Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm

Lí do chọn đề tài.Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, việcrèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh có vai trò quan trọng.. Việc giải toán làhình thức chủ yếu c

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài.

Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, việcrèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh có vai trò quan trọng Việc giải toán làhình thức chủ yếu của hoạt động toán học giúp học sinh phát triển tư duy, tínhsáng tạo, hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống mới, cókhả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ và biết lựachọn phương pháp tối ưu

Trong quá trình giảng dạy môn toán, nhất là ở dạng bài toán liên quan tới

đồ thị hàm đạo hàm, tôi thấy nhiều em học sinh không làm được bài tập hoặc chỉlàm được các bài có tính chất áp dụng công thức đơn giản Trong khi đó bài toánliên quan tới đồ thị hàm đạo hàm là một phần kiến thức quan trọng luôn có mặttrong các đề thi Trung học phổ thông quốc gia (THPT QG) những năm gần đây

Hơn nữa, việc thay đổi hình thức thi THPT QG đối với môn toán từ hìnhthức thi tự luận sang thi trắc nghiệm của Bộ GD&ĐT đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ

và khó khăn đối với việc dạy của giáo viên cũng như việc học của học sinh.Hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi cần có những cách tiếp cận mới so với hìnhthức thi tự luận Việc đọc đồ thị hàm số yf x( ) thường đơn giản nhưng việcđọc và giải quyết các vấn đề liên quan tới đồ thì hàm số yf x'  thì phức tạphơn nhiều Do đó cần phải có hướng ôn tập tốt cho học sinh về vấn đề này

Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinhtháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thờinâng cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài: Rèn luyện kĩ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm.

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu mà tôi hướng đến trong đề tài này là: Học sinh lớp

12, trong đó trực tiếp là hai lớp tôi đang giảng dạy : 12A3 và 12A4

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế: Tôi đã tiến hành lập phiếu thông tinkhảo sát tình hình học sinh về việc giải quyết bài toán tính đơn điệu và cực trịcủa hàm số yf x( ) có liên quan đế đồ thị hàm số yf x'( ) ở hai lớp tôi đangtrực tiếp giảng dạy là 12A3 và 12A4

- Phương pháp thu thập thông tin: Tôi đã tiến hành thu thập các thông tin liênquan đến đề tài thông qua các bài viết trên mạng Internet, SGK Giải tích 12 Sau

đó chọn lọc thông tin phù hợp với đề tài của mình Đồng thời thu thập thông tin

PHẦN 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận.

2.1.1 Sự tương giao của đồ thị hàm số yf x( ) với trục hoành.

Giao điểm của đồ thị hàm số yf x( ) với trục hoành (y 0) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f x ( ) 0.

Ví dụ minh họa: Hàm số yf x( ) có đồ thị hình bên

Suy ra phương trình f x ( ) 0 có bốn nghiệm (Có tập

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị ( )C và số thực dương a Khi đó :

+ Đồ thị hàm số yf x( ) a  là tịnh tiến của đồ thị ( )C theo trục Oy lên trên a

- Phần 1: Phần không nằm bên dưới trục Ox của ( )C

- Phần 2: Phần đối xứng với phần bên dưới trục Ox của ( )C qua Ox.+ Đồ thị hàm số yf x( ) gồm hai phần:

- Phần 1: Phần không nằm bên trái trục Oy của ( )C

- Phần 2: Phần đối xứng của phần 1 qua trục Oy

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Môn toán là một bộ môn chính trong nhà trường phổ thông, có ý nghĩa rấtquan trọng, bởi lẽ học sinh không chỉ được trang bị vốn kiến thức về toán học

mà qua đó còn góp phần rèn luyện sự cẩn thận, chính xác Việc dạy toán trongnhà trường phổ thông đang đặt ra một thách thức lớn với giáo viên hiện nay Bởi

có một thực tế đáng báo động là tình trạng học sinh ngại học toán, thờ ơ với vớiviệc giải quyết các bài toán trắc nghiệm có hình thức giải quyết mới Và cũngkhông thể phủ nhận một nguyên nhân nữa là một số giáo viên chưa thực sự tạo

ra những đột phá trong việc đổi mới phương pháp dạy học nên hiệu quả thực sựchưa cao Vậy dạy thế nào cho hay, đạt hiệu quả cao, tạo hứng thú say mê chohọc sinh quả thực là một vấn đề cần phải giải quyết

Trước yêu cầu đó, đòi hỏi người giáo viên dạy toán vừa phải nỗ lực đểnâng cao trình độ chuyên môn vừa phải nỗ lực trau dồi, củng cố thường xuyên

về kiến thức khoa học khác cũng như các phương pháp, hình thức dạy học hiệnđại vào quá trình dạy học Để từ đó biết cách khơi gợi, lôi cuốn học sinh hăngsay học tập, thích phát biểu ý kiến xây dựng bài

Qua thực tế giảng dạy của bản thân tôi tại các lớp: 12A3 và 12A4 lànhững lớp cơ bản năng lực tư duy toán của các em còn rất nhiều hạn chế dẫnđến việc các em khó khăn trong việc giải quyết các bài toán có tính mới lạ, đặcbiệt giải các bài toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm Kết quả khảo sát cụ thể nhưsau:

Từ kết quả trên ta thấy, tình trạng học sinh không tự giải quyết được vấn

đề chiếm tỷ lệ rất cao Nguyên nhân của thực trạng trên là:

Về phía học sinh: Do tâm lí của đa số các em là ngại học toán, năng lựctính toán còn nhiều hạn chế, thậm chí nhiều em đã mất gốc kiến thức cơ bản ởmột số mảng Một phần là do việc giải quyết các bài toán liên quan tới hàm đạohàm là khó và có rất ít tài liệu viết về vấn đề này một cách chi tiết

Về phía nguyên nhân khách quan: do cơ sở vật chất, tài liệu minh họa, đồdùng dạy học để phục vụ cho môn học chưa thực sự phong phú, đa dạng, sinhđộng Mặt khác, do kiến thức trong một số tiêt học quá nhiều dẫn đến các emmệt mỏi, giảm hứng thú

Về phía giáo viên: bản thân nhận thấy việc đầu tư và thay đổi, vận dụnglinh hoạt các phương pháp dạy học mới không phải giờ nào cũng áp dụng đượcmột cách thường xuyên, liên tục

Xuất phát từ thực trạng trên, tôi lựa chọn đề tài này vừa giúp các emkhông chỉ nắm vững được nội dung kiến thúc của bài học mà còn có kĩ năng giải

2.3.1.Dạng 1 : Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1: Cho hàm số f x  xác định trên  và có đồ

thị hàm số f x'  là đường cong trong hình bên Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 1;1 

B Hàm số f x  đồng biến trên khoảng 1; 2 

C Hàm số f x  đồng biến trên khoảng  2;1 

D Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0; 2 

Cách thực hiện :

 Chỉ ra các khoảng mà hàm sô yf x'( ) nhận giá trị dương (âm) ?

 Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số yf x'( ) và yêu cầu của bài toán đề ra ?

 Chỉ ra các khoảng mà hàm sô yf x'( ) nhận giá trị dương (âm) ?

 Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số yf x'( ) và yêu cầu của bài toán đề ra ?

 Hướng dẫn giải:

Chọn C

Cách 1:

Tính chất: f x( ) và f(  x) có đồ thị đối xứng với nhau qua Oy nên f x( )

nghịch biến trên ( ; )a b thì f(  x) sẽ đồng biến trên ( ; b a ).

Ta thấy f x '( ) 0 với 1 4

1

x x



  

 nên f x( ) nghịch biến trên 1;4 và

   ; 1 Suy ra g x( ) f(  x) đồng biến trên( 4; 1)   và 1;

Khi đó f(2  x) đồng biến biến trên khoảng ( 2;1)  và 3;

 Chỉ ra các khoảng mà hàm sô yf x'( ) nhận giá trị dương (âm) ?

 Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số yf x'( ) và yêu cầu của bài toán đề ra ?

B2 : xét dấu x (trong trái ngoài cùng).

B3 : lập bảng xét dấu rồi nhân dấu của f u  và x ta được như bảng trên

Ví vụ 4: Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục

trên  Đồ thị hàm số yf x  như hình bên dưới

Hàm số g x   2f x  x2 đồng biến trên khoảng

nào trong các khoảng sau đây ?

A    ; 2  B  2;2 

C 2;4  D 2; .

Cách thực hiện :

 Chỉ ra các khoảng mà hàm sô yf x'( ) nhận giá trị dương (âm) ?

 Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số yf x'( ) và yêu cầu của bài toán đề ra ?

 Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có g x   2f x  2x g x    0 f x x.

Số nghiệm của phương trình g x   0 chính là số giao điểm

của đồ thị hàm số yf x  và đường thẳng d y: x (như

có đồ thị hàm số yf x'  là đường cong trong

hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số yf x  đạt cực đại tại x 2

B Hàm số yf x  đạt cực tiểu tại x 0

C Hàm số yf x  có 3 cực trị

D Hàm số yf x  đạt cực đại tại x  2.

Cách thực hiện :

 Chỉ ra các điểm x0mà hàm số yf x'( ) đổi dấu khi x đi qua x0

 Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số yf x'( ) và yêu cầu của bài toán đề ra ?

 Hướng dẫn giải:

Chọn A

Giá trị của hàm số yf x'  đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 2

Ví dụ 6: Cho hàm số yf x  Biết f x  có đạo

hàm f x'  và hàm số yf x'  có đồ thị như hình

vẽ Hàm số g x  f x  1 đạt cực đại tại điểm

nào dưới đây ?

A x 2. B x 4. C x 3. D x 1.

Cách thực hiện :

 Chỉ ra các điểm x0mà hàm số yf x'( ) đổi dấu khi x đi qua x0

 Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số yf x'( ) và yêu cầu của bài toán đề ra ?

Ví dụ 7: Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên 

Đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ bên dưới

Hàm số g x   2f x x2 đạt cực tiểu tại điểm

A x 1. B x 0.

C x 1. D x 2.

Cách thực hiện :

 Chỉ ra các điểm x0mà hàm số yf x'( ) đổi dấu khi x đi qua x0

 Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số yf x'( ) và yêu cầu của bài toán đề ra ?

1 2

x x

g x

x x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x  đạt cực tiểu tại x 0.

Chú ý: Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng    ; 1 tathấy đồ thị hàm f x  nằm phía trên đường yx nên g x  mang dấu 

Ví dụ 8: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x'( )

trên  và đồ thị của hàm số f x'( )như hình vẽ Xét

hàm số g x  f x( 2  2x 1) Mệnh đề nào sau đây

đúng?

A Hàm số có sáu cực trị

B Hàm số có năm cực trị

C Hàm số có bốn cực trị

D Hàm số có ba cực trị.

Cách thực hiện :

 Chỉ ra các điểm x0mà hàm số yf x'( ) đổi dấu khi x đi qua x0

 Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số yf x'( ) và yêu cầu của bài toán đề ra ?

x x

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có đúng ba cực trị

Ví dụ 9: Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục

 Chỉ ra các điểm x0mà hàm số yf x'( ) đổi dấu khi x đi qua x0

 Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số yf x'( ) và yêu cầu của bài toán đề ra ?

1 nghiem kep 0

2 0

0

f x

x x

x      f    1

 Theo giả thiết f  0  0.  2

Từ  1 và  2 , suy ra g 0  0 trên khoảng  1; b

Nhận thấy x 2; x a x b ;  là các nghiệm đơn nên g x  đổi dấu khi qua cácnghiệm này Nghiệm x 1 là nghiệm kép nên g x  không đổi dấu khi quanghiệm này, trong bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x 1 vẫn không ảnh hưởngđến quá trình xét dấu của g x .

Cách 1 Dựa vào đồ thị, suy ra   0 2 2.

Theo đồ thị yf x  ta có:

5 2

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C

Chú ý: Dấu của g x  được xác định như sau: Ví dụ ta chọn 0 1;1 ,

A 5 B 3 C 4 D 2.

Lời giải Chọn B

0 0

x

f x y

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B

Chú ý: Dấu của g x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;

thị như hình bên Hàm số yf x x(  2 ) nghịch biến

trên khoảng nào ?

Cách 2 Ta có

 

  theo do thi ' 2 2

2

1 2

Bài 4: Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục

trên  Đồ thị hàm số yf x  như hình bên dưới

Đặt g x  f x  x, khẳng định nào sau đây là

đúng ?

A g 2  g 1 g 1 B g 1 g 1  g 2

C g 1 g 1 g 2 D g 1 g 1 g 2

Lời giải Chọn C Ta có g x  f x   1  g x   0 f x  1.

Số nghiệm của phương trình g x  0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

 

yf x và đường thẳng d y : 1 (như hình vẽ bên dưới)

Dựa vào đồ thị, suy ra  

Dựa vào bảng biến thiên    g 2 g 1  g 1 Chọn C

Chú ý: Dấu của g x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2; , tathấy đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng y 1 nên g x  f x  1 mangdấu 

Bài 5: Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục

trên  Đồ thị hàm số yf x  như hình bên Hỏi

Bài 6: Cho hai hàm số yf x y g x ,   

Vậy hàm số yf x  có 2 điểm cực trị Chọn A

Cách trắc nghiệm Ta thấy đồ thị của f x'  có 4 điểm chung với trục hoànhnhưng cắt và băng qua luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị

 Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại

 Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu

Bài 8: Cho hàm số f x  xác định trên  và có đồ

thị hàm số f x'  theo phương Oy lên trên 4 đơn vị

Khi đó đồ thị hàm số g x'  cắt trục hoành tại 1 điểm, ta

chọn đáp án A

Cách 2: Số cực trị của hàm g x  bằng số nghiệm bội lẻ

của phương trình g x'  f x'    4 0 f x'   4

Dựa vào đồ thị của hàm f x'  ta thấy phương trình trên có một nghiệm đơn

Bài 9: Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  như

hình vẽ Số điểm cực tiểu của hàm số

3

f x  x có ba nghiệm đơn

x  x x

Ta lập được bảng xét dấu của g' như sau

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy dấu của g thay đổi từ   sang   hai lần.Vậy có hai điểm cực tiểu

Bài 10: Cho hàm số yf x  và đồ thị hình bên là

đồ thị của đạo hàm f x'  Tìm số điểm cực trị của

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B

Chú ý: Dấu của g x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;

thấy f x  tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1) nên quanghiệm không đổi dấu.

2.4 Hiệu quả thực nghiệm.

* Đối với học sinh: Đa số học sinh nắm được kĩ năng giải bài toán liên quan đến

đồ thị hàm đạo hàm, không còn lúng túng khi xử lí dạng bài toán này

* Đối với hoạt động dạy và học:

- Việc củng cố kiến thức của bài học có hiệu quả cao hơn, khắc sâu được kiếnthức và kĩ năng giải quyết bài toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm cho họcsinh

- Học sinh chủ động tham gia xây dựng bài

*Đối với bản thân giáo viên : có thêm kinh nghiệm giảng dạy, tăng thêm độnglực để tạo hứng thú học tập cho học sinh

Kết qủa cụ thể qua các lớp tôi trực tiếp giảng dạy như sau:

Lớp

Khi chưa áp dụng Sau khi áp dụng

Số HS biếtcách làm

Số HS khôngbiết cách làm

Số HS biếtcách làm

Số HS cònlúng túngkhi làm bài

Việc đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn toán nhằm phát huy tínhtích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh là một yêu cầu cần thiết và có vai tròquan trọng trong quá trình giảng dạy của mỗi giáo viên Đối với dạng bài toánliên quan đến đồ thị hàm đạo hàm thì việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho họcsinh là một trong những mảng kiến thức quan trọng cần được các giáo viên dạychú ý để định hướng cho các em ôn tập đạt hiệu quả cao Với những kinhnghiệm và giải pháp của bản thân khi giảng dạy dạng bài toán này, tôi hi vọng

nó sẽ là một nguồn tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp để từ đó góp phầnnâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán

3.2 Kiến nghị.

Nhìn chung, việc thực hiện đổi mới phương pháp giáo dục không phải làmột việc làm của riêng ai Bản thân mỗi giáo viên đứng lớp phải luôn trăn trở,lựa chọn phương pháp dạy học sao cho phù hợp nhất để có thể truyền đạt đượckiến thức một cách hiệu quả và gây gứng thú học tập cho học sinh Để làmđược điều đó, theo tôi bản thân giáo viên cần phải thường xuyên học hỏi, traudồi chuyên môn nghiệp vụ

Đối với tổ chuyên môn, cần tổ chức các buổi thảo luận chuyên đề vềnhững vấn đề mới và khó xuất hiện trong đề thi trắc nghiệm Đối với nhà trườngcần trang bị thêm cơ sở vật chất: Máy chiếu, phần mềm vẽ hình, trọn đề Tất

cả những điều kiện trên sẽ là một nguồn động viên, kích thích sự say mê, sángtạo trong hoạt động dạy và học nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy của mỗigiáo viên.

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2019

Tôi xin cam kết : Đây là SKKN của bản thân tôi, không copy

(Tác giả ký và ghi rõ họ tên)

Hoàng Minh Thành

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục (2008)

2 Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục (2000)

3 Trần Thành Minh, Giải toán khảo sát hàm số 12, NXB Giáo dục (2003)

4 Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp, NXB Đại học Quốcgia Hà Nội (2003)

5 Các bài viết trên các trang mạng Internet như: Toanmath.com, mathvn.com,diendantoanhoc.net, toanhocbactrungnam.vn