Hình thành phương pháp giải từ việc khai thác một bài tập trong sách hình học lớp 12

Trong chương trình toán THPT hiện nay phần hình học không gian nói chung cũng như phần hình học không gian lớp 12 nói riêng ,là một phần học khó đối với hầu hết các em học sinh.Nguyên nh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG PTTH HÀ TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

HÌNH THÀNH PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỪ VIỆC KHAI THÁC

MỘT BÀI TẬP TRONG SÁCH HÌNH HỌC LỚP 12

Người thực hiện: Lý Văn Đáng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2018

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 3

1.1 Lý do chọn đề tài……… 3

1.2 Mục đích nghiên cứu……….…… 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….…… 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… …….4

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ……… …4

2.1 Cơ sở lí luận 4

2.2 Thực trạng vấn đề……… ……… … 6

2.3 Các giải pháp thực hiện……… ……… … 6

2.4 Hiệu quả của sáng kiến………… ……… 17

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ….……… ……….……… 18

3.1 Kết luận……… 18

3.2 Kiến nghị……… 18

1 MỞ ĐẦU.

1.1 Lý do chọn đề tài.

Trong chương trình toán THPT hiện nay phần hình học không gian nói chung cũng như phần hình học không gian lớp 12 nói riêng ,là một phần học khó đối với hầu hết các em học sinh.Nguyên nhân thì có nhiều ,nhưng qua các năm trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy cái khó của môn học này là : để giải được một bài toán hình học không gian yêu cầu học sinh phải có một hệ thống kiến thức lô gíc, cách suy luận,

tư duy trìu tượng, kỹ năng vẽ hình ,kỹ năng tính toán thành thạo mà đây lại là những điểm yếu của đa số học sinh hiện nay

Hơn nữa trong một số năm gần đây bộ GD&ĐT đưa cách thi trắc nghiệm khách quan đối với môn toán nên áp lực về thời gian để giải một bài toán tăng lên Vì vậy vấn đề đặt ra là: làm thế nào để giúp các em có thể giải quyết một bài toán mạch lạc và nhanh nhất có thể Trước tình hình đó trong quá trình giảng dạy phần thể tích khối đa diện tôi nhận thấy trong SGK lớp 12 có một bài tập mà qua

đó có thể khai thác và hình thành một phương pháp giải các bài toán liên quan tới thể tích Nhằm giúp học sinh có hứng thú trong quá trình học hình học không gian ,cũng như giúp các em đạt kết quả tốt trong quá trình học tập, thi cử và hơn

nữa là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy tôi mạnh dạn viết đề tài “Hình

thành phương pháp giải từ việc khai thác một bài tập trong sách hình học lớp 12”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Đưa ra phương pháp giải toán thông qua các bài tập từ đó đề ra giải pháp, xây dựng các hoạt động và hoạt động thành phần giúp học sinh nắm lý thuyết, giúp học sinh củng cố kiến thức, hình thành kĩ năng giải toán, phát triển tư duy sáng tạo Đồng thời thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Học sinh thực hiện nội dung này là học sinh lớp 12

- Đối tượng nghiên cứu: hình thành một phương pháp giải toán từ việc khai thác một bài tập trong sách giáo khoa, các dạng toán có thể áp dụng được, sai lầm của học sinh khi áp dụng và cách khắc phục

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến

đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy học toán, sách tham khảo,

đề thi khảo sát chất lượng của các trường trung học phổ thông, mạng internet,

- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt bài học của học sinh

qua việc vận dụng kiến thức để giải toán và qua các bài kiểm tra

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm

trong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp

- Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm ở các lớp 12C, 12D trường THPT Hà Trung trong năm học 2017 -2018

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1 Cơ sở lí luận.

- Các tính chất của thể tích khối đa diện[1]

+Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau

+Nếu một khối đa diện được chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó

+Khối lập phương có cạch bằng 1 thì có thể tích bằng 1

- Bài toán :[1] Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB,

SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác điểm S gọi V và V/ lần lượt là thể tích

của các khối chóp S.ABC và S A B C / / / chứng minh rằng : V/ SA SB SC'. '. '

V SA SB SC (1) Giải:

Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vuông

góc của A và A’ lên (SBC)

Ta có AH//A’H’ Ba điểm S, H, H’ cùng

thuộc hai mp (AA’H’H) và (SBC) nên chúng

thẳng hàng Xét SAH ta có SA' A H' '

SA  AH (a)

Do đó

·

·

' ' ' ' '

.

1 ' '.

3 1 3 ' ' ' '.sin ' '

.sin

SB C

S A B C

S ABC

SBC

A H S V

A H SB SC B SC

b







Từ (a) và (b) ta được điều phải chứng minh

H /

/

B /

A /?

S

C

B A

Lưu ý :Trong công thức (1), nếu cho B’B và C’C ta được

' ' '

'

S A B C

S ABC

Ta lại có

'

SA

SA

'.

.

' ' 1

A ABC

S ABC

.

'

A ABC

S ABC

Tổng quát ta có bài toán sau đây:

Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2…An (n 3), trên đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1 Khi đó ta có

1 1 2

1 2

' . 1 1

'

n n

A A A A

S A A A

Chứng minh (4) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp

S.A1A2…An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2)

2.2 Thực trạng vấn đề.

Trong thực tế giảng dạy,khi gặp các bài toán liên quan tới tính thể tích khối

đa diện, học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc xác định đường cao của đa diện Nếu làm theo cách thông thường rất mất thời gian vì vậy không giải quyết được áp lực về thời gian khi làm bài toán trắc nghiệm Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy có rất nhiều bài toán có thể giải quyết nhanh và gọn khi áp dụng các công thức trên Vì vậy tôi viết đề tài này nhằm giúp các em giải quyết khó khăn trên cũng như góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy

2.3 Các giải pháp thực hiện

Trong quá trình giảng dạy để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp sau:

- Cung cấp cho các em hệ thống lý thuyết đầy đủ chặt chẽ thông qua bài toán

cơ bản

- Phân dạng bài tập, đưa ra dấu hiệu nhận biết bài tập đó có thể áp dụng phương pháp này được không

- Đưa ra các bài tập có tính hệ thống tăng dần về độ khó từ mức độ nhận biết, thông hiểu lên vận dụng Giúp cho các em làm quen dần với dạng bài tập này Dần hình thành kỹ năng giải toán cũng như tính chính xác và linh hoạt trong quá trình giải toán

- Tăng cường đổi mới trong việc kiểm tra, đánh giá Ra đề kiểm tra với 4 mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ tiếp thu, kiểm tra năng lực của học sinh và có kế hoạch điều chỉnh

2.3.1 Sau đây là một số ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng

a Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E

và F Tính thể tích hình chóp C.A’B’FE.[3]

Giải : Cách 1 (Tính trực tiếp đường cao và diện tích đáy)

Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và A’B’; J là trọng tâm của tam giác ABC Đường thẳng qua J và song song với AB cắt AC và BC lần lượt tại E và F Đường thẳng EF chính là giao tuyến của (JA’B’) với (ABC) Khi đó, vì EF (CJK) nên

/

(A BEF) (  CJK)

/ /

( ,( ) d(C, KJ)

d C A B FE 

Ta có: CI là đường cao tam giác đều ABC nên

CI = 3 IJ 3

 IJ từ đó suy ra :

2

12 12 12

a

Ta có 2. 2 2 3 2 3

2 3

2 3 2 2 13

( , )

13

39 13 6

JKC

a

d C KJ

Lại có EF (  CIK)  EF KJ tứ giác A/ B EF / là

hình thang có đường cao KJ nên ta có

/ /

2 / /

A B FE

 

do đó

  / /

2

B /

C /

A /

J F

E

I

C

B

K

Cách 2 ( dùng công thức tỷ số thể tích ) Nhận xét : V C A B FE / / V C EB A / / V C FEB /

Ta có : / /

/ /

/ / / /

2 3

CEA B

CAB A

/

/ / / / /

/ /

2 2 4 2

2 3 9 2

CEFB

CEA B CAC B CABB

Nhận xét Việc giải bài toán theo cách 1 đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về quan hệ vuông góc trong không gian tốt và tốn nhiều thời gian Nhưng với cách 2 cho ta lời giải rất gọn quan trong hơn cho ra kết quả rất nhanh

Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với

mặt phẳng đáy và SA = 2a Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’[4]

Giải

Cách 1: Ta có (AB C D / / / ) SC và

/ / /

( ) BD

(AB C D ) (  SBD) B D  B D BD

/ /

4 4

5 5

4 4 2

a

Tam giác SAC vuông góc tại A và có đường cao

D /

C /

B/

D

C B

A S

là AC/ nên

2

2 /

/

.

1 1 1 1 1 3

4 2 4

2 6 3

2 3 3

SC SA SA

a

SC

Sc a AC











 





 

 



Ta có

/ / /

/ / /

1

2

AB C D



Vậy / / / / / /

3 /

.

.

S AB C D AB C D

a

Cách 2 : ( dùng công thức tỷ số thể tích ) Vì khối chóp S.ABCD có mf(SAC) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau nên V S AB C D / / /  2V S AB C / / mà

.

.

4 4 8

5 6 15

S AB C

S ABC

Từ đó suy ra / / /

3

16 45

S AB C D

a

Nhận xét : Bằng cách so sánh hai cánh giải trên ta thấy làm cách 2 giúp ta giảm đi một nửa khối lượng tính toán điều này kích thích sự sáng tạo của học sinh giúp các em tạo ra hứng thú trong học tập

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 Gọi M, N và P

lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.[3]

Giải:

Cách 1 : Gọi Q là trung điểm của AB ta có PQ

AB nên PQMN.Do đó MN(SPQ) nên (SAB)

(SMN) Trong (SPQ) kẻ PH vuông góc với SQ Thì

PH(SAB) hay PH(AMN) do đó PH chính là

đường cao của hình chóp AMNP

Trong tam giác SPQ có SO và PH là hai

đường cao nên SO.PH=PH.SQ ta có PQ=BC=a

2

a

OQ AQ  tam giác SAQ vuông tại Q nên

2

( 2)

SQ  OQ  a     SQ

  tam Giác SOQ vuông tại O nên

Vậy PH=

6 2 42

7 7 2

a a

*tính diện tích tam giác AMN:

2

2 2.2 4

.

4 4 2 8 2 16

a

M N

D

C B

A S

P

Cách 2: ( sử dụng công thức tỷ số thể tích)

Do MS=MA nên d(A,(MNP))=d(S,(MNP)) suy ra V A MNP V S MNP. ta có

3

.

S MNP

S APB

Nhận xét: rõ ràng cách 2 giải quyết bài toán một cách ngắn gọn và đẹp

Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi B’, D’ lần lượt là

trung điểm của SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tìm tỉ số thể tích của hai hình chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD [2]

Giải

Giả sử AC cắt BD tại O và / /

B D cắt SO tại K do B D/ ; / là trung điểm của SB và SD nên K là trung điểm của B D/ / và

cũng là trung điểm của SO trong (SAC) ta có AK cắt SC

tại /

C trong tam giác /

C AC kẻ OH CC / do OA=OC suy

; 2

OH  CC KS KO OH SC vậy

/

SC

SC

   ta có V S AB C D / / / V S AB D / / V S B C D / / / nên

/ /

/ /

/ /

.

.

.

S ABD

S AB D

S ABD

Từ đó ta có . / / /

.

1`

6

S AB C D

S ABCD

V

H

O

K

B /

C /

D /

D

C B

A

S

Nhận xét : Nếu giải quyết bài toán trên bằng cách tính trực tiếp thể tích từng phần rồi sau đó mới tính tỷ số thì quá dài và đặc biệt tìm đường cao của khối chóp S AB C D / / / rất khó và ngoài ứng dụng để tính thể tích thì phương pháp trên

áp dụng với các bài toán tính tỷ số thể tích giữa các phàn của khối đa diện bị cắt bởi một mặt phẳng rất hiệu quả

Ví dụ 5: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; M là trung điểm của SC

Mặt phẳng (P) đi qua AM và song song với BD chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.[3]

Giải:

gọi O là giao điểm của AC và BD; I là

giao điểm của SO và AM khi đó (P) cắt

(SBD) theo giao tuyến qua I và song song

với BD qua I kẻ đường thẳng song song

với BD cắt SB tại N cắt SD tại Q thì I là

trọng tâm tam giác SAC

3

SD SP SO  do đó

.

.

.

9

S ANP

S ABD

4

(1) 9

tương tự ta có : .M

.C

.

9

S NP

S BD

2

(2) 9

vì V S ABD V S CBD. nên từ (1) và (2) ta suy ra

kết quả là: 1

2

S AMNP ABCDMNP

V

I

O

P

N M

D

C

B A

S

Nhận xét :với bài toán này việc tính thể tích của từng khối là công việc quá khó

vì đề bài không cho các yếu tố đặc biệt do đó mối liên hệ giữa độ dài các cạch là tùy ý nếu học sinh tự đặt ra các độ dài các cạch thì bài toán trở nên rất phức tạp

vì vậy sử dụng công thức tỷ số thể tích với bài toán này là tối ưu

Ví dụ 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi M là điểm đối xứng với C qua D,

N là trung điểm của SC, mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.[3]

Giải :

gọi P là giao điểm của MN và SDQ là giao điểm

của BM và AD khi đó P là trọng tâm tam giác

SCM và Q là trung điểm của MB

MDPQ

MBCN

vì D là trung điểm của MC nên d(M,

(BCN))=2d(D,(BCN))

suy ra

2

5

7

DPQCNB

SABNPQ

V

V

Q O

P

N

B A

S

Nhận xét: qua cách giải trên ta thấy bài toán được giải quyết một cách ngắn gọn một cách bất ngờ điều này giúp học sinh cách nhìn nhận, cách tiếp cận một bài toán ở nhiều góc độ khác nhau

Ví dụ 7 Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD Một mặt phẳng ( )qua A, B và trung điểm M của SC Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.[3]

Giải :

Kẻ MN // CD (N SD)thì hình thang ABMN là

thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng

(ABM)

SADB

SD

SN

V

V

4

1 2

1 2

1











SABCD SBCD

SBMN SBCD

SD

SN SC

SM

V

V

8

1 4

1 4

1 2

1 2

1



Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = V SABCD

8

3

Suy ra VABMN.ABCD = V SABCD

8

5

Do đó : 53

.



ABCD ABMN

SABMN

V

V

N

M

O D

B

A S

Nhận xét:Thông thường khi giải bài toán này học sinh thường tự đặt độ dài cạnh đáy và cạnh bên bởi một đại lượng nào đó rồi tiến hành tính toán theo đại lượng mình đã đặt khi đó học sinh thường lúng túng khi tìm đường cao của hình chóp S.ABMN

Ví dụ 8: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD) Trên (d) lấy điểm S sao cho:

3

.

2

a

SI  Tìm khoảng cách từ C đến mp(SAD).[3]

Giải

Ta có: . 1 . 3 3

a

Áp dụng pitago ta có:

2

4

a

SA SI AI a , SD2 SI2 DI2  2a2

SD SA DA  SAD vuông tại A nên

2

.SA

SAD

Vậy khoảng cách cần tìm là:

d C SAD

I

D

C B

A S

Nhận xét: Công việc tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng là một việc làm khó đối với học sinh do đó cách giải trên giúp học sinh rút ra kết luận là:khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chính là độ dài đường cao của một hình chóp thích hợp do đó kích thích sự sáng tạo của học sinh

+Ngoài ra công thức tỷ số thể tích có thể vận dụng để giải nhanh các bài tập trắc nghiệm mà nếu như dùng cách thông thường thì tốn rất nhiều thời gian sau đây là một số ví dụ:

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với

đáy Gọi M,N là trung điểm của SA,SB Mặt phẳng MNCD chia hình chóp đã cho thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần S.MNCD và MNABCD là[4]

A 3.

4 B 3.

5 C 4.

Ta có S.MNC

S.ABC

V SM SN 1 1 1

.

V SA SB 2 2 4 và

S.MCD

S.ACD

V SM 1

.

V SA 2

Khi đó S.MNC S.ABCD

1

8

 và

S.MCD S.ABCD S.MNCD S.ABCD

Vậy tỷ số

S.MNCD S.MNCD

MNABCD S.ABCD S.MNCD

: 1

 

    

Chọn B

N

M

D

C B

A S

Câu 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành I là trung điểm của

SC Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp làm 2 phần Tính tỷ số thể tính của 2 phần này[4]

+Do K là trọng tâm tam giác SAC nên:

.

.

2 1 1 1

3 2 3

S AMI

S ACD

tương tự : .

.ABC

1 2 1 1

2 3 3

S ANI S

S AMIN

S AMIN S ABCD

ABCDMIN

V

V

chọn B

M K I

O

D

C B

A S

Câu 3: Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của AB, N là điểm thuộc AC sao

cho AN=2CN Trong các số dưới đây số nào ghi giá trị tỉ số thể tích giữa khối tứ diện AMND và phần còn lại của khối tứ diện ABCD[4]

2 3 3

AMND

ABCD

;

Chọn A

M

N

D

C B

A

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC Trên SA, SB , SC lần lượt lấy các điểm M, N, Q sao

cho SM=MA, NB=3SN, QC=4SQ tính V S MNQ. biết 2

S ABC

V  a [4]

+ có .

.

1 1 1 1

2 4 5 40

S MNQ

S ABC

2 2

.6

40 40 20

a

Chọn B

Q

N M

C

B A

S

2.4 Hiệu quả của sáng kiến.

Trong năm học 2017-2018 tôi được nhà trường phân công dạy môn toán hai lớp 12C và 12D Sau khi hướng dẫn học sinh vận phương pháp trên trong một số bài tập cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học trò các lớp kết quả như sau

Lớp Điểm yếu Điểm TB Điểm khá Điểm giỏi

Với số học sinh còn lại tuy các em chưa nắm bắt được hết nhưng đại đa số đã có thái độ học tập tốt hơn tới khi kết thúc năm học các em đều đạt kết quả tốt trong khả năng của mình

3 KẾT LUẬN

Sau khi kết thúc chương trình lớp 11, đại đa số các em đều than phiền là môn hình học không gian khó; đặc biệt là chương quan hệ vuông góc các bài toán thường yêu cầu tính toán nhiều mà đây lại là điểm yếu của rất nhiều học sinh Khi các em học sang lớp 12 phần thể tích khối đa diện yêu cầu tính toán lại được nâng lên vì vậy đa số các em đều ngại môn học này

Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, nhiều em cảm đặc biệt là một số em có học lực khá,