Ứng dụng hình học giải các bài toán giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất mô đun của số phức

Lí do chọn đề tài : Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, với sự xuất hiện của số i, một trong những ký hiệu thông dụng nhất trong toán học, đã dẫn đến việc định nghĩa số phức

MỤC LỤC 1.Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài 02

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 02

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 02

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 02

1.5 Những điểm mới của SKKN 03

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm :

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 03

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiêm 03

2.3 Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện 03

a) Một số kiến thức về số phức : 03

b) Lớp bài toán tìm GTLN – GTNN của một tổng hay hiệu các mô đun: 04

Bài toán 1:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là đường thẳng 04

Bài toán 2:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là đường tròn 05

Bài toán 3:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là đường elip 07

Bài toán 4:Các bài toán dạng khác 13

2.4 Những kết quả đạt được 15

3 Kết luận 15

3.1 Kết luận 15

3.2 Kiến nghị 16

(*)Tài liệu tham khảo 17

1.Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài :

Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, với sự xuất hiện của số i, một trong những ký hiệu thông dụng nhất trong toán học, đã dẫn đến việc định nghĩa

số phức dạng z= a + bi, trong đó a, b là các số thực.Đối với chương trình toán học phổ thông số phức được đưa vào cuối cấp lớp 12, việc làm quen sử dụng và ứng dụng số phức vào giải toán đối với học sinh là một điều khó, mấy năm gần đây trong các đề thi THPT Quốc gia đã đề cập đến số phức ở những dạng toán đơn giản cho đến khó.Trong đề thi Quốc Gia, số phức tuy chiếm một tỉ trọng rất nhỏ nhưng có câu rất khó, chỉ các em thực sự giỏi mới làm được câu này Vì vậy Tôi viết chuyên đề này với tham vọng nho nhỏ là nhằm giúp cho các em có một cái nhìn rõ ràng hơn về số phức, cũng như một số phương pháp điển hình

để giải một bài toán số phức như : phương pháp Hình Học, phương pháp Bất Đẳng Thức,…Đặc biệt, phương pháp Hình Học rất hữu ích trong lớp Bài toán

về mô- đun số phức

Để giúp các em hiểu sâu hơn về bản chất hình học của số phức và ứng dụng

của số phức, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Ứng dụng hình học giải các bài

toán giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất mô đun của số phức”.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Mục đích chính của Tôi khi nghiên cứu cực trị của số phức nhằm để phục

vụ công tác giảng dạy tại trường và giúp đỡ học sinh

Bản chất cần được làm rõ của sáng kiến kinh nghiệm là nhìn thấy được lời giải hay của bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức theo hướng hình học

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng mà tôi hướng đến là học sinh lớp 12 trong trường THPT Mai Anh Tuấn và học sinh luyện thi THPT Quốc gia đặc biệt là học sinh khá giỏi

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp chủ yếu mà tôi sử dụng là thử nghiệm ở học sinh, tìm hiểu những khó khăn của các em trong quá trình học tập, nắm bắt được những điểm yếu của học sinh Từ đó Tôi có thể điều chỉnh quá trình dạy học và đưa ra

những phương pháp giúp các em tiếp cận phương pháp hình học trong giải toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mô đun của số phức

Kiến thức phải được hệ thống một cách khoa học, tự nhiên; Đồng thời qua chuyên đề này, học sinh có một cái nhìn bản chất của số phức dưới con mắt hình học

1.5 Những điểm mới của SKKN:

Số phức là chủ đề mới đối với học sinh phổ thông, đặc biệt là học sinh trung bình của trường THPT Mai Anh Tuấn vẫn còn là điều mới mẻ Chính vì thế, Sáng kiến kinh nghiệm của bản thân tôi có thể giúp học sinh tiếp cận dễ dàng với giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất modun của số phức bằng phương pháp hình học Bên cạnh đó, qua các bài toán có kèm theo những đánh giá, nhận xét,

đó là tính mới trong sáng kiến của tôi

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến:

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến:

Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT, Tôi nhận thấy rằng học sinh chưa có kĩ năng giải các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mô đun của số phức.Đặc biệt, là kỹ năng hình học hóa các bài toán min, max Nhằm trang bị cho bản thân những kiến thức cần thiết của một người giáo viên toán, thỏa mãn niềm đam mê toán học, khắc phục những yếu điểm của bản thân sau một thời gian công tác, đồng thời có thể giúp các em học sinh trang bị cho mình những kĩ năng tối thiểu trong việc tìm min, max của số phức, khơi dậy niềm đam mê học toán, phát triển và mở rộng những bài toán đã biết Tôi mạnh dạn

đưa ra những kinh nghiệm của bản thân về “Ứng dụng hình học giải các bài

toán giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất mô đun của số phức”.

2.3 Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện:

a) Một số kiến thức về số phức :

1) Cho số phức z a bi a b R  ; , 

 Mô đun số phức : z  a2 b2

 Mỗi số phức z được biễu diễn bởi điểm M(a ;b) hay véc tơ OM

 Mỗi số phức z có thể đồng nhất với véc tơ ua b; 

 Tổng hiệu hai số phức có thể đồng nhất với tổng hiệu hai véc tơ

 Mô đun số phức z bằng độ dài véc tơ ua b; 

2) Cho số phức z a bi a b R  ; , 

 z2 zz; z2 u2; z z1 2 z z1 2 1 1

; ; n n z

z

 z1z2 z1  z2 Dấu “=” xảy ra khi z1 kz k2  0

Gọi M, N lần lượt là điểm biễu diễn các số phứcz z1 , 2thì MN z1  z2

Nếu M,I lần lượt là điểm biễu diễn các số phứcz z, 0thì z z 0  R M thuộc đường tròn tâm I bán kính R

Nếu M, A, B lần lượt là điểm biễu diễn các số phứcz z z, , 1 2thì z z 1  z z2 

M thuộc đường trung trực của AB

Dưới đây là một số Bài toán mà Tác giả sưu tầm cũng như tạo ra một số Bài toán mới

b) Lớp bài toán tìm GTLN – GTNN của một tổng hay hiệu các mô đun:

Bài toán 1:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là đường thẳng

Ví dụ 1: Xét số phức z thỏa mãn z 1 z 2i      là số thực.Tính z 2 3i   min

Giải:Gọi z x yi x y R  ; ,  Ta có z 1 z 2i      x yi 1 x yi 2i       

2 2

x y x 2y 2x y 2 i.

z 1 z 2i      là số thực  2x y 2 0     y 2 2x  

z 2 3i    x 2   y 3   x 2  2  2x 1  2

2

5x 8x 5 5 x

3 5



min

5

Cách 2.Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn của số phức z thì M di động trên đường thẳng  : 2x y 2 0    Và A  2;3 là điểm biểu diễn của số phức -2 + 3i

z 2 3i AM

    Ta có d A,   AM

Nhận xét : Rõ ràng trong 2 cách trên thì cách 2 hay hơn, sinh động, dễ nhìn hơn cách 1.

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa điều kiện z z   z và z 1   3i    z 1 3i  4 Tìm GTNN, GTLN của P   z 5

Giải: Đặt z x yi x, y R     và M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z Ta có

z z   z  x yi x yi     x2 y2 2 2 2 2 2

x 0

4x x y





 



2 2

x 0

x 0



  Vậy M chạy trên hai đường thẳng d : y 1  3x và

2

d : y  3x và ở về phía bên phải

trục tung Ta có : z 1   3i    z 1 3i  4 Xét hai điểm

A 1; 3 ;B 1;  3 thì z 1   3i    z 1 3i  MA MB 4  

Vậy M chạy trên đoạn gấp khúc AOB Ta có P   z 5  MC

với C(5; 0) Vậy max P CO 5; min P CA     19

Nhận xét:Nếu dùng phương pháp đại số thì rất khó để đánh giá.Tuy nhiên

dùng hình học sẽ rất đơn giản.Cũng giả thiết đó nhưng thay đổi biểu thức P

cách giải hoàn toàn tương tự.

Bài toán 2:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là đường tròn.

Ví dụ 1:Xét số phức z thỏa mãn |z  1 5 | 2i  Gọi P  z 3 2i Tìm Pmax ,Pmin

Giải: Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn số phức z Xét các điểm A(1; -5), B(-3; 2)

Từ |z  1 5 | 2i 

suy ra M nằm trên đường tròn (C ) tâm A, bán kính R 2 :x 12y 52  4

Ta có P = MB Từ đó ta có:Pmax AB  2 65 2  vàPmin AB 2  65 2 

Ví dụ 2.Cho số phức z thỏa mãn 2z  1 2i  z 2 2  i Gọi P  z 3 i Tìm

max , min

Giải: Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn số phức z Từ 2z  1 2i  z 2 2  i

2x 12 2y 22 x 22 y 22

         x2 y 22  5

suy ra M nằm trên đường tròn (C ) tâm I(0;-2), bán kính R  5 Xét điểm

A(-3; -1) Ta có P = MA Từ đó ta có

P AI R   vàPmin AI R  10  5

Ví dụ 3: Cho 2 số phức z z1 , 2 thỏa mãn z2    1 i z2   1 2i và z1  2  i  1 Gọi

1 2

Pz  z Tìm Pmin

Giải: Gọi N x y ;  là điểm biểu diễn số phức z2 Từ z2    1 i z2   1 2i

: 4x 2y 3 0

     , ta có N di động trên ∆ Gọi M a b ;  là điểm biểu diễn số

phức z1 Từ z1  2  i  1  a 22b 12  1 ,ta có M di

5

C O

A

B

y

x 1

3

 3

động trên đường tròn (C ) tâm I(2;1), bán kính R 1.Pz1  z2 MN MN ngắn nhất khi

 ,  13 1

2 5

MN d I   R  Vậy min

13 1

2 5

Ví dụ 4: Cho 2 số phức z z1 , 2 thỏa mãn z2  2  i z2   1 2i và z 1 3 1  Gọi

1 2

Pz  z Tìm Pmin

Giải: Gọi N x y ;  là điểm biểu diễn số phức z2 Từ z2  2  i z2   1 2i

:x 3y 0

    , ta có N di động trên ∆ Gọi M a b ;  là điểm biểu diễn số phức

1

z Từ z 1 3 1   a 32b2  1 ,ta có M di

động trên đường tròn (C ) tâm I(3;0), bán kính R 1 Pz1  z2 MN MN

ngắn nhất khi

 ,  3 1

10

MN d I   R  Vậy min

3 1 10

Ví dụ 5: Xét số phức z thỏa mãn z 1 z 2i      là số ảo.Tính z 3 2i   min ,

max

z 3 2i  

Bài toán này có 3 cách giải.Nhưng tôi xin nêu 2 cách Trước hết ta xem điểm biểu diễn số phức z là gì đã

Giải:Gọi z x yi x y R  ; ,  Ta có z 1 z 2i      x yi 1 x yi 2i       

2 2

x y x 2y 2x y 2 i.

z 1 z 2i      là số ảo

2 2

x y x 2y 0 2x y 2 0

 

  



 

2

2

y 2 2x

  

  



đến đây ta có 2 cách giải

Cách 1 Đặt

1 x

2 cos t 5

2



y 1 sin t 5

2



x

2



  vày 5 sin t 2

2



tan t 2 

Ta có z 3 2i 5 cos t 5 5 sin t 2i

  2 2

1

z 3 2i 5 cos t 5 5 sin t 2

2

4 5 sin t 10 5 cos t 34 2

Vì  29  52  4 5 sin t 10 5 cos t 34 2 145 34      29  52

z 3 2i

min

max

29 5

z 3 2i

2

29 5

z 3 2i

2



 





Cách 2.Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn của số phức z thì M di động trên đường tròn

2

2

tâm 1;1

2

I 

 , bán kính 5

2

R  , trừ các điểm C0;2 ; D1;0 Với A3;2 là điểm biểu

diễn của số phức w = -3-2i  z 3 2i  AM Ta có

max

29 5

z 3 2i AI R

2



và z 3 2imin AI R 29 5

2



Nhận xét: Rõ ràng cách dùng hình học đỡ mất thời gian và hay hơn cách lượng giác ở trên.

Bài toán 3:Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là Elip:

Bài toán 3.1: Phương trình( )E dạng chính tắc

x y

a  b 

Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức z thỏa mãn z c  z c  2a hoặc

2

z ci  z ci  a (Elip đứng) Tìm GTLN, GTNN của P z z0

Giải

- Tính b2 a2  c2

- Lập phương trình chính tắc của Elip

a b  với z c  z c  2a Hoặc

a b  với z ci  z ci  2a

- Rút y theo dạng: b 2 2

a

  đối với x22 y22 1

a b  tương tự đối với

2 2

a

z x y i

- Dùng chức năng TABLE của máy tính cầm tay Casio tìm ra GTLN và

GTNN của hàm P2 từ đó có P

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 Cho 2 số phức z z1 , 2 thỏa mãn z  1 3i  z  2 i  8 Gọi

2 1 2

P z  i Tìm Pmax , Pmin

Phân tích:Biểu thức giả thiết là tổng khoảng cách từ điểm M đến 2 điểm cố định không đổi Điều này gợi cho ta đến định nghĩa e líp.

Giải: Gọi 1  2 

1 1; 3 , 2;1 , ; 1

2

F  F  I  

  lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức

1 1 3 ; 2 2

z   i z  i 3 1

2

z   i Suy ra I là trung điểm của

1 2

F F Gọi M là điểm biểu diễn của các số phức z Ta có

Ta có MF1 MF2   8 2a và đặt 2 2 2 25 39

16

b a  c    với 4; 5

2

a c

Như vậy M di động trên Elip có độ dài trục lớn 2a = 8, 2c F F 1 2  5 và I, F F1 , 2

lần lượt là tâm và hai tiêu điểm của Elip

Ta quy về bài toán :”Tìm GTLN, GTNN của độ dài đoạn IM khi M di động trên Elip ’.

Vậy IM lớn nhất bằng a = 4, IM nhỏ nhất bằng 39

2

b 

P z  i  IM  Pmax  8; Pmin  39

Ví dụ 2:Cho 2 số phức z z1 , 2 thỏa mãn z  1 3i  z 7 5  i  26 Gọi

3 12 3

P z  i Tìm Pmax , Pmin

Giải: Gọi F11; 3 ,   F27;5 , I 4;1 lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức

1 1 3 ; 2 7 5

z   i z   i z3   4 i Suy ra I là trung điểm của F F1 2 vàF F 1 2 10 Gọi

M là điểm biểu diễn của các số phức z Ta có

Ta có MF1 MF2  26 Đặt a 13; c 5và b2 a2  c2  169 25 144   Khi đó

MF MF  a

Như vậy M di động trên Elip có độ dài trục lớn 2a = 26, 2c F F 1 2 10 và I, F F1 , 2

lần lượt là tâm và hai tiêu điểm của Elip

Ta quy về bài toán :”Tìm GTLN, GTNN của độ dài đoạn IM khi M di động trên Elip ’.

Vậy IM lớn nhất bằng a 13, IM nhỏ nhất bằng b 12  P 3z 12 3  i Ta có

max 39; min 36

Ví dụ 3: Xét số phức z thỏa mãn z i   z 4 3i 10    Tìm GTLN –GTNN của

P   z 7 7i  Giải: Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn của số phức z Và xét hai điểm

1 0;1 , 2 4; 3 2; 1

F F   I  là trung điểm của F F1 2 Hơn nữa ,MF1 MF2  10 Ta xem M nằm trên E-lip có I là tâm và F F1 , 2 là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn 2a

= 10 Gọi A7; 7   là điểm biểu diễn của số phức : 7 – 7i Ta có :

1 6;8 , 2 3; 4 1 2 2

AF   AF    AF  AF

Như vậy, A nằm trên trục lớn của E – líp

Và AF1 AF2  15 2  a

nên A nằm ngoài E-líp

maxP AI a 61 5

     , minP AI a   61 5 

- Bấm TABLE các hàm f1,2 x với x   3;3 được GTLN, GTNN của P2

Bài toán 3 2 Elip không chính tắc nhưng Alà trung điểm của F F1 , 2 tức A

là tâm của Elip

Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức z thỏa mãn z z 1  z z2  2a với

1 2

2a z  z Tìm GTLN, GTNN của P z z0 Với đặc điểm nhận dạng

1 2

0

z z

z  

1 2 2

2

z z

cz  z  c 

- Tính b2 a2  c2  b a2  c2

- Vì A là tâm Elip và M di chuyển trên Elip nên:

+ AM lớn nhất bằng a haymax P a

+ AM nhỏ nhất bằng bhay min P b

Ví dụ minh họa

Cho số phức z thỏa mãn z  1 3i  z  2 i  8 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P 2z  1 2i

Giải

P

P z  i   z i Ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của

2

P  z i

- Ta thấy z1   1 3 ,i z2   2 i

và 0

1 2

z   i

Do đó

1 2

z z

z  

5

2

cz  z   c a  a Vậy 16 25 39

- Vậy ' ' 39

max 4; min

2

P  P  , Do đó maxP 8; minP 39

Bài toán 3.3 Elip không có dạng chính tắc, A không là trung điểm của

1 , 2

F F nhưng Anằm trên các trục của Elip

Bài toán 3.3.1: A nằm trên trục Elip lớn và ngoài:

- Dấu hiệu nhận biết: 0 1  0 2

z z k z z







0 max

2

z z

0 min

2

z z

Pz    a

Bài toán 3.3.2: Anằm trên trục lớn và ở phía trong Elip:

- Dấu hiệu nhận biết: 0 1  0 2

z z k z z







0 max

2

z z

Pz   a Còn GTNN không xác định nhanh được

Bài toán 3.3 3 Anằm trên trục nhỏ (bất kể trong hay ngoài) Elip:

- Dấu hiệu nhận biết: z0  z1 z0  z2

- Thì 1 2

0 min

2

z z

P z    b Còn GTLN không xác định nhanh được

Ví dụ minh họa:

Cho số phứczthỏa mãn z i  z 3 3  i  6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P z 6 7  i

Giải:

1 1 (0;1); 2 3 3 2 (3; 3); 0 6 7 (6; 7)

z  i F z   i F  z   i A  I là trung điểm của F F1 , 2

thì 1 2 3

; 1

z z

I     

 

Có z0  z1   6 8 ;i z0  z2   3 4i z0  z1  2(z0  z2 ) VậyA thuộc F F1 , 2

Mặt khác z0  z1  z0  z2  10 5 6   Vậy A nằm ngoài Elip

0

21 max

z z

0

9 min

z z

PAI a z    a

Bấm máy: thấy ngay a 3

+ Gán z0vào A; z1vào B và z2vào C

+ Kiểm tra A, B, C thẳng hàng A B *

k

A C



 

+ Kiểm tra A nằm ngoài Elip: A B  A C  6

2

B C

2

B C

PA  

ELIP SUY BIẾN

Bài toán: Cho số phức zthỏa mãn: z z 1  z z2 2a nhưng có z1  z2  2a Tìm GTLN, GTNN của T  z z0

- Bài toán tương đương với bài toán hình học MF1 MF2 F F1 , 2 Tìm GTLN, GTNN của T AM

- Giả thiết MF1 MF2 F F1 , 2 tương đương với M di chuyển trong đoạn thẳng

1 2

F F Do đó:

- Viết phương trình đường thẳng F F1 2với xx x1 ; 2 (ở đây x x1 , 2lần lượt là hoành độ của F F1 2)

- Rút ytheo x từ phương trình F F1 2 vào T được T f x  với xx x1 ; 2

- Tìm GTLN, GTNN của f x trên đoạn xx x1 ; 2

Ví dụ minh họa:

Cho số phức z thỏa mãn z  2 i  z 4 7  i  10 Tìm GTLN, GTNN của

1 4

P  z i

Giải

Với các quy ước từ ban đầu, có F1 ( 2;1), (4; 7)  F2  và A(1; 4) M là điểm biểu diễn

z Có F F 1 2 10 do đó z  2 i  z 4 7  i  10  M thuộc đoạn thẳng F F1 2

Có F F  1 2 (6; 8) 

nên phương trình tham số của 1 2

2 3 :

1 4

F F

 





 

 Với x   2; 4

0; 2

t

Có P2 x 12y 42 3t 324t 32  25t2 6t 18với  t 0; 2

Khảo sát hàm f t( ) 25  t2  6t 18trên 0; 2 được GTNN của f t( ) bằng 18, giá trị lớn nhất bẳng 130

Vậy minP 3 2 và maxP= 130