Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán khai thác đồ thị hàm số trong kì thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHAI THÁC ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHAI THÁC ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG KÌ THI THPT

QUỐC GIA

Người thực hiện: Lê Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2018

MỤC LỤC Trang

1 Mở đầu… 1

1.1 Lí do chọn đề tài……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi đề tài……… 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 1

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ……… 2

2.1.1 Đạo hàm của hàm số hợp……… 2

2.1.2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm………

2.1.3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị ………

2.1.4 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số………

2 2 3 2.2 Thực trạng của vấn đề……… 4

2.2.1 Thực trạng vấn đề……… 4

2.2.2 Kết quả của thực trạng……… 5

2.3 Giải quyết vấn đề ……… 6

2.3.1 Khai thác đồ thị hàm số y f x( ) 6

2.3.1.1 Xác định khoảng đơn điệu… ……… 6

2.3.1.2 Xác định cực trị của hàm số… …… 9

2.3.1.3 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, so sánh các giá trị của hàm số….……… ……… ……… ……… ……… 10

2.3.2 Khai thác đồ thị hàm số y f x  14

2.3 3 Ngân hàng đề thi về dạng toán khai thác đồ thị hàm số 16

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……… 19

2.4.1 Về phía học sinh……….……… …… 19

2.4.2 Về phía giáo viên……… 19

3 Kết luận, kiến nghị……… 19

3.1 Kết luận……… 19

3.2 Kiến nghị……….……… 19

Tài liệu tham khảo…

Phụ lục

Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá cấp Sở GD & ĐT xếp loại từ C trở lên

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Cùng với những đổi mới trong giáo dục là đổi mới trong thi cử Trong kìthi Trung học phổ thông Quốc gia năm 2017, môn Toán bắt đầu chuyển từ hìnhthức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan Trước kia khi thi tự luận, phầnkhảo sát và vẽ đồ thị luôn luôn chiếm vị trí quan trọng trong đề thi, giờ đây dohình thức thi trắc nghiệm nên học sinh không phải vẽ đồ thị nữa Tuy nhiên đểkhai thác phần đồ thị này người ra đề đã chuyển hướng sang kiểm tra các emkhả năng đọc đồ thị Trong đề thi chính thức năm 2017 và đề minh họa của Bộgiáo dục năm 2018 xuất hiện các bài toán có giả thiết là cho đồ thị của hàm số

Từ quá trình nghiên cứu lí thuyết và đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản

thân, tôi muốn chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm: Rèn luyện kĩ năng giải

các bài toán khai thác đồ thị hàm số trong kì thi THPT quốc gia.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thực hiện đề tài này, người viết hướng tới mục đích:

- Hệ thống một cách khoa học các dạng toán liên quan tới khai thác đồ thị hàm

số y f x , y f x  và phương pháp giải

- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm để ôn tập phần giải các bài toán khaithác đồ thị hàm số y f x , y f x  có hiệu quả cho học sinh THPT nóichung và đặc biệt là học sinh lớp 12 nói riêng

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Đề tài tập trung nghiên cứu phần toán liên quan tới khai thác đồ thị hàm số

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Khi thực hiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát, thống kê, phân tích, so sánh sốliệu.

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Đạo hàm của hàm số hợp

Định lí: Nếu hàm số u g x   có đạo hàm tại x là u và hàm số x y f u  cóđạo hàm tại u là y thì hàm hợp u yf g x    có đạo hàm tại x là y xy u u . x.[3]

2.1.2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí: Giả sử hàm số yf x  có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f x  0 với mọi x I thì hàm số y f x  đồng biến trên khoảng I.b) Nếu f x  0với mọi x I thì hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng I.c) Nếu f x  0 với mọi x I thì hàm số yf x  không đổi trên khoảng I.[1]

y f x đạt cực tiểu tại điểm x 0

b) Nếu f x  0 với mọi xa x; 0và f x  0 với mọi xx b0;  thì hàm số

 

y f x đạt cực đại tại điểm x [1]0

Định lí được viết gọn trong hai bảng biến thiên sau

x0

f (x0)

(cực đại)

f (x0)

x0

+

-b a

f (x)

f ' (x) x

2.1.4 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số y f x , để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trênkhoảng a b ta có thể dựa vào bảng biến thiên của hàm số; 

f (x)

f ' (x) x

f (x)

f ' (x) x

Kết luận: min ;    0

● Trường hợp 2

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1 Thực trạng của vấn đề

Trong chương trình toán THPT nói chung, phần giải tích nói riêng thìđạo hàm là một phần chiếm tỉ lệ lớn về kiến thức, thời lượng và ứng dụng Nó làmột công cụ rất mạnh để giải quyết các bài toán cả trong giải tích, đại số, thậmchí là hình học (như các bài toán về cực trị hình học) Giữa hàm số y f x  vàđạo hàm của nó y f x  có nhiều mối liên hệ chặt chẽ, ví dụ như từ việc xéthàm y f x  có thể kết luận về tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất của hàm y f x 

Tuy nhiên, sự điều chỉnh của bộ giáo dục trong năm học 2016-2017 vềhình thức thi môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm và thời gian làm bài

từ 180 phút xuống còn 90 phút đã khiến học sinh ít nhiều lúng túng Bởi lâu nayhọc sinh quen với cách làm bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số,học sinh làm việc với công thức của hàm yf x  và yf x  xong rồi mới

vẽ đồ thị của hàm số yf x  Với hình thức thi trắc nghiệm, việc thay đổicách đặt câu hỏi và yêu cầu học sinh biết khai thác đồ thị hàm y f x ,

2.1.1.1 Về phía học sinh

- Các em vẫn còn quen với việc làm các bài tập theo kiểu xét hàm y f x  rồisuy ra tính đơn điệu, cực trị, của hàm số chứ chưa quen việc quan sát đồ thịhàm yf x , yf x  để rút ra các kết luận tương tự

- Thời gian giải quyết một bài tập dạng này còn lâu

- Các học sinh học lực trung bình và yếu gần như không thể giải được các bàitập dạng này Trong khi đó, trong kì thi THPT Quốc gia 2017 có tới 4 câu hỏidạng này trong mỗi đề, ứng với 0,8 điểm Do vậy để đạt điểm cao trong kì thiTHPT Quốc gia, nhất định học sinh cần rèn luyện tốt phần này

2.1.1.2 Về phía giáo viên

Bộ sách giáo khoa hiện hành các bài tập trên 90% là tự luận, các bài tậpcũng được thiết kế theo kiểu thi truyền thống Các bài tập kiểu khai thác đồ thịhàm số y f x , yf x  như trong đề thi chính thức THPT quốc gia 2017

và đề minh họa 2018 không có trong SGK Vì thế, giáo viên dạy Toán ở cáctrường THPT chúng tôi đang dạy phần này theo cách sau:

- Tham khảo các tài liệu, các đáp án thi thử của các trường và trao đổi kinhnghiệm của đồng nghiệp để hình thành một chuyên đề về dạng toán khai thác đồthị hàm số y f x , y f x 

- Bám sát vào đề thi chính thức THPT quốc gia 2017 và đề minh họa 2018 của

Bộ giáo dục và đào tạo để có hướng ôn tập phù hợp

- Tranh thủ thời gian trên lớp, trong các giờ chính khóa và giờ học thêm đểhướng dẫn kĩ năng khai thác đồ thị hàm số yf x , yf x  đồng thời xâydựng hệ thống bài tập để học sinh thực hành.

Tuy nhiên, do đây là chuyên đề mới, bài tập dạng này chưa nhiều và rảirác trong các đề thi trên toàn quốc nên không phải giáo viên nào cũng có một hệthống bài tập đầy đủ Cộng với thời lượng dành cho phần này chưa nhiều nêncác giáo viên gặp không ít khó khăn trong quá trình giảng dạy

2.1.2 Kết quả của thực trạng

Từ thực tế ấy, tôi đã tiến hành khảo sát học sinh ngay ở các lớp tôi dạy là

12B2, 12B5 sau khi dạy xong chương 1 - Giải tích 12 "Ứng dụng của đạo hàm

để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số " với thời gian làm bài là 15 phút để kiểm

tra các em kĩ năng giải các bài toán khai thác đồ thị hàm số yf x , yf x (đề ra dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm nhưng có yêu cầu các em trình bày lời giải

để tránh việc các em lụi đáp án)

Kết quả như sau:

Đa số các em tuy nắm lí thuyết nhưng rất lúng túng trong việc áp dụng vào bàilàm, việc trình bày còn rối, còn nhầm lẫn giữa đồ thị của hàm số y f x  với

đồ thị hàm số y f x  dẫn tới việc không tìm ra được kết quả hoặc kết quả sai

Bảng thống kê điểm kiểm tra:

Lớp 8-10 6,5-dưới 8Điểm5,0-dưới 6,5 Dưới 5,0

2.3 Giải quyết vấn đề

2.3.1 Khai thác đồ thị hàm số y f x 

2.3.1.1 Xác định khoảng đơn điệu

Ví dụ 1: (Câu 39 đề minh họa thi THPT QG 2018_Bộ GD-ĐT)

f x , từ đó tìm được khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số yf 2 x

Nhận xét: Dựa vào đồ thị hàm số yf x  ta dễ dàng nhận thấy:

● f x  0thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị yf x  nằm phía trên trục hoành.

● f x  0thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị yf x  nằm phía dưới trục hoành.

Bài tập này ta còn có thể làm như sau:

Từ đồ thị hàm số yf x , ta nhận thấy đây có thể là đồ thị của hàm đa thức bậc ba với hệ số a 0, đồ thị hàm số yf x  cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ x 1, x 1, x 4 nên có thể chọn hàm số

Ví dụ 3: (Đề thi thử trường THPT Chu

Văn An-thi ngày 21.4.2018)

C 3;1 D 1;3 

Lời giải

Đặt    

21

Kẻ thêm đường thẳng y x lên hình vẽ

đã cho (dễ thấy đường thẳng này đi qua

các điểm 3;3, 1; 1  và 3; 3 )

Dựa vào đồ thị ta có:  2      1 t 3 1 1 x    3 2 x 0

Chọn đáp án B

lên đồ thị hàm số dẫn tới kết quả sai.

B Hàm số y f x đồng biến trên khoảng ;2

C Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 0;1

D Hàm số y f x đồng biến trên khoảng   ; 1

Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số y f x'  để tìm khoảng dương, âm của

Lời giải

Xét hàm số  

3 2

Vậy phương trình (*) có ba nghiệm phân biệtx10,x2 1,x3 2

Vẽ đồ thị hàm số y x 12 trên cùng mặt phẳng tọa độ với y f x( )

Vậy x 1 là điểm cực đại của hàm số y g x ( )

2.3.1.3 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, so sánh các giá trị của hàm số

Ví dụ 1: (Trích đề thi thử trường THPT Sơn Tây - Hà Nội)

Cho hàm số yf x  có đồ thị yf x'  cắt trục Ox

tại ba điểm có hoành độ a b c, , như hình vẽ bên.

Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?

A. f a   f c   f b  B f b   f a   f c 

C f c   f a   f b  D f c   f b   f a 

Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số f x để suy' 

ra bảng biến thiên của hàm số yf x , sau đó dựa vào

bảng biến thiên của hàm số yf x  và diện tích hình phẳng để kết luận

Lời giải

Từ đồ thị hàm số f x ta có bảng biến thiên' 

Từ bảng biến thiên dễ thấy f b là số bé nhất trong ba số   f a f b f c  ,  ,  Gọi S là phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 yf x'  và trục hoành vànằm bên dưới trục hoành

Gọi S là phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 yf x'  và trục hoành vànằm bên trên trục hoành

Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên  và

có đồ thị của hàm yf x  như hình vẽ bên

Từ bảng biến thiên ta có min ( )0;5 f x f  2  Loại các đáp án A, C

Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng (2; 5) nên ta có f  3  f  2

Theo giả thiết f  0  f  3 f  2  f  5  f  5  f  0 f  3  f  2 0

Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số f x để suy ra bảng biến thiên của' hàm số y h x  , sau đó dựa vào bảng biến thiên của hàm số y h x   và diệntích hình phẳng để kết luận.

Dựa vào hình vẽ ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra: max 2;4 h x  h 2

Phương pháp giải: Dựa vào sự tương giao

của đường thẳng ylog2m và đồ thị hàm

số y  x4 2x2.

Lời giải

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng

số giao điểm của đường thẳng y log2m

Do đó ta có:

( )( ( )) 0 ( ) 1

Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số yf x( ) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f x( )a có 3 nghiệm phân biệt x x x 1, ,2 3

Đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số y f x( ) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f x ( ) 1 có 3 nghiệm phân biệt x x x 4, ,5 6

Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số y f x( ) tại 1 điểm duy nhất nên phương trình f x( )b có 1 nghiệm duy nhất x 7

Các nghiệm này dễ thấy không trùng nhau nên phương trình ( ( )) 0f f x  có 7

nghiệm thực

Ví dụ 3: (Trích đề thi thử trường THPT Quảng Xương 1- Lần 2-2018)

Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  trên khoảng   ;  Đồ thị của hàm số

 

y f x như hình vẽ

Đồ thị của hàm số y f x  2 có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu?

Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số yf x( ) để tìm nghiệm của của cácphương trình f x ( ) 0, ( ) 0f x  rồi xét dấu Khi xét dấu của ( )f x thì chú ýxem tại điểm đó là điểm cự đại hay điểm cực tiểu

cực trị, kẻ vuông góc trục hoành để xác định hoành độ của điểm cực trị (có thể

-+ +

+ +

-

-0

0 0

Vậy hàm số có 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu

2.3 3 Ngân hàng đề thi về dạng toán khai thác đồ thị hàm số

Câu 1: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ

bên Hàm số y f x( ) nghịch biến trên khoảng nào

dưới đây?

A   ; 2  B 1;2 

C 0;. D 1;1 

Câu 2: (Trích đề thi thử trường THPT Lương Văn Tụy-2018)

Cho hàm số yf x  liên tục trên , đồ thị

của đạo hàm f x  như hình vẽ bên Trong các

mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A f đạt cực tiểu tại x 0

B f đạt cực tiểu tại x 2

C f đạt cực đại tại x 2

D cực tiểu của f nhỏ hơn cực đại

Câu 3: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Lam Sơn-Lần 1-2018)

Cho hàm số yf x  Hàm số yf x  có

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng (2;0)

B Hàm số yf x  nghịch biến trên khoảng 0; 

C Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng   ; 3

D Hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng 3; 2 

Câu 6: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Đại học Vinh-Lần 2-2018)

Câu 7: Cho hàm số yf x  liên tục trên 

Đồ thị của hàm số y f x  như hình bên

O

24

Câu 8: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục trên

đoạn 3;3 và đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ bên

Biết f(1) 6 và

2

( 1)( ) ( )

2

x

g x f x   Kết luận nào sau đây là đúng?

A Phương trình g x ( ) 0 có đúng hai nghiệm thuộc

3;3

B Phương trình g x ( ) 0 có đúng một ng hiệm thuộc

3;3

C Phương trình g x ( ) 0 không có nghiệm thuộc 3;3

D Phương trình g x ( ) 0 có đúng ba nghiệm thuộc 3;3

Câu 9: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018)

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Tìm số điểm cực trị của hàm số y e2 ( ) 1f x 5f x( )

Câu 10: (Trích đề thi thử Sở GD & ĐT Quảng Nam-2018)

Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình bên

Phương trình f x  có bao nhiêu nghiệm   1

thực phân biệt nhỏ hơn 2?

Lộc-2018)

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ bên

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1

B Giá trị cực đại của hàm số là 0.

C Điểm cực tiểu của hàm số là 1

D Điểm cực đại của hàm số là 3.

Câu 12: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên

Đại học Vinh-Lần 1-2018)

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?

A Đồng biến trên khoảng 0; 2 

B Nghịch biến trên khoảng 3; 0

C Đồng biến trên khoảng 1; 0

D Nghịch biến trên khoảng 0; 3 

Hướng dẫn giải, đáp số và một số câu ở các đề thi thử gần đây xem ở phụ lục

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

2.4.1 Về phía học sinh

Những giải pháp trên đã được tôi kiểm nghiệm qua thực tế dạy học trongnăm học 2017 -2018 tại các lớp 12B5 (Ban cơ bản A), 12B2 (Ban KHTN) Tôi

đã thực hiện ôn tập và rèn luyện kĩ năng giải các bài toán khai thác đồ thị hàm

số yf x , yf x  cho học sinh và kết quả thu được rất khả quan Nănglực học sinh đã có sự chuyển biến tích cực qua những lần thi KSCL theo địnhhướng thi THPT Quốc gia của nhà trường Điểm thi cụ thể các lớp tôi dạy quacác lần thi khảo sát như sau:

2.4.2 Về phía giáo viên

Tôi đã trao đổi và chia sẻ kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng giải các bài toánkhai thác đồ thị hàm số yf x , yf x  với các đồng nghiệp môn Toántrong và ngoài trường Các giáo viên đều đánh giá cao về tính khoa học và tínhthực tiễn của đề tài

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận

Khi dạy chương 1- Giải tích 12 "Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ

đồ thị của hàm số " cùng với việc dạy cho học sinh biết xét tính đơn điệu, cực

trị của hàm số , giáo viên cũng cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng khai thác đồthị các hàm số y f x( ), y f x  Kĩ năng này sẽ giúp cho các em làm nhanh,làm tốt bài thi THPT Quốc gia trong tình hình các em thi theo hình thức trắc