CHUYÊN ĐỀ: Hai đường thẳng vuông góc (HÌNH HỌC 11)

CHUYÊN ĐỀ: Hai đường thẳng vuông góc HÌNH HỌC 11Câu hỏi trắc nghiệm lí thuyết hai đường thẳng vuông góc Xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng Tính tích vô hướng của hai v

CHUYÊN ĐỀ: Hai đường thẳng vuông góc (HÌNH HỌC 11)

Câu hỏi trắc nghiệm lí thuyết hai đường thẳng vuông góc

Xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng

Tính tích vô hướng của hai vectơ

Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Chủ đề: Hai đường thẳng vuông góc

Câu hỏi trắc nghiệm lí thuyết hai đường thẳng vuông góc

2 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ đều khác 0→ Tích vô hướng của hai vectơ u→ và u→ là một số, kí hiệu là u→.v→, được xác định bởi công thức:

Trong trường hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy ước u→.v→ = 0.

II – Vecto chỉ phương của đường thẳng

1 Định nghĩa

Vectơ a→ khác 0→ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a→ song song hoặc trùng với đường thẳng d.

2 Nhận xét

a) Nếu a→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ k.a→ với k ≠ 0 cũng

là vectơ chỉ phương của d

b) Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A

thuộc d và một vectơ chỉ phương a→ của nó.

c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳngphân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương

III – Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

1 Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’

và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b

2 Nhận xét

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc mộttrong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đườngthẳng còn lại

b) Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90°

c) Nếu u→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và (u→, v→) = α thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng α nếu

0° ≤ α ≤ 90° và bằng 180° - α nếu 90° < α ≤ 180° Nếu a và b song song hoặctrùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°

IV – Hai đường thẳng vuông góc

1 Định nghĩa

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a ⊥ b

C Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b.

D Nếu a và b cùng nằm trong mp(α) // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c

+ Phương án C sai do:

Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c là đường vuônggóc chung của a và b Khi đó góc giữa a và c bằng với góc giữa b và c và cùngbằng 90°, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng a và b không song song

+ Phương án D sai do: giả sử a vuông góc với c; bsong song với c, khi đó góc giữa

a và c bằng 90°, còn góc giữa b và c bằng 0°

Do đó B đúng

Ví dụ 2: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi bsong song với c (hoặc b trùng với c)

B Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì bsong song với c

C Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn

D Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đườngthẳng đó

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta xét các phương án:

+ Phương án B sai: Ví dụ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có:

(AD; AB) = (AD; AA’) = 90° nhưng AB và AA’ lại vuông góc với nhau

+ Phương án C sai : Vì góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90° Mà 90° lạikhông là góc nhọn

+ Phương án D: Góc giữa hai đường thẳng chỉ bằng góc giữa hai véctơ chỉphương của hai đường thẳng đó khi góc giữa hai vecto chỉ phương không vượtquá 90°

⇒ Phương án A đúng

Ví dụ 3: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?

A Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳngthứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai

B Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳngthứ ba thì song song với nhau.

C Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau

D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuônggóc với nhau

Hướng dẫn giải

Chọn A

Theo lý thuyết

Ví dụ 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùngnằm trong một mặt phẳng

B Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm trong một mặt phẳng thìđồng quy

C Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng

đó cùng nằm trong một mặt phẳng

D Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi a; b; c là 3 đường thẳng cắt nhau từng đôi một

Giả sử a; b cắt nhau tại A, vì c không nằm cùng mặt phẳng với a; b mà c cắt a; bnên c phải đi qua A

Thật vậy giả sử c không đi qua A thì nó phải cắt a; b tại hai điểm B; C

⇒ Đường thẳng c cắt (a; b) tại 2 điểm B; C điều này là vô lí, một đường thẳngkhông thể cắt một mặt phẳng tại hai điểm phân biệt

Ví dụ 5: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

A Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song vớinhau

B Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông gócvới đường thẳng c thì a vuông góc với c

C Cho hai đường thẳng phân biệt a và b Nếu đường thẳng c vuông góc với a và bthì a; b; c không đồng phẳng

D Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu a vuông góc với c thì b cũng vuônggóc với c

+ Phương án C sai vì với 2 đường thẳng a // b và 3 đường thẳng a; b; c đồngphẳng Nếu đường thẳng c vuông góc với a thì c cũng vuông góc với b

+ Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng

C Bài tập vận dụng

Câu 1: Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì songsong với đường thẳng còn lại

B Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau

C Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau

D Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thìvuông góc với đường thẳng kia.

Hiển thị lời giải

Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc giữa cặp

Hiển thị lời giải

+ Phương án A sai: Ví dụ khi a; b và c cùng nằm trong một mặt phẳng Khi đó;

b // c

(vì cùng vuông góc với đường thẳng a)

+ Phương án B sai Ví dụ hình chóp S.ABC có SA; SB và SC đôi một vuông góc

Rõ ràng SA vuông góc SB và SC nhưng SB và SC không song song với nhau

Chọn D

Câu 4: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì:

A Song song với nhau

B Vuông góc với nhau

C Chéo nhau

D Tất cả sai

Hiển thị lời giải

+ Phương án A sai: ví dụ hình chóp S.ABC có SA, SB và SC đôi một vuông góc

Có SA và SB cùng vuông góc với SC nhưng SA và SB không song song với nhau.Đồng thời ta thấy SA và SB cắt nhau tại S

B Nếu a vuông góc với b ; b vuông góc với c thì a // c

C Cho a // b Nếu a vuông góc với c thì b vuông góc với c

D Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích vô hướng của hai vecto chỉphương của hai đường thẳng đó bằng 0

Xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng

A Phương pháp giải

Để tính góc giữa hai đường thẳng d1; d2 trong không gian ta có thể thực hiện theohai cách

Cách 1 Tìm góc giữa hai đường thẳng d1, d2 bằng cách chọn một điểm O thíchhợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ O dựng các đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d 1 và d 2 Góc giữa hai đường thẳng

d 1 , d 2 chính là góc giữa hai đường thẳng d 1 , d 2

Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

Cách 2 Tìm hai vec tơ chỉ phương u1, u2 của hai đường thẳng d1, d2

Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos(d1, d2) =

Lưu ý 2: Để tính u 1 →, u 2 →, |u 1 →|, |u 2 →| ta chọn ba vec tơ a→, b→, c→ không

đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec

tơ u 1 →, u 2 → qua các vec tơ a→, b→, c→ rồi thực hiện các tính toán.

B Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc giữa cặp

vectơ AB→ và DH→

A 45° B 90° C 120° D.60°

Hướng dẫn giải:

Vì DH→ = AE→ ( ADHE là hình vuông) nên (AB→, DH→) = (AB→, AE→) =

∠BAE = 90° (ABFE là hình vuông)

Chọn B

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc giữa cặp

vectơ AB→ và EG→?

A 90° B 60° C 45° D 120°

Hướng dẫn giải

Vì EG→ = AC→ ( tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên:

(do ABCD là hình vuông)

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Góc giữa AC và DA’ là:

A 45° B 90° C 60° D 120°

Hướng dẫn giải

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương

Khi đó, tam giác AB’C đều (AB' = B'C = CA = a√2) do đó ∠B'CA= 60°

Lại có, DA’ song song CB’ nên

(AC, DA') = (AC, CB') = ∠ACB'= 60°

Chọn C

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có

ba góc nhọn Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?

Hướng dẫn giải

Ta có : AC // A’C’ ( do AA’CC’ là hình bình hành) mà ∠DA'C' nhọn (do tam giácA’DC’ là tam giác nhọn) nên :

(AC, A'D) = (A'C', A'D) = ∠DA'C'

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có BA = CD Gọi I ; J ; E ; F lần lượt là trung điểm

của AC ; BC ; BD ; AD Góc (IE; JF) bằng

A 30° B 45° C 60° D 90°

Hướng dẫn giải

Ta có IF là đường trung bình của tam giác ACD

Lại có JE là đường trung bình của tam giác BCD

Từ (1) và (2) suy ra:

Do đó IJEF là hình thoi

Suy ra (IE; JF) = 90°

Chọn D

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = (a√3)/2 (I; J lần lượt là trung

điểm của BC và AD) Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Ta có: ∠MIN = 2∠MIO

Xét tam giác MIO vuông tại O, ta có:

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB

và CD Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ ?

A 120° B 90° C 60° D.45°

Hướng dẫn giải

Chọn B

+ Xét tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều

Tương tự tam giác ABD đều

+ Gọi M là trung điểm của CD

+ Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều (vì ABCD là tứ diện đều) cóAM; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao

Suy ra AB→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.

Chọn C

Câu 2: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác BCD Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu?

A 0° B 30° C 90° D 60°

Hiển thị lời giải

Gọi M là trung điểm của CD

Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ACD và BCD là tam giác đều nên:

Suy ra AO→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AO và CD bằng 90°.

Chọn C

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB Tính số đo của góc giữa

hai đường thẳng chéo nhau SC và AB

A 30° B 45° C 60° D 90°

Hiển thị lời giải

Vậy SC và AB vuông góc với nhau

Chọn D

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi I và J lần lượt

là trung điểm của SC và BC Số đo của góc (IJ; CD)bằng:

A 90° B 45° C 30° D 60°

Hiển thị lời giải

Chọn D

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD

+ Ta có: OJ là đường trung bình của tam giác BCD nên

OJ // CD

⇒ (IJ; CD) = (IJ, JO)

+ Xét tam giác IOJ có

⇒ tam giác IOJ đều

Vậy góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ

bằng góc ∠IJO = 60°

Chọn D

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng

a Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và SC

A 30° B 45° C 60° D.90°

Hiển thị lời giải

Theo giả thiết, ta có: AB = BC = CD = DA = a nên ABCD là hình thoi cạnh a.Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có ΔCBD = ΔSBD (c-c-c)

Suy ra hai đường trung tuyến tương ứng CO và SO bằng nhau

Xét tam giác SAC, ta có SO = CO = (1/2)AC

Do đó tam giác SAC vuông tại S (tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnhđáy) Vậy SA ⊥ SC

Chọn A

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD ⇒ AH ⊥ (BCD)

Gọi E là trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD)

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các

cạnh bên đều bằng a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD Số đo củagóc (MN; SC) bằng

Xét tam giác SAC, ta có:

⇒ ΔSAC vuông tại S ⇒ SA ⊥ SC

⇒ (SA, SC) = (MN, SC) = 90°

Câu 8: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD

= 90° Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Hãy xác định góc giữa cặp

vectơ IJ→ và CD→ ?

A 45° B 90° C 60° D 120°

Hiển thị lời giải

Chọn B

Ta có BAC và BAD là 2 tam giác đều, I là trung điểm của AB nên CI = DI

(2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh AB)

⇒ Tam giác CID là tam giác cân ở I

Mà IJ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao nên IJ ⊥ CD

Tính tích vô hướng của hai vectơ

Tính tích vô hướng của hai vectơ

Hướng dẫn giải

Giả sử cạnh của tứ diện là a

Tam giác BCD đều ⇒ DM = (a√3)/2.Tam giác ABC đều ⇒ AM = (a√3)/2

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60° Hãy

xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và CD→ ?

A 60° B 45° C 120° D 90°

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và Hãy

xác định góc giữa cặp vectơ SC→ và AB→ ?

A 120° B 45° C 60° D 90°

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB Tính số đo của góc giữa

hai đường thẳng chéo nhau SC và AB

A 30° B 45° C 60° D 90°

Hướng dẫn giải

Vậy SC và AB vuông góc với nhau

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và ∠SAC = ∠SAB Tính số đo của

góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC

A 30° B 45° C 60° D 90°

Hướng dẫn giải

Vậy SA ⊥ BC

Chọn D

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu

thì AB ⊥ CD , AC ⊥ BD, AD ⊥ BC Điều ngượclại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Chọn D

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD

= 90° Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Hãy xác định góc giữa

cặp vectơ AB→ và IJ→ ?

A 120° B 90° C 60° D 45°

Hiển thị lời giải

Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD ⇒ IJ→ = (1/2)(IC→ + ID→)

Tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều ⇒ CI ⊥ AB (1)

Tương tự, ta có tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB (2)

Từ ( 1) và (2) ta có

Chọn B

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các

cạnh bên đều bằng a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD Số đo củagóc (MN ; SC) bằng

A 45° B 30° C 90° D.60°

Hiển thị lời giải

Do ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ AC = a√2

Ta có : AC2 = 2a2= SA2 + SC2

⇒ tam giác SAC vuông taị S

Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác DSA ⇒ MN→ = (1/2).SA→

Khi đó

Chọn C

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a Tính AB→.EG→

Hiển thị lời giải

Ta có: EGCA là hình bình hành nên EG→ = AC→ ⇒ AB→.EG→ = AB→.AC→ Mặt khác AC→ = AB→ + AD→ ( quy tắc hình hộp)

+ Gọi M là trung điểm của CD

+ Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều ( vì ABCD là tứ diện đều) có

AM ; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao

Suy ra AB→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.

Chọn C

Câu 7: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác BCD Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu ?

A 0° B 30° C 90° D 60°

Hiển thị lời giải