GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Trong chƣơng trình toán THPT chủ đề phƣơng trình,bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình là một chủ đề hay và rất quan trọng. Dạng toán này luôn xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ, THPT của BGD hàng năm và trong các đề thi HSG các cấp. Đối với nhiều học sinh đây đƣợc coi là các bài toán khó, là câu phân loại học sinh trong đề thi. Qua quá trình dạy học sinh ôn thi ĐH, CĐ, ôn thi THPT và đặc biệt là dạy bồi dƣỡng HSG tôi nhận thấy không ít học sinh còn rất lúng túng khi gặp bài toán phƣơng trình, bất phƣơng trình , hệ phƣơng trình. Có rất nhiều phƣơng pháp giải chúng, mỗi phƣơng pháp đều có những nét độc đáo riêng. Với quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân và những kinh nghiệm khi giảng dạy tôi nhận thấy phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số là một phƣơng pháp mạnh, hay, độc đáo và thƣờng cho ta lời giải tối ƣu. Đặc biệt trong một số bài toán ta không thể giải đƣợc bằng phƣơng pháp thông thƣờng hoặc có thể giải đƣợc nhƣng gặp nhiều khó khăn thì phƣơng pháp hàm số lại rất hiệu quả. Hơn nữa phƣơng pháp này phát huy rất tốt tƣ duy sáng tạo, khả năng phân tích, phán đoán của ngƣời học, đồng thời nó đòi hỏi ở ngƣời học biết vận dụng kĩ năng phân tích, lập luận, tính toán chính xác, khoa học

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

MÔN: TOÁN

TÊN CHUYÊN ĐỀ:

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Chức vụ: Tổ trưởng

Đơn vị: Trường THPT Tam Dương Đối tượng: Học sinh lớp 12

Qua quá trình dạy học sinh ôn thi ĐH, CĐ, ôn thi THPT và đặc biệt là dạy bồi dưỡng HSG tôi nhận thấy không ít học sinh còn rất lúng túng khi gặp bài toán phương trình, bất phương trình , hệ phương trình Có rất nhiều phương pháp giải chúng, mỗi phương pháp đều có những nét độc đáo riêng Với quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân và những kinh nghiệm khi giảng dạy tôi nhận thấy phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số là một phương pháp mạnh, hay, độc đáo và thường cho ta lời giải tối ưu Đặc biệt trong một số bài toán ta không thể giải được bằng phương pháp thông thường hoặc có thể giải được nhưng gặp nhiều khó khăn thì phương pháp hàm số lại rất hiệu quả Hơn nữa phương pháp này phát huy rất tốt tư duy sáng tạo, khả năng phân tích, phán đoán của người học, đồng thời nó đòi hỏi ở người học biết vận dụng

kĩ năng phân tích, lập luận, tính toán chính xác, khoa học

Với mong muốn cung cấp cho các em học sinh có một cách nhìn sâu hơn về cách tư duy và kinh nghiệm giải một số bài toán phương trình, bất phương trình, hệ

phương trình nên tôi đã lựa chọn chuyên đề: "Giải phương trình, bất phương trình,

hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số "

2 Phạm vi, đối tượng, mục đích của chuyên đề:

Phạm vi: Áp dụng rộng rãi trên toàn quốc

Đối tượng: Học sinh lớp 12

Mục đích: Giúp các em đạt điểm tối đa trong dạng toán này

3 Phương pháp nghiên cứu

-Tìm hiểu các khái niệm về hàm số đơn điệu, các tính chất Tham khảo các tài liệu có liên quan đến đề tài, các đề thi ĐH, CĐ, THPT của một số năm trở lại đây

………

MỤC LỤC

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN: TOÁN 1

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn chuyên đề: 1

2 Phạm vi, đối tượng, mục đích của chuyên đề: 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Thực trạng : 2

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1, Phương trình dạng: ( )f x g x( ) 4

2, Phương trình dạng: ( )f x  4 c 3, Phương trình dạng: ( )f u  f v( ) 4

4, Bất phương trình dạng: ( )f x  5 c 5, Bất phương trình dạng: ( )f u f v( ) 5

MỘT SỐ DẠNG TOÁN 6

I, Phương trình 6

Dạng 1 Phương trình dạng ( )f x  6 c Dạng 2 Phương trình dạng: ( )f u f v( ) 10

Dạng 3 Phương trình dạng ( )f x g x( ) 18

Dạng 1 Bất phương trình dạng: ( )f x  22 c; Dạng 2 Bất phương trình dạng: ( )f y  24

III, Hệ Phương trình 27

Dạng 1 Cô lập hai biến về hai vế của một trong hai phương trình rồi đưa về dạng: ( ) ( ) f u f v 27

Dạng 2 Kết hợp hai phương trình để tìm ra phương trình đặc trưng 43

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 51

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

NỘI DUNG

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1, Phương trình dạng: ( ) f x g x( )

a, Nhận dạng:

Với ( ); ( )f x g x là hai hàm số liên tục trên khoảng (a; b) và ( ); ( ) f x g x là hai hàm số

biến thiên ngược chiều nhau trên khoảng (a; b) thì phương trình ( ) f x g x( ) có không

quá một nghiệm trên khoảng (a; b)

y f x là hàm đơn điệu tăng hoặc giảm, y  là hàm số hằng trên khoảng (a; b) c

thì phương trình có không quá một nghiệm trên khoảng (a; b)

a, Nhận dạng: Hàm số f t đại diện cho hai hàm số trên là hàm đơn điệu trên tập hợp  

là hợp của hai tập xác định ( ); ( ) f u f v ) Khi đó ( ) f u  f v( )  u v

4, Bất phương trình dạng: ( ) f x  c

a, Nhận dạng: f x là hàm số đơn điệu, tồn tại   x sao cho0 f x( )0  c

b, Phương pháp giải:

+ Tìm tập xác định

+ Chứng minh hàm số ( )f x đơn điệu trên khoảng (a; b)

+ Tồn tại x0 thỏa mãnf x( )0  trên khoảng (a; b) c

+ Nếu f x là hàm số đồng biến thì   x x0trên khoảng (a; b) Nếu f x là hàm số  nghịch biến thì x x0trên khoảng (a; b)

MỘT SỐ DẠNG TOÁN

I, Phương trình Dạng 1 Phương trình dạng ( )f x  c

1.1.Phương pháp:

+ Tìm điều kiện xác định hoặc tập xác định của hàm số

+ Trường hợp 1 Chứng minh một vế của phương trình loại này là hàm số hằng còn vế kia là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng

Trường hợp 2 Hai vế của phương trình đều chứa biến nhưng sau khi chuyến biến về một vế ta lại được dạng trên

+ Chỉ ra tồn tại giá trị x sao cho 0 f x( )0  c

+ Kết hợp điều kiện để được nghiệm phương trình

1.2 Bài tập minh họa:

Bài 1 Giải phương trình sau: 3x  1 x  7x   2 4

Hướng dẫn giải

Nhâ ̣n xét: Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt

ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các bạn sẽ thấy ngay VT

là một hàm đồng biến và x  là một nghiệm của phương trình nên ta có 1 x  là 1

nghiệm duy nhất Vậy cách giải như sau:

Tập xác định: 7 57

;2

   Xét hàm số:

( )f x  3 +1x  x  7 +2x , ta có f x là hàm liên tục trên D  

71

Vậy x  là nghiệm duy nhất của phương trình 1

Bài 2 Giải phương trình: 5x3 1 32 -1x   x 4

Hướng dẫn giải

Nhận xét:

Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy vế trái của phương trình là một hàm đồng biến và phương trình x  thỏa mãn 1

Ta có lời giải như sau:

Điều kiện:

3

1

;5

x   



 

2 3

Vậy vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hàm số hằng và x  thỏa mãn phương 1

trình nên phương trình có nghiệm duy nhất x  1

Bài 3 Giải phương trình: 3

x

x x

Bài 4 Giải phương trình: x2  x 1 x27x  1 4 x

điểm duy nhất, mặt khác t    thỏa mãn phương trình 2 x 1

Vậy nghiệm phương trình là x  1

Bài 5 Giải phương trình: x - 2x + 5 + x - 1 = 2 2

Hướng dẫn giải

hàm số đồng biến trên nử khoảng  1; 

Mặt khác x  thỏa mãn phương trình nên 1 x  là nghệm duy nhất 1

Bài 6 Giải phương trình: 4    

x

 



    

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S   2; 4

Bài 7 Giải phương trình:  3 

log 1 x 2 log x  log 1 x log x

Đặt tlog7x   Khi đó phương trình trở thành: x 7t

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  343

Bài 8 Giải phương trình:  log 6 

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  4

Bài 10 Giải phương trình: x2+15 - x2+ 8 = 3 - 2x

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x  

Từ (2): x2 15 x2  8 3x 2 3x  2 x2 8 x2 15  (*) 0Xét hàm số f x 3x  2 x2 8 x215

+ Nếu 2

3

x  thì f (x) < 0  (*) vô nghiệm

Bài 11 Giải phương trình: x  1 35x  7 47x  5 513x  7 8

Mà f  3  nên 8 x  là nghiệm duy nhất của phương trình 3

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x  3

………

Dạng 2 Phương trình dạng: ( )f u f v( )

2.1 Phương pháp:

+ Tìm điều kiện xác định hoặc tập xác định của hàm số

+ Giữ cố định một trong hai vế của phương trình ( thường là vế đơn giản hơn) rồi biến

đổi vế kia theo vế còn lại

+ Chứng minh hàm số đặc trưng đơn điệu, từ đó suy ra ( )f u f v( )  u v

+ Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình

2.2 Bài tập minh họa:

Bài 1 Giải phương trình sau: 3 3 3 2 3 2

trong đó    

2 3

3

2 3 3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S    1

Bài 3 Giải phương trình sau: x2 2x  1 x22x 5x  x21 2

Từ đó phương trình vô nghiệm

Bài 5 Giải các phương trình sau: 2x 1 4x2 4x  5 3x 9x2  4 0

Hướng dẫn giải

Học sinh cần để ý đến sự tương ứng giữa 2x  và 3x1 

Ta có:

2x 1 4 x24x  5 3x 9x2  4 0 2x 1 4 x24x   5 3x 9x24

Hàm số f t đồng biến nên hàm số   f 2x 1 ; f  2x đồng biến

Suy ra phương trình có không quá một nghiệm thỏa mãn

0

44

Vậy x  là nghiệm phương trình 1

Bài 8 Giải các phương trình sau:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S     1; 2

Bài 9 Giải phương trình sau: 22x132x 52x1 2x 3x15x2

Vậy tập nghiệm phương trình là S  1

Bài 10 Giải phương trình sau: 22x  2x   6 6

Vậy tập nghiệm phương trình là: S  3

Bài 11 Giải phương trình sau: 3 2(x 1) 13x x24x  3

Bài 12 Giải phương trình sau: 8x32x (x 2) 2x  1

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x   1

8x 2x (x 2) 2x  1 8x 2x  2x 1  2x  1Xét hàm đặc trƣng: f t t3  t f t' 3t2   trên R, f(t) đồng biến trên R 1 0

Nhận xét: Đây là câu phương trình khá quen thuộc mà cách tối ưu là sử dụng tính

đơn điệu của hàm số Ta cần chút biến đổi một cách tinh tế để nhìn ra dạng của hàm cần xét

Bài 16 Giải phương trình sau: 2    

+ Tìm điều kiện xác đinh hoặc tập xác định của phương trình

+ Chứng minh được hai vế của phương trình là hai hàm số biến thiên ngược chiều

nhau, đồng thời chỉ ra một giá trị x sao cho0 f x( )0 g x( )0 Từ đó phương trình có

không quá 1 nghiệm x x0

+ Kết hợp điều kiện để được nghiệm phương trình

Suy ra hàm số f x đồng biến nên vế trái phương trình là hàm số nghịch biến, vế phải  

là hàm số đồng biến, vậy phương trình có không quá một nghiệm

Mặt khác x  thỏa mãn phương trình 1

Vậy x  là nghiệm duy nhất của phương trình 1

Bài 2 Giải phương trình sau: x22x  6 1 2 x x2 2x  1

Suy ra hàm sốf x đồng biến nên vế trái phương trình là hàm số nghịch biến, vế phải  

là hàm số đồng biến, vậy phương trình có không quá một nghiệm

Mặt khác x  thỏa mãn phương trình 1

Vậy x  là nghiệm duy nhất của phương trình 1

Bài 3 Giải phương trình sau: 32x 3 3x10 3 x 2    3 x 0

t    x

TH2: t   3 x 3x2   Vế phải là hàm số nghịch biến, vế trái là hàm số 3 x

đồng biến nên phương trình có nghiệm duy nhất

Mặt khác x  thỏa mãn phương trình 2

Vậy tập nghiệm phương trình là S  1;2

Bài 4 Giải phương trình sau: 5x3 1 32x   1 4 x

Bài 5 Giải phương trình sau: x   1 x3 4x  5

Và hàm số g x( )  x3 4x  Đạo hàm: 5 g x/  3x2   4 0 x D suy ra

 

g x là

hàm số nghịch biến trên D

Ta thấy f 1 g 1 Do đó x  thỏa mãn phương trình 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x  1

Bài 6 Giải phương trình sau: 2 1  1 1

2 x  x    (*) 1 x 1 Đặt f x 223x , g x  x    Xét x trên các khoảng 1 x 1

II, Bất phương trình Dạng 1 Bất phương trình dạng: ( )f x  c;

1.1 Phương pháp giải:

+ Tìm điều kiện xác định hoặc tập xác định của bất phương trình

+ Nhận thấy một vế phương trình là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến, đồng thời tồn

tại một giá trị x sao cho0 ( )f x 0

Nếu ( )f x là hàm số đồng biến thì ( )f x 0  x x0

Nếu ( )f x là hàm số đồng biến thì ( )f x 0  x x0

+ kết hợp điều kiện để suy ra nghiệm bất phương trình

Tương tự đối với các bất phương trình dạng: f x c f x;  c f x;   c

 

Mặt khác f x f(1)  x 1

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: 1 / 2  x 1

Bài 2 Giải bất phương trình: 2x  3 4  x 2

Bài 3 Giải bất phương trình: x  6 x  2 4  x 3

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: 3  x 4

Bài 4 Giải bất phương trình: x  9 2x   4 5

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: 2   x 0

Bài 5 Giải bất phương trình: 3

Suy ra vế trái là hàm số đồng biến trên đoạn 1;9

  Mặt khác f x f(0)  x 0Kết hợp điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: 1   x 0

…………

Dạng 2 Bất phương trình dạng: ( )f y 

2.1 Phương pháp:

+ Tìm điều kiện xác định hoặc tập xác định của bất phương trình

+ Phát hiện sự tương ứng giữa hai biều thức chứa x, chuyển hai biểu thức về hai vế bất

phương trình rồi biến đổi theo vế đơn giản hơn để quy về dạng f(x)f y 

+ Chứng tỏ hàm số đặc trưng f(t) đơn điệu

Nếu f(t) đồng biến thì ( )f y   x y

Nếu f(t) nghịch biến thì ( )f y   x y

+ Kết hợp điều kiện để được nghiệm bất phương trình

Tương tự đối với các bất phương trình dạng: f x f y f x   ;  f y f x   ; f y 

Nhận xét: Nhận thấy không nên giải bất phương trình bằng biến đổi tương đương

hoặc đặt ẩn phụ vì vậy hãy nghĩ đến phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Điều kiện: x33x2   0 x 3;   0



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S R

Bài 4 Giải bất phương trình: x22x  3 x26x 11 3 x x  1

Suy ra hàm số đồng biến nên f x  1 f 3x      x 1 3 x x 2

Kết hợp điều kiện nghiệm bất phương trình là: 2  x 3

Bài 5 Giải bất phương trình:

2

2 3

133

x x

+ Chứng tỏ hàm số đặc trưng f t đơn điệu, suy ra ( )  f u  f v( )  u v

+ Thay vào phương trình còn lại rồi kết hợp điều kiện để kết luận về nghiệm của hệ 1.2 Bài tập mẫu:

Bài 1 Giải hệ phương trình sau:  

Thay vào (2) ta được x    là nghiệm của hệ y 1

Bài 2 Giải hệ phương trình sau:

Thay vào (2) ta được x = y = 1 là nghiệm của hệ

Bài 3 Giải hệ phương trình sau:

Nhâ ̣n xét: Dễ thấy nếu chỉ xét phương trình (1) chúng ta sẽ không đủ căn cứ để chứng

minh hàm số đơn điệu, vì vậy chúng ta chú ý đến phương trình (2) để tìm ra điều kiện thích hợp để hàm số hàm số ở phương trình (1) đơn điệu

Ta có: x2 y2    1 1 x y; 1

Xét hàm số f t( )t55t  f t' 5t4    1 0 t  1;1, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) biến nên f x  f y   x y

+ Với x = -y thay vào (2) ta được x   là nghiệm của hệ y 0

Vậy nghiệm của hệ là:      x y ; 1;1 ; 0; 0 

Bài 5 Giải hệ phương trình sau:

Nhận xét: Ta có thể giải hệ trên bằng phương pháp đưa về dạng tích Tuy nhiên ta

muốn giải hệ này bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Hàm số

2

x   y

Vậy tập nghiệm của hệ là S = 2 2 2 2

Với bài này học sinh cần chú ý cách giải sai lầm sau:

Thay vào (2) có nghiệm 1 5

TH1 Xét trường hợp trên khoảng; 0 Từ (1) f x( ) f y( )  x y

Thay vào (2) có nghiệm x   vậy hệ có nghiệm ( 6; 6)6  

TH2 Xét trường hợp trên khoảng0; Từ (1)  f x( ) f y( )  x y

Thay vào (2) có nghiệm x  Vậy hệ có nghiệm (2;2) 2

Nghiệm của hệ phương trình là:     x y ; 2;2 ,  6; 6 

Bài 9 Giải hệ phương trình sau :

Từ điều kiện và từ phương trình (2) có x 1; y  1 1

(1)x 3x ( y1) 3 y , xét hàm số 1 f t( )t3 trên [1;3t  )

Hàm số đồng biến trên khoảng 1; , ta có ( ) f x  f( y1) x y 1

Với x  y thay vào (2) giải được 1 x 1; x  2

Vậy nghiệm của hệ là: 1 2

  phương trình (1) vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ là:   x y ; 5; 4 

Bài 14 Giải hệ phương trình:   

Thay vào phương trình (2) ta được:

Vậy nghiệm của hệ là:   x y ; 1; 2 

Bài 15 Giải hệ phương trình:    

+ Với y = x +1 thay vào(1) được (x 4) x  3 x3 x

 x 33 x 3 x3 x 3 

      Vế trái (3)  0 nên vế phải (3)  0 hay x  0

Xét f(t) = t 3 + t , f’(t) =3t 2 +1 > 0 t 0 nên f(t) luôn đồng biến trên nửa khoảng [0;

Thế vào (2) ta được: x  3 3x3 6 6 2 x 3 (3) ;- 23   x 3

Đặt

2 3

Mặt khác g 1  Vậy nghiệm của hệ là 3    x y ; 1;0

Bài 17 Giải hệ phương trình:

Vậy nghiệm của hệ là   x y    ; 1; 1

   

2 2

4x  6 3 4x   x 0

Vậy nghiệm của hệ là:    x y ; 0;2

Bài 20 Giải hệ phương trình:   

27x x 4x  2 3x 3x  x 1   x 1