Một số phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau trong hình học 7

Đồng thời liên hệ với kiến thức mới, theo hướng vừa học vừa ôn, chính điều đó đã thôi thúc tôi mạnh dạn áp dụng đề tài: " Một số phương pháp chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau trong Hìn

MỤC LỤC

1.MỞ ĐẦU.

1.1 Lí do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, môn Toán có vị trí rất quan trọng trong chương trình phổ thông, trong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện đại Các kiến thức và phương pháp toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tập tốt các môn khoa học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Môn toán có khả năng to lớn phát triển trí tuệ của học sinh thông qua việc rèn

luyện các thao tác (phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa ), năng lực lĩnh hội các khái niệm trừu tượng, năng lực suy luận lôgíc và sử dụng ngôn ngữ chính xác, đồng thời rèn luyện các phẩm chất trí tuệ như linh hoạt, độc lập, sáng tạo v.v

Tuy nhiên, từ thực tế công tác giảng dạy của mình tại trường THCS Hoằng Thanh - Hoằng Hóa, tôi nhận thấy nhiều học sinh học toán kém, bên cạnh những học sinh lười học không nắm được kiến thức cơ bản , còn có nhiều học sinh chịu khó học bài thuộc bài nhưng vẫn không làm được hoặc làm sai bài tập Nguyên nhân cơ bản là do các em không chịu đề cập bài toán theo nhiều cách khác nhau, không chịu nghiên cứu khảo sát kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết theo nhiều cách khác, không sử dụng hết các dữ kiện của bài toán; không biết hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài tập đã giải hoặc áp dụng phương pháp giải một cách máy móc thiếu linh hoạt; không chịu suy nghĩ tìm cách giải khác cho một bài toán hoặc mở rộng lời giải tìm được cho bài toán khác do đó bị hạn chế năng trong việc rèn luyện năng lực giải toán

1.2 Mục đích nghiên cứu :

Năm học 2017 – 2018 tôi được Ban giám hiệu nhà trường phân công giảng dạy các môn trong đó có môn Toán lớp 7 Đứng trước thực trạng của học sinh tôi đã tiến hành áp dụng đề tài đối với môn Toán lớp 7 phần Hình học, mục đích từ đề tài này giúp học sinh định hình tổng hợp kiến thức đã học Đồng thời liên hệ với kiến thức mới, theo hướng vừa học vừa ôn, chính điều đó đã thôi

thúc tôi mạnh dạn áp dụng đề tài: " Một số phương pháp chứng minh các

đoạn thẳng bằng nhau trong Hình học 7"

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Khả năng tư duy của học sinh có nhiều hạn chế, nhất là đối với bộ môn khoa học tự nhiên nói chung, môn Toán nói riêng và cụ thể là phần Hình học, học sinh khó tổng hợp kiến thức.Vì vậy, qua việc chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, được sử dụng rộng rãi trong việc giải toán các bài toán hình học 7 thuộc chương trình THCS sẽ giúp học sinh có phương pháp định hình cụ thể từ

đó nâng cao hiệu quả học tập , rèn luyện các thao tác phân tích, trừu tượng hóa, tổng hợp hóa, và các phẩm chất trí tuệ của con người mới

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp thu thập và xử lí thông tin

- Phương pháp thống kê và xử lí số liệu

- Phương pháp xây dựng cơ sở lí thuyết

2 NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lý luận :

Việc sử dụng các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau được áp dụng rộng rãi trong việc so sánh hai đoạn thẳng, chứng minh trung điểm của một đoạn thẳng, chứng minh đường trung tuyến của tam giác, chứng minh tia phân giác của một góc, chứng minh hai tam giác bằng nhau, tam giác cân,

2

tam giác đều, chứng minh tứ giác là hình bình hành, chứng minh đường trung bình của tam giác, chứng minh các điểm nội tiếp một đường tròn,…

2.2.Thực trạng của đề tài nghiên cứu :

2.2.1.Thuận lợi :

Việc chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, được sử dụng rộng rãi trong việc giải toán các bài toán hình học thuộc chương trình THCS Trong khi đó thực tế học sinh ở đơn vị công tác, việc tổng hợp kiến thức còn chậm, nên việc tổng hợp một vấn đề lớn là rất khó khăn, nên khi vận dụng đề tài này học sinh sẽ

có định hình cụ thể từ đó phát triển quá trình học tập và rèn luyện của học sinh

2.2.2 Khó khăn :

Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau được sắp xếp trong chương trình nằm rải rác trong môn toán từ lớp 6 đến lớp 9, song đối với lớp 7 phần này chiếm tỉ lệ nhiều hơn

Việc kiểm tra đánh giá một phần như thế này trong bài kiểm tra là chưa đầy đủ, vì để giải một bài toán hình còn phải sử dụng kiến thức ở nhiều phần khác, nên việc đánh giá chỉ mang tính chất tương đối

Đồng thời người giáo viên phải tổng hợp vấn đề nhiều năm Nhưng việc phân công chuyên môn còn tuỳ thuộc vào số lớp và tổng số giáo viên của nhà trường, nên việc giảng dạy các lớp từ lớp 6 đến lớp 9 là không thể thực hiện liên tiếp được

2.2.3 Kết quả thực trạng :

Bản thân tôi trong năm học 2017 -2018 được trực tiếp giảng dạy và áp dung sáng kiến vào lớp 7C Còn 3 lớp 7A, 7B, 7D không áp dụng sáng kiến này

Chất lượng đầu năm môn Toán của học sinh 4 lớp như sau:

số

Loại

2.3 Giải quyết vấn đề

2.3.1.cơ sở lý luận :

Việc sử dụng các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau được áp dụng rộng rãi trong việc so sánh hai đoạn thẳng, chứng minh trung điểm của một đoạn thẳng, chứng minh đường trung tuyến của tam giác, chứng minh tia phân giác của một góc, chứng minh hai tam giác bằng nhau, tam giác cân, tam giác đều, chứng minh tứ giác là hình bình hành, chứng minh đường trung bình của tam giác, chứng minh các điểm nội tiếp một đường tròn,…

2.3.2.Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau trong chương trình môn Toán THCS phần Hình học :

1) Sử dụng hai đoạn thẳng có cùng số đo

2) Sử dụng định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa đường trung tuyến của tam giác, định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng

3)Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

4) Sử dụng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, tính chất cạnh đối diện với góc 300 trong tam giác vuông

5) Sử dụng tính chất trọng tâm, tính chất giao điểm ba đường phân giác của tam giác, tính chất giao ba đường trung trực của tam giác

6) Sử dụng đoạn thẳng thứ ba làm trung gian

7) Sử dụng sự bằng nhau của hai tam giác

8) Sử dụng tính chất của tam giác cân

9) Sử dụng tính chất của tam giác đều

10) Sử dụng định lý đường trung bình của tam giác ( thuận và đảo)

11) Sử dụng các đoạn thẳng bằng nhau cho trước rồi biến đổi

12) Sử dụng các đoạn thẳng bằng nhau trong đường tròn

13) Sử dụng đoạn thẳng định lý Ta lét

14) Chứng minh bằng phản chứng

15) Sử dụng định lý đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên của hình thang và song song với đáy sẽ đi qua trung điểm của cạnh bên và đường chéo

16) Sử dụng bình phương của chúng bằng nhau( có thể sử dụng định lý Py- ta -go, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn

để đưa về bình phương của chúng bằng nhau)

2.3.3 Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau trong chương trình môn Toán 7 phần Hình học :

1) Sử dụng hai đoạn thẳng có cùng số đo

2) Sử dụng hai đoạn thẳng bằng đoạn thẳng thứ ba

3) Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

4) Sử dụng sự bằng nhau của hai tam giác

5) Sử dụng tính chất ba đường trung trực của tam giác

6) Sử dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

7) Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc, tính chất ba đường phân giác của tam giác

8) Sử dụng định nghĩa tam giác đều, tam giác cân

9) Sử dụng các đoạn thẳng bằng nhau cho trước rồi biến đổi

10) Chứng minh bằng phản chứng

11) Sử dụng bình phương của chúng

2.3.4 Các bài toán minh hoạ sử dụng các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau trong chương trình môn Toán 7 phần Hình học :

Bài toán 1:

Chứng minh rằng trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền

bằng nửa cạnh huyền

Chứng minh

Kẻ NE là đường trung trực của AB Nối EA

=> EB =EA

4

2 1

E N

B

Và B = A1 (Vì tam giác BEA cân tại E) Mặt khác B +C = 900 (vì A = 1 v)

A1 +A2 = 900

=> A2= C hay EAC cân tại E => EA = EC

Vậy AE =

2

1

BC

Bài toán 2:

BE và CF vuông góc với Ax (E , F thuộc Ax) So sánh BE và CF

GT ABC : AB AC

MB = MC

BE  Ax ; CF  Ax

Chứng minh

Xét FCM và BEM có: F =E=900( vì BE

 Ax ; CF  Ax (GT) )

MB = MC (GT) ; M1= M2 ( hai góc đối đỉnh )

=> FCM = BEM (cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy BE = CF

Bài 3:

Cho một góc nhọn xOy Ta dựng về phía ngoài của góc xOy tia Ox’ vuông góc với Ox và Oy’ vuông góc với Oy Lấy một điểm A trên Ox và lấy một điểm

C trên Oy Sau đó lấy trên Ox’ một điểm B và trên Oy’ một điểm D sao cho OA

= OB và OD = OC Chứng minh AD = BC

GT xOy < 900; Ox ' Ox; Oy ' Oy

OB  OA; OD  OC

KL AD  BC

y

x y'

x' B

D

O

A C

Chứng minh:

Ta có:

























xOy BOC

xOy AOD

0

0

90

90

BOC



x

2 1

B M

E

F

C

A



















OC

OD

BOC

AOD

OB

OA

BC AD c

g c BOC



Bài toán 4:

Cho tam giác ABC , chứng minh rằng hai đường phân giác của hai góc

ngoài tại B và C và đường phân giác trong của góc A cùng đi qua một điểm

Chứng minh

Gọi K là giao điểm của hai đường phân giác ngoài

K thuộc tia phân giác của CBD => KD =KE(1)

K thuộc tia phân giác của BCF => KE = KF(2)

Từ (1), (2) : KD = KF Vậy K thuộc tia phân giác của BAC

Bài toán 5:

Cho tam giác ABC có A= 900 , B= 300 Chứng minh rằng

AC =

2

1

AB

GT ABC : A= 900

B = 300

KL AC =

2

1

AB

Chứng minh

Trên tia đối với tia AC lấy D sao cho AD = AC ABD = ABC (c.g.c) => BD = BC

Nên BCD cân tại B,

Mà C= 900 - B =900- 300= 600

=> BCD là tam giác đều =>BC = DC =2AC Vậy AC =

2

1

AB

Bài toán 6:

Cho hình bên có OA = OB , OAC =OBD Chứng minh AD = BC

KL AD = BC

Chứng minh

AOC = BOD (g.c.g) => OD = OC

mà OA = OB nên OD- OA= OC- OB Hay AD = BC

Bài 7 : Cho tam giác ABC Gọi E là trung điểm của cạnh AC Đường

thẳng qua E song song với cạnh BC, cắt cạnh AB tại điểm F; đường thẳng qua E

6

K

F

C E

A

B

A

0

30

C A

D

B

C B

D

A

O

song song với cạnh AB cắt cạnh BC tại điểm D Chứng minh F là trung điểm của AB và D là trung điểm của BC

GT EA = EC, FE // AB, FD // AB

D

F A

Chứng minh:

Ta có: EF // BC  Eˆ1 Cˆ (đồng vị) (1)

ED // AB  Eˆ2 Aˆ (đồng vị) (2)

E là trung điểm của AC nên EA = EC (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra FAE  DEC(g c g)  FA = DE (4)

Ta có:





















chung

FD

trong) le (so Dˆ Fˆ

AB

//

ED

trong) le (so Dˆ Fˆ

BC

//

EF

2 2

1 1

) (g c g DEF



Từ (4) và (5) suy ra FA = FB

Chứng minh tương tự, ta có điểm D là trung điểm của cạnh BC

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH Từ H kẻ HD 

Â= 900, AH  BC

GT HD  AB, HE  AC

KL DE = AH, KA = KH

D

E

H

A

C B

Chứng minh:

Hai tam giác vuông DAE và EHD bằng nhau vì có cạnh huyền DE chung

và hai góc ADE, HED bằng nhau (so le trong, AD // EH)

Cho ta AE = DH và AD = EH

Hai tam giác vuông ADH và EHD có AD = EH và DH chung nên chúng bằng nhau, cho ta AH = DE

Ta có A ˆ1 Hˆ1 (so le trong)

1

1 ˆ

AD = EH (chứng minh trên)

Suy ra AKD HKE  KAKH và KD  KE

Bài 9: Cho tam giác đều ABC Trên cạnh BC có một điểm D sao cho

.

3

1

BC

3

1

3

1

ABC đều

3

1

BC

3

1

3

1



KL DEF đều

F

E

D C

A

B

Chứng minh:

3

1

BC

3

1

3

1

bằng nhau: ABACBC (1)

Suy ra: BDAE CF (2)

Mặt khác ta lại có: AF AC CF

BD BC

CD 

AE AB

Kết hợp với (1) và (2) ta suy ra: AF CDBE

Xét các tam giác AEF, BDE, CFD ta thấy:

CF AE

BE CD

và Aˆ Bˆ Cˆ

Nên chúng bằng nhau (trường hợp c – g – c)

CFD BDE



 EF DF ED Tam giác DEF có ba cạnh bằng nhau nên nó là tam giác đều

Bài 10:

đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC Chứng minh rằng DE = DF

ABC cân tại A D là trung điểm BC

GT E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ D

đến AB và AC

KL DE = DF

Chứng minh:

Cách 1 (Đa số học sinh thường sử dụng)

ABC cân tại A nên Bˆ Cˆ

8

B

A

Xét hai tam giác vuông BDE và CDF.

Có









 Cˆ Bˆ

(gt) CD DB

Cách 2.

Theo tính chất tia phân giác của một góc, D thuộc tia phân giác của góc A nên

cách đều hai cạnh của góc đó, do đó DE = DF

Bài toán 11:

thẳng a, sao cho H nằm giữa B và C và AB = AC Chứng minh rằng HB = HC

Chứng minh

Áp dụng định lý Pi ta go vào các tam giác vuông HAB và BAC:

AH2 = AB2 - BH2 = AC2 - CH2

Mà AB = AC (GT) => AB2 = AC2

Nên BH2 = CH2 Vậy HB = HC

Bài 12:

Cho tam giác ABC vuông tại A Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC

Chứng minh rằng AD = AE.

ABC vuông tại A Phân

GT giác góc B và C cắt nhau ở I D và E

là chân các đường vuông góc kẻ từ I

đến AB và AC

KL AE = AD

Chứng minh: Cách 1.

AI là phân giác của góc A nên ID = IE (1) Các tam giác vuông ADI, AEI

có DAI  EAI  45 0 nên là tam giác vuông cân, do đó AD = ID, AE = IE (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = AE

Cách 2 (học sinh thường sử dụng)

AI là phân giác của góc A nên ID = IE Suy ra hai tam giác vuông ADI và AEI bằng nhau (cạnh huyền cạnh góc vuông) Suy ra AD = AE

Cách 3

AI là phân giác của góc A nên ID = IE  ID 2 IE2 (1)

Xét hai tam giác vuông ADI và AEI có AE2 AI2  EI2; AD2 AI2  DI2

(Pitago) (2)

Từ (1) và (2)  AE2 AD2  AEAD

C H

B

d

A

D

E

I A

Bài 13:

Cho góc xOy, điểm A nằm trong góc xOy Vẽ điểm B sao cho Ox là trung trực của AB Vẽ điểm C sao cho Oy là trung trực của AC Chứng minh rằng :

OB = OC

GT Oy là trung trực của AB

Ox là trung trực AC

KL OB = OC

Chứng minh:

Từ (1) và (2)  OB = OC

Bài 14: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM Đường

trung trực của AC cắt đường thẳng AM ở D Chứng minh rằng DA = DB

Tam giác ABC cân tại A

GT Trung tuyến AM

Trung trực của AC cắt AM tại D

KL DA = DB

Chứng minh:

Tam giác ABC cân tại A, AM là trung tuyến nên AM cũng là đường trung trực của BC D là giao điểm của các đường trung trực của BC và của AC nên D cũng thuộc đường trung trực của AB Vậy DA = DB

*)Những giải pháp chính :

Việc chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau được hình thành từ Toán lớp

6 phần Hình học, sau khi học xong tiết 8: Độ dài đoạn thẳng Học sinhngoài việc chốt kiến thức cơ bản còn củng cố thêm trường hợp so sánh hai đoạn thẳng

Toán 7 phần Hình học :

Tiết 4: Hai đường thẳng vuông góc (Tiết 4) Hình thành kiến thức :đường trung trực của một đoạn thẳng

Tiết 20: Hai tam giác bằng nhau Chốt vấn đề hai tam giác bằng nhau suy

ra hai cạnh tương ứng bằng nhau

10

x

y

B

C

O

A

D

A

B

Tiết 35: Tam giác cân Hình thành 2 cạnh bên bằng nhau; ba cạnh tam giác đều bằng nhau

Tiết 55: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Hình thành trung tuyến của tam giác đi qua trung điểm của cạnh đối diện, trong tam giác ba đường trung tuyến đi qua một điểm cách mỗi đỉnh bằng hai phần ba độ dài đường trung tuyến đó

Tiết 57: Tính chất tia phân giác của một góc(Tiết 1) Hình thành kiến thức mọi điểm thuộc tia phân giác thì cách đều hai cạnh của góc

Tiết 60: Tính chất ba đường phân giác của tam giác Hình thành giao điểm

ba đường phân giác của tam giác thì cách đều ba cạnh của tam giác đó

Tiết 62: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng Hình thành điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó

Tiết 64: Tính chất ba đường trung trực của tam giác Giao điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác

Như vậy với hình thức vừa học vừa ôn tập, khi học sinh học xong tiết 64 phần Hình học 7, học sinh biết sử dụng thành thạo 11 phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

2.4.Kết quả đạt được :

Lớp 7C sử dụng sáng kiến này còn 7A, 7B, 7D thực hiện bình thường Kết quả bài kiểm tra phần chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau như sau:

số

Loại

7

3 KẾT LUẬN 3.1 Kết luận:

Việc hình thành các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau không phải thực hiện ở một lớp, mà nằm rải rác ở các lớp trong chương trình môn Toán THCS phần Hình học Để giúp học sinh ôn tập tốt, người giáo viên cần định hình trước công việc này trong quá trình dạy môn Toán phần hình học Trong quá trình dạy học cần tổng hợp các phương pháp chứng minh, rèn luyện

kỹ năng phân tích tổng hợp cho học sinh Có như vậy việc ôn tập kiến thức Toán

sẽ dễ dàng hơn cho học sinh và học sinh vận dụng tốt hơn kiến thức đã học để giải các bài toán Hình học

3.2 Kiến nghị:

Qua quá trình giảng dạy để giúp các em học sinh có chất lượng học tập tốt hơn tôi có một vài đề xuất như sau: