi I là trung điểm CD suy

ra SOI  SCD

Kẻ OH SI H SI,   OH (SCD)  d O SCD ,( ) OH

Ta có:

2,

Ví dụ 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA

vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a  Gọi E là trung điểm của cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE

a

C

55

a

D

3 55

a

D

C A

S

B

H

Nhận xét: Bài toán trong không gian nhưng thực tế được qui về bài tập hình học

phẳng đơn thuần với các hệ thức lượng trong tam giác vuông nên giáo viên cần định hướng cho tất cả các học sinh thực hiện bằng cách 1.

Nhận xét: Đối với hình lăng trụ xiên, các yếu tố

trực giao là tương đối phức tạp, nếu học sinh tìm

hướng giải bằng cách tọa độ hóa sẽ khó khăn trong

việc xác định tọa độ các điểm, mặt khác với các

quan hệ song song trong hình lăng trụ thì quá trình

xác định góc giữa hai đường thẳng lại dễ đưa về góc

D A

là cân tại B’ Đặt  là góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ thì   'B BH Vậy

1cos

2.2 4

a a

Nhận xét: Cũng với giả thiết là hình lăng trụ xiên, yêu cầu tính góc giữa hai mặt

phẳng và việc xác định hình chiếu của đa giác trên mặt phẳng lại dễ dàng thì giáo viên có thể định hướng để học sinh liên hệ công thức hình chiếu để hướng giải quyết đơn giản hơn.

Từ (1) và (2) suy ra ABC , ACC A' '  450

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh

bằng a Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng ABCD là trung điểm I

K

của cạnh AB Biết A’C tạo với mặt phẳng đáy một góc  với

2tan

5

 

Tínhtheo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (A’AC)

A 2

a

B

23

a

C

34

a

D

52

a

Nhận xét: Với hình này, yếu tố trực giao khó xác định, yếu tố thể tích và diện tích

tính phức tạp, ta sử dụng việc dựng hình để tìm ra khoang cách (cách1)

Lời giải : Chọn B

Theo bài ra ta có IC là hình chiếu vuông góc của A’C

trên mặt phẳng (ABCD) Suy ra

IH IK  IA a a a   Suy ra  ; '   2

3

a

d B A AC 

Bài tập rèn luyện: (Phu lục 1)

2.3.2.4 Lớp các bài toán tính góc, khoảng cách sử dụng diện tích và thể tích

Ví dụ 6: Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a Gọi B C’, ’ lần lượt là

trung điểm của SB SC, Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ABC biết rằng ’

a

C

514

a

D

3514

a

Nhận xét: Trong bài toán này, với giả thiết; nếu

ta dựng hình chiếu hoặc dùng tọa độ trong không

gian sẻ gây ra tính phức tạp cho lời giải, nên

C I

B

D A

A'

H