CÁC NỘI DUNG TRỌNG TÂM Bài giảng 1: Căn bản về PTVP • Định nghĩa đạo hàm • Mở rộng ra khái niệm về sai số, giá trị đúng • Tích phân • Phương trình vi phân – cấp của PTVP – Định nghĩa
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA XÂY DỰNG VÀ ĐIỆN
TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN ÔN TẬP VÀ KIỂM TRA
MÔN: PTVP trong XD (Các lớp không chính qui)
Mục đích
Tài liệu này nhằm hỗ trợ cho học viên hình thức giáo dục từ xa nắm vững nội dung ôn tập và làm bài kiểm tra hết môn hiệu quả
Tài liệu này cần được sử dụng cùng với tài liệu học tập của môn học và bài giảng của giảng viên ôn tập tập trung theo chương trình đào tạo
Nội dung hướng dẫn
Nội dung tài liệu này bao gồm các nội dung sau:
• Phần 1: Các nội dung trọng tâm của môn học Bao gồm các nội dung
trọng tâm của môn học được xác định dựa trên mục tiêu học tập, nghĩa
là các kiến thức hoặc kỹ năng cốt lõi mà người học cần có được khi hoàn thành môn học
• Phần 2: Cách thức ôn tập Mô tả cách thức để hệ thống hóa kiến thức
và luyện tập kỹ năng để đạt được những nội dung trọng tâm
• Phần 3: Hướng dẫn làm bài kiểm tra Mô tả hình thức kiểm tra và đề
thi, hướng dẫn cách làm bài và trình bày bài làm và lưu ý về những sai sót thường gặp, hoặc những nỗ lực có thể được đánh giá cao trong bài làm
• Phần 4: Đề thi mẫu và đáp án Cung cấp một đề thi mẫu và đáp án, có
tính chất minh hoạ nhằm giúp học viên hình dung yêu cầu kiểm tra và cách thức làm bài thi
(Bảng chi tiết đính kèm)
PHỤ TRÁCH KHOA XÂY DỰNG VÀ ĐIỆN
Trần Tuấn Anh
Trang 2PHẦN 1 CÁC NỘI DUNG TRỌNG TÂM
Bài giảng 1: Căn bản về PTVP
• Định nghĩa đạo hàm
• Mở rộng ra khái niệm về sai số, giá trị đúng
• Tích phân
• Phương trình vi phân – cấp của PTVP – Định nghĩa tính tuyến tính
• Giải PTVP Phương pháp giải tích:
o PP Euler
o PP tách biến
o PP giải PTVP Bernoulli
o PP khác (giới thiệu cách tính đạo hàm riêng)
• Giải PTVP Phương pháp số
o PP chuỗi Taylor
o PP Euler
o PP Runge Kutta cấp 2 và giới thiệu cấp > 2) Bài tập minh họa:
• Thí dụ 1: Tích phân đa thức (theo pp trực tiếp) cho ôn lại và rèn luyện
• Thí dụ 2: Giải PTVP theo PP Thừa số tích phân, PP Biến phân ly, PP đổi biến (PTVP đẳng cấp) và vẽ trường hướng (direction field)
• Thí dụ 3: Giải bằng PP gần đúng Euler (ít nhất 2 bài)
• Thí dụ 4: Giải bằng PP Runge Kutta cấp 2, 3 và giới hạn ôn tập đến cấp 2
Bài giảng 2: PTVP đường đàn hồi (Bài toán dầm)
• Độ cong của dầm
• Đường đàn hồi của dầm chịu uốn
• Cách Lập PTVP và lời giải giải tích
• Lời giải số (minh họa việc áp dụng PP Euler)
Bài tập minh họa:
Trang 3• Thí dụ 1: Cách áp điều kiện biên, vật thể tự do, cắt mặt cắt đoạn x để viết M(x) và Q(x), từ đó lập được PTVP đường đàn hồi
• Thí dụ 2: Giải bài toán dầm hẫng Cantilever chịu tải bất kỳ
• Thí dụ 3: Giải bài toán dầm đơn giản chịu tải bất kỳ
Thí dụ 4: Chứng minh độ dốc hằng số cho đoạn dầm không chứa tải
Bài giảng 3: PTVP độ võng sàn chịu uốn
• Những giả thiết cơ bản của bài toán Sàn chịu uốn
• Cách Lập PTVP
• Điều kiện biên
• Lời giải bằng giải tích
Bài giảng 4: PTVP và bài toán Ổn định Cột
• Cột là gì ? Ổn định cho cấu kiện chịu nén uốn
• Phương trình đường đàn hồi dạng PTVP cấp 2
• Điều kiện biên thuần nhất và điều kiện biên Không thuần nhất
• Lời giải 4 bước bằng giải tích
• Ứng dụng
Bài giảng 5: PTVP và Bài toán Lún cố kết thấm
• Những giả thiết cơ bản của bài toán sự thấm
• Cách Lập PTVP
• Các trường hợp của Điều kiện biên
• Lời giải bằng giải tích (lời giải phương pháp Euler)
• Ứng dụng
Bài giảng 6: PTVP và Bài toán rung động kết cấu
• Hệ dao động – các thành phần của hệ dao động – Bậc tự do
• Phương trình vi phân cân bằng Động lực học
• Các trường hợp của Điều kiện biên
• Lời Giải PTVP – Dao động tự do, dao động cưỡng bức
• Ứng dụng
Trang 5PHẦN 2 CÁCH THỨC ÔN TẬP
Bài giảng 1: Căn bản về PTVP
• Cần nắm định nghĩa đạo hàm (Công thức có Lim; xem lại Toán cao
cấp)
• Rèn luyện cách tính toán sai số, giá trị đúng, tiến đến phân biệt sai số tương đối, sai số xấp xỉ (gần đúng)
• Bài tập rèn luyện tính đạo hàm và Tích phân với một số bài toán, thí
dụ trên lớp và tự học ở nhà
• Phương trình vi phân – cấp của PTVP – Định nghĩa tính tuyến tính
• Giải PTVP Phương pháp giải tích (xem kỹ các thí dụ để hiểu rõ
cách làm)
o PP Euler
o PP tách biến
o PP khác (chỉ tham khảo)
• Giải PTVP Phương pháp số (tập luyện làm lại thí dụ trên Excel, đổi
số)
o PP chuỗi Taylor
o PP Euler
o PP Runge Kutta
Trọng tâm: Tính đạo hàm và tích phân, áp dụng vào giải theo
Phương pháp giải tích và phương pháp số để giải PTVP
Bài giảng 2: PTVP dầm chịu uốn
Bài toán phải giải là: cho một cái dầm chịu tải đơn giản, dùng phương pháp mặt cắt để cắt ra rồi viết phương trình cân bằng Mô men theo tọa độ dài của dầm và tích phân
Công thức góc xoay (người học tham khảo thí dụ trên lớp)
Viết biểu thức giải tích của Mô men rồi tích phân để có chuyển vị
Trang 6• Hiểu ý nghĩa ứng dụng thực tế của lời giải
• Có thể chứng minh được rằng trong đoạn dầm không có tải góc xoay
là hằng số
Bài giảng 3: PTVP độ võng sàn chịu uốn
• Bài giảng này chỉ giới thiệu phương trình độ võng theo độ cứng trụ
D
• Cần chú ý rằng mối liên hệ vi phân (đến đạo hàm bậc 4) giữa độ võng sàn và tải trọng, đó chính là PTVP của sàn chịu uốn
• Tham gia tìm hiểu thí dụ trên lớp (2 thí dụ mẫu)
• Ý nghĩa ứng dụng thực tế của lời giải
Bài giảng 4: PTVP và bài toán Ổn định Cột
• Chú ý nằm vững bảng liên hệ giữa Độ cứng x Vi phân của chuyển vị
= Tải (slide 4) Bảng này tóm gọn mối liên hệ quan trọng phải nhớ
• Cách giải Phương trình vi phân : Từ dạng nghiệm tổng quát (nên nhớ), rồi từ điều kiện biên ở hai đầu (cụ thể : tại gối chuyển vị bằng zero và góc xoay bằng zero nếu là ngàm v v) cột áp vào lời giải tổng
quát để xác định các hằng số tích phân
• Trong xây dựng, cột chịu nén trung tâm có khả năng chịu một lực giới hạn gọi là Peuler được định nghĩa là lực nhỏ nhất gây ra mất trạng thái cân bằng ban đầu Lực này phụ thuộc vào điều kiện liên kết ở
hai đầu cột (điều kiện biên)
• Nắm vững trình tự 4 bước:
o Viết biểu thức Mô men M(x) tại mặt cắt cách gối đoạn x
o Nghiệm riêng và nghiệm tổng quát
o Áp điều kiện biên về góc xoay và chuyển vị
o Từ điều kiện biên góc xoay và chuyển vị giải ra chiều dài tính toán Le từ đó xác định được tải trọng giới hạn (Pgh hoàn toàn
tùy thuộc cấu hình cột)
Trang 7• Hiểu Ý nghĩa ứng dụng thực tế của lời giải
Bài giảng 5: PTVP và Bài toán Lún cố kết thấm
• Nhập môn: Giới thiệu một số tham số của bài toán (tốc độ thấm, gradient thủy lực) Các giả thiết (khái quát) về dòng thấm trong môi trường rời (lấy đối tượng là đất) – Định luật thấm vận tốc tỷ lệ với gradient thủy lực
• Lập phương trình vi phân
• Các điều kiện biên tại đầu và cuối lớp đất cho biết giá trị áp lực của phần nước chứa trong lỗ rỗng của đất
• Lời giải Euler – Dạng nghiệm riêng cần nhớ dạng u du = exp (βz)=e λz
• Phương trình đặc trưng dẫn đến hai nghiệm ảo và biểu thức nghiệm tổng quát (chứa các hằng số)
• Áp các điều kiện biên thì giải được các hằng số
• Ý nghĩa ứng dụng thực tế của lời giải
Bài giảng 6: PTVP và Bài toán động lực học kết cấu
• Phương trình vi phân từ nguyên lý cân bằng Động lực học (ĐLH)
• Các điều kiện ban đầu về chuyển vị và vận tốc
• Lời giải PTVP cân bằng ĐLH khi không/có vế phải
• Ý nghĩa ứng dụng thực tế của lời giải
PHẦN 3: HƯỚNG DẪN LÀM BÀI KIỂM TRA
3.1 Hình thức kiểm tra:
Tự luận, từ 2 – 3 bài toán cấu tạo từ một số câu hỏi nhỏ Đề mở Bài toán 1 (2 điểm): Tính sai số tương đối hoặc tính tuyến tính của PTVP
Bài toán 2 (4 điểm): Giải phương pháp số theo Euler hoặc giải bằng giải tích một PTVP đơn giản
Bài toán 3 (4 điểm): Viết biểu thức Mô men rồi lập ra PTVP cho cấu kiện (có thể là dầm chịu uốn Hoặc các cấu kiện khác )
Trang 83.2 Hướng dẫn làm bài
o Đọc kỹ bài và kê biên các điều kiện biên tại gối, điều kiện ban đầu
o Các câu nhận dạng Câu 1: Nhận dạng cấp, bậc, tuyến tính/phi tuyến, cách giải (chỉ có 3 cách giải: tuyến tính dùng thừa số tích phân, tách biến và đẳng cấp đổi biến đặt v= y/x mà thôi) Làm câu dễ trước, cách làm cũng được xem xét (không tính sai chuyền từ kết quả trước)
o Câu 2: Giải số bang PP Euler và RK cấp 2 (rèn luyện RK cấp 3 càng tốt)
o Câu 3: Là một bài toán giải Phương trình vi phân để tìm lời giải là phương trình (thường là đa thức) đường đàn hồi nhất Chú ý góc xoay là dy/dx; chuyển vị là y
Lưu ý: Áp đúng điều kiện biên là rất quan trọng, nếu kê biên ra đúng đều được tính điểm
PHẦN 4 ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM
KHOA XÂY DỰNG VÀ ĐIỆN
ĐỀ THI MẪU MÔN: PTVP trong XD - HK /Năm Học
LỚP: - ……… HỆ: Từ xa Thời gian làm bài: 90 phút
SV được sử dụng tài liệu
Bài toán 1 (2 điểm):
a x’ – xy =1 tuyến tính cấp 1 theo x
b y’– yx2 = 0 tuyến tính cấp 1 theo y
Trang 9c y’x3 – sin(y) +1 =0 phi tuyến vì sin(y) không phải lũy thừa bậc 1
d y’” – 2y’’ + 2y5x= 3x phi tuyến vì y5 không phải lũy thừa bậc 1
Bài toán 2 (4 điểm): Giải phương trình vi phân y’x = x+y với điều kiện
ban đầu y(1) = 1
Giải:
biến đổi: y’=
x
y
x +
=1+
x
y
(a) Đặt u =
x
y
thì xu = y kéo theo dy/dx=u+xu’ (vi phân hàm hợp)
Thay vào (a), ta có u+xu’= 1+u xu’=1 (dạng đơn giản hơn)
Tức du/dx= 1/x, vậy u= Ln|x| +C
Viết lại
x
y
= Ln|x|+C Vậy nghiệm tổng quát y=x(Ln|x|+C)
Áp điều kiện biên x=1 vào thì giải ra C =1
Bài toán 3 (4 điểm): Viết phương trình vi phân đường đàn hồi của dầm
chịu uốn dưới đây (dầm có độ cứng chịu uốn EJ)
VA= qL/2
Cách 1:
Áp dụng công thức
Phương trình góc xoay
Phương trình chuyển vị tại điểm x:
Trong đó qa = qb = q, chuyển vị fo =0 và θo góc xoay là biểu thức hoàn chỉnh sau khi áp 2 điều kiện biên như sau: Tại gối x= 0 thì fo =0
Tại gối phải x= L thì fo = 0
Cách 2: Dễ thấy Phản lực gối tựa trái phải đều là V= qL/2
Viết biểu thức M(x)=
2 2
2
x q x
L
2
L
x L
x
2
L
x
x − Vẽ hình Q/2 M(x)
Phương trình M = EJ ( 22
dx
y d
) =
2 2
2
x q x
L
2
2
L
x x Q
− đặt Q=qL
L
q
EJ
! 3
) (
! 3
)
q
x q EJ
EJ
q
a
! 4
) (
! 4
) (
! 3
) (
! 1
4 4
3 0
EJf
q
a
Trang 10Lấy tích phân 2 lần ta có biểu thức của độ võng y (phương trình đường đàn hồi) Cụ thể:
Tích phân Lần 1 ta được: 1
3 2
) 3 2
(
x x Q
+
− ; áp điều kiện biên góc xoay tại x=L/2 bằng 0 2 3 ) 1
24 8
(
L L
Q − + =0 giải ra C1 = - QL2/24
2 4
3
24
) 12 6
(
QL L
x x Q
+
−
chuyển vị tại x=L bằng 0, tức là Giải ra C2=0
Vậy phương trình đường đàn hồi là y=
] 2
[ 24 24
) 24 12
4 3
3 3 2
4 3
L
x L
x L
x EJ
QL x EJ
QL L
x x
EJ
Q
−
−
=
−
Kiểm lại tại x= L/2 thì y =
EJ
QL
384
5 3 , hoặc lại đạo hàm 2 lần