Phương pháp giải các bài toán về tỷ lệ thức, áp dụng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 trường THCS luận thành

Tôi là một giáo viên được phân công giảng dạy môn toán 7 nhiều năm liền và khi dạy đến phần giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau học trò vẫn còn sai lầm trong lời

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THƯỜNG XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỶ LỆ THỨC,

ÁP DỤNG TRONG VIỆC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP

7 TRƯỜNG THCS LUẬN THÀNH

Người thực hiện: Trương Minh Niên Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Luận Thành SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018

Mục lục

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3.3.1 Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ

thức cho trước

5-6

2.3.3.2 Dạng 2 : Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho

trước.

6-11

2.3.3.3 Dạng 3: Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng 11-13

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt

động giáo dục, bản thân đồng nghiệp và nhà trường.

13-14

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng khoa học kỹ thuật Nó ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trường phổ thông và kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi

Luật Giáo dục 2005 (điều 5) quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”

Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “ giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động , tham gia xây dựng và bảo vệ

Tổ quốc” Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh; điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh”

Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có những tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏi người giáo viên phải có một phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy

Tôi là một giáo viên được phân công giảng dạy môn toán 7 nhiều năm liền và khi dạy đến phần giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau học trò vẫn còn sai lầm trong lời giải, và lo sợ khi giải loại toán này Tôi muốn đưa ra một số kinh nghiệm giúp học trò không còn sai sót đó nữa nên tôi

đã nghiên cứu đề tài: “Phương pháp giải các bài toán về tỷ lệ thức, áp dụng

trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 ở trường THCS Luận Thành”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tôi là một giáo viên được phân công giảng dạy môn toán lớp7 nhiều năm liền và khi dạy đến phần giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau học trò vẫn còn sai lầm trong lời giải, khi gặp các dạng toán hơi phức tạp một chút là các em lại sợ làm không được Để các em không sợ các dạng toán như chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức cho trước, chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước và tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng Tôi muốn đưa ra một số kinh nghiệm giúp học trò không còn sai sót và sợ dạng toán

đó nữa nên tôi đã nghiên cứu đề tài: “Phương pháp giải các bài toán về tỷ lệ

thức, áp dụng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 ở trường THCS Luận Thành”

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Nhằm nắm lại chất lượng môn Toán lớp mình dạy trong năm học trước, theo dõi kết quả học tập của các em ở đầu năm học mới, giữa học kì I, kết quả học kì I

- Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp

- Thông qua dự giờ, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp

- Triển khai nội dung đề tài và kiểm tra, đối chiếu kết quả học tập của học sinh từ đầu năm học đến kết quả học kì một

- Học sinh có học lực khá, giỏi

- Các phương pháp dạy học theo hướng đổi mới

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu từ các tài liệu và sách tham khảo có liên quan

- Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp

- Thông qua dự giờ rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp

- Hệ thống lý thuyết của từng tiết dạy, từng chủ đề về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , chốt lại các vấn đề cần lưu ý, đưa ra ví dụ đã được chọn lọc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp

- Triển khai nội dung đề tài, kiểm tra và đối chiếu kết quả học tập của học sinh từ đầu năm học đến cuối học kì I

Học sinh nắm chắc các kiến thức giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, áp dụng làm tốt các dạng toán từ đơn giản đến phức tạp Bên cạnh đó, học sinh có thể vận dụng kiến thức giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để vận dụng giải các dạng toán khác như (thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên, tìm số hạng chưa biết của một

tỷ lệ thức , tìm các số hạng chưa biết khi cho một dãy tỉ số bằng nhau và tổng hoặc hiệu của các số hạng đó, chứng minh đẳng thức,…) Thông qua việc giải bài tập tập sẽ hình thành cho học sinh kĩ năng phân tích, kĩ năng quan sát, phán đoán, rèn tính cẩn thận, linh hoạt

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1.Cơ sở lý luận.

Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong nghị quyết Trung ương 4 khoá VII (01-1993), Nghị quyết trung ương 2 khoá VIII (12-1996), được thể chế hoá trong Luật Giáo dục (2005), được cụ thể hoá trong các chỉ thị của Bộ giáo dục và đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14(4-1999) Luật giáo dục, điều 28.2, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhó, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Vì vậy, ngoài việc nắm vững lý thuyết trên lớp học sinh còn phải vận dụng lý thuyết đó một cách hợp lý, khoa học để giải bài tập.Bài tập Toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, có niềm tin, phẩm chất đạo đức của người lao động Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy sáng tạo Bài

tập Toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập

và trình độ phát triển của học sinh

Dạy Toán, học Toán là quá trình tư duy liên tục, cho nên việc nghiên cứu tìm tòi, đúc kết kinh nghiệm của người dạy Toán và học Toán là không thể thiếu được Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của nhiều giáo viên Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu giáo viên hiểu ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức một cách

hệ thống, dẫn đắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết

Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mê học Toán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình

Chính suy nghĩ trên, bản thân tôi đã tìm tòi, sưu tập và hệ thống kiến thức, giúp học sinh có những kinh nhgiệm giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy

tỉ số bằng nhau một cách nhẹ nhàng, đơn giản

Trên bục giảng, ở mỗi tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáo viên phải luôn tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc Từ đó rút ra những kiến thức cần nhớ

2.2 Cơ sở thực tiễn.

Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn

Đứng trước một bài toán, học sinh phải có trong mình một vốn kiến thức

cơ bản, vững chắc về mặt lý thuyết Có được những thủ pháp cơ bản thuộc dạng toán đó, từ đó mới tìm cho mình con đường giải bài toán nhanh nhất

Để học sinh có được điều trên thì trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của dạng toán một cách cơ bản, sâu rộng, giúp học sinh :

Nhìn nhận từ một bài toán cụ thể thấy được bài toán khái quát

Từ phương pháp giải khái quát thấy được cách giải một bài toán cụ thể Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài toán với nhau

Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải toán

Với một sự lao động nghiêm túc tôi xin trình bày một phần nhỏ kinh nghiệm soạn bài của mình nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải dạng toán vận dụng tính chất của tỷ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

2.3 Nội dung vấn đề.

2.3.1 Lý thuyết.

a Định nghĩa: Tỷ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số a c

b d

Ta còn viết:

a : b = c : d

trong đó a và d là các ngoại tỉ(số hạng ngoài); b và c là các trung tỉ(số hạng trong)

b Tính chất của tỷ lệ thức : a c

b d

Tính chất 1: Nếu a c

b d thì a.d = b.c

Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỷ lệ thức :

a c

b d ; a b

c d ;d c

b a; d b

c a Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức a c

b d suy ra các tỷ lệ thức : a b

c d , d c

b a,

d b

c a

c Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a c

b d suy ra a c a c a c

b d b d b d

  , (b ≠ ± d) Tính chất 2: từ dãy tỉ số bằng nhau a b d c i j ta suy ra:

a c i a c i a c i

b d j b d j b d j

   

    , (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Tính chất 3: nếu có n tỉ số bằng nhau(n2): 1 2 3

n n

b b b  b thì

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Lưu ý: Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu

“- ” trước số hạng dưới của tỉ số đó Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán

* chú ý: khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có: x y z

a b c Ta cũng viết: x : y : z = a : b : c

2.3.2 Các giải pháp thực hiện.

Qua thực tế khi chưa nghiên cứu theo đề tài này học sinh gặp nhiều sai sót trong quá trình giải toán Ví dụ các em hay sai nhất trong cách trình bày lời giải , sự nhầm lẫn giữa dấu “=” với dấu “=>”

Ví dụ:

d

( )

9 5 9.3 5.3

x y x y

   thì các em lại dùng dấu “=” là sai

Hãy tìm x, y, z biết

5 3 4

x y z

  và x +y + z = 12

5 3 4 S 5 3 4 12

x y z x y z 

5

x

x

   

Ở trên các em dùng dấu “=>” là sai

Vì vậy tôi đưa ra một số dạng toán nhỏ giúp các em không còn sai sót trong lời giải của mình:

1 Chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức cho trước

2 Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.

3 Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng.

2.3.3 Các dạng toán.

2.3.3.1 Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức cho trước.

Phương pháp giải: tìm cách biến đổi dể trở về đẳng thức cần chứng minh

hoặc có thể đặt tỉ số cho trước bằng một hằng số k nào đó

Bài 1.1: cho a c

b d chứng minh rằng a c

a b c d GV: đối với bài toán này ta có thể đặt a c k

b d  hoặc biến đổi tỷ lệ thức cho trứơc để chúng trở thành đẳng thức cần chứng minh

Giải:

Cách 1: a c

b d b d a b c d

a b c d (đpcm) Cách 2: a c a b a b a c

b d c d c d a b c d



Cách 3: ( cách này áp dụng được vào nhiều bài toán dạng này)

đặt a c k

b d  suy ra a bk c dk ; 

Ta có:

( 1) 1

a bk bk k

a b bk b b k k (1)

( 1) 1

c d dk d d k k (2)

Từ (1) và (2) suy ra a c

a b c d

Bài 1.2 Chứng minh rằng : Nếu a c 1

bd  thì a b c d

a b c d



  với a, b, c, d ≠ 0 Hướng dẫn: bài này chứng minh tương tự theo bài 1

Giải:

Cách 1 :

Với a, b, c, d ≠ 0 ta có: a c a 1 c 1 a b c d

      

a b b

c d d



 (1)

a c a b c d a b b

b d b d c d d

 (2)

Từ (1) và (2) => a b a b a b c d

c d c d a b c d

Cách 2: Đặt a c k

b d  suy ra a bk c dk ; 

Ta có a b a b bk b bk b b k b k.(.( 1)1)k k11

Và c d c d dk d dk d d k d k.(.( 1)1)k k11

Từ (1) và (2) suy ra a b c d

a b c d



 

Bài 1.3: Nếu a c

b d thì:

a, 5 3 5 3

5 3 5 3

a b c d

a b c d



b, a22 b22 ab

c d cd







GV: Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?

Cách 2 của bài 1 gợi ý gì cho giải bài 3? Sử dụng cách 2 của bài 1 có làm được không? Giáo viên hướng dẫn theo cách 2 của bài 1 và cho học sinh về nhà giải theo cách 3

Giải:

a c a b a b a c a b c d

b d c d c d b d a b c d

  (áp dụng kết quả của bài 2 )

b Từ a c a b a22 b22 a22 b22

b d c d c d c d



 (1)

và từ a c a b a a. b a. a22 ab

b d  c d  c c d c  c cd (2)

từ (1) và (2) suy ra a22 b22 ab

c d cd





Bài 1.4: Chứng minh rằng: Nếu a2 bcthì a b c a

a b c a



  điều đảo lại có đúng hay không?

Giải:

+ Ta có: 2 a b a b a b a b a b c a

a bc

c a c a c a c a a b c a

+ Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy:

Ta có:

       

2

hay

2 2

a b c a

a b c a

a b c a a b c a

ac a bc ab ac a bc ab

bc a



      

 a2 bc

Bài 1.5:Chứng minh rằng: Nếu a c  2 (1)b và 2bd c b d (  ) (2) đk: b;d≠0 thì a c

b d

Giải:

Ta có: a c  2b a c d   2bd 3

Từ (3) và (2)

c b d  a c d

 cb ad

a c

b d

  (đpcm)

2.3.3.2 Dạng 2 : Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.

Phương pháp giải: giả sử phải chia số S thành ba phần x, y, z tỉ lệ với

các số a, b, c Ta làm như sau:

x y z x y z s

a b c a b c a b c

 

    do đó x s .a

a b c



  ;y s .b

a b c



  ;z s .c

a b c



 

Bài 2.1: Tìm ba số x, y, z, biết rằng: ;

2 3 4 5

x y y z

  và x + y – z = 10

Hướng dẫn: ở bài toán này chưa cho ta một dãy tỉ số bằng nhau Vậy để xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thề nào? Ta thấy ở tỉ số

3

y

và

4

y

có hai

số hạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới( ta tìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau), ta

sẽ quy đồng hai tỉ số này về cùng mẫu chung, muốn vậy ta tìm BCNN(3;4)=12

từ đó mẫu chung của 3 và 4 là 12

Giải:

BCNN(3;4)=12 nên ta biến đổi như sau:

2 3 8 12

x y x y

    ( nhân cả hai vế với 1

4 ) (1)

4 5 12 15

y z y z

    ( nhân cả hai vế với 1

3) (2)

Từ (1) và (2)

8 12 15

x y z

  Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

10 2

8 12 15 8 12 15 5

x y z x y x 

 

Vậy

x = 8.2 = 16

y = 12.2 = 24

z = 15.2 =30

Bài 2.2 Tìm x, y, z biết:

15 20 28

x y z

  và 2x 3y z  186

GV : Bài cho 2x 3y z  186

Làm như thế nào để trong dãy tỉ số bằng nhau trên xuất hiện biểu thức

2x 3y z  186?

Giải:

Từ

15 20 28

x y z

  hay 2 3

30 60 28

x y z

 

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

3

30 60 28 30 60 28 62

x y z x y z

Suy ra 2x = 3.30 = 90  x=90:2=45

3y= 3.60 = 180  y=180:3=60

z = 3.28 = 84

Bài 2.3 Tìm x, y, z cho:

3 4

x y

 và

5 7

y z

 và 2x 3y z  372

GV : Nhận xét bài này và bài 2.2 có gì giống nhau?

Đưa bài này về dạng bài trên bằng cách nào?

Giải:

BCNN(4;5)=20 nên ta biến đổi như sau:

Ta có:

3 4 15 20

x y x y

   (nhân cả hai vế cho 1

5) (1)

5 7 20 28

y z y z

   (nhân cả hai vế cho 1

4) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

15 20 28

x y z

 

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau giống bài 2 ta giải ra được:

x = 90; y = 120; z = 168

Bài 2.4 Tìm x, y, z biết

2 3

x y

 và

5 7

y z

 và x + y + z = 98

GV : tương tự bài tập 2.1 Tìm BCNN(3 ;5)=15

ĐS: x = 20; y = 30; z = 42

Bài 2.5 Tìm x, y, z biết:

a 1 2 3 1

x y z

  và 2x + 3y –z = 50

b 2 3 4  2

3 4 5

x y z

  và x + y +z = 49 Giải:

a Ta biến đổi (1) như sau : 2.( 1) 3.( 2) 3

x y z

hay 2 1 3 2 3

x y z

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

2 1 3 2 3 2 2 3 6 3

x y z x  y  z

 

2 3  2 6 3 50 5

5

x y z     

1

5 11 2

x

x



  

2

5 17 3

y

y



  