của một điểm trên mặt phẳng giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong

Trong quá trình dạy học dạng bài tập khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian tôi thấy các em gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng nên rất ngại học.. Qua quá trình giảng

MỤC LỤC

2.1.1 Chủ chương đổi mới của phương pháp dạy học 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3.2 Các bài tập điển hình và hướng dẫn học sinh làm bài 6

1: MỞ ĐẦU

1 1 Lý do chọn đề tài.

Trong quá trình dạy học dạng bài tập khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian tôi thấy các em gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng nên rất ngại học Một phần do đây là nội dung khó đối với học sinh, một phần do sách giáo khoa hình học 11 và sách bài tập hình học 11 cũng không chỉ

rõ các bước làm cụ thể mà chỉ đưa ra một hệ thống kiến thức yêu cầu học sinh phải tư duy để làm Vì vậy các em thường làm dạng toán này theo các ví dụ bài tập đã chữa chứ chưa thành thạo trong suy nghĩ xem nên vận dụng kiến thức nào để giải quyết bài toán

Vấn đề đặt ra là phải làm thế nào để học sinh không ngại học và có hứng thú học phần này Qua quá trình giảng dạy trên lớp tôi nhận thấy để tìm lời giải cho bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian thì hầu hết phải xác định đúng hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng

Toán học là một môn khoa học rèn luyện tư duy lôgic, tính sáng tạo và tính chích xác cho học sinh và hình học không gian nói chung và dạng bài tập

“Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng” nói riêng rất tốt để thực

hiện nhiệm vụ này

Xu hướng trong những năm gần đây việc thi toán thi theo hình thức trắc nghiệm Yêu cầu học sinh phải vận dụng một cách linh hoạt và nhanh Vì vậy chúng ta phải thành thạo trong các bước giải, trong tư duy để từ đó các em có thể giải quyết bài toán một cách nhanh nhất

Với những lý do trên tôi quyết định viết sáng kiến kinh nghiệm “ Vận

dụng cách xác định hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

+ Đề tài nghiên cứu nhằm mục đích tạo hứng thú học tập và nâng cao chất lượng phần bài tập “ Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian” cho học sinh lớp 11 trường Trung học phổ thông Trần Ân Chiêm

+ Nghiên cứu rút kinh nghiệm, trao đổi với đồng nghiệp nhằm nâng cao chất lượng dạy học phần bài tập “ Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian” nói riêng và kiến thức môn hình học không gian nói chung

1.3 Đối tượng nghiên cứu

+ Nghiên cứu các định nghĩa; Định lý, tính chất, công thức trong phần quan hệ vuông góc và phần khoảng cách trong không gian

+ Nghiên cứu hứng thú học tập của học sinh lớp 11A1, Và 11A5 năm học

2017 – 2018 trường trung học phổ thông Trần Ân Chiêm

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: nghiên cứu tài liệu dạy học về phần quan hệ vuông góc trong không gian, về phần khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong chương trình sách giáo khoa hình học 11 THPT

+ Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình học tập của học sinh hai lớp 11A1 và 11A5 trường trung học phổ thông Trần Ân Chiêm

+ Phương pháp phân tích thống kê: sử dụng thống kê để phân tích thực nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến

2.1.1 Chủ chương đổi mới của phương pháp dạy học

Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy học và học theo hướng hiện đại, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học, khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học tạo cơ sở để người học

tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực [1]

2.1.2 Căn cứ lý thuyết.

a Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng [2]

+ Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P)

+ Kí hiệu: d  (P)

+ Định lý: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy

; (P)

a a

b b

a b I

�

  � ��  

�



b Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng [2].

+ Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông

+ Ký hiệu : (P) (Q) 

+ Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

(a) (P) (P) (Q)

(Q)

a

�

�

 � �

� hoặc �� �b b�(P)(Q) + Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia

(P) (Q)

(P);a

a a

�

�

 

c Khoảng cách từ điểm O đến một mặt phẳng (P).[2]

+ Định nghĩa: Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn thẳng OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P)

+ Ký hiệu: d(O;(P))

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến.

Trong dạy học phần bài tập “ Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian” tôi thấy mặc dù học sinh vẫn nắm được khái niện khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian nhưng khi chưa hướng dẫn cụ thể các em vẫn rất lúng túng không biết dựng khoảng cách dẫn đến không tính được Đặc biệt với học sinh trường trung học phổ thông Trần Ân Chiêm đa số các em học yếu môn hình nhất là môn hình học không gian nên các

em cảm thấy chán nản không thích học

Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tôi có khảo sát mức độ hứng thú học tập của học sinh hai lớp 11A1 và 11A5 Qua kiểm tra, khảo sát về mức

độ hứng thú cho kết quả như sau

Mức độ hứng thú Rất thích Thích Bình thường Không thích

Biểu đồ mức độ hứng thú của học sinh

2.3 Giải pháp thực hiện.

2.3.1 Giao nhiệm vụ cho học sinh.

Chia lớp thành hai nhóm sau đó giáo viên giao cho học sinh làm bài tập

Bài tập 1: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có tất cả các cạnh bằng a Hãy xác định và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BDD ) 'B'

Bài tập 2: Cho tứ diện đều ABCD cho tất cả các cạch bằng a Hãy xác

định và tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACD)

Nhận xét: Đây là hai bài tập dạng đơn giản của bài toán xác định và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Tuy nhiên sau khi đưa ra bài tập cho các em tôi nhận thấy các em ở tổ một rất lúng túng không biết hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (BDD B ) ' ' là điểm nào, cũng như các em ở tổ hai không biết hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (ACD) là điểm nào? Từ đó các em không xác định được khoảng cách cần tìm để tính

Giáo viên đưa ra một gợi ý: Yêu cầu học sinh nhắc lại ba tính chất của hai mặt phẳng vuông góc Sau đó hỏi học sinh có tính chất nào có thể sử dụng trong việc kẻ đường thẳng vuông góc xuống mặt phẳng hay không?

Tính chất:

(P) (Q)

(P);a

a a

�

�

 

Từ đó giáo viên cho học sinh tự xây dựng quy trình xác định hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng Suy ra xác định được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và áp dụng để làm bài tập vừa ra Sau đó giáo viên cho các em thảo luận nhóm về lời giải của bài toán Qua đó tìm ra cách thức tiến hành từng bước xác định hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng và chuẩn

bị ý kiến của người trình bày ngắn gọn trước lớp

Các nhóm sau đó báo cáo số bài làm được và có ý kiến gì tán thành với nhóm trước, ý kiến gì khác hoặc có ý kiến gì trao đổi, bổ sung, chất vấn, yêu cầu giải đáp

Giáo viên cùng tham gia vào cuộc thảo luận cuối cùng giáo viên ghi nhớ tổng kết cho học sinh “ các bước xác định khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) dựa vào hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng”

Bước 1: Xác định mặt phẳng (Q) qua M: (Q)  (P) ( Chỉ cần mặt phẳng (Q) vuông góc với một đường thẳng của mặt phẳng (P))

Bước 2: Tìm giao tuyến d  (P) (Q) �

Bước 3: Trong mặt phẳng (Q) kẻ MH d (H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) Khi đó d M ;(P) MH

(Chú ý việc tính MH ta có thể dựa vào các kết quả của hình học phẳng và thường gắn liền với đường cao trong tam giác, tam giác vuông; hệ thức lượng trong tam giác …….)

2.3.2 Giáo viên ra các bài tập điển hình và hướng dẫn cho học sinh làm bài.

Bài toán 1:[3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm

O cạnh bằng a; Các cạnh bên đều bằng 2a Xác định và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)

Nhận xét: Nếu thực hiện theo các bước trên thì bài toán sẽ không mấy khó khăn dễ dàng chứng minh được SOABCD Gọi I là trung điểm của BC.

Bước 1:  

BC SOI

SOI SBC

BC SBC

�



�

�

Bước 2: SOI �SBC SI

Bước 3: Trong SOI kẻ OH SI � H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (SBC)

a OH

OH  SO OI    a � 

Bài toán 2.[3] Cho tứ diện OABC có OA; OB; OC vuông góc từng đôi

( Gọi là tứ diện vuông đỉnh O) OA a OB b OC c ;  ; 

Xác định và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)

Hướng dẫn:

Hạ OM  AB

D

S

B

C

I

H A

O

M

C

H

A M

O

Bước 1: AB ((ABC)COM) OCM ABC

AB



�

�

Bước 2: OCM � ABCCM

Bước 3: Trong OCM kẻ OH CM �H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC) say ra d O ABC ;   OH

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

OH OC OM OC OB OA c b a

1

OH



�

 

Bài toán 3: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA a 2 Tính khoảng cách

a Từ A đến mặt phẳng SBD

b Từ O đến mặt phẳng SCD

Nhận xét:

Từ hình vẽ và giả thiết của bài toán, học sinh rát khó phát hiện hình chiếu của A lên SBD và hình chiếu của O lên SCD Nhưng nếu thực hiện theo các bước tìm hình chiếu đã nêu trên thì bài giải sẽ không còn mấy khó khăn

Chẳng hạn:

Bước 1: Theo giả thiết

BD SAC

SAC SBD

BD SBD

�



�

�

Bước 2: SAC �SBD SO

Bước 3: Trong mặt phẳng SAC kẻ AH SO

 Hlà hình chiếu vuông góc của A lên SBD

Vậy AH là khoảng cách từ A đến SBD

áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAO

Ta có: 1 2 12 12 12 22 52

AH SA  AO  a a  a

A B

S

D

C I

K O J H

5

a

AH 

�

b, Tính khoảng cách từ O đến SCD

Chọn mặt phẳng chứa O và vuông góc với SCD là OIJtrong đó I J, là trung điểmCD SD,

Bước 1: SCD  OIJ

Bước 2: SCD �OIJ  IJ

Bước 3: Trong mặt phẳng  OIJ kẻ OK  IJ

 K là hình chiếu của O lên (SCD)  OK là khoảng cách từ O đến (SCD)

áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OIJ ta có:

a OK

OK OI   a � 

Bài toán 4: Cho hình lăng trụ ABCA B C' ' ' cóAA' uông góc với mpABC và '

AA a , đáy ABC là tam giác vuông tại A cóBC 2a, AB a 3

Tính khoảng cách từ A đến A BC' 

Nhận xét : Ở đây có nhiều mặt phẳng chứa A nhưng để chọn mặt phẳng chứa A

và vuông góc với mp A BC'  ta phải chú ý tới giả thiết

Từ giả thiết  ACC A' ' là hình vuông

AC ABC

AB AC do AB AAC C

�



�

�

Bước 1:  

AC ABC

ABC A BC

AC A BC

�



�

�

Bước 2: ABC' � A BC' BO

Bước 3: Trong mặt phẳng ABC' kẻ AH BO

 Độ dài AH là khoảng cách từ A đến (A’BC)

áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABO

’

B A

C

H O

C’

Ta có: 1 2 12 12 72 21

a AH

AH  AO  AB  a � 

2.3.3 Bài tập tương tự.

Bài tập 1: Cho hình chóp đều S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông tâm O

, cạnh a; SA a Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)

Bài tập 2: [2] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D' ' ' 'có AB a ; BC b ; '

CC c Tính khoảng cách từ Bđến mặt phẳng ACC A' '

Bài tập 3: [3] Cho hình chóp S ABC. có SAABC Tam giác ABC là tam giác đều cạnh a Xác định và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳngSBC

Bài tập 4: [5] Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình chữ nhật với AB 2a

; BC a Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD)

Bài tập 5: Cho lăng trụ đứng ABC A B C' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông

ở B AB a ; AA '  2 ;a AC'  3a Gọi M là trung điểm AC' ' I là giao điểm của

AM và AC' Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC)theo a

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này đã giúp tôi đổi mới cách dạy nhằm đem lại hiệu quả trong quá trình dạy học

Sau khi triển khai đề tài và giảng dạy phần bài tập “khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian” Cho học sinh lớp 11A1, 11A5 trường trung học phổ thông Trân Ân Chiêm tôi nhận thấy các em rất hào hứng, tích cực làm bài tập dạng này Đặc biệt hiệu quả của việc học sinh học môn hình học 11 tăng lên Cụ thể sau khi kết thúc phần này tôi cho hai lớp kiểm tra với mới độ nhận thức như nhau nhằm thống kê số điểm và so sánh kết quả của hai lớp

Đề kiểm tra: Cho hình chóp S ABC. có SA 3 ;a SAABC AB BC;   2a; Góc

ABC bằng 120 0 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

Đáp số:     3

;

2

a

d A SBC 

Kết quả bài kiểm tra thu được thể hiện dưới bảng thông kê sau.

Bảng 1

Điểm số

(Thang điểm

10)

Tần số Tần suất (%) Tần số Tần suất (%)

Biểu đồ 1

Nhìn vào biểu đồ 1, ta thấy:

+ Số điểm dưới năm của lớp 11A1 ít hơn nhiều so với lớp 11A5

+ Mức điểm từ năm trở lên thì 11A1 lại cao hơn 11A5

Ngoài bài kiểm tra để so sánh nhận thức của 2 lớp trên tôi còn khảo sát mức độ hứng thú của học sinh sau khi học phần này ở lớp 11A1 và so sánh với kết quả của lớp đó trước khi áp dụng SKKN này Kết quả như sau:

Bảng 2 Mức độ hứng thú Rất thích Thích Bình thường Không thích Trước khi áp dụng SKKN 1 (2,5%) 3(7,5%) 10(25%) 26(65%) Sau khi áp dụng SKKN 8(20%) 16(40%) 11(27,5%) 5(12,5%)

Biểu đồ 2

Nhận xét: Ta thấy sau khi áp dụng các giải pháp vào dạy lớp 11A1 thì các em

cảm thấy hứng thú học tập hơn Vì vậy kết quả học tập cũng tốt hơn Điều đó

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Qua quá trình viết sáng kiến kinh nghiệm đã thu được các kết quả sau:

+ Đưa ra được các bước là bài tập tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian dựa vào xác định hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng Tuy nhiên đây không phải là cách duy nhất để giải dạng toán này

Từ định nghĩa khoảng cách kết hợp với giả thiết bài toán mà người học linh hoạt vận dụng phương pháp giải cho phù hợp

+ Đặt học sinh vào các hoạt động học tập giúp củng cố lý thuyết và nhiều

kỹ năng, tăng hứng thú học tập cho học sinh

+ Bản thân cũng thu được nhiều kinh nghiệm, cũng như sử dụng công nghệ một cách tốt hơn

3.2 Kiến nghị.

+ Kiến nghị thay đổi sách giáo khoa theo hướng phát triển năng lực người học gắn liền với thực tế

+ Hiện nay thi toán chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm mà tài liệu trắc nghiệm phần này trong thư viện nhà trường còn rất hạn chế Vì vậy tôi kiến nghị nhà trường bổ sung thêm tài liệu tham khảo

+ Từ những kinh nghiệm của bản thân tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm này Tuy nhiên còn nhiều thiếu sót nên rất mong được sự góp ý của đồng nghiệp

để đề tài hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2018

Tôi cam đoan đây là SKKN của mình, không sao

chép nội dung của người khác Người viết sáng kiến

Triệu Thị Tuyến

PHỤ LỤC MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1.[4] Hình chóp tam giác đều S ABC. có cạnh đáy bằng 3a; Cạnh bên bằng 2a Khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABC) là:

A 1.5a B a C a 2 D a 3

Câu 2 Hình chóp đều S ABC. có cạnh đáy bằng a; góc giữa một mặt bên với mặt đáy bằng 60 0 Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)bằng:

A

2

a

B 3

2

a C a 2

3 D 3

3

a

Câu 3 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a;

;

SA a SA  ABCD Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)bằng:

A 2a B a C.a 2 D 2

2

a

Câu 4 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a; Mặt bên

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Goi Hlà trung điểm của AB Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SHC)bằng:

A 5

2

a B 2

5

a C 2

5

a

D 5

2

a

Câu 5 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'có cạch bằng a Khoảng cách

từ B đến mặt phẳng ACC A' ' là:

A 2

2

a B 3

2

a C 3

3

a D 6

3

a

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD 2a và SAABCD SA a 6 Khoảng cách

từ A đến mặt phẳng (SCD) là:

A 2.a B 2.a C 4.a D 3.a

Câu 7 Hình chóp S ABC. có đáy là tam giác ABC vuông cân ở B,

2

AC a Tam giác SAC vuông cân ở S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng:

A 6

3

a B a C 6

6

a D

2

a

Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc BAD bằng 60 0 O là giao của AC và BD SOABCD và 3.

4

a

SO Gọi E

là trung điểm của BC; F là trung điểm của BE Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) bằng:

A 3

4

a

B 3.

2

a

C 3.

8

a

D 3a