MỘT số KINH NGHIỆM rèn KHẢ NĂNG tìm lời GIẢI THÔNG QUA bài TOÁN HÌNH học 9

Là một phó hiệu trưởng phụ trách chuyên môn của nhà trường qua công tác kiểm tra công tác giảng dạy môn toán của giáo viên liên tục 4 năm từ khi các em bước vào lớp 6 đến nay các em đã h

MỤC LỤC

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trang 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường Trang 14

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay đã xác định “Phương pháp dạy học môn Toán trong nhà trường các cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập trong suy nghĩ, sáng tao trong tư duy”

Bắt nguồn từ định hướng đó giáo viên cần phải học hỏi nghiên cứu, tìm tòi và áp dụng những phương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh, từng kiểu bài làm cho hiệu quả giờ học đạt cao nhất Là một phó hiệu trưởng phụ trách chuyên môn của nhà trường qua công tác kiểm tra công tác giảng dạy môn toán của giáo viên liên tục 4 năm từ khi các em bước vào lớp 6 đến nay các em đã học lớp 9, lớp cuối cấp, qua tìm hiểu thực tiễn, tôi thấy còn nhiều học sinh chưa nắm vững được kiến thức cơ bản của phân môn hình học, chất lượng bộ môn vẫn còn thấp, các bài kiểm tra, bài thi còn nhiêu em chưa đạt yêu cầu Bằng thực tiễn trong quá trình công tác và tìm hiểu đã có những ý kiến như: phân môn hình học khó tiếp thu, lượng kiến thức trong giờ học còn nhiều

mà lại khô khan, không hấp dẫn… Điều đó nảy sinh trong tôi những trăn trở: Là làm thế nào để nâng cao chất lượng bộ môn? Có biện pháp gì để tạo hứng thú say mê tìm tòi sáng tạo, vận dụng những gì đã học vào thực tiễn?

Xuất phát từ suy nghĩ trên nên tôi mạnh dạn chọn đề tài "Một số kinh

nghiệm rèn khả năng tìm lời giải thông qua bài toán hình học 9"

1.2 Mục đích nghiên cứu

Xuất phát từ mong muốn rèn luyện cho học sinh khả năng sáng tạo, tìm được nhiều cách giải, tạo hứng thú học tập, xóa đi tư tưởng ngại học phân môn hình học ở học sinh, do đó bản thân người thầy, người dạy phải là người tìm ra nhiều cách giải và hướng dẫn học sinh tìm được lời giải cho bài toán

Qua đề tài học sinh có điều kiện để vận dụng và cũng cố kiến thức về: các trường hợp bằng nhau của tam giác, quan hệ vuông góc, quan hệ song song, tính chất của tỉ lệ thức, tính chất góc ngoài của tam giác đã học ở lớp 7, dấu hiệu nhận biết các hình, các trường hợp đồng dạng của tam giác đã học ở lớp 8 và vị trí tương đối của hai đường tròn, tính chất của tiếp tuyến, các góc với đường tròn, tứ giác nội tiếp được học ở lớp 9

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Đối tượng học sinh của khối 9

- Đề tài có thể dùng trong các tiết dạy chính khóa, ôn tập củng cố và nâng cao kiến thức, nhất là trong các buổi học phụ đạo của bộ môn

Trong đề tài này tôi chỉ đưa ra một số dạng cơ bản thường gặp và mỗi dạng một ví dụ điển hình và một bài tập tương tự

Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau

Dạng 2: Quan hệ giữa các góc trong hình học

Dạng 3:Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Dạng 4: Chứng minh các tam giác đồng dạng

Dạng 5: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn

Dạng 6: Chứng minh các hệ thức trong hình học

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu qua tài liệu như sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập hình học và các tài liệu có liên quan khác

- Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập hình học của học sinh lớp 9

- Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập và theo dõi kiểm tra, đánh giá học sinh ở trường THCS Hiền Chung

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Việc tìm tòi tìm hiểu đề tài này với mong muốn trước hết là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học, trước mỗi bài tập tôi đã cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời người thầy giáo, cô giáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lý nhất Phát hiện ra được cách giải tương tự và khái quát phương pháp đường lối chung Trên

cơ sở đó với mỗi bài toán cụ thể các em có thể khái quát hoá thành bài Toán tổng quát và xây dựng các bài Toán tương tự

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính logíc đồng thời môn toán còn là bộ môn công cụ hổ trợ cho các môn học khác Với môn hình học là môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả năng đo đạc, tính toán, suy luận logíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Nâng cao được năng lực tự duy, tính độc lập, sáng tạo linh hoạt trong cách tìm lời giải bài tập toán nhất là bộ môn hình học càng có ý nghĩa quan trọng Trong quá trình bồi dưỡng HSG, để các em trở thành học sinh khá, giỏi thì việc bồi dưỡng không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo, đối với bộ môn hình học càng phải biết rèn luyện năng lực tư duy

trừu tượng và phán đoán logic

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khi gần gủi với các em và tìm hiểu thì các em cho biết cũng rất muốn học môn toán, xong nhiều khi học một cách thụ động, chưa biết cách tư duy để tạo cho mình một phương pháp học hiệu quả Do không nắm vững kiến thức, tiếp thu thụ động, làm bài tập mang tính đối phó nên càng ngày các em càng giảm đi hứng thú trong học tập nhất là học hình

Mặt khác do điều kiện của địa phương với đặc thù là vùng miền núi, điều kiện kinh tế còn khó khăn, vì vậy việc quan tâm đến học hành của các gia đình

đối với con em mình còn hạn chế nhiều về tinh thần và vật chất Đặc biệt những năm gần đây tình trạng sinh viên tốt nghiệp các trường Đại học, Cao đẳng ra trường không có việc làm khá phổ biến nên phụ huynh ít quan tâm đầu tư cho việc học của con em, họ có tư tưởng là chỉ cần con em học hết lớp 9, tốt hơn là hết lớp 12 rồi xin vào làm công nhân lao động phổ thông ở các khu công nghiệp Chính vì thế mà làm cho học sinh không thật sự tâm huyết, say mê học tập như những năm trước đây, các em cũng đã thay đổi suy nghĩ về việc phải vào học Đại học, Cao đẳng mới có cơ hội thay đổi cuộc đời Đây là những nguyên nhân góp phần làm giảm khả năng tư duy độc lập sáng tạo của các em Qua các năm công tác ở trường tôi nhận thấy việc học toán nói chung và bồi dưỡng học sinh khá giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì bản thân mỗi người thầy cần phải có phương pháp tốt, đòi hỏi người thầy cần phải tìm tòi nghiên cứu để dự kiến được nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán Qua đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động tư duy sáng tạo

Trước mỗi bài tập tôi đã cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời người thầy giáo, cô giáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lý nhất Phát hiện ra được cách giải tương tự và khái quát phương pháp đường lối chung Trên cơ sở đó với mỗi bài toán cụ thể các em có thể khái quát hoá thành bài Toán tổng quát và xây

dựng các bài Toán tương tự Từ đó xây dựng một phương pháp mới đó là rèn

luyện khả năng sáng tạo Toán cho học sinh sao cho mọi lúc, mọi nơi các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1.Giải pháp chung

Hình thành các tình huống có vấn đề liên quan đến cách giải cho một bài toán

Hướng dẫn học sinh đưa ra các cách giải cho một bài toán, từ đó hướng dẫn học sinh tìm được một lời giải ngắn nhất và phù hợp nhất đối với từng học sinh

Tăng cường các hoạt động tìm tòi, quan sát, đo đạc, dự đoán tiếp cận lời giải

Nắm vững kiến thức cơ bản, huy động, vận dụng kiến thức cơ bản vào giải quyết các vấn đề có liên quan

2.3.2 Biện pháp cụ thể

Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau.

Ví dụ 1.

Trong hình vuông ABCD và nữa đường tròn đường kính AD và vẽ cung

AC mà tâm là D Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nữa đường tròn đường kính AD ở K Chứng minh PK bằng khoảng cách từ P đến AB

* Phương pháp chung:

Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta thường gắn vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau

* Kiến thức cần vận dụng:

Trường hợp bằng nhau trong tam giác vuông; Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung; Góc nội tiếp

Để khuyến khích học sinh làm theo nhiều các khác nhau, ở mỗi cách tôi luôn gợi ý cách làm để học sinh suy nghĩ và thực hiện Có thể hướng cho học sinh làm theo các cách sau

Cách giải 1 (Hình 1)

Cơ sở để chứng minh theo cách này là dựa vào

tính chất góc nội tiếp và góc so le trong

Gợi ý :

- Kẻ PI  AB

- Xét hai tam giác APK và API

Lời giải:

Kẻ PI  AB

Xét APK và API:

APK vuông tại K (Vì AKD = 900 góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

ADP cân tại D, AD = DP  P = DAP 2 

Mặt khác: P = DAP 1  (So le trong vì AD // PI)

Do đó: P = P 1 2  APK = API (Cạnh huyền – góc nhọn)  PK = PI

Cách giải 2 (Hình 2)

Cơ sở để chứng minh theo cách này là dựa vào

tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung,

góc ở tâm đường tròn, góc nội tiếp

Gợi ý:

- Cách giải này chúng ta cũng đi chứng minh

 1  2

A = A nhưng việc chứng minh được áp dụng bằng kiến thức khác

- Chú ý rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm D

Lời giải:

Ta có IAK = ADK   (Có số đo bằng 1

2sđAK)

Mặt khác góc IAP là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AP của đường tròn tâm D nên góc IAPbằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung là góc ADP => IAP = 1  1 

ADP = IAK

Suy ra: A = A  1  2  APK = API (Cạnh huyền–góc nhọn)  PK = PI

Cách giải 3 (Hình 3)

Cơ sở để chứng minh theo cách này là dựa vào

tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung,

tính chất tia phân giác của góc

Gợi ý:

- Kéo dài K cắt đường tròn tâm D tại E

- Áp dụng định lí của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Lời giải:

DK  AE nên AP = PE  

Góc BAE (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AE ) Vì AP lại đi qua điểm chính giữa của cung AE nên AP là tia phân giác của góc BAE

Suy ra: A = A  1  2 APK = API (cạnh huyền – góc nhọn)  PK = PI

Bài tập tương tự.

Ở miền trong của hình vuông ABCD lấy một điểm E sao cho EBC ECB  =

150 Chứng minh rằng tam giác AD = AE = ED

- Gợi ý: Chứng minh cho ADE cân và có một góc bằng 600

=> ADE đều => AD= AE = ED

Dạng 2: Quan hệ giữa các góc trong hình học.

Ví dụ 2 Cho ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC Kẻ

đường cao AH, bán kính OA Chứng minh OAH = ACB - ABC

* Phương pháp chung:

Vẽ thêm đường phụ rồi dựa vào quan hệ giữa các góc trong đường tròn

* Kiến thức cần vận dụng:

Đường thẳng song song, Đường thẳng vuông góc, góc nội tiếp, góc ở tâm, góc ngoài tam giác

- Việc vẽ thêm đường phụ hợp lý là một vấn đề quan trong cho việc tìm ra các lời giải và là vấn đề khó đối với học sinh Bởi vậy muốn học sinh tìm ra

nhiều các giải khác nhau thì ở mỗi cách ta cũng có thể gợi ý cách làm rồi cho các em thực hiện như sau

Cách giải 1 (Hình 1)

Cơ sở để làm theo cách này là dựa vào

quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng

chắn một cung, tính chất góc ngoài tam giác

Gợi ý:

- Kẻ OI  AC cắt AH ở M

- Áp dụng kiến thức về góc ngoài tam giác

- Góc nội tiếp, góc ở tâm

Lời giải:

Ta có:OMH = ACB(góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)

AOM= ABC (cùng bằng 1

2sđAC) Trong OAM thì: OMH= AOM+ OAH (Góc ngoài tam giác)

Hay ACB = ABC + OAH   

Vậy: OAH = ACB - ABC    (Đpcm)

Cách giải 2 (Hình 2)

Cơ sở để làm theo cách này là

dựa vào quan hệ giữa góc nội tiếp

và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây

cung cùng chắn một cung, góc

có cạnh tương tứng vuông góc

Gợi ý:

Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại A cắt BC ở D

Lời giải:

Ta có: ABC = CAD   (1) (Cùng chắnAC)

OAH = ADC (2) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)

Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: ABC + OAH = CAD + ADC    

Mà CAD + ADC = ACB    (góc ngoài tam giác)

 ABC + OAH = ACB   

Vậy: OAH = ACB - ABC    (đpcm)

Cách giải 3 (Hình 3)

Cơ sở để làm theo cách này là

dựa vào quan hệ giữa góc nội tiếp

cùng chắn một cung, góc so le trong,

góc có cạnh tương tứng vuông góc

Gợi ý:

- Kẻ đường kính AOD

- Kẻ DK  BC

Lời giải:

Ta cóDK // AH OAH = ODK   ((1) (so le trong)

ABC = ADC (2) (góc nội tiếp cùng chắnAC)

Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được OAH + ABC = ODK + ADC = KDC      Mà: KDC = ACB   (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)

 OAH + ABC = ACB    Vậy OAH = ACB - ABC    (Đpcm)

Bài tập tương tự

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Đường tròn (O) có đường kính BC cắt

AB , AC theo thứ tự ở D , E Gọi I là giao điểm của BE và CD Chứng minh :

 

IDE IAE

*Gợi ý:

I là trực tâm của tam giác ABC nên AI  BC

 

IAE EBC (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

EDC EBC ( cùng chắn cung EC) => IDE IAE  

Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Ví dụ 3

Từ một điểm trên đường tròn ngoại tiếp của một tam giác bất kì hạ các đường vuông góc xuống ba cạnh của tam giác ABC nội tiếp đường tròn Chứng minh rằng chân của ba đường vuông góc đó thẳng hàng

* Phương pháp chung:

Để chứng minh ba điểm thẳng hàng cần chứng minh hai góc kề có tổng số

đo bằng 1800 hoặc qua 1 điểm có 2 đường thẳng đi qua 2 điểm còn lại cùng song song với đường thẳng thứ 3

* Kiến thức vận dụng:

Các góc nội tiếp cùng chắn một cung, tứ giác nội tiếp, hai góc kề có tổng

số đo bằng 1800, các góc có các cạnh là tia đối của nhau

- Bài toán trên là một bài toán khó yêu cầu học sinh phải huy động nhiều kiến thức có liên nên việc tìm ra lời giải đã khó, việc tìm ra các cách giải khác nhau là một vấn đề quá khó Bởi vậy giáo viên cần gợi ý để các em tư duy tìm được hướng đi của bài toán Có thể hướng dẫn học sinh giải theo 2 cách sau:

Cách giải 1

Cơ sở để giải bài toán theo cách này là dựa vào

dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Từ đó suy ra

các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Gợi ý:

Tứ giác BDPE nội tiếp đường tròn đường kính BP

Tứ giác FCPE nội tiếp đường tròn đường kính CP

Lời giải :

Vì   0

D = E = 90  tứ giác BDPE là tứ giác nội tiếp

 BED = BPD   (*)(Góc nội tiếp cùng chắn một cung)

  0

F = E = 90  tứ giác EFCP cũng là tứ giác nội tiếp

 FEC = FPC   (**) (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Vì tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn  BPC = - A    (1)

PD AB

PF AC

 



   DPF = - A   (2)

Từ (1) và (2)  BPC = DPF  BPD = FPC   (***)

Từ (*) ; (**) và (***)  BED = FEC  D ; E ; F thẳng hàng

Cách giải 2

Cơ sở đề giải bài toán theo cách này là từ tứ giác nội tiếp suy ra tổng hai góc đối bằng 1800 và các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Gợi ý:

Tứ giác EFCP nội tiếp đường tròn  FEP + PCF = 180   0

Tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn  ABP + FCP = 180   0

Tứ giác EPDB nội tiếp  DBP = DEP

Lời giải:

PE EC

PF FC

 



   Tứ giác EFCP là tứ giác nội tiếp

 FEP + PCF = 180   0 (1)

Vì tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn    0

ABP + FCP = 180

ABP + BDP = 180  FCP = DBP   (2)

PD BD

PE BC

 



   Tứ giác EPDB là tứ giác nội tiếp  DBP = DEP ( 3)

Từ (1) ; (2) và (3) ta có :   0

PEF + DEP = 180 Suy ra ba điểm D ; E ; F thẳng hàng

Bài tập tương tự.

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Kẻ cát tuyến chung CBD  AB ( C ở trên (O) và D ở trên (O’).) Chứng minh A , O , C và A , O’,

D thẳng hàng

*Gợi ý:

 

CBA DBA = 900 nên AC và DA là các đường kính

=> A, O, C thẳng hàng và D, O, A thẳng hàng

Dạng 4: Chứng minh các tam giác đồng dạng.

Ví dụ 4

Đường tròn (O;R1) và (O';R2) tiếp xúc nhau tại P Một cát tuyến qua P cắt (O;R1) tại A và (O';R2) tại B Một cát tuyến khác cũng qua P cắt (O;R1) tại C và (O';R2) tại D Chứng minh các tam giác PAC và PBD đồng dạng

* Phương pháp chung:

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ 2 hoặc thứ 3 của hai tam giác

* Kiến thức vận dung:

Tính chất của hai đường tròn tiếp xúc nhau , tính chất về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung, hai góc đối đỉnh

- Để giải bài này cần yêu cầu học sinh phải đi xét hai trường hợp xảy ra : Hai đường tròn tiếp xúc ngoài và hai đường tròn tiếp xúc trong

Ở đây tôi chỉ trình bày về hai đường tròn tiếp xúc ngoài còn trường hợp hai đường tròn tiếp xúc trong chúng ta chứng minh tương tự

Cách giải 1 (Hình 1)

Cơ sở để giải bài toán là dựa vào tính chất của hai đường tròn tiếp xúc nhau, trường hợp đồng dạng thứ hai

Gợi ý:

- Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ ba

- Áp dụng tính chất góc đổi đỉnh