Trong thời đại hiện nay, công nghệ thông tin là một lĩnh vực được quan tâm đối với tất cả các ngành trong xã hội nói chung và đặc biệt là ngành giáo dục chúng ta nói riêng. Việc ứng dụng công nghệ thông tin trong trường học là việc làm rất cần thiết cho các thầy cô khi đứng lớp, đặc biệt là giáo viên dạy môn hình học ở cấp THCS. Thật vậy, trước đây khi hướng dẫn cho học sinh một định nghĩa, một tính chất hoặc giải một bài toán để cho học sinh nắm được bài thực sự đã khó, ở đây lại là bài toán quỹ tích lại còn khó hơn vì thường rất trừu tượng với học sinh. Học sinh khó hình dung được đường chuyển động của quỹ tích nên rất mơ hồ về bài học.
Trang 1SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
"ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD VÀO DẠY BÀI TOÁN QUỸ TÍCH MÔN HÌNH HỌC LỚP 9"
I MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn sáng kiến
Trong thời đại hiện nay, công nghệ thông tin là một lĩnh vực được quan tâm đối với tất cả các ngành trong xã hội nói chung và đặc biệt là ngành giáo dục chúng ta nói riêng Việc ứng dụng công nghệ thông tin trong trường học là việc làm rất cần thiết cho các thầy cô khi đứng lớp, đặc biệt là giáo viên dạy môn hình học ở cấp THCS Thật vậy, trước đây khi hướng dẫn cho học sinh một định nghĩa, một tính chất hoặc giải một bài toán để cho học sinh nắm được bài thực sự đã khó,
ở đây lại là bài toán quỹ tích lại còn khó hơn vì thường rất trừu tượng với học sinh Học sinh khó hình dung được đường chuyển động của quỹ tích nên rất mơ hồ về bài học
Tuy nhiên từ khi có phấn mềm Geometer’s Sketchpad (GPS) và áp dụng được phần mềm Geometer’s Sketchpad trong dạy học môn hình học quỹ tích ở cấp
THCS thì việc học tập trở nên dễ dàng hơn với học sinh Phương pháp dùng hình ảnh trực quan mà các phương pháp khác không có được, làm cho học sinh thấy rõ đường đi của quỹ tích, từ đó học sinh nắm được bài và tìm ra hướng giải dễ dàng hơn Đó cũng chính là lý do mà tôi chọn đề tài trên
2 Điểm mới của sáng kiến
Sáng kiến đã hệ thống hóa và cung cấp những bài tập kèm các công cụ Geometer’s sketchpad có sẵn dễ áp dụng khi giảng dạy các bài toán quí tích lớp 9 Qua những bài tập và hướng dẫn đơn giản hi vọng các thầy cô có thể có thêm nhiều phương án tham khảo việc giảng bài trực quan
Trang 2II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
1 Cơ sở lý luận
Cơ sở triết học: “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn Đó là con đường biện chứng của quá trình tìm ra chân lý”
Cơ sở tâm lý học: con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu cần tư duy Tự mình đề xuất được hướng giải quyết vấn đề
Trong dạy học, phương tiện dạy học tạo ra khả năng tái hiện lại các sự vật hiện tượng một cách gián tiếp, bởi vì các hiện tượng sự vật đó không phải bao giờ cũng xảy ra một cách trực tiếp trong các giờ học Nó góp phần tạo nên trong ý thức của học sinh những hình ảnh trực quan cảm tính của sự vật hiện tượng, ở giai đoạn này hình ảnh trực quan bao giờ cũng là thành phần và tiền đề bắt buộc của tư duy
Ở giai đoạn kết thúc nghiên cứu sự vật hiện tượng cần phải cho học sinh thấy sự vận dụng trong thực tiễn của nó Điều này khó đạt nếu thiếu phương tiện dạy học Phương tiện dạy học góp phần tạo cho học sinh động cơ học tập đúng đắn Để làm được điều đó thì việc sử dụng phương tiện dạy học là rất cần thiết
2 Thực trạng vấn đề
2.1 Thực trạng chung
Với dạng toán quỹ tích là một trong những vấn đề khá khó đối với học sinh
Vì vậy việc dạy cho học sinh giải bài toán quỹ tích là không dễ Học sinh thường
có tâm trạng lo sợ, e ngại trước những bài toán về quỹ tích Khi gặp một bài toán
về quỹ tích, các học sinh như đi trong bóng tối, băn khoăn không biết quỹ tích phải tìm là hình gì, nên hướng lý luận về đường nào và đi đến kết luận gì thì mới đúng
Để đoán nhận được quỹ tích của một điểm nào đó thường thì người học phải vẽ hình ở những vị trí riêng biệt khác nhau, rồi rút ra tính chất chung từ các trường hợp riêng đó
2.2 Thực trạng cụ thể.
Do đặc điểm nữa là gần 100% HS của nhà trường thuộc dân tộc ít người còn nhiều thói quen, tập tục lạc hậu, chất lượng học tập thấp, đa số HS không có hứng
Trang 3thú khi học tập đặc biệt là môn toán trong đó có phân môn hình học Tâm lý lo sợ,
e ngại của các em về toán quỹ tích phần nào cũng ảnh huởng đến việc học tập
Mặt khác, chúng ta có thể thấy rằng việc soạn giảng một tiết bằng Geometer's Sketchpad tốn khá nhiều công sức và đòi hỏi người giáo viên dạy Toán phải có kiến thức nhất định về Tin học, nhất là kỹ năng sử dụng phần mềm dạy học toán Geometer's Sketchpad
Phòng học riêng biệt cho việc giảng dạy có lắp đặt cố định máy chiếu chưa
có, do đó khi bắt đầu một tiết dạy giáo viên phải đưa đến từng lớp nên rất cồng kềnh và tốn thời gian Học sinh bước đầu chưa quen với phương pháp dạy học có
sự hỗ trợ của phần mềm toán học Gemeter’s Sketchpad nên tiếp thu có phần bỡ ngỡ
2.3 Kết quả khảo sát.
Được sự quan tâm, giúp đỡ của BGH nhà trường Tôi đã tiến hành khảo sát
sự tiếp thu của học sinh học sinh khối 9 khi học xong bài Cung chứa góc với bài tập “Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định Gọi I là giao điểm của ba
đường phân giác trong Tìm quĩ tích điểm I khi A thay đổi ” năm học 2017 – 2018
khi Geometer’s Sketchpad chưa được áp dụng vào giảng dạy
Kết quả thu được như sau:
Bình
lên
Lớp 9 (29 HS) 0 0 1 3,4 10 34,5 12 41,4 6 20,7 11 37,9 Nhìn vào kết quả trên có thể thấy rằng đa số các em vẫn chưa nắm được bài,
tỉ lệ học sinh yếu kém vẫn còn nhiều
3 Các biện pháp thực hiện
Hầu hết các bài toán quỹ tích luôn có trong chương trình hình của các khối lớp từ 6 đến 9 và đã có một số giáo viên thực hiện dạy bài toán quỹ tích bằng phần mếm Geometer’s Sketchpad và kết quả thu được từ thực tế rất khả quan Bản thân
Trang 4tôi đang tham gia giảng dạy ở khối 9 Tôi sẽ đưa ra cách thực hiện giảng dạy và vài
ví dụ minh họa một số bài tập
3.1 Định nghĩa quỹ tích
Một hình H được gọi là quỹ tích của các điểm M có tính chất T (hay tập hợp các điểm M có tính chất T) khi và chỉ khi nó chứa các điểm có tính chất T
3.2 Cách giải bài toán quỹ tích.
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần :
a) Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tìm được hình H, chứa các điểm M có tính chất T, nhưng do các điều kiện hạn chế của bài toán, tập hợp điểm
M là hình H’ chỉ là một bộ phận của hình H Trong trường hợp này ta phải thực
hiện thêm một công việc nữa gọi là: “ giới hạn quỹ tích”.
b) Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H ( hoặc hình H’) đều có tính chất T.
Sau khi chứng minh cả hai phần trên ta rút ra kết luận: Quỹ tích những điểm M thỏa mãn tính chất T là hình H ( hoặc hình H’)
Đối với bài toán tìm tập hợp điểm có tính chất T thì phải lập luận để đưa về một trong các tập hợp điểm cơ bản ( Trong chương trình hình học ở THCS có 5 tập hợp điểm cơ bản), nhưng vì thời gian có hạn tôi xin giới thiệu hai tập hợp cơ bản là
“ đường tròn” và “cung chứa góc”
3.3 Tập hợp điểm về đường tròn và cung chứa góc.
a) Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng R ( R > 0) không đổi là
đường tròn tâm O, bán kính R.
b) Tập hợp điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo bằng (0 180 ) 0 cho trước là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB, gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn AB.
Chú ý:
Trang 5- Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích.
- Khi 90 0 thì hai cung này là hai nửa đường tròn đường kính AB Như vậy
ta có: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
3.4 Những điều cần chú ý khi giải bài toán quỹ tích.
a) Tìm hiểu kĩ bài toán:
Tìm hiểu kĩ bài toán để nắm vững các yếu tố đặc trưng cho bài toán Trong một bài toán quỹ tích thường có ba loại yếu tố
* Yếu tố cố định: thông thường là các điểm, đoạn thẳng, đường thẳng.
* Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích của hình,
* Yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích, hoặc các
đoạn thẳng, hoặc các hình mà trên đó chứa điểm ta cần tìm quỹ tích
b) Dự đoán quỹ tích:
Trong nhiều trường hợp, ta cần dự đoán hình H trước khi chứng minh Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm ba điểm của quỹ tích Muốn vậy nên xét ba vị trí đặc biệt, tốt nhất là sử dụng các vị trí giới hạn, với điều kiện hình vẽ chính xác, bằng trực giác sẽ giúp ta hình dung được hình dạng của quỹ tích
- Nếu ba điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đường thẳng (ta không xét trong chuyên đề này)
- Nếu ba điểm ta vẽ được không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường tròn hoặc cung tròn
3.5 Các ví dụ minh họa.
* Quỹ tích về đường tròn.
Phương pháp: Tìm được tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng R
( R > 0) không đổi là đường tròn tâm O, bán kính R.
Trang 6Bài 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A cố định trên đường tròn.
Điểm M di động trên tiếp tuyến d tại điểm A của (O; R) Qua M vẽ tiếp tuyến thứ hai với (O; R) Gọi B là tiếp điểm Gọi H là trực tâm của tam giác AMB
a) Chứng minh tứ giác AOBH là hình thoi
b) Tìm quỹ tích điểm H
* Hướng dẫn:
Yếu tố cố định: Điểm A, O, đoạn OA
Yếu tố không đổi: Độ dài OA, OB
Yếu tố thay đổi: điểm M, B, H, độ dài MB, MO, MH…
Ở câu a) ta đã chứng minh được AOBH là hình thoi nên suy ra HA = R (không đổi), A cố định Vậy ta đã đưa về bài toán quỹ tích cơ bản đường tròn, từ đó ta có lời giải như sau:
* Tóm tắt lời giải:
B'
M' H'
Tứ giác AOBH là hình bình hành, có OB = OA = R
Tứ giác AOBH là hình thoi (dhnb)
HA = AO = R (không đổi)
b) * Phần thuận:
Trang 7Ta có HA = AO = R (không đổi) (CMT); A cố định.
Vậy M di động thì H di động theo nhưng H luôn cách A cố định một khoảng không đổi là HA = AO = R Nên H thuộc đường tròn tâm A, bán kính R
* Phần đảo:
Lấy H’ thuộc (A; R), nối OH’ cắt d tại M’, vẽ tiếp tuyến M’B’ Chứng minh H’
là trực tâm của tam giác AM’B’ Thật vậy:
Ta chứng minh được tứ giác AOB’H’ là hình thoi
OA // B’H’, OA AM’
B’H’ AM’ (1)
Chứng minh tương tự AH’ B’M’ (2)
Từ (1), (2) H’ là trực tâm của tam giác AM’B’
* Kết luận quỹ tích:
Vậy M di động thì H di động theo nhưng H luôn cách A cố định một khoảng không đổi là HA = AO = R Nên H thuộc đường tròn tâm A, bán kính R
Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, AC là một dây cung bất kỳ, M là
điểm chính giữa của cung AC Hai đường thẳng AM và BC cắt nhau ở D
a) Chứng minh tam giác BAD cân
b) Tìm quỹ tích điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đã cho
* Hướng dẫn:
Yếu tố cố định: Điểm A, O, B đoạn OA, OB, AB
Yếu tố không đổi: Độ dài OA, OB, AB…
Yếu tố thay đổi: điểm M, C, D, độ dài BM, AC
Ở câu a) ta đã chứng minh được tam giác BAD cân nên suy ra BA = BD = 2R (không đổi), B cố định Vậy ta đã đưa về bài toán quỹ tích cơ bản đường tròn, từ
đó ta có lời giải như sau:
Trang 8C'
M' M
C
E D
B O
A
* Tóm tắt lời giải:
a) MA MC MBA MBC
AMB 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) BM AD
Tam giác ABD có BM vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên là tam giác cân tại B
b) * Phần thuận:
Tam giác ABD cân tại B (cmt)
BA = BD = 2R (không đổi), B cố định
Vậy C di động thì D di động theo nhưng D luôn cách B cố định một khoảng không đổi là BD = AB = 2R Nên D thuộc đường tròn tâm B, bán kính BA = 2R
* Giới hạn quỹ tích:
Vì điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính BC nên:
- Khi C trùng với A thì D trùng với A
- Khi C trùng với B thì BC trở thành tiếp tuyến của đường tròn (O) ở B, khi
đó D trùng với E là giao điểm của đường tròn tâm B, bán kính BA với tiếp tuyến nói trên
Vậy D chạy trên 1
4 đường tròn tâm B, bán kính BA (trên cùng nửa mặt phẳng bờ
AB chứa nửa đường tròn (O) là cung AE như hình vẽ)
Trang 9* Phần đảo:
Lấy D’ bất kỳ thuộc cung AE Nối D’A, D’B cắt nửa đường tròn (O) lần lượt tại M’ và C’ Ta phải chứng minh M’ là điểm chính giữa của AC' Thật vậy:
Ta có tam giác BAD’ cân tại B (vì BA = BD’ = 2R)
Mà BM A ' 90 0(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) BM' AD'
BM’ là đường cao đồng thời là phân giác của tam giác ABD’
' ' ' ' ' '
ABM D BM AM M C
Vậy M’ là điểm chính giữa của AC'
* Kết luận quỹ tích:
Vậy C di động thì D di động theo nhưng D luôn cách B cố định một khoảng
không đổi là BD = AB = 2R Nên D thuộc 1
4 đường tròn tâm B, bán kính BA (trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) là cung AE như hình vẽ)
Bài 3: Cho đường tròn (O; R) cố định, B và C là hai điểm cố định trên đường tròn,
A là một điểm tuỳ ý trên đường tròn Gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua trung điểm I của AB Tìm quỹ tích các điểm M
Hướng dẫn:
I'
A' M'
I
C B
A M
Yếu tố cố định: Điểm B, C, O đoạn OC, OB, BC
Yếu tố không đổi: Độ dài OB, OC, BC…
Yếu tố thay đổi: điểm M, I, A, độ dài BA, CM, CA, BM
Trang 10Theo bài ra ta dễ dàng chứng minh được tứ giác AMBC là hình bình hành
MB = AC nhưng AC thay đổi nên không thể sử dụng được bài toán quỹ tích đường tròn Nên có thể ta sử dụng độ dài không đổi là bán kính R và BC, từ đó ta nghĩ tạo thêm đường phụ, tạo thêm điểm cố định bằng cách vẽ OO’// BC và OO’= BC
O’ cố định và dễ dàng chứng minh được AMO’O là hình bình hành MO’ = OA
= R (không đổi) Vậy ta đã đưa về bài toán quỹ tích cơ bản đường tròn, từ đó ta có lời giải như sau:
* Tóm tắt lời giải:
a) * Phần thuận:
Kẻ OO’// BC và OO’= BC (O’ và B trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC)
O’ cố định (vì O, B, C cố định và BC không đổi)
Tứ giác AMBC là hình bình hành (vì I là trung điểm của hai đường chéo AB và MC)
MA // BC và MA = BC mà OO’// BC và OO’= BC (cd)
MA // OO’ và MA = OO’
Tứ giác AMO’O là hình bình hành (dhnb)
O’M = OA = R (không đổi), O’ cố định
Vậy A di động thì M di động theo nhưng M luôn cách O’ cố định một khoảng không đổi là O’M = OA = R Nên M thuộc đường tròn tâm O’, bán kính OA = R
b)* Phần đảo:
Trên (O’, R) lấy điểm M’ bất kỳ Nối M’B Qua C kẻ đường thẳng song song với BM’ cắt đường tròn (O) ở điểm thứ hai A’ Ta phải chứng minh M’ đối xứng với C qua trung điểm I’ của A’B (Bạn đọc tự chứng minh)
* Kết luận quỹ tích: Vậy A di động thì M di động theo nhưng M luôn cách O’ cố
định một khoảng không đổi là O’M = OA = R Nên M thuộc đường tròn tâm O’, bán kính OA = R
Trang 11* Quỹ tích về cung chứa góc.
Phương pháp: Tìm tập hợp điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB
cho trước một góc AMB có số đo bằng (0 180 ) 0 cho trước là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB, gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn AB.
Chú ý:
- Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích
- Khi 90 0 thì hai cung này là hai nửa đường tròn đường kính AB Như vậy
ta có: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là
đường tròn đường kính AB.
Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Gọi C, D là hai điểm trên nửa
đường tròn sao cho OCOD (C thuộc cung AD) Các tia AC và BD cắt nhau ở P Tìm tập hợp điểm P khi C và D chuyển động trên nửa đường tròn
Hướng dẫn:
C'
D'
D
P2
P1
B O
A
Yếu tố cố định: Điểm A, O, B đoạn OA, OB, AB
Yếu tố không đổi: Độ dài OA, OB, AB, ACB 900, OCD90 ;0 CBD 450
Yếu tố thay đổi: điểm C, D, P, độ dài AC, BC, BD, BP, AP
Theo bài ra ta chứng minh được APB 450 (không đổi), AB cố định
Trang 12* Tóm tắt lời giải:
a) * Phần thuận:
ACB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) BCP 900
Tam giác BCP vuông mà 1
2
CBP COD (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn CD); COD 90 0 (vì OCOD) CBP 45 0
Tam giác BCP vuông cân ở C, ta có BPC 450 hay BPA 450
Điểm P tạo với hai mút A, B của đoạn thẳng AB cố định góc BPA 450 nên P thuộc cung chứa góc 450 vẽ trên đoạn AB
* Giới hạn: Qua A và B vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn (O) cắt
cung chứa góc nói trên ở P1, P2 Kẻ bán kính OK AB
- Khi C trùng với A thì D trùng với K, AC trùng với tia tiếp tuyến Ax nên P trùng với P1
- Khi C trùng với K thì D trùng với B, BD trùng với tia tiếp tuyến By nên P trùng với P2
Vậy P chạy trên cung PP1 2 thuộc cung chứa góc 450 vẽ trên AB (hình vẽ)
b)* Phần đảo:
Trên cung
1 2
P P nói trên, lấy điểm P’ bất kỳ Nối P’A, P’B cắt nửa đường tròn (O) ở C’ và D’ Ta phải chứng minh OC’ OD’ Thật vậy:
Nối A với D’, ta có AD B ' 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
AD P' ' 900
(hai góc kề bù) AD P' 'vuông ở D’
AP B ' 450 (vì P’ thuộc cung chứa góc 450 vẽ trên AB)
' '
AD P
vuông cân ở D’
' ' 450
P AD
C OD ' ' 2 ' P AD ' 2.45 0 900
Nên OC’ OD’
* Kết luận: Vậy tập hợp điểm P là cung PP1 2 thuộc cung chứa góc 450 vẽ trên đoạn AB (hình vẽ)