Xác định và rèn luyện một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải bài tập toán phần bất đẳng thứ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG PT NGUYỄN MỘNG TUÂN ---o0o---SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM XÁC ĐỊNH VÀ RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG PT NGUYỄN MỘNG TUÂN

-o0o -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

XÁC ĐỊNH VÀ RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP

TOÁN PHẦN BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƯỜNG THPT

Người thực hiện: Trần Thị Hà Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán

Năm 2019

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:

1.1 Nghị quyết hội nghị lần thứ IV BCH Trung ương Đảng Cộng Sản ViệtNam (khoá IV, 1993) nêu rõ: “Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hướng vào việcđào tạo những con người tự chủ sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đềthường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đấtnước…”

1.2 Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Học sinh phảihoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân Cơ sở để học sinh hoạtđộng chính là những tri thức và kinh nghiệm đã có Đứng trước một vấn đề đặt

ra trong vốn tri thức mà bản thân đã có, đã tích luỹ được việc lựa chọn tri thứcnào, sử dụng ra làm sao luôn luôn là những câu hỏi lớn, mà việc trả lời đượcnhững câu hỏi đó là mấu chốt trong việc giải quyết vấn đề

1.3 Phát hiện sớm và giải quyết hợp lí những vấn đề nảy sinh trong thực tiễn

là một năng lực bảo đảm sự thành công trong cuộc sống Vì vậy, tập dượt chohọc sinh biết phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong học tập,trong cuộc sống của cá nhân, gia đình và cộng đồng không chỉ có ý nghĩa ở tầmphương pháp dạy học mà phải được đặt như một mục tiêu giáo dục

1.4 Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông, việc dạy họcgiải bài tập toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu, giúp học sinh nắm vữngtri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng Toán học vàothực tiễn… Bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT là rất đa dạng vàphong phú; được sử dụng nhiều trong kì thi tuyển sinh đại học và cao đẳng, các

kì thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Vì thế thông qua dạyhọc giải bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường phổ thông ta có thể rèn luyệncho học sinh một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề

Vì những lí do nêu trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là: “Xác định và rèn luyện một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT’’

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu về kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề và xác định một số kỹnăng phát hiện và giải quyết vấn đề Từ đó đề xuất các phương thức nhằm rènluyện một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải bàitập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Trong khuôn khổ đề tài này tôi chỉ chọn nghiên cứu những khó khăn, sai lầm

thường gặp ở học sinh THPT trong giải toán chủ đề Bất đẳng thức và biện pháp

khắc phục

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các

vấn đề liên quan đến đề tài

1.4.2 Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng và điều

tra theo các hình thức: Trực tiếp giảng dạy, dự giờ, phỏng vấn và các biện phápkhác

1.4.3 Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu được sau quá trình

giảng dạy

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận

2.1.1 Kỹ năng

2.1.1.1 Khái niệm kỹ năng

Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năngvận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm

vụ mới”

Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữliệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiệnnhững thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ

lý luận hay thực hành xác định”

Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng nhữngkiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”

Để minh họa ta xét ví dụ sau:

Bài toán 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

u  , khi đó bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y có thể được giải quyết

(mục tiêu) và do đó ta có thể lựa chọn phép biến đổi:

2 2

2

2 2

2

2

3 2

1 1

; 2

3 2

2 2

2

3 2

1 2

3 2

1

; 2

3

; 2

1

x v

x

Mà u v uv

Do đó y 1  3  2

Từ đó dễ dàng suy ra giá trị nhỏ nhất của y bằng 2.

Khi hình thành kỹ năng thì yếu tố quan trọng nhất là năng lực nhận ra kiểubài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ kiện đã có những thuộc tính nhữngquan hệ là bản chất đối với việc giải bài toán đã cho Trong khi tiến hành hoạtđộng, các nhà Tâm lí học đã phát hiện ra một loạt nhân tố thúc đẩy hay cản trở

sự hình thành các kỹ năng Một trong những nhân tố như vậy là:

Tách ra một cách rõ ràng hay ngược lại che đậy quan hệ bản chất của bài toántrong các dữ kiện xuất phát Chẳng hạn, xét bài toán sau:

Bài toán 2 Cho các số thực a, b, c Chứng minh rằng:

Nếu 2009 ( ) 0





b c a

0 0

) (

2009

c b a a

a c

b a

ax có hai nghiệm thực phân biệt

Từ đó việc giải bài toán này quy về giải bài toán đơn giản hơn:

Bài toán 3 Cho các số thực a, b, c Chứng minh rằng: Nếu a 0 và

0 )

Nhân tố khác ảnh hưởng đến sự phát hiện ra quan hệ cần thiết để hành động

đó là tâm thế của con người Trở lại với bài toán 2 có chứa số mũ 2009 ở trên,

tâm thế của nhiều học sinh sẽ rất khó chịu với phép toán này và có thể học sinh

sẽ chỉ lưu ý tới số mũ 2009, để rồi không phát hiện được mối quan hệ bản chấttrong bài toán

Nhân tố quan trọng để nhìn thấy mối quan hệ bản chất đối với bài toán - đó

là thâu tóm được toàn bộ tình huống chứ không phải những yếu tố riêng biệt của

nó

Để làm xuất hiện các thuộc tính bản chất của sự vật phù hợp với mục tiêuhoạt động, các nhà Tâm lí học sư phạm đã đưa ra một số thủ thuật làm dễ dàngcho sự suy xét, đó là:

+) Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, học sinh chỉnhìn thấy, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm toàn

bộ những yếu tố có mặt trong bài toán

+) Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhậnthức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bài toán

cụ thể

Chẳng hạn, xét bài toán:

Bài toán 4 Cho hai số thực x và y Chứng minh rằng:

y x xy y

x2  2  1    Tiến hành phân tích đối tượng ta nhận thấy đối tượng tư duy liên quan là

một tam thức bậc hai ẩn x (y là tham số):

1

2 2

2 2

y x xy y

x

Để chứng minh tam thức bậc hai ẩn x (y là tham số) ở vế trái luôn không

âm với mọi x, y  R ta cần chứng minh:

Bài toán 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 – 2x + 3

Phương pháp giải đầu tiên được giới thiệu là phân tích biểu thức này thành

x 12  2, như vậy lời giải dựa trên các mốc định hướng có đối tượng Ở giaiđoạn hai, các mốc định hướng và các thao tác có đối tượng được thay thế bằngcác kí hiệu và các hành động ngôn ngữ Trong ví dụ trên người ta không còn sử

dụng phép phân tích thành bình phương của một tổng cộng với một hằng số đểgiải mà thay vào đó là lập bảng biến thiên của hàm số y= x2 – 2x + 3, ở giai đoạnnày tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 – 2x + 3 bằng ngôn ngữ và kí hiệu Ởgiai đoạn thứ ba, các hành động ngôn ngữ rơi rụng dần đi và thay thế chúng lànhững thao tác diễn ra theo sơ đồ gọn hơn: “Hàm số y= x2 – 2x + 3 có giá trị nhỏ

Trong một tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần

tử chưa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trước ở trong khách thểthì ta có một bài toán

Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giải nào đó

có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán

2.2.2 Một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.

2.2.2.1 Kỹ năng dùng dự đoán để phát hiện và giải quyết vấn đề.

Dự đoán theo đúng nghĩa của nó có vai trò cực kỳ quan trọng trong tất cảcác pha dạy học toán: dạy học khái niệm; dạy định lý; dạy học giải bài tập toán,

Chẳng hạn, xét bài toán sau:

Bài toán 6 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng

3 3

3 3

x z y

y z

x z

x y x z x y x

x

4

3 8

8 3

8

3 3

z y

y x z y y x z y

y

4

3 8 8

; 4

3 8 8

3 3

3 4

3 3

3 3

y x z y z x

z y

x z y

y z

x y x

thao tác tư duy phân tích- tổng hợp; đặc biệt hóa – khái quát hóa; năng lực liêntưởng các đối tượng.

Trong quá trình khám phá, không phải lúc nào chúng ta cũng đi đúnghướng, cũng đưa ra được những phán đoán đúng Tính đúng, sai của các phánđoán còn cần phải được kiểm nghiệm bằng chứng minh rồi mới khẳng địnhđược Nhưng dù thế nào đi nữa thì dự đoán cũng có vai trò thúc đẩy sự phát triểncủa Toán học Trong quá trình phát triển mấy ngàn năm của Toán học, các nhàToán học đã không ngừng đưa ra những phán đoán và minh chứng Có nhữngphán đoán cho đến hàng trăm năm sau mới khẳng định được, chẳng hạn nhưĐịnh lý Fermat lớn, … nhưng sự cố gắng để đi đến chân lý của các nhà khoahọc đã làm nảy sinh ra nhiều cái mới trong phương pháp, trong lĩnh vực lýthuyết

Tóm lại, dự đoán, suy luận có lý đóng vai trò quan trọng trong khoa họcToán học Nó không những đi đến phát hiện và sáng tạo mà còn dẫn đến thànhcông Vậy phải làm thế nào để học được dự đoán suy luận có lý?

Chẳng hạn, xét ví dụ sau:

Bài toán 7 Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn xy+yz+zx=1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 10x2 + 10y2 + z2

Để giải được bài toán này, chúng ta dự đoán: “Vì vai trò của x và y trongbài toán bình đẳng nên khi P đạt giá trị nhỏ nhất thì x=y”; đưa vào tham số thựcdương m và áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có

2 2

10

2 2 2 2 2

my

z mx y x m

P      

 mxy m yz m xz

2

2 2 2 10

Để sử dụng giả thiết xy+yz+zx=1, ta cần chọn m sao cho

8 2

10

10 0

m

Do đó , ta có thể giải bài toán như sau:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có

yz z

y

xz z

x

xy y

x

4 2 8

4 2 8

4 2 2

2 2

2 2

z

y x

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 4

2.2.2.2 Kỹ năng dùng suy luận diễn dịch để phát hiện và giải quyết vấn

đề

Theo tác giả Hoàng Chúng: “Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một haynhiều mệnh đề đã có”

Phương pháp dạy học hiện nay đang nặng về lối “Thầy giảng – trò nghe”;

giáo viên thường bao biện những bước suy luận mà học sinh có thể tự mình giảiquyết, giáo viên chưa sử dụng được hệ thống câu hỏi và bài tập hợp lý, linh hoạtvới từng đối tượng học sinh, nhiều bài trùng nhau về dạng, chỉ đòi hỏi áp dụngcông thức, thiếu bài tập suy luận diễn dịch, chưa khai thác triệt để những tìnhhuống có thể rèn luyện kỹ năng suy diễn; chưa khai thác tốt giữa những chủ đềkiến thức với nhau thông qua những bước suy diễn không đến mức phức tạp

Chẳng hạn, khi gặp bài toán:

Bài toán 8 Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn

1

2 2

d c

b a

Chứng minh rằng

4

2 6

Ta có thể dùng các suy luận sau để giải bài toán này: “Vì vai trò của a và

b trong bài toán bình đẳng; đồng thời vai trò của c và d trong bài toán bình đẳng

nên ta dự đoán dấu bằng ở (1) xảy ra khi

 

6

2 4

2 3 2

2 3 6

2 2

2 3 6

2 6

2

4

2 3

2

2 3 2 2

2 3 6

2

2

2 3 2 2

2 3 2 6

2 2

2 3 2 6 2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2

cd d c d

b c

a cd

d

c

b a d

d b b

c c a a

cd d b c

a cd

2 6 9 12

2 3 12

2 3 6

6

2 4

2 3 6

2 2

2 2

2 2

d c d

c d

c d

c

cd d

cd c

cd d c

Từ đó ta có điều phải chứng minh

2.2.2.3 Kỹ năng biến đổi bài toán về dạng thuận lợi cho việc tìm liên hệ với kiến thức đã có của học sinh và điều kiện đã cho của bài toán.

Các thành tố của kỹ năng này chủ yếu là:

- Kỹ năng lựa chọn các công cụ thích hợp để giải quyết một vấn đề

- kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ

- Kỹ năng quy lạ về quen nhờ biến đổi các vấn đề, biến đổi các bài toán

về dạng tương tự

Chẳng hạn, xét bài toán sau:

Bài toán 9 Cho ba số thực x, y, z Chứng minh rằng

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

3 2

và nghĩ đến bất đẳng thức u  v uv thì ta có thể giải được bài toán như sau

2

3

; 2

; 2

3

; 2

Suy ra

2 2

2 2

2 2

2

3 2

3 2

2 2

3 2

Bài toán 10 Cho x, y, z là ba số dương và x+y+z1 Chứng minh rằng

82 1 1

1

2 2 2 2 2 2

y x

x

u ;1 ; ;1 ; ;1 thì ta có thể giải bài toán như sau

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy xét ba vectơ 

Suy ra

  2 2

2 2 2 2

z y

y x

Mà

2 2

2 2

80 1 1 1 81

1 1 1

z y x z

y x z y x z

y x z y

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

+) Nếu nhìn nhận vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh dưới “con mắtbất đẳng thức Bunhiacôpxki ” thì ta có thể giải bài toán như sau:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có

2 2

2 2 2

3 3

1 3

2 2 3 2

3 82

9 1

3 82

82 3 1 2

z y

y y

3 82

82 3 1

;

3 3 82

82 3 1

2 2 2

z y x z

z y

y x

3 82

82 3 1 1

1

2 2 2 2 2 2

.Mà

3

82 3

80 18 18 18 3

80 27 3 2 27 3 2 27 3 2

3

80 27 3 27 3 27 3 3 3 3 3

y y

x x

z y x z

z

y y

x x z y x

z y x

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

2.2.3 Những yêu cầu chủ yếu của lời giải bài tập

- Lời giải không có sai lầm

Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba nguyên nhânsau:

+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,

+ Sai sót về phương pháp suy luận.

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.

- Lời giải phải có cơ sở lý luận

- Lời giải phải đầy đủ

- Lời giải đơn giản nhất

2.3 Thực trạng của vấn đề

Trong quá trình dạy học môn Toán, nhiều lúc người giáo viên thể hiện sự

áp đặt về mặt kiến thức Sở dĩ họ áp đặt về mặt kiến thức vì họ không tài nào lígiải cho học sinh hiểu tại sao ta lại tiến hành biến đổi bài toán theo cách ta đanglàm, chẳng hạn như đối với bài toán sau:

Bài toán 11 Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn xy 1 Tìm giá trị nhỏ

P 4 1 4  1 3 

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có

4

1 4

1 4 2

1

x

x x

x x

4

1 4 1

0

; 0

y x

y x

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5.”, mà không quan tâm tới việc lý giải hoặcyêu cầu học sinh giải thích tại sao lại giải như thế

Thực ra mấu chốt ở đây là việc dự đoán P sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi

Bài toán 12 Từ bất đẳng thức Cô - si đối với hai số không âm: “Với mọi

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c”, bằng khái quát hóa ta

có dự đoán: “Với mọi a1  0 , a2  0 , a n  0 ta có n

n

n

a a

a

2 1 2

1    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1= a2= =an”

Bài toán 13 Để giải bài toán: “Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có

4 cos 2 cos 3 2

cos cos

2 2

2 y z x

C xy B xz A

yz      ” Ta có thể giải vắn tắt bài toán tổngquát này như sau: “Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

1

,

x ), nhưng việc tìm lời giải bài toán ban đầu là khó hơn rất nhiều

so với việc tìm lời giải bài toán tổng quát

2.2.1.2 Dự đoán bằng đặc biệt hoá.

Chẳng hạn đối với bài toán:

Bài toán 14 Cho số nguyên n3 Giả sử n số dương a1, a2, …, an thỏa mãn bất

2

4 1 2

2 2

“Với n=3, bất đẳng thức trên có dạng

3

4 2

4 1 2 2 3

Từ (2) và (3) suy ra a1, a2, a3 là độ dài các cạnh của một tam giác”

Như vậy việc chứng minh bài toán khi n=3 là thực hiện đựợc Nhưng điềuquan trọng nhất là dựa vào kết quả của bài toán khi n=3, ta có thể giải được bàitoán như sau:

Với n = 3 bài toán đã được chứng minh

Với n > 3, và n số dương a1, a2, …, an thỏa mãn điều kiện bài toán Lấy ba

số bất kì trong n số đó Vì vai trò các số ai (i=1, 2, …, n) là bình đẳng nên khôngmất tính tổng quát ta có thể coi rằng ba số lấy ra là a1, a2, a3

Theo điều kiện bài toán và theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có

2 2 3

2 2

2 1 4

4 4

2 2 3

2 2

2 1

2 2

4

2 3

2 2

2 1

2 2 2

2

2 1 4 4

2

4 1

2 1

2 3

2

2

1 2

1

n n

n n

n

a a

a a a n a a

a a a n

a a

a a a a

a a a a

a n

3

4 2

4 1 2 2 3

2 2

2

1 a a 2a a a

Theo trường hợp n=3, ta có a1, a2, a3 là độ dài các cạnh của một tam giác

2.2.1.3 Dự đoán bằng tương tự hóa.

Chẳng hạn khi gặp bài toán: “Cho số nguyên dương n3 Giả sử t1, t2,

…, tn là các số dương sao cho:

t t

t t t

t

2 1 2

1

Chứng minh rằng ti, tj, tk là độ dài ba cạnh của một tam giác với mọi i, j, kvới 1i<j<kn”, Chúng ta nghĩ ngay tới bài toán tương tự ở 2.3.1.2 Vậy liệu ta

có thể giải bài toán này tương tự như với bài toán đó hay không?

Câu trả lời là có thể, và sau đây là lời giải:

1 1 1 10

t t t t t t

Vì vai trò các số t1, t2, t3 bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta có thểgiả sử 0 t1 t2 t3 Khi đó ta chỉ cần chứng minh t1 t2 t3

Ta sẽ chứng minh điều này bằng phương pháp phản chứng Thật vậy: giả

sử t1 t2 t3, khi đó áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có

10 5 5 5

5 5

5 4

2

3

1 1 3

1 1 1

5

3 2 1

3 5

4 2 1

3 3

2 1 2

1

3 3

2 1

2 1

3 3

2 1 2

1 1

2 3

2 1 3 2

t t

t

t t

t t t

t

t t

t t

t t

t t

t t t

t t

t t

t t t t

t

3 2 1 3 2

Do đó t1 t2 t3

Vậy t1, t2, t3 là độ dài ba cạnh của một tam giác