Sử dụng ma trận và định thức để chứng minh một số kết quả hình học

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/... Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/... Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/... Số hóa

Trang 1

I H¯C TH I NGUY NTR×˝NG I H¯C KHOA H¯C

Trang 2

I H¯C TH I NGUY NTR×˝NG I H¯C KHOA H¯C

Trang 3

Cæng tr…nh ÷æc ho n th nh t⁄iTr÷íng ⁄i håc Khoa Håc - ⁄i Håc Th¡i Nguy¶n

Trang 4

1Möc löc

2.1.3 Ph†p quay 2.1.4

2.1.5 Ph†p và tü 2.1.6

Trang 5

V“n döng ma tr“n v ành thøc còng mºt sŁ k‚t qu£ trong ⁄i sŁ tuy‚n t

‰nh v o nghi¶n cøu To¡n sì c§p ang ÷æc nhi•u thƒy, cæ gi¡o quant¥m.Vîi sü gióp ï cıa ành thøc v ma tr“n ta câ th” thu ÷æc nhi•u k‚t qu£mîi qua vi»c bi‚n Œi tåa º gi£i h» ph÷ìng tr…nh b“c nh§t nhi•u 'n

v ⁄i sŁ hâa mºt sŁ b i h…nh sì c§p Do v“y, lu“n v«n n y °t v§n • v“ndöng ành thøc ma tr“n v o x†t mºt sŁ b i to¡n h…nh håc sì c§p Nºidung cıa lu“n v«n ÷æc chia ra l m hai ch÷ìng

Ch÷ìng I: Ki‚n thøc chu'n bà v• ma tr“n,c¡c ph†p to¡n v• ma tr“n, ành thøc v mºt sŁ çng nh§t thøc cŒ i”n, V nh ma tr“n K[A]

Ch÷ìng II: V“n döng ành thøc ma tr“n trong h…nh håc sì c§p

Möc 2.1 Tr…nh b y ph†p bi‚n Œi tåa º °c bi»t trong m°t phflng

Möc 2.2 Tr…nh b y di»n t‰ch , b¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p qua tåa

º ¿nh , º d i c¡c c⁄nh tam gi¡c

Möc 2.3 Sß döng ành thøc t‰nh th” t‰ch qua tåa º ¿nh , º d i c¡c c⁄nhMöc 2.4 X†t b i to¡n ç thà phflng 21 - i”m K3

Lu“n v«n n y ÷æc ho n th nh vîi sü h÷îng d¤n v ch¿ b£o t“n t…nhcıa PGS-TS m V«n Nh¿ - ⁄i håc S÷ ph⁄m H Nºi Em xin ÷æc b y tälÆng bi‚t ìn s¥u s›c Łi vîi sü quan t¥m, ºng vi¶n v sü ch¿ b£o h÷îngd¤n cıa thƒy Em xin tr¥n trång c£m ìn tîi c¡c Thƒy cæ trong Tr÷íng ⁄iHåc Khoa Håc - ⁄i Håc Th¡i Nguy¶n, phÆng o T⁄o Tr÷íng ⁄i Håc KhoaHåc Tæi xin c£m ìn tîi Sð Gi¡o döc - o t⁄o T¿nh H Giang, Ban Gi¡mhi»u Tr÷íng THPT Vi»t L¥m - Huy»n Và Xuy¶n ¢ t⁄o i•u ki»n cho tæihåc t“p v ho n th nh k‚ ho⁄ch håc t“p

Th¡i Nguy¶n, ng y 08 th¡ng 08 n«m

2013T¡c gi£

Trang 6

3Ch÷ìng 1

Trang 7

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Trang 8

B B

Trang 9

Trang 10

m; 1 6 k 6 p)j=1

ành ngh¾a 1.8 Vîi c¡c ma tr“n vuæng c§p hai d⁄ng:

A =

khi â:

AB =

Trang 11

Trang 12

6

Trang 13

x Vîi ma tr“n cºt X = ; t‰ch AX ÷æc x¡c ành nh÷ sau:

z0

0

Trang 14

Trang 15

B

B B

Trang 16

Trang 17

hayjAj hay det(A)

Trong c¡ch k‰ hi»u n y ta công nâi mØi aij l mºt th nh phƒn, c¡c th nh

Chóng tæi n¶u ra d÷îi ¥y mºt v i çng nh§t thøc ÷æc sß döng trong lþ

thuy‚t sŁ ho°c trong chøng minh b§t flng thøc

M»nh • 1.2 [Euler] Vîi x1; x2; x3; x4; y1; y2; y3; y4 ta câ çng nh§t thøc

Trang 19

V‰ dö 1.1 Ph÷ìng tr…nh x2 + y2 + z2 + t2 = 2005n câ nghi»m nguy¶n

vîi mØi sŁ nguy¶n d÷ìng n:

B i gi£i: Hi”n nhi¶n x1 = 44; y1 = 7; z1 = 4; t1 = 2 l mºt nghi»m nguy¶n

cıa x2 + y2 + z2 + t2 = 2005: Sß döng quy n⁄p n‚u xn; yn; zn; tn l mºt

nghi»m nguy¶n cıa x2 + y2 + z2 + t2 = 2005n th…

l mºt

x yM»nh • 1.3 Vîi a; b; c; x; y; z ta luæn câ çng nh§t thøc sau ¥y:

Trang 20

H» qu£ 1.4 Vîi a; b; c; x; y; z ta luæn câ çng nh§t thøc sau ¥y:

Trang 21

V‰ dö 1.3 Chøng minh r‹ng måi sŁ nguy¶n d÷ìng n ph÷ìng tr…nh x3

+ y3 + z3 3xyz = 2600n luæn câ nghi»m d÷ìng x; y; z:

B i gi£i: V… x = 12; y = 12; z = 2 ta câ x3 + y3 + z3 3xyz = 2600: K‚t

qu£ ÷æc suy ra tł m»nh • 1.2 vîi sŁ nguy¶n d÷ìng n tuy þ

V‰ dö 1.4 Cho c¡c sŁ thüc a; b; c; d thäa m¢n a2 + b2 + c2 + d2 6= 0:

Trang 22

th… ta câ çng nh§t

= (ap bq cr ds)+(bp+aq

Trang 23

B i gi£i: Ta câ

Trang 25

v• ma tr“n, chflng h⁄n nh÷: EAr = ArE = Ar; ArAs = AsAr = Ar+s v

Ar( As + At) = Ar+s + Ar+t vîi ; 2 K; suy ra ngay k‚t qu£ sau:

ành lþ 1.5 Vîi hai a thøc f v g thuºc K[x] v ma tr“n A ta luæn câ

(i) N‚u f = g th…f(A) = g(A):

(ii) (f + g)(A) = f(A) + g(A):

(iii) (f g)(A) = f(A)g(A):

Trang 26

Trang 27

Vîi f(A) = asAs + as 1As 1 + + a1A + a0E câ a thøc f(x) = asxs +

as 1xs 1 + + a1x + a0 2 K[x] ” (f) = f(A): Do v“y l mºt to n c§u v nh

V… t“p Mn;n t§t c£ c¡c ma tr“n vuæng c§p n tr¶n K l mºt khæng gianvectì n2 chi•u tr¶n K vîi cì sð ij = (1ij); trong â t⁄i và tr‰ (i; j) câ 1ij = 1;cÆn t⁄i c¡c và tr‰ kh¡c ¶u b‹ng 0 Nh÷ v“y nhi•u hìn n2 ma tr“n vuængc§p n tr¶n K •u l phö thuºc tuy‚n t‰nh Nh÷ v“y tçn t⁄i a thøc kh¡c 0 lf(x) = xs + as 1xs 1 + + a1x + a0 2 K[x] vîi s > n2 + 1 thäa m¢n f(A) = 0:V“y Ker( ) 6= (0): V… v nh K[x] l v nh i ¶an ch‰nh n¶n câ a thøc b“cth§p nh§tF (x) 6= 0 ” Ker ( ) = (F ) 6= (0):

H» qu£ 1.8 Ta câ K[A] K[x]=(F ):

=

Chøng minh: Bði v… : K[x] ! K[A]; f(x) 7!f(A); l mºt to n c§u vîi Ker( ) = (F ) 6= (0) theo M»nh • 1.7 n¶n K[A] K[x] / Ker( ) =

=K[x]=(F ):

Chó þ: V… K[x] l v nh c¡c i ¶an ch‰nh n¶n câ duy nh§t mºt a thøc b“cth§p nh§t d⁄ng m(x) = xd + a1xd 1 + + ad 2 K[x] ” Ker ( ) = (F ) = (m(x)):Hi”n nhi¶n m(A) = 0 æi khi m(x) cÆn ÷æc gåi l a thøc tŁi thi”u cıa matr“n A:

Trang 28

14Ch÷ìng 2

Trang 29

a2 + b2 a2 + b2

di„n ÷íng thflng d : sin x + cos y = 0 th… ph†p Łi xøng trưc d ÷ỉc

bi”u di„n qua ma tr“n

Trang 30

2.1.3 Ph†p quay

Trong m°t phflng tåa º (Oxy); ph†p quay I(a; b) vîi gâc quay ÷æc

bi”u di„n qua ma tr“n

Trang 31

Trang 32

c

11+ c

B i gi£i: Düng h» tåa º Oxy ” A(0; a); E( a; 0); B(0; a); F (a; 0): Gi£

sß t¥m h…nh vuæng CHDK l I(u; v) v C(x1; y1): V… h…nh vuæng CHDKcòng h÷îng vîi h…nh vuæng AEBF n¶n sß döng ph†p quay t¥m I(u; v) vîi gâc quay 2 bi”u di„n bði ma tr“n :

Trang 33

I(u; v) vỵi gâc quay

Trang 34

•u b‹ng 2a2 + 4u2 + 4v2 + 2x21 + 2y12 + 4au 4ax1 4ux1 4vy1:

Gi£ sß i”m I; M; N t÷ìng øng c¡c sŁ phøc zI ; zM ; zN : Ph†p quay t¥m I

gâc quay bi‚n i”m M th nh i”m N ÷æc bi”u di„n d÷îi d⁄ng phøc:

zN = zI + (zM zI )ei :B¥y gií ta v“n döng ph†p quay v o vi»c x†t mºt sŁ b i h…nh d÷îi ¥y.

V‰ dö 2.4 Trong m°t phflng cho a gi¡c ìn b§t ký A1A2 : : : An v coi

n+1

1j~eij = AiAi+1 vîi i = 1; 2; : : : ; n:gi¡c v

B i gi£i: ành h÷îng a gi¡c, chflng h⁄n h÷îng thu“n, ~ei câ ÷æc do

quay

B

V‰ dö 2.5 Cho tam gi¡c ABC vîi º d i c⁄nh BC = a; CA = b; AB = c:

Düng ra ph‰a ngo i ba tam gi¡c •u BCA1; CAB1; ABC1: Düng ti‚p ra ph

‰a ngo i tam gi¡c A1B1C1 ba tam gi¡c •u B1C1A2; C1A1B2 v A1B1C2:

Chøng minh

(i) AA1 = BB1 = CC1 v O1O2O3 •u, trong â O1; O2; O3 l m c¡c

tam gi¡c •u BCA1; CAB1; ABC1:

(ii) A; A1; A2 thflng h ng Khi b; c cŁ ành cÆn a thay Œi, h¢y t…

Trang 35

Trang 36

V‰ dö 2.6 Cho tam gi¡c ABC Vîi º d i c⁄nh BC = a; CA = b; AB = c:

Düng ra ph‰a ngo i tam gi¡c •u BCA1; CAB1; ABC1: Düng ti‚p ra ph‰a

ngo i tam gi¡c A1B1C1 ba tam gi¡c •u sau ¥y: B1C1A2; C1A1B2; A1B1C2

Trang 37

=

Trang 38

P2B12 = 0: Do â M M2; N N2; P P2 çng quy t⁄i mºt i”m.

V‰ dö 2.7 Trong m°t phflng cho tø gi¡c A0A1A2A3 v

i

P2; thüc hi»n ph†p quay t¥m A2

quay t¥m A3 gâc quay

r‹ng i•u ki»n cƒn v ı ” câ P0 sao cho P2012 P0

Trang 40

mØi o⁄n T÷ìng tü câ BB3

¥y suy ra B 3 D 3 v BD c›t nhau tai trung i”m mØi o⁄n

(ii) Gi£ sß I; J; H; K l t¥m c¡c h…nh vuæng ABB1A2; BCC1B2; CDD1C2

v DAA1D2 øng vîi sŁ phøc zI ; zJ ; zH ; zK :

V‰ dö 2.9 Cho ABC: Düng ra ph‰a ngo i ba h…nh vuæng BCA1A2;CAB1B2; ABC1C2: Gåi c¡c t¥m h…nh vuæng n y l I; J; K v M l trung

Trang 41

i”m BC: Chøng minh r‹ng AI = JK; AI?JK v M J = M K; M J?M K:

B i gi£i: T÷ìng øng A; B; C ba sŁ phøc zA; zB; zC : khi â câ bi”u di„n

Trang 42

2.2 Di»n t‰ch, b¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p

2.2.1 Di»n t‰ch, b¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p

Gi£ sß tam gi¡c ABC câ A(x1; y1); B(x2; y2); C(x3; y3): Khi â di»n t‰ch

Trang 43

Trang 45

(ii) R =

Trang 47

Trang 49

V… (A0a) + (B0b) = (C0c) v

çng quy t⁄i mºt i”m

Trang 50

V‰ dö 2.11 Cho tø gi¡c lçi ABCD vîi hai ÷íng ch†o c›t nhau ð O: Gåi

L; M; N l trung i”m cıa DB; BC; CA; t÷ìng øng Chøng minh r‹ng n‚u ba

÷íng thflng AL; OM; DN çng quy t⁄i mºt i”m th… ta câ ho°c

ADkBC ho°c SABCD = 2SOBC :

B i gi£i: Düng h» Oxy vîi tåa º A(a; 0); B(b; d); C(c; 0) v

DN : 2udx (2ub a c)y

Ta th§y, n‚u ba ÷íng thflng AL; OM; DN çng quy t⁄i mºt i”m th…

(1 + u)dd

2ud

Khai tri”n 0 =

N‚u a = cu th… AD

câ S ABCD = (

V‰ dö 2.12 Cho tam gi¡c ABC v

BC; CA; AB; t÷ìng øng thäa m¢n

Trang 51

minh r‹ng SDEF 6

B i gi£i: Düng h» Oxy: Gi£ sß A(x1; y1); B(x2; y2); C(x3; y3) v vỵi

u 2

[0; 1); v 2 (0; 1]; t 2 (0; 1) câ bi”u di„n D = (1 u)B+uC; E = vA+(1 v)C;

Trang 52

V‰ dö 2.13 Gi£ sß tam gi¡c ABC vîi ÷íng trÆn nºi ti‚p t¥m I v nâ ti‚p

xóc vîi c¡c c⁄ch BC; CA; AB t⁄i D; E; F; t÷ìng øng GåiL; M; N l trung i”m

c¡c c⁄nh BC; CA; AB; t÷ìng øng Chøng minh r‹ng, c¡c ÷íng thflng l; m;

n; i qua D; E; F v song song vîi IL; IM; IN; t÷ìng øng, çng quy t⁄i mºt

i”m Gi£ sß i”m â l P: X¡c ành gi¡ trà lîn nh§t cıa º

Trang 53

Vîi s = 4 ta nh“n ÷æc bi”u di„n AD + 4LI = (4

Trang 54

nh“n !

÷æc bi”u di„n

÷æc AP = AE + 4

T÷íng tü, ÷íng thflng

M»nh • 2.4 Gi£ sß ba i”m A(x1; y1); B(x2; y2) v

phflng tåa º Oxy vîi º d i ba c⁄nh a = BC; b = CA; c = AB: Gåi R l

b¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p ABC: Khi â câ R =

2:

Chøng minh: Ta bi‚t b¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam

khæng thay Œi qua mºt ph†p tành ti‚n Do â câ th” coi t¥m ÷íng trÆn

ngo⁄i ti‚p tam gi¡c ABC l O(0; 0) v ta câ

x2x3

x

1x3

Trang 56

l b¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p c¡c tam gi¡c ABC; GBC; GCA; GAB: Chøng minh r‹ng R1 + R2 + R3 > 3R:

1

B i gi£i: V… k1 = k2 = k3 = 3 n¶n R1 + R2 + R3 > 3R:

V‰ dö 2.16 Gåi i”m I l t¥m ÷íng trÆn nºi ti‚p trong tam gi¡c ABC:

Kþ hi»u R; R1; R2; R3 l b¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p c¡c tam gi¡c ABC;

IBC; ICA; IAB: Chøng minh r‹ng + + > :

B i gi£i: V… k1 =

Trang 57

V‰ dư 2.17 Cho A1A2A3: Chøng minh r‹ng, vỵi b§t ký i”m O trong

m°t phflng A 1 A 2 A 3

Trang 59

Trang 60

M B

tam gi¡c vîi c¡c ¿nh l giao i”m giœaAM; BN; CP:

B i gi£i: Gi£ thi‚t

Trang 63

1(ii) Khi AM; BN; CP çng quy th… S M N P 6 4S ABC :

Trang 64

t⁄i mºt i”m Gåi T l giao i”m giœa BN v CP: Gåi giao i”m giœa

V‰ dö 2.19 Cho tø gi¡c lçi ABCD vîi AB = a; BC = b; CD = c; DA = d nºi

ti‚p trong ÷íng trÆn t¥m O b¡n k‰nh R: Kþ hi»u r1; r2; r3; r4 lƒn l÷æt

l b¡n k‰nh c¡c ÷íng trÆn nºi ti‚p trong c¡c tam gi¡c ABC; BCD; CDA v

Trang 65

Trang 66

V‰ dö 2.20 Cho i”m O ð trong tam gi¡c ABC: Mºt ÷íng thflng d qua

O c›t AB v AC: Kþ hi»u kho£ng c¡ch tł A; B; C ‚n d l da; db; dc; t÷ìng øng Chøng minh r‹ng daSOBC = dbSOCA + dcSOAB:

B i gi£i: Düng h» tåa º Oxy sao cho O(0; 0); d : y = 0 v A(x1;

V‰ dö 2.21 Cho ABC: Gåi M; N v

c⁄nh BC; CA v AB Chøng minh r‹ng, vîi b§t ký i”m O ð b¶n ngo i ABC

câ mºt trong c¡c di»n t‰ch SOAM ; SOBN ; SOCP b‹ng tŒng cıa hai di»nt‰ch cÆn l⁄i

B i gi£i: Düng h» tåa º Oxy sao cho O(0; 0) v A(x1; y1); B(x2;

y2);

Trang 67

C(x3; y3): Tåa º trung i”m M(

2ABC) Quy ÷ỵc di»n t‰ch tam gi¡c ÷ỉc t‰nh qua ành thøc theo quy t›c

Trang 70

Ta câ:

+

x2+

2.2.2 B i to¡n v†c tì li¶n quan tîi tam gi¡c

B i to¡n v• v†c tì li¶n quan tîi tam gi¡c th÷íng ÷æc sß döng trong h…

IA:S IBC + IB:S ICA + IC:S IAB = 0:

(ii) N‚u I thuºc mi•n ngo i ABC v n‹m trong gâc th…

IA:S IBC + IB:S ICA + IC:S IAB = 0:

(iii) Vîi t¥m ÷íng trÆn nºi ti‚p I v t¥m ÷íng trÆn b ng ti‚p J ð

Trang 71

Chøng minh: (i) Düng h» tåa º Ixy sao cho I(0:0); A(x1; y1); B(x2; y2)

v C(x3; y3): Di»n t‰ch c¡c tam gi¡c IBC; ICA; IAB ÷æc quy ÷îc t‰nh

Bði v… hai ành thøc sau tri»t ti¶u

IA:SIBC + IB:SICA + IC:SIAB = 0:

(ii) N‚u I thuºc mi•n ngo i tam gi¡c ABC v n‹m trong gâc th…

S IBC = S ICB : Do v“y IA:S IBC + IB:S ICA + IC:S IAB = 0:

(iii) l hi”n nhi¶n

V‰ dö 2.23 Gi£ sß tam gi¡cABC câ BC = a; CA = b; AB = c v I; J l m t¥m ÷íngtrÆn nºi ti‚p v t¥m ÷íng trÆn b ng ti‚p trong gâc Ab cıa tam gi¡c Khi â câ b§t flngthøc sau ¥y:

(i) aEA2 + bEB2 + cEC2 > abc vîi i”m E tòy þ

Trang 72

t÷ìng øng, cıa tam gi¡c.

Trang 73

Gi£n ÷îc cho a + b + c ÷æc çng nh§t thøc aIA

(iii) Tł aJA + bJB + cJC = 0 theo M»nh • 2.7 ta suy ra

2.3 Th” t‰ch, b¡n k‰nh m°t cƒu ngo⁄i ti‚p qua ành thøc

2.3.1 T‰ch væ h÷îng, t‰ch câ h÷îng cıa hai v†c tì

1) Bi”u thøc tåa º cıa c¡c ph†p to¡n vectì

Chøng minh Theo gi£ thi‚t : ~a = a 1 i + a 2 j + a 3 k; b = b 1 i + b 2 j + b 3 k

Trang 74

Trang 75

2) T‰ch væ h÷îng cıa hai vectì

ành ngh¾a 2.1 Trong khæng gian cho hai vectì ~a

- khæng T‰ch væ h÷îng cıa hai vectì ~a v

ành bði cæng thøc: ~a:b = j~aj:jbj:cos(~a; b)

Trang 76

Trang 77

~ành ngh¾a 2.3 T‰ch hØn hæp cıa c¡c v†c tì ~a; b; ~c trong khæng gian l

t‰ch væ h÷îng cıa v†c tì [~a; b] vîi v†c tì ~c, v

N‚u ~a(x 1 ; y 1 ; z 1 ), b(x 2 ; y 2 ; z 2 ) v

x1z

chu'n Ta câ:

~(i) ~a; b còng ph÷ìng khi v

(ii)

~j[~a; b]j = j~aj:jbj: sin ’, trong â ’ l

~(iv) [~c; ~a + b] = [~c; ~a] + [~c; b]:

Chøng minh Gåi c¡c vectì

Trang 78

Trang 79

=[~c; ~a] + [~c;~b] V“y:[~c; ~a+~b] = [~c; ~a] + [~c;~b]:

V‰ dö 2.24 Gi£ sß tø di»n ABCD câ º d i 4 ÷íng cao l

v kho£ng c¡ch giœa c¡c c°p c⁄nh Łi l

2

Tł â ch¿ ra maxfh a ; h b ; h c ; h d g > p minfd 1 ; d 2 ; d 3 g:

3

Trang 80

Trang 81

mØi c⁄nh tø di»n l mºt ÷íng ch†o cıa mºt m°t th… s‡ câ d1:j[~x; ~y

2Vhp = 6V: Tł ¥y suy ra h» thøc sau:

j[~x; ~y]j = j~xjj~yj sin(~x; ~y):

Chøng minh: Suy ra tł çng nh¥t thøc Lagrange, (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 +

z2) = (ax + by + cz)2+ (ay bx)2 + (bz cy)2 + (cx az)2:

Trang 83

(iv) Theo (iii) ta câ hai h»

Khi â vîi bŁn v†ctì ~a; b; ~c; d ta

Th“t v“y: ~u câ tåa º

1

•u b‹ng

V‰ dö 2.25 Kþ hi»u di»n t‰ch m°t (BCD); (CDA); (DAB); (ABC);t÷ìng øng sa; sb; sc; sd v kþ hi»u ~ea; ~eb; ~ec; ~ed l c¡c v†ctì ìn và

Trang 84

BB1; CC1; DD1 c›t nhau t⁄i H: Ta ch¿ cƒn x†t tr÷íng hæp H ð trong tø

Trang 85

2.3.2 Th” t‰ch, b¡n k‰nh m°t cƒu ngo⁄i ti‚p qua ành thøc M»nh •

2.14 Cho c¡c v†c tì ~x; ~y; ~z trong khæng gian vîi h» tåa º trüc

chu'n Ta câ çng nh§t thøc

Trang 86

Trang 87

V‰ dö 2.27 Gi£ sß a1; a2; a3 v b1; b2; b3 l cæsin cıa c¡c gâc do hai ÷íngthflng (‘1) v (‘2) t⁄o vîi c¡c tröc tåa º Ox; Oy; Oz; t÷ìng øng cıa h» tåa º trücchu'n (Oxyz): Kþ hi»u l gâc giœa tia (‘1) v (‘2): Khi â

Trang 88

Trang 89

v theo M»nh • 2.14 ch¿ ra ÷æc

j

Nh÷ v“y D = 1

M»nh • 2.15 Gi£ sß bŁn tia Il 1 ; Il 2 ; Il 3 v Il 4 còng câ i”m gŁc I: Kþ

hi»u ij = \liIlj vîi i; j = 1; 2; 3; 4: Khi â ta câ çng nh§t thøc

Trang 90

abcM»nh • 2.14 Ta suy

Trang 91

V‰ dö 2.30 Cho h…nh châp SABC vîi SA = a; SB = b; SC = c; gâcgœa SB; SC; gœa SC; SA; giœa SA; SB l ’1; ’2; ’3; t÷ìng øng I thuºctam gi¡c ABC v °t d = SI; = \ISA; = \ISB; = \ISC: Khi â ta câ

p

= p

Trang 95

Do v“y, t‰nh th” t‰ch tø di»n qua tåa º bŁn ¿nh:

M»nh • 2.18 Gi£ sß tø di»n A1A2A3A4 câ tåa º 4 ¿nh l A1(x1; y1; z1);

Chøng minh: Ta bi‚t th” t‰ch tø di»n khæng thay Œi qua mºt ph†p

tành ti‚n Do v“y, khæng h⁄n ch‚ câ th” gi£ thi‚t t¥m m°t cƒu ngo⁄i ti‚p tø

di»n A1A2A3A4 ch‰nh l gŁc tåa º Khi â ta câ h»

Trang 96

Tł ¥y suy ra

R2

(x i

=(vỵi måi i; j = 1; 2; 3; 4; i 6= j)

Trang 97

°t: tij = R2

Khi â tijX†t t‰ch sau

x1 y1 z1 R

2 x

3

y

x4 y4 z4 R

Định dạng
Số trang	123
Dung lượng	488,84 KB