Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập liên quan đến đồ thị hàm số trong ôn thi THPT quốc gia tại trường THPT tĩnh gi

T f5 f6 Trước các vấn đề trên trong quá trình ôn thi THPT quốc gia năm 2018 tôi thấy cần hệ thống lại một số lý thuyết, phân dạng bài tập, trình bày phương pháp giải các dạng bài tập l

1 MỞ ĐẦU.

1.1 Lí do chọn đề tài.

Năm học 2017 – 2018 là năm học thứ hai môn toán được thi theo hình thức thi trắc nghiệm trong kỳ thi THPT quốc Việc thay đổi hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ không những cho các em học sinh mà ngay bản thân tôi Hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phải có một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận

Chẳng hạn ta xem xét ví dụ sau:

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây đúng ?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (  , 2)

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (  , 2)

C Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2, 1) 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (1,)

Đối với ví dụ trên học sinh dễ dàng tìm ra đáp án A

Bây giờ ta thử đặt vấn đề nếu cho đồ thị hàm số yf x( ) thì có thể kết luận

về tính đồng biến, nghịch biến của đồ thị hàm số y f x( )không ?

Ta xét ví dụ sau:

Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên R là hàm số

( )

y f x Biết hàm số y f x( )có đồ thị như hình

bên Hàm số y f x( )nghịch biến trên khoảng nào

trong các khoảng sau ?

A (0,) B ( ,1)1

3

C 1

( , )

3

  D ( ,0)

Với bài tập này học sinh sẽ gặp một số khó khăn sau:

- Nhầm lẫn đây là đồ thị hàm số y f x( )

- Thiếu kỹ năng đọc đồ thị mà đây lại là đồ thị hàm số yf x( )

Bài tập trên chỉ ở mức độ thông hiểu với những bài tập kiến thức ở mức độ vận dụng thấp hoặc vận dụng cao thì học sinh sẽ gặp những khó khăn gì?

Chẳng hạn ta xét bài tập sau:

( ĐềThi KSCL lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Thanh Hóa)

Cho hàm số yf x( ) Đồ thị của hàm số yf x( )như hình vẽ

y

1 -2

-3

3

y

O

Đặt M max f(x)2;6 , mmin f(x)2;6 , T M m

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A T f(0) f( 2)

B T f(0) f(2)

C T f(5) f( 2)

D T f(5) f(6)

Trước các vấn đề trên trong quá trình ôn thi THPT quốc gia năm 2018 tôi thấy cần hệ thống lại một số lý thuyết, phân dạng bài tập, trình bày phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến đồ thị hàm số yf x( ) nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập và phát triển năng lực tư duy phân tích tổng hợp cho các em học

sinh chính vì vậy tôi chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập liên quan đến đồ thị hàm số yf x( )trong ôn thi THPT quốc gia tại trường THPT Tĩnh Gia 4”

1.2 Mục đích nghiên cứu của đề tài.

- Đề tài nhằm mục đích cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa đồ thị hàm số ( )

y f x với các vấn đề của hàm số yf x( ) Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia 2017 – 2018

- Đề tài nhằm mục đích phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú học tập bộ môn toán trong trường phổ thông

- Đề tài cũng góp phần hưởng ứng phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm của trường THPT Tĩnh Gia 4 và của Sở giáo dục đào tạo Thanh hóa

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Do bị giới hạn về số trang của sáng kiến kinh nghiệm nên trong đề tài này tôi chỉ trích ra và trình bày một số bài toán về đồ thị hàm số y f x( )liên quan đến hàm số y f x( ) như bài toán tính đồng biến, nghịch biến của hàm số; bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số; bài toán so sánh giá trị của hàm số; và một

vài bài toán khác

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ

sách, báo, mạng internet về các bài toán liên quan đế đồ thị hàm số yf x( )

y

O

- Phương pháp điều tra: Tìm hiểu thực tế giảng dạy; ôn thi THPT Quốc Gia ở

trường THPT Tĩnh Gia 4, trao đổi kinh nghiệm với giáo viên, thăm dò học sinh để tìm hiểu tình hình học tập của các em

- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: Thực nghiệm sư phạm đánh giá hiệu

quả sử dụng đề tài nghiên cứu trong việc giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia năm học

2017 – 2018 của Trường THPT Tĩnh Gia 4

1.5 Những điểm mới của SKKN.

Theo tôi được biết, đã có một số đề tài viết về những bài toán liên quan đến đồ thị hàm số yf x( ) Nhưng theo quan điểm của cá nhân tôi trong tình hình hiện tại do sự đổi mới của hình thức thi trung học phổ thông quốc gia đối với môn toán,

đề tài của tôi là một quan điểm hoàn toàn mới về cách thức giải những bài toán như thế, cụ thể :

- Thứ nhất, sáng kiến kinh nghiệm này trình bày một cách có hệ thống các dạng bài tập liên quan đến đồ thị hàm số y f x( ), việc phân dạng bài tập cũng cụ thể

và đa dạng hơn , hệ thống câu hỏi và bài tập nhiều, tôi cũng cập nhật nhiều bài tập vừa thi thử của các trường THPT trong tỉnh Thanh Hóa giúp giáo viên các em học sinh có thêm nguồn tài liệu cần thiết

- Thứ hai, sáng kiến kinh nghiệm này đã đưa ra một cách thức, một phương pháp hoàn toàn mới so với phương pháp tự luận truyền thống để giúp giáo viên và học sinh hoàn thành nhanh nhất và đúng nhất những bài tập liên quan đến đồ thị hàm số yf x( ) đề cập trong đề tài này

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2 1 Cơ sở lí luận

Trong giải tích đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán Giữa hàm số yf x( )và đạo hàm của nó yf x( )có nhiều mối liên hệ chặt chẽ với nhau Điển hình là mối liên hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm, mối liên

hệ giữ sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm…

+) Mối liên hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:

Định lý:

Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f x  với mọi '  0 x thuộc K thì hàm số f x( ) đồng biến trên K.

b) Nếu f x  với mọi '  0 x thuộc K thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K [1] Dựa vào đồ thì hàm số yf x( ) ta nhận thấy:

- Nếu ( ) 0f x  thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số y f x( ) nằm phía trên trục hoành

- Nếu ( ) 0f x  thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số y f x( ) nằm phía dưới trục hoành

Từ đó ta có kết luận:

- Nếu x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số yf x( ) nằm phía trên trục hoành thì trên khoảng đó hàm số yf x( ) đồng biến

- Nếu x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số y f x( ) nằm phía dưới trục hoành thì trên khoảng đó hàm số yf x( )nghịch biến

+) Mối liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm:

Nếu hàm số yf x( )có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x thì 0 f x( ) 00  [1]

Từ đó ta suy ra:

Nếu hàm số yf x( ) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x thì đồ thị hàm số0

( )

y f x cắt trục hoành tại điểm có tọa độ ( ;0)x0 .

Ngược lại, nếu hàm số y f x( )liên tục, có đạo hàm tại x và đồ thị hàm số0

( )

y f x cắt trục hoành tại điểm có tọa độ ( ;0)x0 đồng thời ( )f x đổi dấu khi đi qua x thì 0 x là điểm cực trị của hàm số 0 yf x( )

Ngoài ra nếu ( )f x đổi dấu từ + sang - khi đi qua x thì 0 x là điểm cực đại0

của hàm số y f x( ), nếu ( )f x đổi dấu từ - sang + khi đi qua x thì 0 x là điểm cực0

tiểu của hàm số yf x( )

+ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Định nghĩa:

Cho hàm số yf x( ) xác định trên D.

Số M được gọi là GTLN của hàm số y f x( ) trên D nếu ( ) f x M, x D

và  x0 D sao cho f x( )0 M Kí hiệu M mDax ( )f x

Số m được gọi là GTNN của hàm số yf x( ) trên D nếu f x( )m x D, 

và  x0 D sao cho f x( )0 m Kí hiệu mmin ( )D f x

[1] Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số

* Từ việc lập BBT của hàm số f x( ) trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là GTLN ( GTNN ) của hàm số

* Nếu hàm số f x( ) xác định và liên tục trên đoạn  a b thì ta có thể tìm GTLN; 

và GTNN theo các bước sau :

- Tìm các điểm x x1, , ,2 x trên đoạn n a b mà tại đó;  f x bằng 0 hoặc'( ) f x không'( ) xác định

- Tính các giá trị f a f b f x( ), ( ), ( ), ( ), , ( )1 f x2 f x n

- Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN (GTNN) của hàm số f x( )trên đoạn a b ; 

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT Tĩnh Gia 4, tôi thấy rằng trong các đề thi TNKQ hiện nay xuất hiện khá nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị hàm số

( )

y f x và chỉ ra các tính chất của hàm số y f x( ) Khi học sinh giải một bài toán nào đó liên quan đến đồ thị hàm số y f x( ) thì các em thường gặp phải một số vấn

đề khó khăn sau:

Thứ nhất là không ít học sinh do không nắm được các kiến thức liên quan và

không rèn luyện thường xuyên nên yêu cầu trên trở thành một yêu cầu khó Một số học sinh còn nhầm lẫn đồ thị hàm số y f x( ) với đồ thị hàm số y f x( )

Thứ hai là vẫn còn một số học sinh nắm được phương pháp giải toán nhưng yếu

về kỹ năng đọc đồ thị mà đây lại là đồ thị hàm số yf x( ) Nên khi giải các bài toán sẽ cho kết quả sai, hoặc các em phải mất rất nhiều thời gian thì mới hoàn thành bài giải

Thứ ba là đa phần học sinh yếu về khả năng phân tích, định hướng tìm lời giải

cho bài toán Vì thế khi đứng trước một bài toán mới các em rất lúng túng trong việc tìm hướng giải cho bài toán đó

Những khó khăn kể trên đối với học sinh sẽ được tháo gỡ nếu học sinh nắm được phương pháp giải từng dạng bài tập về đồ thị hàm số y f x( )

2.3 Các giải pháp giải quyết vấn đề.

2.3.1 Dạng 1 Đồ thị hàm số yf x( )và tính đơn điệu của hàm số y f x( )

Ví dụ 1 Cho hàm số yf x( ) xác định trên  và

có đồ thị hàm số y f x( ) là đường cong như hình

bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số yf x( ) nghịch biến trên khoảng

( 1;1)

B Hàm số yf x( ) đồng biến trên khoảng

(1;2)

C Hàm số y f x( )đồng biến trên khoảng ( 2;1)

D Hàm số yf x( )nghịch biến trên khoảng (0;2)

Lời giải:

Cách 1: sử dụng bảng biến thiên.

Từ đồ thị của hàm số yf x( ) ta có bảng biến thiên như sau:

x   2 0 2 

,

y - 0 + 0 - 0 +

y f(0)

y

x

-2 -1

f ( 2) f(2) Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số y f x( ) - Nếu trong khoảng  đồ thị hàm số y f x( ) nằm trên trục hoành (có thể tiếp xúc) thì y f x( ) đồng biến trên  - Nếu trong khoảng  đồ thị hàm số yf x( ) nằm dưới trục hoành (có thể tiếp xúc) thì y f x( ) nghịch biến trên  - Nếu trong khoảng  đồ thị hàm số y f x( ) vừa có phần nằm dưới trục hoành vừa có phần nằm trên trục hoành thì loại phương án đó Quan sát đồ thị hàm số yf x( ) trên khoảng (0;2)ta thấy đồ thị hàm số ( ) y f x phần nằm dưới trục hoành nên ta chọn đáp án D Ví dụ 2 ( Đề minh họa của Bộ - 2018): Cho hàm số y  f (x) Hàm số y  f x có đồ thị như hình bên Hàm số y  f 2  x đồng biến trên khoảng A 1;3 B 2;  C 2;1 D ; 2

Lời giải: [3] Hàm số y f(2 x) đồng biến

 y f(2 x) 0  f(2 x) 0 Nhìn đồ thị

    hoặc 1 2  x 4 x3 hoặc   2 x 1

Chọn đáp án C

Ví dụ 3 Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm liên tục

trên  và có đồ thị của hàm số y f x( ) như hình vẽ

2

g x f x  x  x Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số g x( ) đồng biến trên khoảng (1;3)

B Hàm số g x( ) đồng biến trên khoảng ( 3;0)

C Hàm số g x( ) đồng biến trên khoảng (0;3)

D Hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng (0;3)

Lời giải:

y

O

-3

2

-2

3

-4

Vẽ đường thẳng (d): y x 1 đi qua các điểm (-3; -2) , (1; -2), (3;-3)

Ta có ( )g x f x( )  x 1 f x( ) (  x 1)

Dựa vào đồ thi ta nhận thấy:

+) Trên khoảng (-3; 1) đồ thị của hàm số yf x( )

nằm phía dưới đường thẳng y  x 1

nên ( )f x   x 1 g x( ) 0 Suy ra trên khoảng

(-3; 1) hàm số g x( ) nghịch biến

+) Trên khoảng (1; 3) đồ thị của hàm số yf x( )

nằm phía trên đường thẳng y  x 1

nên ( )f x   x 1 g x( ) 0 Suy ra trên khoảng

(1; 3) hàm số g x( ) đồng biến

Do đó ta chọn đáp án A

Bài tập luyện tập

Bài tập1 Cho hàm số y f x( ) xác định trên  và có

đồ thị của hàm số yf x( ) như hình vẽ Mệnh đề nào

sau đây đúng?

A Hàm số y f x( ) đồng biến trên khoảng

(  ; 2);(0;)

B Hàm số yf x( ) nghịch biến trên khoảng ( 2;0)

C Hàm số yf x( ) đồng biến trên khoảng ( 3; )

D Hàm số y f x( ) nghịch biến trên khoảng ( ;0)

Đáp án: Chọn đáp án C

Bài tập 2 (Thi HK1 2017 -2018, THPT Lê Quý Đôn – Quảng Trị)

Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm liên tục trên  và

có đồ thị của hàm số yf x( ) như hình vẽ bên

Xét hàm số g x( )f x( 2  2) Mệnh đề nào sau

đây sai?

A Hàm số g x( ) đồng biến trên khoảng (2;)

B Hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng ( 1;0)

C Hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng (  ; 2)

D Hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng (0;2)

Đáp án: Chọn đáp án B

y

O

-3

2

-2

3

-4

y

O

-2

y

x O

-3 -2

Bài tập 3 ( Thi HK1 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Bến tre)

Cho hàm số f x( )ax4 bx3 cx2 d (a 0)

Biết rằng hàm số f x( ) có đạo hàm là ( )f x và hàm

số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ bên Khi đó nhận

xét nào sau đây là sai?

A Trên ( 2;1) thì hàm số f x( ) luôn tăng

B Hàm f x( ) giảm trên đoạn 1;1

C Hàm f x( ) đồng biến trên khoảng (1;)

D Hàm f x( ) nghịch biến trên khoảng (  ; 2)

Đáp án: Chọn đáp án B

Bài tập 4 Cho hàm số y f x( ) liên tục và xác định

trên  Biết f x( ) có đạo hàm ( )f x và hàm số

( )

y f x có đồ thị như hình vẽ Xét trên ( ; ),

khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng ( ; )

B Hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng ( ; )

C Hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng ( ; )

2





 

và ( ; )

2





D Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng (0; )

Đáp án: Chọn đáp án D

Bài tập 5 ( Thi thử 2017 – 2018, THPT chuyên Hùng Vương – Phú Thọ)

Hình bên là đồ thị của hàm số y f x  Hỏi đồ thị

hàm số yf x  đồng biến trên khoảng nào dưới

đây?

A 2; B  1;2 

C 0;1 D  0;1 và  2; 

Đáp án: Chọn đáp án A

y

2

 2











- 1

1

O y

x

y

O

-2

2.3.2 Dạng 2 Đồ thị hàm số yf x( )và cực trị của hàm số yf x( )

Ví dụ 1 (Đề thi thử 2017 – 2018, THPT Lương Văn Tụy – Ninh Bình)

Cho hàm số yf x( ) xác định trên  và có đồ

thị hàm số y f x( ) là đường cong trong hình bên

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số yf x( ) đạt cực tiểu tại x 0

B Hàm số yf x( ) đạt cực tiểu tại x 2

C Hàm số y f x( )đạt cực đại tại x 2

D Cực tiểu của f x( ) nhỏ hơn cựa đại

Lời giải

Từ đồ thị hàm số y f x( ) ta thấy ( )f x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua 2

 nên x 2 là điểm cực đại của hàm số y f x( ), ( )f x đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua 0 nên x 0 là điểm cực tiểu của hàm số yf x( )

Bảng biến thiên của hàm số yf x( )

x   2 0 

( )

f x + 0 - 0 +

( )

f x

f ( 2)

f(0)

Từ bảng biến thiên ta thấy cực tiểu của f x( ) nhỏ hơn cựa đại của f x( )

Vậy ta chọn đáp án B

Ví dụ 2 Hàm số y f x( ) liên tục trên khoảng ,

biết đồ thị của hàm số yf x( ) trên như hình

vẽ Tìm số cực trị của hàm số ( )g x f x( 1) trên

?

A 0 B 1 C 2 D 3

Lời giải

y

O

y

O

-2

Ta thấy đồ thị hàm số yf x( ) cắt trục hoành tại 1 điểm

Ta có ( )g x f x( 1)

Do đó đồ thị hàm số ( )g x f x( 1)có được bằng cách thực hiện phép tịnh tiến đồ thị hàm số y f x( )theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị

Khi đó đồ thị hàm số ( )g x f x( 1) vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm Nên hàm

số ( )g x f x( 1) có 1 cực trị

Ta chọn đáp án B

Ví dụ 3 (Đề KSCL năm học 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Thái Bình)

Hàm số y f x( ) liên tục trên khoảng , biết đồ

thị của hàm số yf x( ) trên như hình vẽ Hàm

số ( ) 2017 2018

2017

x

y f x   có số điểm cực trị là

A 4 B 3 C 2 D 1

Lời giải

x

y f x   f x 

y  f x    f x 

Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng 2018

2017

y  (d)

cắt đồ thị hàm số y f x( ) tại 4 điểm phân biệt,

do đó phương trình y có 4 nghiệm phân biệt 0

Vậy hàm số ( ) 2017 2018

2017

x

yf x   có 4 điểm cực trị

Do đó ta chọn đáp án A

Bài tập luyện tập.

y

O

5

2

1

y

O

5

2

1

d