Chuyên đề giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quan hơn, nắm được các dạng bài toán và phương pháp giải về tiếp tuyến và tương giao đồng thời rèn luyện được các kỹ năng cho học sinh giải các dạng toán này một cách tốt hơn. Mặt khác, chuyên đề cũng là tài liệu để các thầy cô giáo có thể tham khảo và áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …………
Trang 2A PHẦN MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài.
Khảo sát hàm số là một phần quan trọng trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại họchàng năm, nay hợp nhất thành kì thi THPT quốc gia, bài toán về tiếp tuyến và tương giao làcác chủ đề liên quan đến khảo sát hàm số cơ bản khá điển hình
Trong quá trình dạy học ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học hay bồi dưỡng học sinh giỏinhiều năm tại trường, tôi nhận thấy học sinh trường tôi còn gặp nhiều khó khăn khi giải quyếtcác bài toán về tiếp tuyến và tương giao Học sinh chỉ giải quyết được các bài tập cơ bản Cácbài tập ở mức độ vận dụng hoặc nâng cao đều không định hướng được phương pháp giải Do
đó cần đưa ra cho học sinh phương pháp chung và các ví dụ cụ thể minh họa để học sinh có thểvận dụng một cách linh hoạt và thông minh Vì vậy, tôi viết chuyên đề: " Các bài toán về tiếptuyến và tương giao" để hệ thống cho các em các dạng toán cơ bản và phương pháp của các bàitoán này
2 Mục đích của đề tài.
Chuyên đề giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quan hơn, nắm được các dạng bài toán vàphương pháp giải về tiếp tuyến và tương giao đồng thời rèn luyện được các kỹ năng cho họcsinh giải các dạng toán này một cách tốt hơn
Mặt khác, chuyên đề cũng là tài liệu để các thầy cô giáo có thể tham khảo và áp dụngcho đối tượng học sinh lớp 12
3 Đối tượng nghiên cứu:
Nghiên cứu về các bài toán về tiếp tuyến và tương giao với các phương pháp giải bài tậpvận dụng để giúp học sinh có thể học tốt hơn và hình thành những kiến thức, kĩ năng mới, vậndụng một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán cũng như trongcuộc sống Trong khuôn khổ thời gian có hạn, tôi chỉ áp dụng đối với học sinh lớp 12a1 trườngTHPT DTNT Vĩnh Phúc trong năm học 2015-2016
4 Thời gian triển khai chuyên đề:
- Thực hiện dạy chuyên đề cho học sinh trong thời gian 10 tiết
Trang 3B PHẦN NỘI DUNG
1 Chủ đề 1: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
1.1.1 Cách giải: * Tính ; tính (hệ số góc của tiếp tuyến)
* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có phương trình
với
1.1.2 Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):
a) Tại điểm A (-1; 7)
b) Tại điểm có hoành độ x = 2
c) Tại điểm có tung độ y =5
Do đó phương trình tiếp tuyến là: hay y = -3x +5
+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm
+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại là:
a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0
Giải:
Ta có Gọi là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình:
Trang 4a) Khi thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình:
; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trìnhtiếp tuyến:
đã
biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến:
c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0 Ta có: y” = 6x – 4
Thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến:
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): tại các giao điểm của (C) với đường thẳng (d):
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
(x = 1 không phải là nghiệm phương trình)
Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) và M2(2; 4)
+ Tại tiếp điểm M1(0; -2) thì y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình:
+ Tại tiếp điểm M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình:
Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: và
* Nhận xét:
- Trong ví dụ 1: Phần a) là dạng toán cơ bản cho trước tiếp điểm, còn phần b) và c) cho
một trong các yếu tố của tiếp điểm (hoành độ hoặc tiếp điểm) và cần tìm thêm các yếu tố còn lại
- Trong ví dụ 2, 3: Mức độ cao hơn, tiếp điểm được ẩn qua các giả thiết khác (giao điểm, hay là nghiệm của PT) và chúng ta phải tìm các yếu tố của tiếp điểm
Ví dụ 4: Cho hàm số và điểm (C), tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A tìm hoành độ điểm B theo
Lời giải :
Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng:
Trang 5Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
Vậy điểm B có hoành độ
Ví dụ 5: Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ thỏa mãn và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Giải
Ta có
Khi đó tiếp tuyến tại M có hệ số góc
Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm có phương trình
Tiếp tuyến d có hệ số góc -1
Mặt khác tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm bấy kỳ trên (C) có hệ số góc
Dấu “=” xảy ra nên tọa độ tiếp điểm trùng với
Vậy tiếp tuyến d của (C) tại điểm có hệ số góc nhỏ nhất
Nhận xét: Trong ví dụ 4 và 5, các tiếp điểm đã được khái quát hơn qua hoành độ x0, cần hướng dẫn học sinh viết PTTT dạng tổng quát để đạt được mục đích của bài toán
Ví dụ 6: Cho hàm số (Cm) Gọi M là điểm thuộc đồ thị (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0
Trang 6Phương trình tiếp tuyến có dạng
Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d
Nhận xét: Phan tích và hướng dẫn học sinh xác định rõ cách giải quyết bài toán: Phải tìm
được tọa độ các điểm A va B
1.2 Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) khi biết trước hệ số góc của nó 1.2.1 Cách giải:
+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị:
Lưu ý: Các dạng biểu diễn hệ số góc k:
*) Cho trực tiếp:
Ví dụ:
*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi đó hệ số góc k = a
*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b
*) Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc , với
Khi đó hệ số góc k =
*) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b một góc Khi đó,
Trang 7Ví dụ 8: Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến k = -3.
Giải:
Ta có:
Gọi là tiếp điểm Tiếp tuyến tại M có hệ số góc
Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên:
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
Ví dụ 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) Biết tiếp tuyến đósong song với đường thẳng y = 9x + 6
Giải:
Ta có:
Gọi là tiếp điểm Tiếp tuyến tại M có hệ số góc
Theo giả thiết, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + +6 tiếp tuyến có hệ số góc k = 9
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: (loại)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là:
Ví dụ 10: Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến
đó vuông góc với đường thẳng
Giải:
Ta có Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9
Do đó
+) Với x = 2 Pttt tại điểm có hoành độ x = 2 là:
+) Với Pttt tại điểm có hoành độ x = - 2 là:
Vậy có hai tiếp tuyến củả (C) vuông góc với đường thẳng là:
y =9x - 14 và y = 9x + 18
Ví dụ 11: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: , biết tiếptuyến vuông góc với đường thẳng (d):
Trang 8(d) có phương trình: nên (d) có hệ số góc là -
Ta có: nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình:
Vậy tiếp điểm M có tọa độ là
Tiếp tuyến có phương trình:
Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình:
Ví dụ 12: Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyếntạo với trục hoành một góc bằng 450
Giải
Ta có:
Vì tiếp tuyến tạo với Ox một góc 450 nên hệ số góc là:
Khi đó gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có
Với thì lúc đó tiếp tuyến có dạng
Với thì lúc đó tiếp tuyến có dạng
Vậy tiếp tuyến cần tìm là và
Ví dụ 13: Cho hàm số y = có đồ thị (C)
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt
tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB
Trang 9Hệ số góc của d là
1.3 Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm
Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm
1.3.1 Cách giải:
+ Tiếp tuyến có phương trình dạng: , (với x0 là hoành độ tiếpđiểm)
+ Tiếp tuyến qua nên
+ Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là :
qua A(-2;-1) nên ta có:
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:
1.4 Dạng 4 Các dạng bài tập khác về tiếp tuyến.
Ví dụ 15: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: sao cho tiếptuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB =
Giải:
Ta có: nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là:
Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi:
Trang 10, thay a = -b ta được:
- Với
- Với
Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là:
Ví dụ 16: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: sao cho tiếp tuyếncủa (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB =
Giải:
Hàm số được viết lại:
Gọi là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ta có: nên hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là:
(1) (do )
( do thay a ở (1) )
Trang 11Cặp điểm A và B cần tìm có tọa độ là:
Ví dụ 17: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ (Cm); (m là tham số) Xác định m để (Cm)cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D
và E vuông góc với nhau
Trang 12+ Với a = -3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là:
Tóm lại: Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:
Ví dụ 19: Cho (C) là đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biếttiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn OABvuông cân tại gốc tọa độ O
Giải:
Gọi là tiếp điểm Tiếp tuyến với (C) tại M phải thỏa mãn song song với cácđường thẳng y = x hoặc y = -x
Ta có: nên tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc là:
Vậy tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d: y = -x
+ Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d+ Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với dVậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:
Ví dụ 20: Cho hàm số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Cho điểm thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của(C) tại các điểm A và B Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB
Giải
a) Tự làm
Trang 13Phương trình tiếp tuyến (d) tại M0:
Ví dụ 21: Cho hàm số: (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tamgiác có diện tích không đổi
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Giải
Phương trình tiếp tuyến () với (C) tại M:
Tọa độ giao điểm A, B của () với hai tiệm cận là:
Trang 14Mặt khác I(2; 2) và IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích
Khoảng cách d lớn nhất bằng khi
Ví dụ 24: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp
tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(-4; -2).
Trang 15Chú ý: Bài toán này có thể giải bằng cách sau: Tiếp tuyến cách đều A, B nên có 2 khả năng:
Tiếp tuyến song song (trùng) AB hoặc tiếp tuyến đi qua trung điểm của AB
Ví dụ 25: Cho hàm số tìm điểm M sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
Giải:
Tiếp tuyến tại M có dạng:
Gọi tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
Gọi tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
Diện tích tam giác OAB: S = OA.OB =
Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán:
Trang 16Bài 3 Cho hàm số trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếptuyến có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 4 Cho hàm số: (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy vàtiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3
Bài 5 Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếptuyến đó vuông góc với đường thẳng d:
Bài 6 Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số Biết tiếp tuyến điqua điểm A(-1; 3)
Bài 7 Cho hàm số: y = có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểmA(-6,5)
Bài 8 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = 2x3 + 3x2 - 12x - 1 kẻ từđiểm
Bài 9 Cho hàm số có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
b) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C)tại A, B sao cho AB ngắn nhất
nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8
Bài 12 Cho hàm số:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độmột tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0
Trang 172 Chủ đề 2: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO
2.1 Kiến thức cơ bản
2.1.1 Bài toán tương giao tổng quát:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị lànghiệm của phương trình : f(x, m) = g(x,m) (1)
* Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C)
2.1.2 Bài toán cơ bản:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và d: y =ax+b
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = ax+b (1)
+ Nếu (1) dẫn đến một phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng định lý Viet
* Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ
Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ và (p, q)=1 thì và
* Phương pháp hàm số
Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m
Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m
Trang 18a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
Trang 19Lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị
Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đthị và đường thẳng y = m
Suy ra đáp số: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
phương trình có 1 nghiệm
phương trình vô nghiệm
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Giải
a) Học sinh tự làm
Đồ thị:
b) Phương trình
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1
Dựa vào đồ thị, phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Ví dụ 4: Cho hàm số có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
Trang 20a) HS tự trình bày
b) Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
có hai nghiệm phân biệt
Xét phương trình:
Có
Vậy với mọi m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
Ví dụ 5: Cho hàm số Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0) với hệ
số góc là k ( k thuộc R) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm
B, C (B, C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1
có ba nghiệm phân biệt g(x) = x2 – 4x + 4 – k = 0 có hai
nghiệm phân biệt khác - 1
Với điều kiện: (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), do đó B,C có hoành
độ là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0