Bản thân là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn này và đang thực hiện công việc ôn thi THPT Quốc Gia cho học sinh cuối cấp, tôi đã phải suy nghĩ và trăn trở rất nhiều, mình phải giảng
Trang 1MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU 1
1.1 Lí do chọn đề tài 1
1.2 Mục đích nghiên cứu 2
1.3 Đối tượng nghiên cứu 2
1.4 Phương pháp nghiên cứu 2
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2
2 1 Cơ sở lí luận của sáng kiến 2
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 4
2 3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề 5
2.3 1 Hệ thống kiến thức liên quan 5
2.3.2 Các bài tập vận dụng 5
2.3.3 Hệ thống bài t ập tự luyện ……… .12
2.4 Hiệu quả của sáng kiến 13
3 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 15
3.1 Kết quả 16
3.2 Kiến nghị 16
Trang 21.Mở đầu:
1.1 Lí do chọn đề tài:
Kể từ kỳ thi THPT Quốc Gia năm học 2016- 2017, Bộ giáo dục và đào tạo đã
quyết định thay đổi hình thức thi đối với môn toán, chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức trắc nghiệm Đây là cả một sự thay đổi lớn đối với môn học này Nó đã làm cho cả giáo viên và học sinh phải thay đổi cách dạy, cách học, cách tư duy để có thể đáp ứng được sự thay đổi nói trên Bản thân là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn này và đang thực hiện công việc ôn thi THPT Quốc Gia cho học sinh cuối cấp, tôi đã phải suy nghĩ và trăn trở rất nhiều, mình phải giảng dạy và hướng dẫn làm sao để học sinh hiểu, biết cách vận dụng, để học sinh có thể giải quyết bài toán trắc nghiệm một cách nhanh nhất, hiệu quả nhất
có thể
Trước tình hình đó cùng với việc nghiên cứu các đề thi THPT Quốc Gia năm học 2016-2017 và đề thử nghiệm của Bộ giáo dục và đào tạo vừa qua, kết hợp với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi nhận thấy các bài toán giải phương trình mũ có chứa tham số xuất hiện tương đối nhiều và nằm ở vị trí từ câu 40 trở
đi, trong khi những năm trước đây khi còn thi theo hình thức tự luận thì bài toán này gần như không thấy xuất hiện nên đã gây cho giáo viên và học sinh nhiều vướng mắc Chính vì vậy, với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em một
số kiến thức, giúp các em vượt qua vướng mắc đó và hướng dẫn để các em có thể giải được những bài toán liên quan đến giải phương trình mũ có chứa tham
số nhằm mục đích nâng cao số điểm thi cho các em trong kỳ thi THPT Quốc Gia
sắp tới Từ đó tôi nghiên cứu và viết đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh
giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm’’
Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi chỉ đề cập đến hai dạng toán:
Dạng 1: Tìm m để phương trình mũ có nghiệm.
Trang 3Dạng 2: Tìm m để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Hi vọng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh.
1.2 Mục đích nghiên cứu:
- Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận và làm quen với cách học, cách làm nhanh bài toán trắc nghiệm, từ đó có thể phát huy tối đa hiệu quả làm bài, nhằm đạt được kết quả cao nhất
-Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi muốn định hướng để học sinh có thể giải nhanh và chính xác đối với bài toán về phương trình mũ có chứa tham số
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
- Kiến thức về hàm số mũ
- Kiến thức về một số phương pháp giải phương trình mũ
- Kiến thức về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số
- Kiến thức liên quan đến phương trình bậc hai
- Học sinh lớp 12D, 12G năm học 2017 – 2018 trường THPT Nga Sơn
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp
- Sử dụng phương pháp thực nghiệm
- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quan đến đề tài
2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
a) Hàm số mũ :y a a x( 0,a 1)
+) Tập xác định: D R
+) Tập giá trị: T 0;
+) Khi a 1 hàm số đồng biến, khi 0 a 1 hàm số nghịch biến
b) Một số phương pháp giải phương trình mũ:
Trang 4+) Đưa về cùng cơ số: Với a 0,a 1: a f x a g x f x g x
+) Logarit hóa:
(log ).
f x g x
a
+) Đặt ẩn phụ:
Dạng 1:
, 0 ( ) 0
0
f x
P a
P t
Dạng 2: a2f x abf x b2f x 0
Chia cả hai vế cho: 2 f x
b , rồi đặt
f x
a t b
Dạng 3: f x g x
a b m, với a b 1 Đặt
0 1
t
+) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
Xét phương trình: f x g x (1)
Đoán nhận x0 là nghiệm của phương trình (1)
Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f x g x , để kết luận x0 là nghiệm duy nhất
+) Đưa về các phương trình đặc biệt:
0
A
A B
B
0
0
A
B
+) Phương pháp đối lập:
Xét phương trình: f x g x (1)
Nếu ta chứng minh được:
c) Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số:
+) Xét phương trình: f x g x (1)
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của C1 :yf x và
C2:y g x
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của C1 :yf x và
C2:y g x
d) Kiến thức liên quan đến phương trình bậc 2: a x 2 b x c 0 (1)
Trang 5+) Định lí Viet: Nếu phương trình (1) có hai nghiệm x x1 , 2 thì ta có: 1 2
1 2
b
a c
x x
a
+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 0
0
a
+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: a c 0
+) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:
0 0 0 0
a
S P
+) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:
0 0 0 0
a
S P
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách giải một số phương trình mũ có chứa
tham số theo hướng trắc nghiệm là rất cần thiết vì các lí do sau: Thứ nhất, môn
toán đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm, từ đó đòi hỏi học sinh phải giải một bài toán một cách nhanh nhất có thể, để tiết kiệm thời gian Thứ hai, trong các đề thi tự luận ngày trước bài toán về phương trình
mũ gấn như không xuất hiện, nếu có chỉ xuất hiện thoáng qua trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, nhưng nay thì khác một số phương trình mũ chứa tham số xuất hiện khá nhiều trong các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường và trong các
đề thử nghiệm của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, nó nằm ở ví trí từ câu 40 trở đi, điều đó cho thấy bài toán này đã được khai thác sâu hơn và phức tạp hơn
Trong bài viết này, tôi đưa ra hai dạng toán mà trong quá trình giảng dạy
thường gặp và một số bài tập tự luyện Mong rằng bài viết này sẽ giúp ích cho một số em học sinh hay chí ít cũng cung cấp cho các em có một tài liệu hữu ích trong quá trình ôn luyện, đồng thời cùng trao đổi, học hỏi với các đồng nghiệp
Trang 6Chúc các em học sinh đạt kết quả cao trong kì thi cho kì thi THPT Quốc Gia sắp tới
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan
2.3.2 Một số bài tập vận dụng
Dạng 1: Tìm m để phương trình mũ có nghiệm:
Phương pháp: - Biến đổi đưa phương trình F x m ; 0về dạng f x m 1
( hoặc dạng f t m với t g x trong trường hợp này ta phải tìm điều kiện cho
ẩn số phụ)
- Số nghiệm của phương trình 1 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số yf x với đường thẳng y m ( hoặc là số giao điểm của đồ thị hàm số yf t với đường thẳng y m )
- Khảo sát hàm số yf x ( hoặc hàm số yf t trên miền đã tìm ở điều kiện cho ẩn phụ)
- Từ kết quả khảo sát đưa ra kết luận
Dưới đây là một số ví dụ ứng với các phương pháp giải của phương trình
mũ đã trình bày ở trên:
Thí dụ 1 : Số nguyên dương lớn nhất để phương trình:
9 x m 2 3 x 2m 1 0
A 9 B 10 C 11 D 12
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , trường Chuyên Đại học Huế) Hướng dẫn: Điều kiện: 1 x 1
Đặt : t 3 1 1 x2
, với 1 x 1 t 3;9
Phương trình trở thành: t2 m 2t 2m 1 0, với t 3;9
2 2 1
2
m t
Xét hàm số:
2
f t
t
, với t 3;9
Trang 7Ta có:
2 /
2
4 3
0 2
f t
t
, với t 3;9, do đó hàm số đồng biến trên đoạn 3;9 ,
7
m
Kết luận: Đáp án A
Phân tích: Học sinh có thể dễ dạng nhận ra cách để giải bài này là dùng
phương pháp đặt ẩn phụ, tuy nhiên sai lầm mà học sinh hay mắc phải ở đây là
nên đối với ví dụ này, để tránh mắc phải sai lầm thì đầu tiên phải hướng dẫn học
suy ra t 3;9
Thí dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
2 4 3
1
1 5
x x
4 nghiệm phân biệt:
A m 1 B 1 m 1 C m 1 D 1;0 0;1
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , trường Đại học Sư Phạm Hà Nội)
2 4 3
1 5
1
5
x x
Ta có bảng biến thiên của hàm số: yx2 4x 3
x 1 2 3
y’ - 0 + 0 - 0 +
y 1
0 0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
5
0
m
Kết luận: Đáp án D
Nhận xét: Đối với ví dụ này học sinh phải nhận dạng và đưa ra cách giải là sử
dụng phương pháp logarit hóa Như vậy học sinh muốn làm được bài toán
phương trình mũ có chứa tham số thì trước hết phải nắm vững các phương pháp giải phương trình mũ để có thể đưa ra hướng giải quyết nhanh nhất.
Trang 8Thí dụ 3:Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
m
có nghiệm:
A m 0 B 0 m 16 C m 16 D m 16
(Trích bộ đề thi THPT Quốc gia năm 2017 )
Hướng dẫn:
2
x
t
, t 0, ta có phương trình: t m 8 m 8t t2
t
(1) Suy ra: phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có
nghiệm t 0
Xét hàm số: f t 8t t2 với t 0, ta có: f t/ 8 2t
Bảng biến thiên của hàm số :
t 0 4
/
f t + 0
-
f t 16
0 - Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: m 16
Kết luận: Đáp án D
Thí dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
2 2 2 2 2 4 2 2
5x mx 5 x mx m x 2mx m có 2 nghiệm phân biệt:
0
m
m
B 0 m 1 C m 0 D 0 m 1
(Trích bộ đề thi THPT Quốc gia năm 2017 )
Hướng dẫn: Đặt: u x 2 2mx u, 2x2 4mx m 2 v u x 2 2mx m
Phương trình đã cho trở thành: 5u 5v v u 5u u 5vv
Vì hàm số: f t 5t t là hàm số đồng biến, suy ra u v x2 2mx m 0 2
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt
0
1
m
m
Kết luận: Đáp án A
Nhận xét: Đối với ví dụ này học sinh phải phát hiện ra được mối quan hệ giữa
hai số mũ và biểu thức bên vế phải, từ đó đưa ra hướng làm đồng thời biết sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đưa phương trình về dạng phương trình bậc 2 đơn giản.
Trang 9Thí dụ 5:Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: 2x x 1 x2 x2 m
có đúng một nghiệm:
A 1;3 0 B 0 C 1;3 D 1;3 0
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , trường Phan Đình Phùng, Đắc Lắc)
Hướng dẫn: Giả sử x0 là nghiệm của phương trình thì x0 cũng là nghiệm của phương trình Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì nghiệm đó chỉ có thể
là x 0 Thay x 0 vào phương trình ta được m 0
Với m 0, Ta có phương trình: 2x x 1 x2 x2
Do x 1 nên
2
2
x
x
x
Suy ra: phương trình có nghiệm duy nhất: x 0
Vậy : m 0
Kết luận: Đáp án A
Thí dụ 6: Phương trình 2x 2 3m 3x x3 6x2 9x m.2x 2 2x 1 1
phân biệt khi và chỉ khi ma b; , đặt T b 2 a2 thì:
A T 36 B T 48 C T 64 D T 72
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , trường Trần Nhân Tông, Quảng Ninh)
Hướng dẫn: Ta có:
3
3
3
3
3 3
Đặt: u x 2,v 3 m 3x
Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
2u v 1 u3 v32u 0
2 2
2u v 1 u v u uv v 2u 0
Nhận thấy:+) u v 0 là nghiệm của phương trình
+) u v 0 thì VT > 0 Suy ra phương trình vô nghiệm
+) u v 0 thì VT < 0 Suy ra phương trình vô nghiệm
Suy ra: x 2 3 m 3x mx3 6x2 9x 8
Đặt: f x x3 6x2 9x 8
Ta có: f/ x 3x2 12x 9
Trang 10/ 1
0
3
x
f x
x
Ta có bảng biến thiên sau:
x 1 3
/
f x - 0 + 0 -
f x 8
4 -
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 4 m 8 Suy ra T 84 16 48
Kết luận: Đáp án B
Nhận xét: Thí dụ 5, thí dụ 6 học sinh muốn làm được thì đòi hỏi học sinh phải
có khả năng tư duy linh hoạt hơn, bởi vì các phương trình này không nằm trong các dạng cơ bản Học sinh phải phát hiện được sự đặc biệt của các phương trình từ đó đưa ra được cách đánh giá chính xác.
Dạng 2: : Tìm m để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
Trường hợp 1: - Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc 2:
2
a t b t c
( lưu ý ta phải tìm điều kiện cho ẩn phụ)
- Tùy yêu cầu của đề bài mà sử dụng khéo léo định lý Viet:
1 2
b
t t
a
c
t t
a
và các điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm cho phù hợp
Trường hợp 2: - Phương trình không đưa được về dạng phương trình bậc 2, thì
tìm cách biến đổi đưa phương trình F x m ; 0 về dạng f x m 1 ( hoặc dạng
f t m với t g x trong trường hợp này ta phải tìm điều kiện cho ẩn số phụ)
Trang 11- Số nghiệm của phương trình 1 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số yf x với đường thẳng y m ( hoặc là số giao điểm của đồ thị hàm
số yf t với đường thẳng y m )
- Khảo sát hàm số yf x ( hoặc hàm số yf t trên miền đã tìm ở điều kiện cho ẩn phụ)
- Từ kết quả khảo sát đưa ra kết luận
Thí dụ 1: Giá trị của m để phương trình: m 3 16 x2m 1 4 xm 1 0 có hai nghiệm trái dấu là:
A
1
3
4
m
m
B m 1 C 3
4
m D 1 3
4
m
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , Thành phố Đà Nẵng)
Hướng dẫn: Đặt : t 4x, t 0, ta có phương trình: m 3t22m 1 t m 1 0
(1)
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu thì phương trình (1) có 2 nghiệm dương t t1 , 2 thỏa mãn: 1 2 1 2
0
1 0
S
P
P S
Kết luận: Đáp án D
Thí dụ 2 : Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
4 2 1 x 2 1 x m 1 0 có đúng 2 nghiệm âm phân biệt:
A 5 m 7 B 4 m 5 C 5 m 6 D 7 m 8
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018, Sở GD và ĐT Hà Tĩnh)
Hướng dẫn: Đặt : t 2 1 x, t 0, ta có phương trình:
2
1
4t m 1 0 4t 1 m t 1 0
t
(1)
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm âm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm dương t t1 , 2thỏa mãn: 1 2 1 2
0 0
0
1 0
S
P
P S
Kết luận: Đáp án C
Trang 12Nhận xét: Đối với những bài toán yêu cầu tìm m để phương trình có nghiệm
thỏa mãn điều kiện cho trước là so sánh nghiệm đó với số 0 như ở 2 ví dụ trên thì ta thường làm theo cách biến đổi phương trình ban đầu về phương trình bậc
2 đối với ẩn phụ t( có điều kiện của ẩn phụ kèm theo) Sau đó sử dụng linh hoạt các kiến thức liên quan đến phương trình bậc 2 như đã trình bày ở trên để giải
tải
mãn điều kiện cho trước là so sánh nghiệm với một số khác 0 hay với một
khoảng, một đoạn nào đó thì ta cùng xét thí dụ sau:
Thí dụ 3:Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
4x 4 x m 1 2 x 2 x 4m
A 1 m 2 B 1 m 2 C 1 m 2 D 1 m 2
(Trích bộ đề thi THPT Quốc gia năm 2018 )
Hướng dẫn: Đặt: t 2x 2 x
Vì x 0;1 suy ra: 0;3
2
t
Khi đó phương trình đã cho được đưa về phương trình sau:
2
2 (m 1) t m m
1
t t t
t
Xét hàm số:
1
t t
f t
t
2
t
Ta có:
2 /
2
2 3 1
f t
t
2
t
0
3
t
f t
t
suy ra: 1 m 2
Kết luận: Đáp án A
Nhận xét: Như vậy trong trường hợp này thì ta sẽ tìm cách đặt ẩn phụ đồng thời
Thí dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: 2 3 x2 5 2x m 2
có 2 nghiệm phân biệt x x1 , 2thỏa mãn: x1 x2 2 2
A m log 2 5 B m log 5 2 C m 2 D m 2
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018, trường Chuyên Hưng Yên) Hướng dẫn: Logarit hóa theo cơ số 2 cả hai vế ta được phương trình:
2 2 log 5 2 log 5 0