Rèn luyện kỹ năng tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật cho học sinh lớp 6

Tuy nhiên nhiều học sinh khá giỏi khi mớibắt đầu gặp dạng toán này cũng bị lúng túng, nhiều bài không tìm ra cách giải.Trong khuôn khổ và thời gian không cho phép tôi chỉ xin trình bày n

8 2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 4

9 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử

dụng để giải quyết vấn đề

5

10 2.4 Hiêu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt

động giáo dục, với bản thân đồng nghiệp và nhà trường

Trong dạy học môn Toán thì giải toán có vai trò đặc biệt quan trọng, đó làmột việc mà cả người học và người dạy thường xuyên phải làm Đối với họcsinh phổ thông, giải toán là hình thức chủ yếu để học toán Các bài toán luônđược coi là phương tiện có hiệu quả để giúp học sinh nắm vững tri thức, pháttriển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo

Trong chương trình Số học ở trường THCS học sinh được biết đến dạngtoán tính tổng của dãy số viết theo quy luật Trong dạng toán này lại được chiathành nhiều dạng nhỏ khác nhau như: dãy tổng các số nguyên cách đều, dãytổng của các tích có các thừa số cách đều viết theo quy luật; dãy tổng của cáclũy thừa cùng cơ số nguyên có số mũ cách đều; dãy tổng các phân số viết theoquy luật, Đây đều là các dạng toán khó đối với học sinh các lớp đại trà vì phần

lý thuyết không có trong sách giáo khoa, phần bài tập cũng chỉ có một vài bàitrong sách bài tập Tuy nhiên trong chương trình bồi dưỡng và nâng cao Số họccho học sinh THCS nói chung, cho học sinh khá giỏi lớp 6 nói riêng lại khôngthể thiếu dạng toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật Thực tế là có yêu cầuđối với học sinh khá giỏi, vì trong bài kiểm tra cuối học kì, trong các đề thi họcsinh giỏi lớp 6 đều có dạng toán đó Tuy nhiên nhiều học sinh khá giỏi khi mớibắt đầu gặp dạng toán này cũng bị lúng túng, nhiều bài không tìm ra cách giải.Trong khuôn khổ và thời gian không cho phép tôi chỉ xin trình bày những sángkiến của mình trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn toán 6 ở phần tínhtổng của dãy phân số viết theo quy luật mà trên nền tảng là khai thác từ bài tập

87 chương III- Sách bài tập Đề tài có tên: “ Rèn luyện kĩ năng tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật cho học sinh lớp 6”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Tôi chọn đề tài này nhằm phát triển tư duy toán cho học sinh lớp 6, gópthêm một cách làm có hiệu quả đối với việc rèn luyện kĩ năng tính tổng của dãyphân số viết theo quy luật Góp phần tạo sự tự tin, chủ động kiến thức cho cáchọc sinh trong quá trình giải bài tập, trong thi cử, kiểm tra, đặc biệt là trong các

kì thi học sinh giỏi

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Trong đề tài này, tôi nghiên cứu về:

+ Nội dung bài tập 87 chương III- Sách bài tập Các hướng khai thác bàitoán để vận dụng vào các dãy phân số tương tự

+ Các dãy phân số viết theo quy luật thường gặp

+ Các kĩ năng biến đổi cần có để tính tổng dãy phân số viết theo quy luật.+ Vận dụng kĩ năng biến đổi dãy phân số viết theo quy luật vào giải dạngtoán tìm x, chứng minh bất đẳng thức,

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Khi lên ý tưởng và hoàn thiện đề tài tôi đã sử dụng các phương pháp:+ Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu ý tưởng và nội dung bài 87 chương III- Sách bài tập để tìm

ra quy luật làm chung của dạng toán tính tổng của dãy phân số viết theo quyluật

- Nghiên cứu các dãy phân số viết theo quy luật thường gặp trong các đềthi

+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập số liệu thông tin: Điềutra, khảo sát lớp 6A trường THCS Cẩm Phong thông qua bài kiểm tra

+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Sau nhiều năm giảng dạy các lớp đại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi tôithấy dạng toán tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật là dạng toán khá khóđối với học sinh đại trà, còn đối với học sinh giỏi giai đoạn đầu khi các em mớitiếp cận cũng rất khó khăn Tuy nhiên bằng hướng dẫn khéo léo của giáo viên,chỉ ra nguyên tắc làm chung cho dạng toán này thì chỉ sau một buổi những họcsinh trội hơn đã có thể tự làm các bài tương tự, những học sinh khá và trungbình khá cần hướng dẫn thêm vài lần ở các buổi sau thì các em cũng làm được

+ Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động:

Qua quá trình giảng dạy cũng như quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôithấy những dạng toán nào mà có quy tắc làm chung thì học sinh cũng làm tốthơn Như dạng toán tính tổng dãy phân số viết theo quy luật, lúc đầu học sinhcòn chưa định hướng được cách giải nhưng sau khi làm theo các bước gợi ý củabài tập 87 sách bài tập và theo hướng dẫn của giáo viên tôi thấy học sinh dầnlàm tốt hơn và thành thạo hơn Các học sinh trung bình khá cũng đã biết làm

2 Nội dung của sáng kiến 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong chương trình Số học ở trường THCS nói chung, Số học 6 nói riêngdạng toán tính tổng dãy phân số viết theo quy luật có vai trò quan trọng vì nó rènluyện và phát triển tư duy cho học sinh rất nhiều, không những thế nó còn giúphọc sinh học tốt dạng toán tìm x có chứa dãy phân số viết theo quy luât, dạngtoán chứng minh bất đẳng thức mà một vế là tổng dãy phân số viết theo quyluật, dạng toán so sánh , Ngoài ra nó còn vận dụng vào tính tổng các phân thứcviết theo quy luật và giải phương trình ở lớp 8 Tuy dạng toán tính tổng của dãyphân số viết theo quy luật không phải là dạng khó của phần Số học song nhiềuhọc sinh vẫn chưa làm được vì chưa nắm được bản chất của nó cũng như các

dạng toán tính tổng dãy phân số viết theo quy luật hoặc toán phải vận dụng dãyphân số viết theo quy luật thường xuyên có trong các kì thi hết học kì II, kì thihọc sinh giỏi môn toán lớp 6 ở huyện Cẩm Thủy và các huyện khác trong tỉnhThanh Hóa và các tỉnh khác trong nước Thế nhưng sách giáo khoa thì không đềcập một bài toán nào về dãy phân số viết theo quy luật, sách bài tập thì chỉ cóhai bài là bài 87 và bài 95 (trong cả chương III - Phân số) Bài 87 có thể coi làbài toán gốc của dạng toán tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật, phải biếtvận dụng linh hoạt nội dung bài 87 thì mới làm được bài 95 và các bài tập khác.

Từ thực tế đó trong quá trình giảng dạy tôi luôn chú trọng rèn luyện kĩ năng tínhtổng của dãy phân số viết theo quy luật mà điểm xuất phát là khai thác bài toán

87 Từ việc giải theo trình tự các câu của bài tập 87 tôi xây dựng cho học sinh kĩnăng quan sát, nhận xét, đánh giá các dãy phân số tương tự, đặc biệt là kĩ năngvận dụng toán

2.1.1.Muốn rèn luyện kĩ năng tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật cho học sinh lớp 6 thì trước tiên các em phải nắm được các công thức cơ bản sau:

a,Định nghĩa phân số :

Ta gọi với a,b Î Z, b≠ 0 là một phân số, a là tử số, b là mẫu số của phân số

b,Tính chất cơ bản của phân số

+ Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì được phân số mới bằng phân số đã cho

+ Cộng hai phân số không cùng mẫu : Ta viết chúng dưới dạng hai phân số có

cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung

* Giao hoán :

b

a.d

cd

c.b

c b

a q

p d

c b a

* Nhân với số 1:

b

a b

a b

c.b

aq

pd

c

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Để khảo sát mức độ tự học và khả năng tư duy vận dụng của học sinh, saukhi học xong bài “Phép nhân phân số” tôi yêu cầu học sinh làm bài tập 87-chương III- sách bài tập toán 6 tập II trong thời gian 15 phút Nội dung đề nhưsau:

a Cho hai phân số và (n Î Z, n > 0) Chứng tỏ rằng tích của hai phân số nàybằng hiệu của chúng (4 điểm)

b Áp dụng kết quả trên để tính giá trị của các biểu thức sau:

Cần chú thích thêm là: Không có học sinh nào tính được giá trị biểu thức

B bằng cách vận dụng kết quả câu a (6 học sinh đạt điểm khá cũng chỉ biết áp dụngcâu a vào tính giá trị biểu thức A), một số học sinh tính giá trị biểu thức B bằng cách quyđồng mẫu số các phân số nên chưa ra đến kết quả cuối cùng (không kịp thời gian)

Qua kết quả khảo sát cho thấy mặc dù tỉ lệ học sinh khá, giỏi học kì Itrong lớp rất cao, song khả năng tự học và tư duy linh hoạt với dạng toán nàycòn rất nhiều hạn chế Vì vậy trong các tiết luyện tập, ôn tập và các buổi dạythêm tiếp theo tôi phải chữa bài và hướng dẫn học sinh khai thác lại bài tập 87,đồng thời soạn thêm nhiều bài tập về dạng toán tính tổng của dãy phân số viếttheo quy luật để hướng dẫn học sinh tự giải Với cách làm này qua khảo sát vàđối chứng lại tôi thu được kết quả khá tốt Cụ thể trong bài thi học sinh giỏi lớp

6 cấp huyện của huyện Cẩm Thủy vừa qua 4 học sinh của tôi đã làm được trọnvẹn hai bài toán có liên quan đến tính tổng dãy phân số viết theo quy luật

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Tổ chức và hướng dẫn học sinh làm lại bài tập 87- chương III- Sách bài tập, khai thác để rút ra cách làm chung cho những dãy phân số tương tự Bài tập 87- Chương III- SBT toán 6 tập hai:

a Cho hai phân số và (n Î Z, n > 0) Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệucủa chúng

b Áp dụng kết quả trên để tính giá trị của các biểu thức sau:

A = + + + + + +

B = + + + + + +

* Hướng dẫn học sinh tìm hiểu và giải bài toán:

a Bài toán yêu cầu chứng minh tích của hai phân số đã cho bằng hiệu của chúng,tức là ta cần chứng minh đẳng thức:

= -

Quy đồng mẫu, ta được: - = = =

Vậy: (1)

b Trong tổng A: Mỗi tích của tổng A là dạng cụ thể của Như vậy ta chỉ cần viết mỗi

tích trong tổng thành hiệu 2 phân số như trong công thức (1), ta có:

A = + + + + + +

A = - + - + - + - + - + - + -

A = - =

- Trong tổng B: Mỗi phân số chưa có dạng Vậy em hãy tìm cách đưa mỗi

phân số về thành tích hai phân số đều có tử là 1và hai mẫu số là hai số tự nhiên liên tiếp

* Khai thác bài toán:

+ Quan sát công thức (2) ta thấy: Nếu một phân số có mẫu là tích của hai số tựnhiên liên tiếp (cách nhau 1 đơn vị), có tử số bằng 1, đúng bằng khoảng cách giữa haithừa số ở mẫu thì phân số đó viết được thành hiệu hai phân số có tử đều bằng 1, hai mẫu

số lần lượt là hai thừa số ở mẫu của phân số đã cho Nhờ cách làm đó ta đã biến dãycộng thành dãy cộng, trừ đan xen để ước lược các số hạng đối nhau Chẳng hạn - và + ;

- và + ; … Do đó bài toán được giải quyết nhanh chóng , chứ nếu quy đồng mẫu cácphân số trên chắc chắn sẽ gặp nhiều khó khăn (như một số bạn đã làm) Đó là chưa kểđến có bài cần tính tổng của dãy gồm cả trăm , cả nghìn phân số thì việc quy đồng mẫu số

1

4.3

13.2

12

Khi gặp bài toán này một số học sinh của tôi đã rất lúng túng và mắc sai lầm

như sau (vì làm tương tự bài 1, bài 2 một cách máy móc.):

b) Khi gặp bài toán này một số học sinh của tôi đã mắc sai lầm như sau (vì làm

tương tự bài 1, bài 2 một cách máy móc.):

Từ cách làm trên tôi đã chỉ ra cho học sinh thấy được sai lầm của các em đó là

biến đổi B như sau:

2 7 4

2 4 1

Lời giải:

C = 2 ( 97.1100

10 7

1 7 4

1 4

3 7 4

3 4

1

10

1 7

1 7

1 4

1 4

10140

1056

A = 140010

260

10 140

5 28

= 255.28

13 10

5 10 7

5 7

3

13 10

3 10 7

3 7

5 ) 28

1 25

1

13

1 10

1 10

1 7

1 7

Vậy A= 145

b) Bài này tử bằng 1 nhưng khi tách các mẫu thành tích của hai thừa số thì giữacác mẫu không có quy luật gì cả Tôi gợi ý học sinh quan sát các mẫu xem cóliên hệ gì với các mẫu của câu a) không thì có học sinh phát hiện ra được

số viết theo quy luật.

Giáo viên: Nếu mẫu là tích của 3, 4 số tự nhiên cách đều nhau thì sao?

Bài 11: Rút gọn biểu thức sau:

a) A =

b) B = + + + …… +

Hướng dẫn: a) Ở bài toán này, mẫu là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, tử bằng

1 cũng đúng bằng khoảng cách giữa các thừa số ở mẫu, các em thử xem có viếtđược mỗi phân số thành hiệu của hai phân số nào không mà giữa các phân sốphải có mối liên hệ?

Giáo viên hướng dẫn học sinh thử:

Vậy: A =

4.3

13.2

12.1

100 2

1 <99.1100=991 -1001 Suy ra: 2 2

1

+3 2

1+ + 100 2

Từ (1) và (2) ta có 25 S 89

Bài 15

Hướng dẫn: Ta khó có thể quy đồng mẫu các phân số này, vậy hãy xem các

mẫu đó viết theo quy luật nào?

Giáo viên: Hãy tính tổng A xem kết quả có so sánh được với không?

2.3.4 Vận dụng phương pháp tính tổng dãy phân số viết theo quy luật vào dạng toán tìm x

Bài 17 Tìm số nguyên x biết:

(1)Mặc dù học sinh đã được va chạm dạng bài 2, bài 10 ở trên nhưng đến khi gặp bài nàynhiều học sinh vẫn mắc vì vừa phải biết đặt thừa số chung là x, vừa phải biết đưa tổngdãy phân số về dạng có quy luật Giáo viên phải gợi ý để đi đến lời giải:

Nhân hai vế của (1) với ta được:

Học sinh nhận ra các phân thức trong dấu ngoặc viết theo quy luật từ đó biến đổi được:

2

2

: 2

x + 1= 18 x = 17

Bài 20 Tìm x biết: + … + ).x =

Vì học sinh đã biết tính tổng các phân số trong ngoặc ở trên từ bài 11c) nên học sinh tôi vận dụng làm tốt bài này như sau: + …+ ).x + - + …+ .x =

( ) x =

x = x = 1

x = 3

Vậy: x = 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi về rèn luyện kĩ năng tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật được đúc rút từ thực tế giảng dạy (đặc biệt là

khi dạy xong phần này tôi cũng đã cho học sinh làm lại bài kiểm tra 15 phút để

có số liệu đối chứng Đề kiểm tra 15 phút như sau (đề dài hơn và phải vận dụngnâng cao hơn đề 15 phút ban đầu):

Bài 1: (4 điểm) Tính các tổng sau bằng cách hợp lý nhất:

a, A =

50.49

1

4.3

13.2

12

5 28

Bài 2: (3 điểm)

17 15

20 15

13

20 13

11

20

-

11

3 55

3

12

11

Về phía học sinh, tôi nhận thấy các em đã tiếp thu kiến thức một cách chủđộng, có hệ thống, vận dụng thành thạo, linh hoạt vào giải bài tập của các dạngtoán có liên quan Xóa đi cảm giác khó, trừu tượng ban đầu đồng thời góp phần

để học sinh học tốt các nội dung khác sau này

Sáng kiến kinh nghiệm cũng đã góp phần vào rèn luyện và phát triển tưduy, nâng cao trí tuệ cho học sinh và học sinh cũng nhận thấy được dạng toánnày thật phong phú chứ không đơn điệu như hai bài tập trong sách bài tập (Vìkhuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm không cho phép nên tôi chỉ trình bày ra đây

20 bài tập của ba loại bài toán liên quan đến dạng toán tính tổng của dãy phân sốviết theo quy luật)

Về phía bản thân thông qua việc nghiên cứu đề tài tôi thấy mình vững vànghơn trong chuyên môn, hiểu sâu hơn về bài toán tính tổng dãy phân số viết theo

quy luật Tôi thấy tự tin hơn, say mê hơn khi đứng trên bục giảng và đặc biệt làtrong quá trình ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi Toán 6 của nhà trường.

Học sinh hứng thú, chăm chỉ học tập, yêu thích bộ môn vì thế chất lượngmôn toán ngày càng được nâng cao Trong kì thi học sinh giỏi lớp 6 năm học2017-2018 lớp 6B trường THCS Cẩm Phong cũng đạt được 4 giải cấp huyệntrong đó có một câu liên qua đến tính tổng dãy phân số viết theo quy luật cáchọc sinh trường tôi đều làm tốt Sự tiến bộ đó của học sinh chính là động lực đểtôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm của mình

3 Kết luận, kiến nghị:

3.1 Kết luận:

Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh không phải là công việc có thểthực hiện trong ngày một ngày hai mà cần phải có sự kiên trì, bền bỉ và sáng tạocủa giáo viên trong suốt quá trình giảng dạy

Thông qua việc nghiên cứu đề tài và áp dụng vào giảng dạy tôi rút ra một

số bài học kinh nghiệm sau:

+ Phải trang bị cho học sinh đầy đủ, chính xác các phép tính về phân số

và rút gọn phân số, nắm được các dạng toán thường gặp liên quan đến tính tổngcủa dãy phân số viết theo quy luật

+ Học sinh phải được rèn luyện nhiều các bài và dạng bài toán tính tổngcủa dãy phân số viết theo quy luật từ bài đơn giản, cơ bản đến bài nâng cao, vậndụng Cần rèn luyện về cách lập luận và trình bày của học sinh

+ Giáo viên cần sưu tầm bài tập, sắp xếp theo dạng bài để khi dạy hướngdẫn học sinh tìm ra quy luật giải của mỗi dạng toán

+ Với mỗi bài toán giáo viên phải để lại cho học sinh một ấn tượng, mộtbước đi nào đó để khi gặp bài toán tương tự học sinh có thể liên hệ, vận dụngđược

3.2 Kiến nghị:

Tôi xin đề xuất một ý nhỏ sau:

Đối với Sở và Phòng giáo dục: Hàng năm, sau mỗi kì chấm sáng kiến kinhnghiệm Sở giáo dục và Phòng giáo dục nên gửi cho các trường học những sángkiến kinh nghiệm hay, thiết thực được xếp loại A cấp huyện và cấp tỉnh để giáoviên các trường học tập và áp dụng vào thực tế giảng dạy, bởi vì sáng kiến kinhnghiệm chỉ có giá trị khi được nhiều người sử dụng và mang lại hiệu quả caotrong dạy học

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dungcủa người khác