Chuyên đề: Viết phương trình Tiếp tuyến (hình học 11)

Chuyên đề: Viết phương trình Tiếp tuyến hình học 11Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểmDạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc Dạng 3: Viết phương trìn

Chuyên đề: Viết phương trình Tiếp tuyến (hình học 11)Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm

Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước

60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án chi tiết (phần 1)

60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án chi tiết (phần 2)

Viết phương trình Tiếp tuyến

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

A Phương pháp giải & Ví dụ

- Đường cong (C): y = f(x) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xo khi và chỉ khihàm số y = f(x) khả vi tại xo Trong trường hợp (C) có tiếp tuyến tại điểm cóhoành độ xothì tiếp tuyến đó có hệ số góc f ’(xo)

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M(xo; f(xo)) có dạng :

y = f’(xo)(x-xo) + f(xo)

Bài toán 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(xo;f(xo))

Giải: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(xo;f(xo)) là:

Giải Gọi M(xo, yo) là tiếp điểm

Giải phương trình f(x) = yo ta tìm được các nghiệm xo

Tính y’(xo) và thay vào phương trình (1)

Tương tự câu 1, phương trình là:

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(-7/3,-5) là y = 9x + 16

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M( - 4, 5) là y = 4x + 21

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 2x4 – 4x2 + 1 biết tung

Với M(0;1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = 0

Với M(√2;1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = 8√2 (x - √2) + 1 = 8√2x – 15Với M(-√2;1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = - 8√2 (x + √2) + 1 = - 8√2x – 15

Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C), biết tiếp điểm là M(0,1)

Hướng dẫn:

y’ = 3x2 – 3

y’(0) = - 3

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -3x – 3

Bài 6: Cho hàm số y = x4 + x2 + 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C), biết hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình x2 = 1

Hướng dẫn:

Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm Ta có:

xo2 = 1 ⇔ xo = ±1

Ta có: y’ = 4x3 + 2x

Với M(1; 3) thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 6(x – 1) + 3 = 6x – 3

Với M( -1; 3) thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -6(x + 1) + 3 = -6x – 3

có hoành độ xo = 0 đi qua A(4;3)

Hướng dẫn:

x = 0 ⇒ y = - m – 1

Ta có Từ đó suy ra y’(0) = - m – 3

Phương trình tiếp tuyến tại (0; - m – 1) là: y = (- m – 3)x – m – 1

Tiếp tuyến đi qua A(4; 3) nên ta có:

Bài 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x + 1)2(x – 2) tại điểm cóhoành độ x = 2 là

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9(x – 2) = 9x – 18

Bài 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = x(3 – x)2 tại điểm cóhoành độ x = 2 là

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -3(x – 2) + 2 = -3x + 8

Bài 4: Cho đường cong (C): y = x2 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M( 1; 1) là

Vậy phương trình tiếp tuyết cần tìm là : y = -2(x + 1) +1 = -2x – 1

Bài 5: Cho hàm số Phương trình tiếp tuyến tại A(1; -2) là

A y = - 4( x – 1) – 2

B y = - 5( x – 1) + 2

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = -5(x – 1) – 2 = -5x + 3

Hệ số góc tiếp tuyến y’(0) = 7

Phương trình tiếp tuyến tại A(0 ; 2): y = 7x + 2

Bài 7: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = 2x2 – x + 3 Phương trình tiếp tuyến với(P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là:

Hệ số góc tiếp tuyến : y’(0) = - 1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (P) tại M(0 ;3) là y = -x + 3

Bài 8: Đồ thị (C) của hàm số cắt trục tung tại điểm A Tiếp tuyến của(C) tại điểm A có phương trình là:

⇒ hệ số góc của tiếp tuyến y’(0) = -4Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(0 ; -1) là :

Giao điểm của (H) với trục hoành là A(2;0) Ta có:

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -2(x – 2) = -2x + 4

Bài 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x3 – 2x2 + 3x tại điểm cóhoành độ xo = -1 là:

A y = 10x + 4

B y = 10x – 5

C y = 2x – 4

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = 10(x + 1) – 6 = 10x + 4

Bài 11: Gọi (H) là đồ thị hàm số Phương trình tiếp tuyến của đồ thị(H) tại các giao điểm của (H) với hai trục toạ độ là:

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d: y = x – 1

Bài 12: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H): tại giao điểm của(H) và trục hoành:

Đáp án: A

Chọn đáp án A

Tập xác định: D = R

Giao điểm của (P) và trục tung là M(0; 3)

Đạo hàm: y’ = 2x – 1 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 0 là – 1

Phương trình tiếp tuyến tại M(0;3) là y = -x + 3

Bài 14: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ xo = -1 cóphương trình là:

Tiếp tuyến tại M(-1; -2) có hệ số góc là k = -1

Phương trình của tiếp tuyến là y = -x – 3

Bài 15: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 + 2x2 – 1 tại điểm cótung độ tiếp điểm bằng 2 là:

Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên 2 = x4 + 2x2 – 1 ⇔

Tại M(1;2) Phương trình tiếp tuyến là y = 8x – 6

Tại N( -1;2) Phương trình tiếp tuyến là y = -8x – 6

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

A Phương pháp giải & Ví dụ

- Gọi (Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

- Giả sử M(xo ; yo) là tiếp điểm Khi đó xo thỏa mãn: f ’(xo) = k (*)

- Giải (*) tìm xo Suy ra yo = f(xo)

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k( x - xo) + yo

Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau:

+ Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình : f’(x) = k + Cho hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1 và d2 : y = k2x + b2 Khi đó

Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tan(∠OAB) = ±OA/OB, trong đó hệ số góc của d được xác định bởi y’(x) = tan(∠OAB)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -9(x + 3) + 16 = -9x – 11

Bài 2: 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = - x4 – x2 + 6, biết tiếptuyến vuông góc với đường thẳng

2 Cho hàm số có đồ thị là (C) Tìm trên đồ thị (C) điểm màtại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng

Hướng dẫn:

1 Hàm số đã cho xác định D = R

Gọi (t) là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số và (t) vuông góc với đường thẳng y

= (1/6)x - 1, nên đường thẳng (t) có hệ số góc bằng -6

Cách 1: Gọi M(xo ; yo) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (t) và đồ thị (C) của hàm

Đường thẳng d: y = (-1/3)x + 2/3 có hệ số góc k = (-1/3)

Vậy có 2 điểm M(-2; 0) hoặc M = (2; 4/3) là tọa độ cần tìm

Bài 3: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếptuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2

+ Với M(0; -1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3x – 1

+ Với M(2; 5) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3(x – 2) + 5 = -3x + 11

Bài 4: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 2, tiếptuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Tại M(2; 0) Phương trình tiếp tuyến là y = 1.(x – 2) = x – 2

Tại N(-2; 4) Phương trình tiếp tuyến là y = x + 2 + 4 = x + 6

Bài 6: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = x3 + 3x2 – 8x + 1, biếttiếp tuyến đó song song với đường thẳng Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.: y = x + 2017?

Tại M(1; -3) Phương trình tiếp tuyến là y = x – 1 – 3 = x – 4

Tại N(-3; 25) Phương trình tiếp tuyến là y = x + 3 + 25 = x + 28

Bài 7: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 3 có đồ thị (C) Số tiếp tuyến của (C) vuônggóc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 là bao nhiêu?

Tập xác định: D = R\{1}

Đạo hàm: y' = 1/(x-1)2

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A(2/3; 0)

Hệ số góc của tiếp tuyến là y’ (2/3) = 9

Bài 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trụctung bằng:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có xo = 0 ⇒ y’(0) = 2

Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 3x2 có đồ thị (C) có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) songsong đường thẳng y = 9x + 10

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x4 + x Tiếp tuyến của (C) vuông góc vớiđường thẳng d: x + 5y = 0 có phương trình là:

Giả sử a là hoành độ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán ⇒ y’(a) = -1

Bài 6: Biết tiếp tuyến (d) của hàm số y = x3 – 2x + 2 vuông góc với đường phângiác góc phần tư thứ nhất Phương trình (d) là:

Hiển thị đáp án Đáp án: C

Chọn C

Tập xác định: D = R

y’ = 3x2 – 2

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.: x = y

Gọi M(xo ; yo) là tọa độ tiếp điểm Ta có y’ = 3x2 – 12x + 7

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -2

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Chọn A

d: 3y – x + 6 = 0 ⇔ y = (1/3)x - 2

Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm Ta có

Tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là -3 nên y’(xo) = -3

Với xo = -3/2 ⇒ yo = 3/2 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = -3(x + 3/2) + 3/2 = -3x-3Với xo = -5/2 ⇒ yo = (-7)/2 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = -3(x + 5/2)-7/2 = -3x-11

Bài 11: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2m – 1)x4 – m + 5/4 tại điểm

có hoành độ x = - 1 vuông góc với đường thẳng d : y = 2x – y – 3 = 0

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = (2m – 1)x4 – m + 5/4 tại điểm cóhoành độ x = -1 là y’(-1) = -4(2m – 1)

Vậy k bé nhất bằng -3 khi xo = 1, yo = -3

Bài 14: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 6x + 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồthị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/18)x + 1

Bài 15: Cho hàm số y = x3 - 3x + 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9

xo = 2 ⇒ yo = 3 Phương trình tiếp tuyến: y = 9(x – 2) + 3 = 9x – 15

xo = -2 ⇒ yo = -1 Phương trình tiếp tuyến: y = 9(x + 2) – 1 = 9x + 17

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

A Phương pháp giải & Ví dụ

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) đi qua điểm M(x1; y1)

Cách 2 :

- Gọi N(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) và tiếp tuyến (d) qua điểm M,nên (d) cũng có dạng y = y’0(x – x0) + y0

- (d) đi qua điểm nên có phương trình : y1 = y0'(x1 – x0) + y0 (*)

- Từ phương trình (*) ta tìm được tọa độ điểm N(x0; y0) , từ đây ta tìm đượcphương trình đường thẳng (d)

Với x0 = 1 ⇒ Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.:y = 4

Với x0 = 2 ⇒ Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.:y = 12x - 15

Với x0 = 1/8 ⇒ Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.:y = (-21/32)x + 645/128

Bài 2: Cho hàm số: có đồ thị là (C) và điểm A(0; m) Xác định m để từ

A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phíađối với trục Ox

Hướng dẫn:

TXĐ: D = R\{1}

Gọi điểm M(x0; y0)

Ta có y’ = -3/(x-1)2

Tiếp tuyến Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k tại M của (C) có phương trình:

Vì tiếp tuyến qua A(0; m) nên ta có:

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho

Khi đó:

Ta có: (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho

Vậy 1 ≠ m > (-2/3) là những giá trị cần tìm

Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (m – 1)x + 2m có đồ thị là (Cm) Tìm m để từđiểm M(1; 2) vẽ đến (Cm) đúng hai tiếp tuyến

Hướng dẫn:

Ta có: y' = 3x2 - 4x + m-1 Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k tại A:

y =(3a2-4a+m-1)(x-a) + a3-2x2+(m-1)a+2m

Vì M ∈ Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k ⇔2 = (3a2-4a+m-1)(1-a) + a3-2x2+(m-1)a+2m

⇔2a3+5a2-4a+3m-3 = 0 (*)

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) có đúng hai nghiệm phân biệt (1)

Ta có: y' = x2-4x+3 Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k tại A:

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3x

Với a = 1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4/3

Với a = 8/3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-5/9)x + 128/81

Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếptuyến đi qua điểm M(6;4)

Hướng dẫn:

Ta có:

Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k tại A:

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (3/4)x - 1/2

Với a = 3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4

Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C): biết d đi qua điểmA(-6; 5)

Hướng dẫn:

Ta có:

Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k tại A:

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x-1

Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-1/4)(x-6) + 2 = (-1/4)x + 7/2

Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 – 2x2 + x + 4 đi qua điểm M( 4; -24)

-Hướng dẫn:

Ta có: y' = 3x2-4x+1 Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k tại A:

y = (3a2-4a+1)(x-a)+a3-2a2+a+4

Vì A(-4; -24) ∈ Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k ⇔ -24 = (3a2-4a+1)(-4-a)+a3-2a2+a+4

⇔ -2a3-10a2+16a+24 = 0 ⇔

Với a = -6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 133(x+6)-240 = 133x+508Với a = 2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5(x-2)+6 = 5x-10

Với a = -1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 8(x+1)+2 = 8x+10

B Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm (-6; 5) là

Hiển thị đáp án Đáp án: B

Chọn B

Ta có:

Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k tại A:

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x-1

Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-1/4)(x-6)+2 = (-1/4)x + 7/2

Bài 2: Tiếp tuyến kẻ từ điểm (2; 3) tới đồ thị hàm số là:

Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k tại A:

Với a = 3/2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -28(x-3/2) + 17 = -28x + 59

Bài 3: Cho hàm số có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến của (C) điqua điểm A(- 1; 0) là:

A.y = (3/4)x

B y = (3/4)(x+1)

Thay (2) vào (1) ta được x = 1, suy ra k = y’(1) = 3/4

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(-1; 0) là: y = (3/4)(x+1)

Bài 4: Qua điểm A(0; 2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm

Vì A(0; 2) ∈ d nên phương trình của d có dạng: y = kx + 2

Thay (2) và (1) ta suy ra được :

Chứng tỏ từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài 5: Cho hàm số y = - x4 + 2x2 có đồ thị (C) Xét hai mệnh đề:

(I) Đường thẳng Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.: y = 1 là tiếp tuyến với (C) tại M(-1; 1) và tại N(1; 1)

(II) Trục hoành là tiếp tuyến với (C) tại gốc toạ độ

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ (I)

B Chỉ (II)

C Cả hai đều sai

D Cả hai đều đúng

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Chọn đáp án D

Ta có y’(-1) = y’(1) = 0 ⇒ (I) đúng

Ta có y’(0) = 0 ⇒ (II) đúng

Bài 6: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x – 1 có đồ thị là (C) Từ một điểm bất kì trênđường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C):

d là tiếp tuyến của (C)

Phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm tương ứng cho ta một giá trị k Vậy

Bài 8: Định m để đồ thị hàm số y = x3 – mx2 + 1 tiếp xúc với đường thẳng d: y =5?

A m = -3 B m = 3 C m = -1 D m = 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Chọn A

Đường thẳng y = 5 và đồ thị hàm số y = x3 – mx2 + 1 tiếp xúc nhau

+ Với x = 0 thay vào (1) không thỏa mãn

+ Với x = 2m/3 thay vào (1) ta có: m3 = -27⇔ m = -3

Bài 9: Phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 biết nó đi qua điểm M(2; 0) là:

+ Với a = 0 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y = 0

+ Với a = 3 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y = 27x – 54

Bài 10: Cho hàm số y = x2 – 5x – 8 có đồ thị (C) Khi đường thẳng y = 3x + mtiếp xúc với (C) thì tiếp điểm sẽ có tọa độ là:

kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân biệt Hai tiếp tuyến này có phương trình:

A y = -x + 1 và y = x – 3