Nâng cao kỹ năng giải một số dạng toán số học bằng cách sử dụng phương pháp chặn

Với mong muốn các học sinh của mình sẽ đạt giải cao trong kỳ thi chon HSG cấp tỉnh Tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh nghiệm: "Nâng cao kỹ năng giải một số dạng toán số học bằng cách sử dụng

1 MỞ ĐẦU

Trong đề thi HSG cấp tỉnh THCS những năm gần đây, phần kiến thức về

"Số học" là câu ở mức độ “vận dụng”; đây là câu ở mức (điểm 15-18) Hầu hếtcác học sinh ở các trường THCS, nhất là học sinh học ở các trường miền núithường gặp khó khăn khi làm câu này Trong thực tế giảng dạy tôi thấy, muốncho học sinh đạt được điểm 15 trở lên trong kỳ thi thi HSG cấp tỉnh thì phảihướng dẫn các em học tốt các nội dung trong câu này Một phần kiến thức rất

quan trọng trong phần này là các kiến thức về: Sử dụng phương pháp chặn để

giải bài toán số học Với mong muốn các học sinh của mình sẽ đạt giải cao

trong kỳ thi chon HSG cấp tỉnh Tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh nghiệm: "Nâng

cao kỹ năng giải một số dạng toán số học bằng cách sử dụng phương pháp chặn".

Do khả năng còn hạn chế; kinh nghiệm chưa nhiều và hạn chế về số trangnên trong SKKN của tôi có thể có những phần chưa hoàn chỉnh Rất mong được

sự đóng góp quí báu của quí thầy cô

Tôi xin chân thành cảm ơn!

1.1 Lí do chọn đề tài

Số học là phần kiến thức mà các em được học từ năm lớp 6 với các nộidung khá cơ bản và đơn giản Nhưng trong các kỳ thi HSG cấp tỉnh thì đây là

câu ở mức “vận dụng” Đối với học sinh miền núi, Từ thực tế giảng dạy của

mình tôi nhận thấy khi giải những bài toán số học phải sử dụng phương phápchặn để giải nhiều học sinh còn gặp khó khăn, lúng túng, chưa biết cách sửdụng đặc biệt là khai thác các dữ kiện của bài toán, loại trừ các khả năng cóthể xảy ra, từ đó đi đến vấn đề trọng tâm rồi chủ động đưa ra cách giải mộtcách đơn giản và đi đến kết quả Vì vậy việc tôi lựa chọn cách này để viếtSKKN là cấp thiết, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Tôi viết SKKN này với mục đích:

- Thông qua đề tài tìm ra các yếu điểm của HS trong giải toán số học có

sử dụng phương pháp chặn

- Củng cố, cung cấp cho học sinh kỹ năng và một số kiến thức vềphương pháp chặn, cách nhận biết dạng toán và lựa chọn cách trình bày bàicho phù hợp nhằm nâng cao năng lực học toán, giúp học sinh tiếp thu bài chủđộng sáng tạo và là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan

- Giải đáp được những thắc mắc, sửa chữa được những sai lầm hay gặpkhi giải các bài toán liên quan đến phương pháp chặn

- Giúp GV phát hiện bồi dưỡng HS khá giỏi, học sịnh có khả năng họctoán

- Phổ biến đến các thành viên trong tổ chuyên môn nơi tôi công tác, giúpcác em học sinh đạt điểm cao trong kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh Nếu các đồngnghiệp ở trường khác thấy có ích thì tôi sẵn sàng chia sẻ

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài này nghiên cứu, tổng kết về lớp các bài toán số học có sử dụngphương pháp chặn

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Tôi nêu lên phần lí thuyết và một số tính chất hay dùng trong quá trình

sử dụng phương pháp chặn

- Nêu lên một số dạng toán cơ bản và cách suy nghĩ để giải các dạng này

- Một số bài tập vận dụng và nâng cao

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của SKKN

Bản chất của phương pháp là: “Muốn tìm được số hay mệnh đề nào

đó thỏa mãn tính chất hoặc điều kiện cho trước” ta phải giới hạn (chặn) số đónhằm giới hạn phạm vi áp dụng của số hoặc mệnh đề đó lại sau đó kết hợpvới các tính chất và các điều kiện đã cho khác của đề bài có liên quan để đưa

ra kết quả

Phương pháp cụ thể: Muốn tìm số a thỏa mãn tính chất nào đó, ta giả

sử am Dùng lập luận kết hợp với các điều kiện đã cho của bài toán để suy

ra a n Kết hợp hai điều kiện trên ta đã tìm được khoảng giới hạn của a là từ

m đến n m a ntức khi đó ta đã chặn được Sau đó kết hợp các điều kiện

đề bài cho hoặc thử các giá trị trong khoảng đó suy ra các giá trị cần tìm của

a

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Số học là môn học các em được học ở lớp 6 nhưng trong nhiều dạngtoán và trong đề thi học sinh giỏi các cấp học sinh thường gặp, tuy nhiênnhiều em khi gặp thường bỏ không làm, hoặc làm không đúng, hoặc có giảiđược thì rất dài và không đầy đủ, vì không biết dụng các điều kiện của đề bài

và các tính chất của các số Vì vậy kết quả đạt được thường không cao

Khi giải toán số học, quan trọng thường có trong cách giải là tìm cách hạnchế các giá trị của biến để ra kết quả, cách làm đó gọi chung là "cách chặn" Việc áp dụng phương pháp chặn để giải các dạng toán số học đã được sửdụng để giải trong nhiều bài tập và nhiều ví dụ cũng như có nhiều người đã sửdụng, song việc áp dụng chưa thật sự chủ động, chưa rộng, chưa có tài liệu,sách nào giới thiệu một cách đầy đủ, chi tiết về phương pháp giải, đặc biệt lànhiều thầy cô trong giảng dạy cũng chưa tổng hợp, phân dạng để hình thành

tư duy phương pháp và kĩ năng cho học sinh, nên gặp các dạng toán này nếu

là bài tương tự với bài đã được chữa, được làm thì các em còn làm được Tuy

nhiên với những bài thay đổi dữ liệu hoặc khác với các ví dụ đã làm thì các

em còn rất mơ hồ, chưa xác định được phương pháp giải một cách rỏ ràng do

đó còn gặp nhiều khó khăn trong việc giải bài tập, nhất là các bài tập về sốhọc

Qua khảo sát 16 em học sinh đội tuyển toán lớp 7 trong hai năm họcliên tiếp: 2016-2017 và 2017- 2018 của trường THCS Cẩm Phong về việc sửdụng phương pháp chặn để giải các dạng toán số học thường có trong đề thihọc sinh giỏi cấp huyện các năm gần đây, kết quả nhận được như sau:

Điểm dưới 5 Điểm 5 - 7 Điểm 8 - 10

Từ thực trạng trên, trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinhgiỏi để nâng cao hiệu quả dạy và học đối với dạng nay tôi đã tìm hiểu, nghiêncứu và phân dạng các bài toán có sử dụng phương pháp chặn để hướng dẫnhọc sinh cách trình bày thông qua đó xây dựng cho các em tư duy phươngpháp và kỹ năng cho các em để giải dạng toán này một cách cụ thể, có hiệuquả hơn

2 3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Để giúp cho học sinh nắm được phương pháp giải và xác định được

cách làm của từng dạng, tôi đã tham khảo các tài liêu bồi dưỡng học sinh giỏimôn toán các khối lớp, các đề thi học sinh giỏi các khối lớp ở nhiều năm, cácchuyên đề và qua mạng internet để nghiên cứu, tìm hiểu, phân dạng, nhờ đó

đã giúp cho tôi hiểu một cách sâu sắc hơn về phương pháp chặn, từ đó tôi đãtổng hợp, xây dựng được hệ thống bài tập phong phú Với hệ thống bài tậpsắp xếp từ dễ đến khó theo dạng, thông qua các dạng toán này giúp học sinh

tự rút kinh nghiệm và hình thành phương pháp, rèn luyện kỹ năng giải, giúpcác em dễ dàng nghi nhớ, dễ dạng phân biệt và áp dụng vào giải quyết các bàitoán dạng này đạt kết quả cao hơn, cụ thể tôi đã thực hiện dạy như sau:

1/ Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về việc sử dụng phương pháp chặn.

Ví dụ như: Tìm số a thỏa mãn tính chất cho trước nào đó

1 1

2/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi.

H? Yêu cầu bài toán là gì? Để thực hiện yêu cầu đó ta có những hướng suy nghĩnào?

H? đề bài cho biết gì? Với giả thiết đó, ta có mấy cách giải quyết bài toán này và

ta sẽ làm bài này theo cách nào? vì sao?

* Khi gặp khó khăn, ta tiếp tục đặt câu hỏi ?

H? Ta gặp khó khăn ở đâu? Có phần giả thiết nào chưa sử dụng không?

H? Ta đã gặp bài toán nào tương tự bài này chưa?

 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này

+/ Câu trả lời mong muốn

Vì x N và x lớn nhất chia cả hai vế của 6x37 cho 6 ta chặn đượcx

 Hướng dẫn học sinh làm bài toán cụ thể

Vì 6x37 chia cả hai vế cho 6 ta được x 6 , 1666  x 7

Vì x N và x 7 => x0;1;2;3;4;5;6

Kết hợp điều kiện thứ 3 là: x lớn nhất ta suy ra được: x = 6

Vậy số x cần tìm thỏa mãn các điều kiện trên là x = 6

b Tương tự câu a giáo viên có thể cho học sinh đề xuất cách giải cho câu b.+ Vì 376y chia cả hai vế cho 6 ta được y > 6,1666 => y > 6

+ Vì y là số tự nhiên và y > 6 => y= 7; 8; 9; Vì y nhỏ nhất nên y =7

Vậy số y thỏa mãn các điều kiện trên là y = 7

Lời bình: Trong bài1 là bài khá đơn giản, tuy nhiên để tìm được giá trị

của x hay y ta đã căn cứ vào ba điều kiện mà đề bài đã cho, sau đó muốn tìm

số lớn nhất thì ta chặn trên, tìm số nhỏ nhất thì chặn dưới Việc chặn trên haydưới nhằm mục đích giới hạn các giá trị của x, y lại từ đó suy ra giá trị cần tìm

Bài 2 Tìm ba số tự nhiên x , y , z biết x +y + z = xyz và 0 xyz

Đây là một bài toán mà ta có thể gặp trong nhiều các loại sách thamkhảo và có trong các đề thi học sinh giỏi một số năm, và thường được chodưới nhiều dạng khác nhau như: Tìm ba số nguyên dương khác nhau, biếttổng của chúng bằng tích của chúng Tuy nhiên dù phát biểu theo dạng nàothì giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách chọn số nào trong ba số trên để sửdụng phương pháp chặn cho phù hợp Cụ thể giáo viên có hướng dẫn như sau: Hướng dẫn: Vì trong ba số x, y, z thì z là số lớn nhất nên để chặn đượctrong bài này ta cần thay mỗi số x, y (các số nhỏ hơn) bằng z, khi đó ta có:

Vì 0 xyz nên xyzzzz 3z , kết hợp với điều kiện đề bài cho

z xyz xyz

Lưu ý ở bài tập này ta không thể chặn z trực tiếp bằng một số cụ thể

nào mà chỉ sử dụng điều kiện 0 xyz, để suy ra z là số lớn nhất trong ba sốphải tìm do đó ta chặn trên được, sau đó kết hợp với điều kiện là các số tựnhiên lớn hơn không và y  x suy ra xy 0, tức ta đã chặn dưới, từ đó suy rađược kết quả

Khi giải xong bài này học sinh sẽ thắc mắc tại sao trong bài lại chặntheo z mà không chặn theo x hoặc y vì thế giáo viên cần giải thích rỏ cho họcsinh hiểu đồng thời thông qua đó cũng chốt được phương pháp làm cho họcsinh, đó là:

Giả sử ta chặn theo x, vì x là số nhỏ nhất trong ba số nên khi đó ta sẽ có

x x x x

z

y

x      3 kết hợp với điều kiện đề bài cho

x xyz xyz

Bài 3 : (sách nâng cao và các chuyên đề toán 6)

a) Tìm các số tự nhiên x, y biết x,y33;45;148;27;51 và 100 x y 110.b) Tìm các số tự nhiên x, y biết x,y17;18;35;43;96 và 50 x y60

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này

+/ Câu trả lời mong muốn

+ x, y là các số tự nhiên, 100 x y 110

+ Đề bài đã chặn không phải là một số mà là một hiệu

+ Cần chuyển từ chặn một hiệu thành chặn một số để sử dụng được điều kiện

đã cho còn lại là biết x,y33;45;148;27;51

Hướng dẫn: Vì ta đã biết x,y33;45;148;27;51 các số không nhiều nên cóthể dùng phương pháp khác để giải cũng rất dễ dàng, tuy nhiên vấn đề đặt ra

là rèn kỹ năng giải bằng phương pháp chặn, Do đó có thể giải bài này nhưsau:

Qua các bài toán vừa xét tôi nhận thấy với học sinh lực khá, giỏi khigiải dạng này với các em sẽ không mấy khó khăn, tuy nhiên giáo viên vẫn cầnđưa ra để hướng dẫn các em cách sử dụng phương pháp chặn và cách chọnbiến để chặn cho phù hợp, qua đó dần hình thành cho các em kỹ năng sử dụngphương pháp

Dạng 2 Sử dụng phương pháp chặn vào bài toán tìm các chữ số trong một số.

Khi dạy cho học sinh các bài toán trong dạng này tôi nhận thấy đa phầncác em rất lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, vì với dạng này các điều kiệncủa bài không cho một cách tường minh mà các em phải hiểu về tính chất củacác chữ số trong một số, tính chất của số tự nhiên,…, sau đó dùng lập luậnkết hợp với các điều kiện trước đó để giới hạn các chữ số cần tìm (tức là chặnđược các số đó), từ đó suy ra kết quả cần tìm Sau đây ta xét một số bài tậpthường gặp của dạng:

Bài 1: (đề thi HSG lớp 6 trường THCS cẩm Phong, năm 2015- 2016)

Tìm các số tự nhiên a, b, c sao cho a6.4bc 17064 (1)

Hướng dẫn Có nhận xét gì về số 4bc? Là số có mấy chữ số? Vậy sốnày có thể nhận các giá trị trong khoảng nào?

( Với gợi ý trên học sinh rất dễ dàng trả lời được: là số có 3 chữ số, chữ sốhàng trăm là 4 nên có thể nhận các giá trị từ 400 đến 499) Như vậy ta đã cóthể giới hạn được số 4bc.Ta có : 400 4bc 499 

Vì theo bài ra ta có a6.4bc 17064 , có nhận xét gì về kết quả của phép nhân?( là số có 5 chữ số) Từ kết quả đó kết hợp với đề bài suy ra a nhận các giá trịtrong khoảng nào? Vì sao?

HS: Có thể trả lời: Vì a6.4bc 17064 , nên suy ra  2 a 4

Vì: Nếu a 2 26.49912974 17064

Nếu a 4 46.499184017064 Suy ra 2 a 4 a3

Khi đó thay vào (1) ta được 36 4bc= 17064 4bc 17064 : 36 474

 b7, c4 Vậy a = 3, b = 7, c = 4

Lưu ý: Trong bài toán trên ta đã chặn theo các giá trị của a Ngoài

cách chặn trên ta cũng có thể chặn như sau:



a6.4bc 17064  a617064400 4346=> Vậy a = 3 hoặc a= 2 hoặc a = 1

Như vậy ta đã giới hạn lại a chỉ còn 3 giá trị, khi đó ta dễ dàng giải tiếp

và kết luận Tuy nhiên khi giải bài này cần lưu ý không nên chặn theo các giátrị của b hoặc của c vì nếu có giải được thì lời giải cũng phức tạp dễ gâynhầm lẫn Do đó trong bài này nên chọn các số có ít chữ số hơn để chặn Sauđây ta sẽ xét thêm một số bài dạng này

Bài 2 (đề thi HSG lớp 7 trường THCS cẩm phong, năm 2015- 2016)

Tìm các số tự nhiên a, b, c, biết: abcaba = 874

+ Chặn chữ số hàng lớn nhất trước (bài này ta chặn chữ a ở hàng trăm,nếu ở những bài có chữ số hàng nghìn hoặc lớn hơn thì luôn phải chặn hàngcao trước)

+ Tiếp theo chặn theo thứ tự các chữ từ trái qua phải trong dạng của số đó

Sử dụng nhận xét trên, yêu cầu học sinh áp dụng giải tiếp bài tập sau:

Bài 3 (đề thi HSG lớp 7, huyện Cẩm Thủy năm 2013-2014)

Tìm một số tự nhiên, biết số đó cộng với tổng các chữ số của chính nóđược kết quả là 249

Hướng dẫn: Đối với bài này khi mới đọc đề học sinh sẽ thấy khó và

không giống với các bài đã được làm, vì số tự nhiên cần tìm trong bài chưabiết là số có mấy chữ số, do đó giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách quy lạthành quen bằng cách bám vào đề bài để rút ra nhận xét về số cần tìm, sau đómới gọi số đó là số như thế nào và thực hiện giải, cụ thể bài này ta làm nhưsau:

Gọi số tự nhiên cần tìm là n và tổng các chữ số của nó là T(n) Theo bài

ra ta có: nT(n)  249 (1) Vì tổng là số có ba chữ số nên : n phải là số có 3chữ số, vì nếu n có một hoặc hai chữ số thì khi đó ta có:

249 117 9 9 99

)

T n

n

và tất nhiên n không thể có nhiều hơn 3 chữ số

Do n có ba chữ số nên n  abc, từ (1) ta suy ra: abcabc 249 (2)

Vì a, b, c N và 0 a 9; 0 b,c 90  b, c 9  abc 27

  249 27 222



 abc a b c và abc 249  222 abc 249 a = 2

Thay vào (2) ta được: 2bc 2 bc 249  200 bc 2 bc 249

Dạng 3 Sử dụng phương pháp chặn vào bài toán liên quan đến số chính phương

Một trong những dạng toán khó của số học đó là liên quan đến số chínhphương, nhưng trong các đề thi học sinh giỏi lại rất hay gặp Để giải dạng toánnày tôi cũng thường hướng dẫn học sinh áp dụng phương pháp chặn để giải

Bài 1 : (đề thi HSG lớp 9, huyện Cẩm Thủy, năm 2012- 2013)

Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) sao cho ab  ba là số chính phương

Hướng dẫn: Để giải bài này cần yêu cầu học sinh nắm được các tínhchất của chữ số, tính chất số chính phương, kết hợp đề bài cho để chặn chophù hợp

Tương tự ta được 73 là số nguyên tố Vậy ab bằng 43 hoặc 73

Khi đó ta có: 43 - 34 = 9 = 32hoặc 73 - 37 = 16 = 42 (thỏa mãn đề bài)

Bài 2 (Các chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 7)

Tìm số chính phương có bốn chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau,hai chữ số cuối giống nhau

Hướng dẫn: Gọi số cần tìm là p2= aabb (a, b N, 1  a  9, 0  b 



aabb Số cần tìm thỏa mãn đề bài là 7744

Bài 3 : (thi HSG toán 8, huyện Cẩm Thủy, năm 2014- 2015)

Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết 2n 1 và 3n 1  đều là các số chính phương

số để chặn cho thích hợp, hay có những bài không cho biết là số chínhphương nhưng sử dụng các điều kiện đã có trong đề để suy ra số chính phương,nhằm mục đích để sử dụng các tính chất của số chính phương và tính chất của

số để chọn cách chặn cho phù hợp Sau đây ta sẽ xét một số bài như vậy:

Bài 4 (thi HSG toán 9, huyện Cẩm Thủy, năm 2014- 2015)

Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết chữ số hàng nghìn bằng chữ

số hàng đơn vị và số chính phương đó viết dưới dạng ( 5n 4 ) 2Với n  N

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này

- Số có dạng 5 n 4có tận cùng như thế nào => bình phương của số đó cótận cùng là bao nhiêu, rồi xét các trường hợp của nó theo tận cùng

+/ Câu trả lời mong muốn

- 5 n 4có tận cùng bằng 4 hoặc 9

- ( 5n 4 ) 2có tận cùng bằng 6 hoặc 1

- Cần xét số ( 5n 4 ) 2ứng với hai trường hợp trên

Hướng dẫn Ta có: 5 n 4có tận cùng bằng 4 hoặc 9, nên 2

) 4 5 ( n có tậncùng bằng 6 hoặc 1

* Với ( 5n 4 ) 2có tận cùng là 6 suy ra số cần tìm có dạng 6 * * 6 chính làbình phương của một số có tận cùng bằng 4

Xét hai số có tận cùng bằng 4 liên tiếp là 74 và 84

Ta có 74 2  5476  6 * 6  7056  84 2 Vậy không có số nào có tận cùng bằng 4

mà bình phương lên có dạng 6 * * 6

* Với 2

) 4 5 ( n có tận cùng là1 suy ra số cần tìm có dạng 1 * * 1 chính làbình phương của số có tận cùng là 9 Ta có 29 2  841  1 * 1  2401  49 2

Mà giữa hai số 292 và 492 còn số 392= 1521 Vậy số cần tìm là 1521

Bài 5 (Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS)

Tìm số tự nhiên ab sao cho 2

Lời bình : Qua các bài toán vừa xét Tôi thấy đây là dạng toán khó Do

đó khi dạy tôi thường lưu ý chốt rỏ cho học sinh cách thức quan sát vàphương pháp khai thác cụ thể của từng bài, yêu cầu học sinh ghi nhớ từng đặcđiểm để vận dụng, đặc biệt việc sử dụng các tính chất về số là thường xuyên,

vì vậy cần yêu cầu các em phải nắm vững các tính chất này để nhận xét, đánhgiá những khía cạnh trong bài sát với ý tưởng của lời giải, khi đó các em dễnhập cuộc với bài giải Phương pháp chặn lúc này sẽ phát huy tác dụng mộtcách tích cực hơn

Dạng 4 Sử dụng phương pháp chặn trong chứng minh số nguyên tố.

Bài 1 : (Sách nâng cao và các chuyên đề toán 6)

Tìm tất cả các số tự nhiên n để mỗi số sau đều là số nguyên tố:

n 1; n 3; n 7; n 9; n 13; n 15

Hướng dẫn : Vì n là số tự nhiên, lần lượt cho n các giá trị từ 0 đến 4 tađược:

* Với n = 0 ta có các số n 1; n 9; n 15 không là số nguyên tố

* Với n=1 ta có các số n 3; n 7; n 9; n 13; n 15không là số nguyên tố

* Với n = 2 ta có các số n 7; n 13không là số nguyên tố