Ứng dụng định thức và ma trận vào việc giải quyết lớp các bài toán chứng minh đẳng thích và bất đẳng thức

đại học tháI nguyênTr-ờng đại học khoa học ---PHạM QUANG NGọC ứNG DụNG ĐịNH THứC Và MA TRậN VàO VIệC GIảI QUYếT LớP CáC BàI TOáN CHứNG MINH ĐẳNG THứC Và BấT ĐẳNG THứC Luận văn thạc sĩ t

đại học tháI nguyên

Tr-ờng đại học khoa học

-PHạM QUANG NGọC

ứNG DụNG ĐịNH THứC Và MA TRậN VàO VIệC GIảI QUYếT LớP CáC BàI TOáN CHứNG MINH ĐẳNG THứC Và

BấT ĐẳNG THứC

Luận văn thạc sĩ toán học

Thái Nguyên – 2012

Möc löc

1 Tâm t›t lþ thuy‚t ma tr“n ành thøc v mºt sŁ ki‚n thøc li¶n quan 5

1.1 Ma tr“n, t‰nh ch§t v c¡c ph†p to¡n 5

1.1.1 C¡c ành ngh¾a 5

1.1.2 T‰nh ch§t v c¡c ph†p to¡n 6

1.2 ành thøc cıa ma tr“n vuæng 7

1.2.1 C¡c ành ngh¾a v t‰nh ch§t 7

1.2.2 ành lþ 1(Laplace) 8

1.2.3 a thøc °c tr÷ng, gi¡ trà ri¶ng v v†c tì ri¶ng 9

1.3 Ma tr“n Łi xøng v d⁄ng to n ph÷ìng 9

1.3.1 Ma tr“n Łi xøng v c¡c t‰nh ch§t 9

1.3.2 D⁄ng to n ph÷ìng 12

2 Ùng döng lþ thuy‚t ành thøc v ma tr“n v o lîp c¡c b i to¡n chøng minh flng thøc v b§t flng thøc 15 2.1 Chøng minh flng thøc 15

2.1.1 flng thøc Bine - Cauchy d÷îi d⁄ng ành thøc 15

2.1.2 Chøng minh flng thøc b‹ng c¡ch t‰nh ành thøc 18

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

2.1.3 p döng flng thøc jA:Bj = jAj : jBj 21

2.1.4 p döng ph÷ìng tr…nh ma tr“n 26

2.1.5 p döng v o flng thøc t‰ch ph¥n suy rºng 27

2.2 Chøng minh b§t flng thøc 28

2.2.1 p döng ành lþ 6( ành lþ Bine-Cauchy) 28

2.2.2 p döng ành lþ Sylvestrer ( ành lþ 2) 29

2.2.3 p döng ành lþ 3 v ành lþ 4 31

2.2.4 p döng ành lþ Schur 32

2.2.5 p döng b§t flng thøc º lªm jAj 34

2.2.6 p döng b§t flng thøc Adamar 35

2.3 B i t“p • nghà v h÷îng d¤n gi£i 36

Mð ƒu

Lþ thuy‚t ⁄i sŁ tuy‚n t‰nh nâi chung v lþ thuy‚t ành thøc v ma tr“n nâi ri¶ng

l ki‚n thøc cì b£n cıa to¡n håc Nâ l cì sð ” nghi¶n cøu c¡c lþ thuy‚t kh¡c cıa to¡nhåc nh÷ h…nh håc cao c§p, gi£i t‰ch, to¡n kinh t‚ v.v Ngo i ra nâ cÆn câ øng döngtrong vi»c nghi¶n cøu mºt sŁ ngh nh khoa håc nh÷ v“t lþ, cì lþ thuy‚t, hâa håc v mºt sŁngh nh kÿ thu“t kh¡c

Hi»n nay c¡c b i to¡n v• flng thøc v b§t flng thøc ta th÷íng g°p trong r§t nhi•u c¡c gi¡o tr…nh, trong c¡c ký thi håc sinh giäi v câ r§t nhi•u ph÷ìng ph¡p gi£i hay v

ºc ¡o Trong ph⁄m vi • t i n y chóng tæi m⁄nh d⁄n tr…nh b y mºt ph÷ìng ph¡p ti‚p c“nkh¡c â l ph÷ìng ph¡p gi£i düa tr¶n lþ thuy‚t cıa ma tr“n v ành thøc

BŁ cöc cıa lu“n v«n nh÷ sau lu“n v«n ngo i c¡c phƒn mð ƒu, k‚t lu“n v t i li»utham kh£o lu“n v«n gçm câ hai ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Lþ thuy‚t ma tr“n, ành thøc v mºt sŁ ki‚n thøc câ li¶n quan.Ch÷ìng 2: Ùng döng lþ thuy‚t ma tr“n v ành thøc v o lîp c¡c b i to¡n chøngminh flng thøc v b§t flng thøc

Lu“n v«n÷æc ho n th nh t⁄i Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n ” ho n th

nh lu“n v«n n y, t¡c gi£ ¢ ÷æc nh“n sü h÷îng d¤n, gióp ï t“n t…nh

cıa PGS.TS Næng QuŁc Chinh

Nh¥n ¥y, t¡c gi£ xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c tîi thƒy, ng÷íi ¢ quan t¥m, h÷îngd¤n v âng gâp nhi•u þ ki‚n qóy b¡u trong suŁt qu¡ tr…nh ho n th nh lu“n v«n cıa t¡cgi£

T¡c gi£ xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c tîi t“p th” c¡c thƒy cæ gi¡o trong khoa To¡nHKH - H Th¡i Nguy¶n v… sü d⁄y dØ, gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr…nh håc t“p v ho n th

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn !

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 08 n«m 2012.

Håc vi¶nPh⁄m Quang Ngåc

C C C C

Ma tr“n vuæng A ÷æc gåi l ma tr“n Łi xøng n‚u aij = aji; 8i; j = 1; n:

Ma tr“n vuæng A gåi l ma tr“n ph£n Łi xøng n‚u aij = aji; 8i; j = 1; n:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

5

Ma tr“n vuæng A ÷æc gåi l ma tr“n ìn và n‚u måi phƒn tß n‹m tr¶n ÷íng ch†o

ch‰nh •u b‹ng 1, c¡c phƒn tß cÆn l⁄i b‹ng 0 v ta k‰ hi»u In:

TŒng cıa hai ma tr“n A = (aij)m n v B = (bij)m nl mºt ma tr“n C = (cij)m n vîi cij = aij +

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

6

Ph†p nh¥n ma tr“n nâi chung khæng câ t‰nh ch§t giao ho¡n Tøc l A:B 6= B:A:Tuy nhi¶n ph†p nh¥n ma tr“n câ t‰nh ch§t k‚t hæp:(A:B):C = A:(B:C):

Ma tr“n vuængA = (aij)n ÷æc gåi l ma tr“n kh£ nghàch n‚u tçn t⁄i ma tr“n vuæng

B = (bij)n sao cho A:B = B:A = In:

Ma tr“n vuæng A gåi l ma tr“n trüc giao n‚u A:At = In:

Nh“n x†t : Ta th§y t“p hæp c¡c ma tr“n vuæng c§p n còng vîi ph†p cºng v nh¥n matr“n l“p th nh mºt v nh khæng giao ho¡n vîi phƒn tß khæng l ma tr“n O v phƒn tß ìn

và l ma tr“n ìn và In: Hìn nœa n‚u th¶m v o ph†p nh¥n væ h÷îng, nâ t⁄o

th nh mºt ⁄i sŁ tr¶n tr÷íng K K‰ hi»u t“p c¡c ma tr“n vuæng c§p n l M at(n; K),

2S n

a) N‚u mºt cºt(mºt h ng) cıa ành thøc câ nh¥n tß chung th… ta ÷a ÷æc nh¥n tß chung ra ngo i

V‰ dö:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

b) Œi chØ hai cºt cıa ành thøc th… ành thøc khæng Œi d§u

c) ành thøc câ mºt cºt b‹ng 0, ành thøc câ hai cºt b‹ng nhau, ành thøc câ mºt cºt l

tŒ hæp tuy‚n t‰nh cıa c¡c cºt cÆn l⁄i th… b‹ng 0

d) N‚u cºng th¶m v o mºt cºt mºt tŒ hæp tuy‚n t‰nh cıa c¡c cºt cÆn l⁄i th… ành

thøc khæng thay Œi

e) det (In) = 1:

f) det (A:B) = det (A) : det (B) :

g) Ma tr“n A kh£ nghàch (khæng suy bi‚n ) khi v ch¿ khi det (A) 6= 0:

h) det (A) = det (At) :

1.2.2 ành lþ 1(Laplace)

Cho A = (aij)n vîi c¡c sŁ nguy¶n 1 6 q < n; 1 6 i1 < ::: < iq 6 n; 1 6 j1 < ::: <

jq 6 n: Gåi j1 :::jq(A) l ành thøc cıa ma tr“n c§p q t⁄o bði c¡c phƒn tß ð giao c¡c

i 1 :::i q (A)) Gi£ sß ¢ chån ra q dÆng ( t÷ìng øng,

n(1 6 q < n) Khi â, ành thøc ¢ cho b‹ng tŒng t§t c£ c¡c ành thøc con c§p q l§y

ra tł q dÆng ( t÷ìng øng, q cºt ) ¢ chån vîi phƒn bò ⁄i sŁ cıa chóng Nâi c¡ch kh¡c

(i) Cæng thøc khai tri”n ành thøc cıa ma tr“n A theo q dÆng i1; :::; iq :

(ii) Cæng thøc khai tri”n ành thøc cıa ma tr“n A theo q cºt j1; :::; jq :

thøc khai tri”n 1 ành thøc theo 1 dÆng ( ho°c 1 cºt ) n o â

1.2.3 a thøc °c tr÷ng, gi¡ trà ri¶ng v v†c tì ri¶ng

ành ngh¾a 2 a thøc P (A) = det (A In) ÷æc gåi l a thøc °c tr÷ng cıa ma tr“n A

Hi”n nhi¶n P (A) l a thøc bi‚n b“c n v ta câ:

P (A) = ( 1)n n + ( 1)n 1 b1 n 1 + ::: + bn 1 ( ) + bn:

trong â bk l tŒng cıa ành thøc con ch‰nh c§p k cıa ma tr“n A,8k = 1; n:

ành ngh¾a 3 Nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh P (A) = 0 ÷æc gåi l gi¡ trà ri¶ng cıa matr“n A

ành ngh¾a 4 V†c tì x = (x1; x2; :::; xn) 6= 0 thuºc Kn ÷æc gåi l v†c tì ri¶ng øng

9

Chøng minh Gi£ sß a + bi l mºt nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh jA Ij = 0 Khi â

jA (a + bi) Ij = 0 hay jA aI ibIj = 0:

T÷ìng tü nh÷ h» ph÷ìng tr…nh tuy‚n t‰nh thuƒn nh§t vîi h» sŁ thüc, h» thuƒn nh§t

câ ma tr“n h» sŁ A ai ibI câ mºt nghi»m khæng tƒm th÷íng

u + iv = (u1 + iv1; :::; un + ivn) 6= 0:

Bði v…

(A aI ibI) [u + iv] = 0n¶n t¡ch ri¶ng phƒn thüc phƒn £o ta ÷æc

(A aI) [u] + b [v] = 0; (A aI) [v] b [u] = 0

((A aI) u jv ) + b (v jv ) = 0;

((A aI) v ju) b (u ju) = 0:

V… A Łi xøng n¶n A aI công Łi xøng n¶n ta câ ((A aI) u jv ) = (u j(A aI) v ) = ((A aI)

v ju) : Trł v‚ vîi hai flng thøc tr¶n ta câ

flng thøc n y cho ta b = 0; v… juj2 + jvj2 6= 0:

V… jA Ij = 0 l mºt ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c n vîi h» sŁ thüc n¶n mºt ma tr“n Łi xøngc§p n câ óng n gi¡ trà ri¶ng k” c£ sŁ lƒn bºi Tł â suy ra i•u ph£i chøng minh T‰nhch§t 2 Måi ma tr“n Łi xøng A •u ch†o hâa ÷æc, tøc l tçn t⁄i ma tr“n trüc giao T saocho T AT = T 1AT l ma tr“n ch†o

Chøng minh Ta chøng minh b‹ng quy n⁄p theo c§p cıa A

Vîi n = 1 k‚t qu£ l hi”n nhi¶n

Gi£ sß måi ma tr“n Łi xøng c§p n 1; n > 2 ành lþ óng X†t ma tr“n A = (aij)n Łi xøngc§p n Theo t‰nh ch§t 1, A câ mºt gi¡ trà ri¶ng 1 Chån v†c tì ri¶ng e1 øng vîigi¡ trà ri¶ng 1 thäa m¢n je1j = 1 Khi â :

Ae1 = 1e1:

BŒ sung v o e1 c¡c v†c tì v2; :::; vn” ÷æc mºt cì sð cıa Rn, sau â trüc giao hâa v

trüc chu'n hâa, ta ÷æc mºt cð sð trüc chu'n E = fe1; e2; :::; eng cıa Rn: Gåi B l

ma tr“n cıa ph†p bi‚n Œi tuy‚n t‰nh A Łi vîi cì sð E Khi â

B=S AS:

Vîi S l ma tr“n câ c¡c v†c tì cºt l e1; e2; :::; en: Bði v… ma tr“n S trüc giao n¶n

Ngh¾a l B Łi xøng Do Ae1 = 1e1: n¶n cºt thø nh§t cıa B l 1; 0; :::; 0: V… B Łi xøng

n¶n dÆng thø nh§t cıa B công nh÷ v“y Tł â

@ 0 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

11

V… B = S AS n¶n

T1S AST1 = D :

°t T = ST1 V… S; T1 trüc giao n¶n T trüc giao v

TAT=D:

Suy ra i•u ph£i chøng minh

T‰nh ch§t 3 Cho A l ma tr“n Łi xøng c§p n Khi â trong Rn tçn t⁄i mºt cì sð trücchu'n gçm nhœng v†c tì ri¶ng cıa A

Chøng minh Theo t‰nh ch§t 2

AT =TDtrong â T l ma tr“n trüc giao; D l ma tr“n ch†o Gåi E = fe1; e2; :::; eng l c¡c v†c tì cºtcıa T: Khi â E trüc chu'n v Aei = iei: vîi i = 1; :::; n: V“y c¡c v†c tì thuºc E l c¡c v†c tìri¶ng cıa A M°t kh¡c v… ma tr“n A Łi xøng n¶n A ch†o hâa ÷æc, do â måi gi¡ tràri¶ng bºi m cıa A câ óng m v†c tì ri¶ng ºc l“p tuy‚n t‰nh Gi£ sß 0 l mºt gi¡ trà ri¶ngbºi m Chån m v†c tì ri¶ng ºc l“p øng vîi 0 v sau â trüc chu'n hâa h» m v†c tì n y ta

÷æc mºt h» trüc chu'n gçm m v†c tì Hi”n nhi¶n m v†c tì n y công l v†c tì ri¶ng øngvîi gi¡ trà ri¶ng 0 Ti‚n h nh nh÷ v“y Łi vîi t§t c£ c¡c gi¡ trà ri¶ng ta ÷æc h» n v†c tì E

= fe1; e2; :::; eng H» n y l mºt cì sð trüc chu'n cıa Rn Gåi T l ma tr“n câ c¡c v†c tìcıa E l c¡c cºt th… T trüc giao v

i;j=1 n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

12

Ng÷æc l⁄i n‚u Q(x) x¡c ành d÷ìng ( ho°c ¥m ), x†t ành thøc con ch‰nh c§p m

Gåi Xm l c¡c v†c tì con cıa X sinh bði c¡c v†c tì cì sð e1; e2; :::; em: Khi â Qm(x) =Q(x); x 2 Xm công l mºt d⁄ng to n ph÷ìng x¡c ành d÷ìng (ho°c ¥m ).X†t cì sð mîitrong Xm ” Q(x) câ d⁄ng ch‰nh t›c, ma tr“n cıa Q(x) trong cì sð n y câ d⁄ng

N‚u gåi T l ma tr“n chuy”n tł cð sð e1; e2; :::; em sang cì sð ch‰nh t›c th… ta câ

P (A) = 0 , n + b1 n 1 + ::: + bn 1 + bn: (1)

Do A x¡c ành d÷ìng n¶n c¡c bi > 0; 8i = 1; n v = >0:

suy ra: n + b1n1 + ::: + bn 1 + bn > 0 m¥u thu¤n vîi (1), ta câ i•u ph£i chøng minh

Chóng ta cæng nh“n m khæng chøng minh haiành l‰ sau:

ành lþ 4 Måi d⁄ng to n ph÷ìng Q(x) x¡c ành tr¶n R ta ÷a v• d⁄ng ch‰nh t›c sau:

ành lþ 5 N‚u ma tr“n thüc B khæng suy bi‚n th… ma tr“n A = B:Bt x¡c ành d÷ìng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

14

Ch֓ng 2.

Ùng döng lþ thuy‚t ành thøc v ma tr“n v

o lîp c¡c b i to¡n chøng minh flng thøc v b§t flng thøc

2.1.1 flng thøc Bine - Cauchy d÷îi d⁄ng ành thøc

ành lþ 6 ( Bine - Cauchy) Cho A = (aij)mn; B = (bij)mn °t D = AB0 = (cij)m

15

ph¥n t‰ch theo cºt thø m, cuŁi còng ta câ ÷æc ành thøc jDj ÷æc khai tri”n th nh

tŒng cıa nm ành thøc, m trong mØi ành thøc cıa tŒng â tł cºt thø j câ nh¥n tß

l§y tŒng thay Œi tł 1 ‚n n v khæng phö thuºc l¤n nhau

Khi câ hai ch¿ sŁ tròng nhau th… ành thøc Ak 1 k 2 :::k m ( ) câ ‰t nh§t hai cºt nh÷ nhaun¶n nâ b‹ng khæng.V… v“y , khi m > n ta câ måi h⁄ng tß •u bà tri»t ti¶u suy ra jDj = 0:

X†t tr÷íng hæp m 6 n, Łi vîi mØi bº ch¿ sŁ :1 6 i1 < i2 < ::: < im 6 n, trong tŒng(*) x†t t§t c£ c¡c h⁄nh tß câ c¡c ch¿ sŁ k1; k2; :::; km ÷æc t⁄o n¶n tł mºt ho¡n và n o âcıa c¡c ch¿ sŁ i1; i2; :::; im, ta s‡ câ tŒng cıa c¡c h⁄ng tß â b‹ng :

V‰ dö 1 ( flng thøc Cosi)

Cho ai; bi; ci; di 2 R i = 1; n chøng minh r‹ng :

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

16

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

17

X

p(n + 1) = (p + 1)! kp

k=1 n

X

(p + 1)!

k=1

p döng trüc ti‚p k‚t qu£ tr¶n vîi p = 1; p = 2; p = 3 ta câ :

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

19

V‰ dö 4 Chøng minh r‹ng :

cos(a + b) [sin(b + c) cos(c a) cos(b c) sin(c + a)]

- cos(b + c) [sin(a + b) cos(c a) cos(a b) sin(c + a)]

+ cos(c + a) [sin(a + b) cos(b c) cos(a b) sin(b + c)]

= 2 sin(a b) sin(b c) sin(c a)

Gi£i:

cos(b + c) sin(a + b) sin(c + a)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

20

+ cos(c + a)sin(a + b) sin(b + c)

Khai tri”n theo h ng cuŁi v °t A = a b; B = b c; C = c a:

khi â A + B + C = 0

V T = cos (a b) [cos (b + c) sin (c + a) sin (b + c) cos (c + a)]

cos (b c) [cos (a + b) sin (c + a) sin (a + b) cos (c + a)]

+ cos (c a) [cos (a + b) sin (b + c) sin (a + b) cos (b + c)]

= cos (a b) sin (a b) + cos (b c) sin (b c) + cos (c a) sin (c a)

= 1 sin 2A + 1 sin 2B + 1sin 2C

= sin (A + B) cos (A B) + cos C sin C

= sin C [cos (A + B) cos (A B)]

= 2 sin (a b) sin (b c) sin (c a) :

Ta câ i•u ph£i chøng minh

Nh“n x†t:

Tr¶n ¥y l hai v‰ dö i”n h…nh cho ph÷ìng ph¡p chøng minh flng thøc b‹ng c¡ch t

‰nh ành thøc Tuy nhi¶n khi sß döng ph÷ìng ph¡p n y Æi häi chóng ta ph£i thuƒn

thöc trong vi»c t‰nh ành thøc, °c bi»t theo chi•u ng÷æc l⁄i, tøc l : ÷a mºt v‚ cıa flng

thøc v• theo mºt ành thøc n o â m ành thøc khi t‰nh k‚t qu£ l v‚ cÆn l⁄i

2.1.3 p döng flng thøc jA:Bj = jAj : jBj

Tr÷îc h‚t ta chøng minh flng thøc jA:Bj = jAj : jBj :

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

21

Ta l“p ma tr“n :

0a

11

B

B a 21

B B B:::

B B

jCj = jAj : jBj : (1)M°t kh¡c , bi‚n Œi ma tr“n C bði ph†p bi‚n Œi sì c§p sau : Nh¥n cºt thø nh§t vîi

bij; :::; cºt thø n vîi bnj rçi cºng v o cºt thø n + j(j = 1; 2; :::; n) ta ÷æc ma tr“n Dd⁄ng sau m ành thøc cıa C v D b‹ng nhau:

V‰ dö 5 Chøng minh flng thøc:

(x1y1 + x2y3 + x3y2)3 + (x1y2 + x2y1 + x3y3)3 + (x1y3 + x2y2 + x3y1)3

3 (x1y1 + x2y3 + x3y2) (x1y2 + x2y1 + x3y3) (x1y3 + x2y2 + x3y1)

= x13 + x23 + x33 3x1x2x3 y13 + y23 + y33 3y1y2y3 :Gi£i:

M = A 2 M at (n; K) j A câ t‰nh ch§t T th… ta ph£i chøng minh : Vîi måi A; B 2

M ) A:B 2 M hay M âng k‰n vîi ph†p nh¥n ma tr“n

i=1 dyi, v… Jacobian cıa ph†p bi‚n Œi b‹ng jT j ( câ th” cho

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

27

Do ma tr“n trüc giao T thi‚t l“p ÷æc sü t÷ìng øng 1 1 n¶n theo ành lþ 3:

X Xi X

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

28

Chøng minh Tł flng thøc Lagrange trong v‰ dö 2 ta câ:

V‰ dö 10 Chøng minh r‹ng : 5a2 + b2 + 3c2 + 4ab 2ac 2bc > 0 vîi (a; b; c 6= 0) :

Gi£i: Ta câ v‚ tr¡i cıa b§t flng thøc l mºt d⁄ng to n ph÷ìng câ ma tr“n:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

29

Hay nâi c¡ch kh¡c cæng thøc tr¶n l bi”u di„n tham sŁ cıa c¡c phƒn tß cıa ma tr“n

Câ th” xem nh÷ l d⁄ng to n ph÷ìng cıa c¡c bi‚n x i t ik Bi”u thøc b ij x i t ik x j t jk

d÷ìng n‚u ‰t nh§t mºt trong c¡c ⁄i l÷æng xitik kh¡c 0 ( bði ma tr“n ma tr“n B x¡c

ành d÷ìng )

P

xi2tik2Nh÷ng v…: = xi2 tik2 = xi2 n¶n rª r ng måi xitik = 0 khi v ch¿ khi måi

xi = 0 i•u n y x¡c l“p n¶n t‰nh x¡c ành d÷ìng cıa ma tr“n C = (aijbij)

V‰ dö 13

Cho a1u2 + 2b1uv + c1v2 > 0 ; a2u2 + 2b2uv + c2v2 > 0 ; 8u; v sao cho u2 + v2 6= 0 :

Chøng minh r‹ng : a1a2u2 + 2b1b2uv + c1c2v2 > 0 ; vîi 8u; v sao cho u2 + v2 6= 0 :

2.2.5 p döng b§t flng thøc º lªm jAj

BŒ • 1.( D⁄ng t‰ch ph¥n cıa b§t flng thøc Holder )

Cho f(x); g(x) > 0; p; q > 1 sao cho p 1 + 1

q = 1 v c¡c t‰ch ph¥n tçn t⁄i Khi â :

Chøng minh Ta x†t ÷íng cong v = up1(p > 1) Rª r ng di»n t‰ch cıa h…nh chœ

nh“t OvRu nhä hìn ho°c b‹ng tŒng di»n t‰ch OPu v OQv :

Sß döng d⁄ng t‰ch ph¥n cıa b§t flng thøc Holder sau khi °t :

+ 1

j j 6 11 22 n nn

Thay xi b‹ng xi v cºng l⁄i ta câ :

jAj 2 Z Z(ð ¥y z = e 2a 13 x 1 x 2 2a 12 x 1 x 2 ).V… z + z 1 > 2 vîi måi z > 0 n¶n