Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT tĩnh gia 3 giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Người thực hiện: Lê Văn Dũng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2018

NỘI DUNG TRAN

G

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình toán ở bậc THPT học sinh gặp nhiều bài toán liên quan đến

hệ phương trình Đặc biệt trong các kì thi Đại học, Cao đẳng, kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán các bài toán về hệ phương trình là bài toán khó và gây nhiều khó khăn cho học sinh Chính vì thế mà các dạng bài toán về hệ phương trình có sự hấp dẫn, kích thích sự tìm tòi của những người yêu toán Việc giúp học sinh tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán là một việc mà các thầy cô giáo tâm huyết cần phải làm Là một giáo viên được trực tiếp giảng dạy môn toán với thời gian hơn 10 năm ở trường THPT Tĩnh Gia 3, được giao trọng trách giảng dạy đội tuyển toán của nhà trường cũng như học sinh thi đại học tôi luôn không ngừng tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra các phương pháp giảng dạy hiệu quả nhất, những phương pháp giải phù hợp với nhiều đối tượng học sinh ở đơn vị công tác

Dưới đây tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài: "Một số kinh nghiệm

hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3 giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số"

1.2 Mục đích nghiên cứu

Qua sáng kiến kinh nghiệm tôi mong muốn trang bị cho học sinh một phương pháp giải hệ phương trình mang lại hiệu quả rõ nét Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

1.3 Đối tượng nghiên cứu

 Các dạng toán giải hệ phương trình nằm trong chương trình toán phổ thông

 Một số bài toán giải hệ phương trình trong các đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia và các đề thi học sinh giỏi tỉnh

1.4 Phương pháp nghiên cứu

 Thông qua các ví dụ, các bài tập cụ thể với cách giải đơn giản nhằm làm cho học sinh thấy được thế mạnh của việc sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình Từ đó học sinh biết sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình một cách hiệu quả nhất

 Thực nghiệm sư phạm

2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.

2.1 Cơ sở lí luận

Sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình là một phương pháp có tính hiện đại, cách giải hay, nhanh gọn và độc đáo

Do sự giảm tải của kiến thức ở bậc THPT nên SGK cơ bản không đề cập đến dạng bài tập liên quan đến phương pháp này nhưng trong các đề thi thì vẫn có Do

vậy phương pháp này không phổ biến và bắt buộc Chính vì lẽ đó mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp này một cách máy móc hoặc chưa biết sử dụng

Đối với học sinh khá giỏi thì việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một vấn đề cấp thiết giúp các em có kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải bài tập bằng phương pháp hàm số đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và đạt kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THPT Quốc gia

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải hệ phương trình khi gặp các bài toán liên quan đến sử dụng phương pháp hàm số

Để giúp cho hoc sinh phân tích bài toán và tìm ra phương pháp giải, tôi hướng dẫn học sinh tiến hành theo các bước sau đây:

 Bước 1: Dự đoán hàm đặc trưng

 Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu trên miền xác định, từ đó tìm

mối liên hệ giữa các ẩn

Để thực hiện được 2 bước trên ta phải nắm vững các dạng toán sau:

Dạng 1: phương trình ( ) f x k

 Bước 1: Xét hàm số yf x( ), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả

sử hàm số đồng biến)

 Bước 2: nhận xét:

- Với x x 0  f x  f x 0  , do đó k x x 0 là nghiệm phương trình

- Với x x 0  f x   f x 0  , do đó phương trình vô nghiệmk

- Với x x 0  f x   f x 0  , do đó phương trình vô nghiệmk

Vậy x x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Dạng 2: Phương trình ( ) f x g x( )

 Bước 1: Xét 2 hàm số yf x  và y g x  , dùng lập luận khẳng định hàm số

 

yf x là đồng biến còn hàm số y g x   là nghịch biến

 Bước 2: Xác định x0sao cho f x( )0 g x( )0 , suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x x 0

Dạng 3: Phương trình ( ) f u f v( )

 Bước 1: Xét hàm số yf x , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

 Bước 2: f u( )f v( ) u v u v D,  f

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

 Trong sách giáo khoa Toán ở bậc trung học phổ thông hiện nay các bài toán

về hệ phương trình sử dụng phương pháp hàm số có số lượng ít và mức độ

khó chưa tương xứng với yêu cầu của các đề thi hiện nay Hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng này

 Trong suốt quá trình giảng dạy ở trường THPT Tĩnh gia 3 tôi nhận thấy là học sinh khi gặp những bài toán về "Sử dụng phương pháp hàm số giải hệ phương trình" thường tỏ ra rất hoang mang và khó khăn khi giải

 " Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3 giải hệ

phương trình bằng phương pháp hàm số " là chìa khóa gỡ nút thắt trong các

bài toán hệ phương trình

 " Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3 giải hệ

phương trình bằng phương pháp hàm số " cho ta cách nhìn đa chiều về một

bài toán, kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi, ham khám phá của học sinh

2.3 Các giải pháp giải quyết vấn đề

- Nhằm giúp cho học sinh có kĩ năng giải các bài toán về hệ phương thình, giúp cho các em có kiến thức vững vàng và có kết quả cao trong các kì thi tuyển sinh

- Giáo viên nên mạnh dạn giới thiệu các phương pháp này cho học sinh từ năm lớp 11, 12 Giáo viên phải dựa vào trình độ của khối lớp để có thể đưa ra các dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp cho các

em quen dần với các phương pháp này

- Đối với học sinh ôn thi học sinh giỏi và ôn thi đại học cần tạo thành chuyên

đề rõ ràng, học sinh biết nhận dạng và có kỹ năng làm bài tốt

 Một số bài toán giải hệ phương trình áp dụng phương pháp hàm số:

Bài toán 1:

Giải hệ phương trình :

 

   

2









( Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn toán Thanh Hóa 2014-2015)

Lời giải:

Điều kiện: x6;y5;2x y  5 0; 3x2y11 0

 

Xét hàm số f t   3t2 t với t  , ta có0

'  3 3 2 0, 0

2

t

t



Kết hợp với  3 ta có f 6 x f 5 y  6 x  5 y  y x  1

Thay vào phương trình  2 của hệ, ta được

2

2 3x4 3 5 x 9 x 6x13, với

4 3

x 

2

2

x x

x x

x x

1 1

3x4  x2  5x 9 x3   với mọi x thuộc TXĐ)

Với x 0 y 1

Với x 1 y2

Thử lại ta thấy nghiệm của hệ phương trình đã cho là

x y ;   0; 1 ; 1; 2     

Bài toán 2: Giải hệ phương trình

( 2)

I







Lời giải:

Đk:

 

2

2

1 0

3

x x x

x y

x x

y

x x

  





  









Đặt a3 y2  1 y 3 a3 Khi đó , phương trình (1) trở1 thành

x 13  1 x 1  a3  1 a 3

Xét hàm số f t   t3 1 t, t1

2 '

3

3

1 0,

t

t

 3  f x  1 f a   x 1a

 

2

1

1 0

0

1

1 0

5 5

5 5

4 4

x x

x x x x x x

x x

x

x x x

x x

x x x

x x

x x

x x



 





























Đối chiếu với (**) và (¿) thấy x  thỏa mãn 5  a 4 y62

Vậy hệ có nghiệm là x y ;  5;62

Nhận xét: Ở hai bài toán trên việc tìm ra hàm đặc trưng f t( ) là rất quan trọng,là

cơ sở tìm ra mối liên hệ giữa 2 ẩn, nếu không tìm ra hàm dặc trưng bài toán sẽ rất phức tạp

Bài toán 3: Giải hệ phương trình

2

( 1) 2(1 ) (2)

x y

y





Lời giải:

Giải phương trình

2 2

2

1

y

x y







+) Với y  thay vào (1) ta được 2

2

2 2

1 3

x x x

x x



 



+)

1

x

x y

y

  



  

 từ phương trình (1) ta có

x x y y

Xét hàm số f x( ) 4 x2  1 x2;  x  1;1 ; ( ) g y y3 3y 2   y  1;1

(0) 4 Min ( )

1;1

(1) 4 Min ( )

1;1

( ) ( ) 0 , 1;1

f

f x

g

g y





Dấu " " xảy ra khi x 0;y 1

Vậy tập nghiệm của hệ là T  0; 2 , 2 2; 2 , 2 2; 2 , 0;1          

Bài toán 4: Giải hệ phương trình

.4

12 10 2 2 1 (2)

x x y y

I







Lời giải:

 1  x x2 4 2  y2  1 y  x x2 4 2y2 4  2 (3)y

Xét hàm số f t   t t2  , hàm 4 f t đồng biến trên R. 

(3) f x f 2y  x2y

Xét hàm số g t   t3 2t đồng biến trên R

3

2

0

1

x

x x

x







Vậy hệ phương trình có nghiệm: 0,0 , 1,1

2



Nhận xét: Đây là hai bài toán khó trong đề thi đại học, nhờ cách ứng dụng phương pháp hàm số ta đã có lời giải rất nhẹ nhàng

Bài toán 5: Giải hệ phương trình

 

 

 

 

3 2

3 2

3 2

x y y y

I y z z z

z x x x









Lời giải: Xét hàm đặc trưng: f t   t3 t2 t với t R

Ta có f t'  3t2 2t 1 2t2(t1)2  0 f t  đồng biến

Giả sử: x y z   f x  f y f z 

2z 1 2x 1 2y 1 z x y x y z

Hệ

3 2

3 2

3 2

3 2

x y y y

x y z

I y z z z

x x x x

z x x x

 









2

1 1

x y z

x x

  



Vậy tập nghiệm của hệ là T (1;1;1),( 1; 1; 1)   

Bài toán 6 : Giải hệ phương trình :

2

3 2

3 2

3

2 6.log 6

2 6.log 6











(Đề thi HSG quốc gia THPT năm 2006)

Lời giải:

Điều kiện: , ,x y z  6

Hệ đã cho tương đương với:

   

x y

x x y z

y y z x

z z

















Xét hàm số   2

t

f t

t t



  trên 6;

 

2

2

6

t

t t t

t

t t





 

f t

 là hàm số đồng biến trên 6;

Xét hàm số g t  log 63  t trên 6;

 

1

t



 

g t

 là hàm số nghịch biến trên 6;

Khi đó hệ ban đầu có dạng

f x g y

f y g z

f z g x















 Giả sử x y z là một nghiệm của hệ phương trình Không mất tính tổng quát ta; ; 

giả sử xmax ; ; x y z thì sẽ xảy ra một trong hai trường hợp sau:

1 x y z 

Do f t  là hàm số đồng biến nên f x  f y  f z   g y  g z  g x 

Do g t  là hàm số nghịch biến nên y z x  Suy ra y z

Thay vào (2) và (3) ta có : log 6 3  x  log 6 3  z  x z

Vậy x y z

2 x z y

Do f t  là hàm số đồng biến nên f x  f z  f y  g y  g x g z 

Do g t  là hàm số nghịch biến nên y x z  Suy ra x z

Thay vào (1) và (3) ta có : log 6 3  x  log 6 3  y  xy

Vậy x y z

Vậy hệ (I.6)    

 



 





Dof x  là hàm số đồng biến trên 6;, g x  là hàm số nghịch biến trên 6;

mà f  3 g 3 nên f x  g x   x3

Vậy hệ (I.6)  x  y z 3

Nhận xét: Hai hệ phương trình (I.5) và (I.6) đều là hệ phương trình hoán vị 3 ẩn, khi sử dụng phương pháp hàm số để giải bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn Sau đây tôi sẽ đưa ra cách giải tổng quát có sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình hoán vị 3 ẩn

Xét hệ phương trình hoán vị 3 ẩn dạng:

( 7)

f x g y

I f y g z

f z g x















 Trong đó hàm số f t g t là hai hàm số đơn điệu trên D thì bằng cách lý luận ,  

tương tự như trên ta có hệ (I.7)    

x y z

f x g x

 



 



Chứng minh:

Trường hợp 1: Giả sử f t g t là hai hàm số đồng biến trên D Vì hệ không ,  

thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với , ,x y z nên không mất tính tổng quát ta giả

sử xmax ; ; x y z

 Nếu x y z 

Do f t là hàm số đồng biến nên 

f x f y f z  g y g z g x

Dog t là hàm số đồng biến nên y z x   Vậy x y z x  

Suy ra x y z 

 Nếu x z  Do y f t là hàm số đồng biến nên 

f x f z f y  g y g x g z

Do g t là hàm số đồng biến nên y x z   Vậy x z y x z   

Suy ra x y z 

Vậy hệ (I.7)    

x y z

f x g x

 



 





Trường hợp 2: Giả sử f t là hàm số đồng biến,   g t là hàm số nghịch biến Vì 

hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với , ,x y z nên không mất tính tổng

quát ta giả sử xmax ; ; x y z

 Nếu x y z 

Do f t là hàm số đồng biến nên 

f x f y f z  g y g z g x

Dog t là hàm số nghịch biến nên y z x   Suy ra: y z

Thay vào hệ ta có: f x  f y  Do f t là hàm số đồng biến nên 

f x f y  x y

Vậy x y z 

y

Do f t là hàm số đồng biến nên 

f x f z f y  g y g x g z

Do g t là hàm số nghịch biến nên y x z    Suy ra: x z

Thay vào hệ ta có: g x  g y  Do g t là hàm số nghịch biến nên 

g x g y  x y

Vậy x y z 

Vậy hệ (I.7)    

x y z

f x g x

 



 





2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

"Sử dụng phương pháp hàm số giải hệ phương trình" đã được bản thân tôi và các đồng nghiệp cùng đơn vị thí điểm trên các em có học lực từ khá trở lên Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách say mê hứng thú Tất cả các

em trong đội tuyển toán đều làm được bài hệ phương trình trong đề thi học sinh giỏi Trên 80% học sinh lớp 12C1 làm được các bài toán về hệ phương trình trong các đề thi khảo sát do Bộ, Sở và Nhà trường tổ chức

Tuy nhiên với đề tài này người thầy phải biết vận dụng sáng tạo các phương pháp, luôn không ngừng tìm tòi, tham khảo các tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại và cho học sinh các bài tập định hướng để các em học tập, tìm hiểu

Đối tượng học sinh là học sinh khá giỏi, luôn tin tưởng ở thầy, có điều kiện học tập, nghiên cứu

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:

1 Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh

2 Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện

3 Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn

đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện

4 Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực

5 Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất

Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm

vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được

Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường THPT Tĩnh Gia 3, từ việc áp dụng các hình thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt, bản thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đó là :

1 – Trình bày bài giải mẫu

2 – Trình bày phương pháp giải những bài toán liên quan đến chuyên đề

3 – Hệ thống hóa thành những nhóm bài toán có sử dụng phương pháp trong chuyên đề

Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học nói chung Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo viên đã áp dụng trong chuyên đề này

3.2 Kiến nghị

1 Với Sở giáo dục và đào tạo

- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên dạy toán Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên trong tỉnh

2 Với Ban Giám Hiệu nhà trường

- Nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú, kết quả học tập môn