Từ quy trình giải các bài toán cơ bản hướng dẫn học sinh giải toán hình học không gian lớp 11

Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán hình học không gian, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, kha

Trang 1

1 MỞ ĐẦU

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TỪ QUY TRÌNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Người thực hiện: Đinh Thế Ninh Chức vụ: Giáo viên

SKKN môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2019

Trang 2

M C L CỤC LỤC ỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU

Hình học không gian là một phần rất quan trọng của hình học phổ thông, nó

có liên quan mật thiết với hình học phẳng ở cấp THCS Việc học tốt hình học không gian không những giúp học sinh học tốt hình học tọa độ trong không gian

mà còn giúp học sinh phát triển tư duy rất tốt

Tuy nhiên khi giải các bài toán hình học không gian học sinh thường rất thiếu tự tin , một phần vì học sinh ngại hình học không gian vì cứ nghĩ hình học không gian là khó, một phần là vì học sinh không có những “tư duy định sẵn” như đại số, giải tích Do đó hiệu quả giải toán không cao mà sự phân loại dạng toán, phương pháp giải toán cũng không rõ ràng

Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương pháp suy luận giải toán hình học không gian Với ý định đó, trong sáng kiến kinh

Trang 3

nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách xây dựng các định hướng “giải bài toán hình học không gian” từ cách xây dựng các “quy trình giải các bài toán cơ bản”.

1.1 Lý do chon đề tài

Đứng trước một bài toán hình học không gian học sinh thường lúng túng và đặt

ra câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải bài toán từ đâu ?” Một số học sinh có

thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có khi sự thử nghiệm đó

sẽ dẫn tới kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán như thế là không cao Với tình hình

ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán hình học không gian, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải.Trong

đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một

điều cần thiết Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện

kỹ năng định hướng và giải toán

Cần nhấn mạnh một điều rằng, đa số các học sinh sau khi tìm được một lời giải cho bài toán hình học không gian thường không suy nghĩ, đào sâu thêm Học sinh không chú ý đến bản chất hình học của bài toán nên mặc dù làm rất nhiều bài toán hình học không gian nhưng vẫn không phân loại được dạng toán cơ bản cũng như bản chất của bài toán Thậm chí một bài toán tương tự nhau xuất hiện trong nhiều

đề thi mà học sinh vẫn làm miệt mài như lần đầu tiên giải nó, bởi không nhận biết được dạng toán này đã từng làm ??

1.2 Mục đính nghiên cứu

Với thực trạng đã chỉ ra, thông thường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán có cấu trúc đơn giản Còn khi đưa ra bài toán khác một chút cấu trúc

cơ bản học sinh thường tỏ ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải bài toán Từ đó, hiệu quả giải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều

Trước thực trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen xem xét bản chất của bài toán hình học không gian và phát hiện các dạng toán đặc trưng Và vì vậy song song với các lời giải cho bài toán hình học không gian, tôi luôn yêu cầu học sinh chỉ ra bản chất và hệ thống các bài toán hình không gian cơ bản tương ứng, từ đó xây dựng các quy trình tựa thuật toán cho các bài toán cơ bản

Trang 4

Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra một trong nhiều nội dung được

áp dụng có hiệu quả Việc đưa nội dung này nhằm khai thác các bài toán cơ bản trong hình học không gian và tư duy tựa thuật toán tương ứng để định hướng tìm

lời giải bài toán hình học Việc chỉ ra các bài toán cơ bản của bài toán hình học không gian cùng với thuật toán tương ứng sẽ giúp học sinh định hướng và giải toán có hiệu quả hơn, vững tin với việc giải toán hình học không gian Qua đó

giúp học sinh nhận thức được rằng: “Mỗi bài toán hình học không gian là tổng hợp của nhiều bài toán cơ bản, việc nắm vững hệ thống các bài toán cơ bản là mấu chốt cho quá trình suy luận giải toán” Vì vậy phân tích bản chất bài toán cơ

bản của bài toán hình học không gian để từ đó định hướng tư duy cho việc giải bài toán là một suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động hơn trong việc tìm kiếm lời giải cũng như phân loại một cách tương đối các bài toán hình học không gian

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Nội dung chương trình Hình học lớp 11

Đối tượng sử dụng đề tài học sinh các lớp 11A2, 11A8 trường THPT Hoằng Hóa 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1 Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên

2 Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán hình học không gian và các quy trình của bài toán hình học cơ bản tương ứng

3 Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh

4 Trong mỗi bài toán hình học không gian đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất bài toán để phát hiện các bài toán cơ bản cũng như đưa ra các quy trình giải bài toán

5 Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện

1.5 Những điểm mới của SKKN

Nội dung này được triển khai thông qua 3 buổi học (mỗi buổi học 3 tiết):

- Buổi học thứ nhất: Tổ chức thực hiện hình thành kỹ năng giải toán

- Buổi học thứ hai: Tổ chức cho học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán

- Buổi học thứ ba: Tổ chức kiểm tra để lấy kết quả nội dung triển khai

Trang 5

và kỹ năng mà học sinh đạt được.

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

B.1:Buổi học thứ nhất

Giáo viên nêu vấn đề và định hướng cách suy nghĩ giải toán, giáo viên hướng dẫn làm các ví dụ mẫu 1, 2,3 Qua đó, bằng cách phân tích trên hình không gian tương ứng với bài toán, giáo viên phân tích lợi ích của việc “ tư duy tựa thuật toán những bài toán cơ bản của bài toán hình học không gian” cũng như phân tích cho học sinh thấy rằng việc lựa chọn phương pháp giải không phải là ngẫu nhiên

mà luôn chất chứa những nguyên nhân sâu xa rất bản chất Đó chính là cấu trúc của bài toán, hình thức của bài toán và các mối quan hệ “tất yếu” giữa các yếu tố tạo nên bài toán Cũng chính vì điều đó mà việc phân tích bài toán hình học không gian thông qua tổ hợp các bài toán cơ bản một mặt giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán, mặt khác giúp học sinh biết cách định hướng trong việc tìm lời giải bài toán

Để buổi học này đạt hiệu quả, tôi đã thực hiện ngay sau khi học xong phần hình học không gian ở lớp 11 Để tăng cường tính chủ động cho học sinh trong buổi học thứ nhất, tôi đã cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập đề thi về hình học không gian Yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị lời giải , phân loại các bài toán thành các nhóm tương tự nhau cũng như trả lời câu hỏi :"bản chất bài toán ấy là gì?,có tổng quát, mở rộng, phân loại dạng toán được không?"

Sau đây là sơ lược của buổi học về nội dung này

*Giáo viên: Bài toán hình học không gian xuất hiện thường xuyên trong các

đề thi ĐH, đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó Vì vậy để giải được dạng toán này chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán

Trong buổi học hôm nay chúng ta sẽ cùng nghiên cứu về một phương pháp

tư duy giải toán: " Xây dựng quy trình giải bài toán cơ bản để giải bài toán hình học không gian"

Trước hết ta cần chú ý xác định hình cho bài toán hình không gian trên cơ sở các

dữ kiện bài toán đã cho

Sau đó ta sẽ phân tích tính chất hình học trên hình không gian để định hướng tìm lời giải bài toán theo quy trình của các bài toán cơ bản định sẵn

Các ví dụ

Trang 6

Một bài toán hình học không gian có thể được giải theo các bước sau:

B1: Xác định hình không gian trên cơ sở giả thiết của bài toán

B2: Phát hiện các bài toán cơ bản và tư duy theo quy trình định sẵn

B3: Lựa chọn quy trình thích hợp và trình bày lời giải bài toán theo quy trình đã chọn

Qua quy trình này HS sẽ thấy được mức độ khó, dễ của mỗi bài toán cũng như hiểu được bài toán có bao nhiêu bài toán cơ bản và mục tiêu kiến thức muốn kiểm tra của tác giả bài toán.

Ví dụ 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và ABC 60   o

Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OA Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 60 o Tính cosin của góc tạo bởi đường thẳng AO và mặt phẳng (SCD).

GV hướng dẫn:

Bước 1: Xác định hình không gian trên cơ sở giả thiết của bài toán.

+ Đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và ABC 60   onên hoàn toàn xác định.

Đế xác định hình chóp S.ABCD ta cần xác định chiều cao SH dựa vào giả thiết:

“Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 60 o” Do đó ta phải giải bài toán cơ bản : “Xác định góc giữa hai mặt phẳng”.

Bước 2: Phát hiện các bài toán cơ bản và tư duy theo quy trình định sẵn.

Yêu cầu bài toán tương ứng với việc giải bài toán cơ bản: “Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng” Để giải bài toán này ta phải tìm hình chiếu của AC lên

(SCD) mà thực chất là xác định phương vuông góc với (SCD).

Bước 3: Lựa chọn quy trình thích hợp và trình bày lời giải bài toán theo quy trình

đã chọn.

Lời giải

+ Tính SH t gi thi t b i toán.ừ giả thiết bài toán ả thiết bài toán ết bài toán ài toán

Trang 7

ABCD ABC

S 2S 4a.4a.sin 60 8 3a Từ

giả thiết ta có: AH  HO 1OC.

2

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi L là

chân đường cao hạ từ O của OCD

Kẻ HK//OL(K  CD)  HK  CD (1)

Mà H là hình chiếu của S trên mặt

phẳng (ABCD) SH  CD (2)

Từ (1), (2) CD  (SHK)

S

A

D H

K L

M

O

60 o

4a

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là   o

SKH 60

OCD vuông tại O có   o   o   3 

OCD 60 OL OC.sin 60 2a a 3.

2

HCKcó OL//HK  OL OC  2 HK 3OL 3 3a

SHKvuông tại H  SH  HK tan 60o 3 3a 3 9a

+Tính góc giữa AO và mặt phẳng (SCD)

Trong mp (SHK) kẻ HM  SK (M  SG)  HM  (SCD) (doCD  (SHK))

 M là hình chiếu của H trên (SCD) Mà AO  (SCD)  C

 MC là hình chiếu của AO trên (SCD)

 Góc giữa đường thẳng AO và (SCD) là HCM

 o 3 3a 3 9

HM HK.sin 60 a

9 a

sin HCM cos HCM

Phân tích bài toán

Thông qua việc chỉ ra các bài toán cơ bản trong giải toán hình học không gian, HS thấy rằng mỗi bài toán là tổ hợp của nhiều bài toán cơ bản có mối quan hệ logic Việc nắm vững các bài toán cơ bản cùng quy trình giải toán giúp học sinh hoàn toàn chủ động trong tư duy giải toán cũng như thứ tự trình bày lời giải bài toán

B i toán c b n v quy trình gi i toán ài toán ơ bản và quy trình giải toán ả thiết bài toán ài toán ả thiết bài toán

G2mp

Xác định góc giữa hai mặt phẳng Quy trình 1: Quy về góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đã cho

Quy trình 2: Quy về hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng

và vuông góc với giao tuyến

Quy trình 3: Sử dụng công thức hình chiếu

Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trang 8

Gđmp Quy trình: Quy về góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt

phẳng đã cho

GV yêu cầu HS xây dựng quy trình cho bài toán cơ bản:

G2đt = “Xác định góc giữa hai đường thẳng”

Ví dụ 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho DH = 2AH Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và BC, biết góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 30 0 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SD

+ Đáy ABCD là hình vuông cạnh a nên hoàn toàn xác định.

Đế xác định hình chóp S.ABCD ta cần xác định chiều cao SH dựa vào giả thiết:

“Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 30 o” Do đó ta giải bài toán : Gđmp

Yêu cầu bài toán tương ứng với việc giải bài toán cơ bản: “Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau” Bài toán này có nhiều quy trình và HS phải

lựa chọn để tư duy giải toán.

đã chọn.

L i gi iời giải ả thiết bài toán

AH  DH  , do SH  (ABCD) 

SH là chiều cao của khối chóp S.ABCD và

góc giữa SB với mặt phẳng (ABCD) là góc

 30 0

SBH  Ta có:

tanSHB SH SH HB.tan 30

HB

9

a



D

S

C H

I

M

N

Do M, N lần lượt là trung điểm của SB và BC nên MN//SC

1 / /( ) ( ; ) ( ;( )) ( ;( )) ( ;( ))

2

Trang 9

Mà AB//CD / /( ) d(B;(SCD)) d(A;(SCD)) 3 ( ;( ))

2

Do đó ( ; ) 3 ( ;( ))

4

d MN SD  d H SCD Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên

SD d H( ;(SCD)) HI  Ta có

.

3 11

a HI

HI HS HD   Vậy ( ; ) 3 2 . 5 . 5

4 3 11 2 11

Mỗi bài toán cơ bản có tính độc lập tương đối, nếu suy tận cùng bản thân nó cũng là một tổ hợp các vấn đề hình học cơ bản hơn Chẳng hạn, bài toán xác định khoảng cách hẳn nhiên phải sử dụng các quy trình của bài toán quan hệ vuông góc

Do vậy cần nhắc nhở học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản, xếp chúng vào một

hệ thống tư duy logic

K2cn

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Quy trình 1: Tính đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng sau khi trực tiếp dựng đường vuông góc chung

Quy trình 2: Quy khoảng cách từ điểm thuộc đường này đến mặt phẳng song song và chứa đường kia Sau đó chuyển về đỉnh “tốt hơn” theo tỉ số khoảng cách

Quy trình 3: Sử dụng công thức thể tích (Lớp 12, GV giới thiệu)

Kđmp = “Tính khoảng cách điểm và mặt phẳng”,

Kđđt = “Tính khoảng cách điểm và đường thẳng”.

Ví dụ 3 và ví dụ 4 sau đây chỉ ra rằng việc giải các bài toán cơ bản là rất cần thiết,

và đó là cơ sở xây dựng nên các quy tình giải toán Học sinh vừa học được quá trình suy luận, kĩ năng giải toán vừa hiểu được bản chất của quy trình đưa ra

Ví dụ 3

Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và

CD (AB  CD) Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB

Gọi P = SC  (ADN) và AN , DP cắt nhau tại I Chứng minh : SI ∕ ∕ AB

+ Bài toán cơ bản về quan hệ song song, hình đã cho là xác định.

Trang 10

Yêu cầu bài toán tương ứng với việc giải bài toán cơ bản: “Chứng minh hai đường thẳng song song” .

đã chọn.

Lời giải

Ta có :

SI (SAB) ( )

AB ( )

/ /

CD ( )

AB / / CD

SCD SAB

SCD

















I

E

S

B

C

P D

A

Đây là một bài toán cơ bản trong quan hệ song song của hình học không gian, việc cho HS làm việc với các dạng cơ bản này là rất hữu ích trong việc làm

quen và rèn kĩ năng giải toán Vì vậy luôn nhắc nhở học sinh: “Học cơ bản, bám sát nội dung SGK” , không nên bay bổng với các kiến thức khó mà quên cơ bản.

Đây là một thực trạng của HS khi học hình học không gian, hoặc là mất cơ bản hoặc chỉ chăm chăm giải càng nhiều đề thi càng tốt Một cách học ít hiệu quả và thiếu bản chất, rất dễ xa vào học vẹt theo thói quen

S2đt

Chứng minh hai đường thẳng song song

Quy trình 1: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung

Quy trình 2: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng

Quy trình 3: Chứng minh bằng phản chứng hoặc sử dụng định lí về giao tuyến

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	476,5 KB