THPT lê lợi giải một số bài toán áp dụng phương pháp phân tích véc tơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI NÂNG CAO NĂNG LỰC TƯ DUY MÔN TOÁN QUA VIỆC HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT LÊ LỢI GIẢI MỘT SỐ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

NÂNG CAO NĂNG LỰC TƯ DUY MÔN TOÁN QUA VIỆC HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT LÊ LỢI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH VÉC TƠ

Người thực hiện: Lê Thị Lịch Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018

2 2 Nội dung của Sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của Sáng kiến kinh nghiệm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

2.2.1 Thuận lợi

2.2.2 Khó khăn

22333

3 2.3 Các kiến thức trọng tâm và bài tập áp dụng

2.3.1 Một số kiến thức liên quan

2.3.2 Các bài tập áp dụng

2.3.2.1 Hướng dẫn HS các bài tập phân tích véc tơ theo hai

véc tơ không cùng phương

2.3.2.2.Các bài tập áp dụng phương pháp phân tích véc tơ

3456-8

1 Mở đầu:

1.1 Lí do chọn đề tài Luật giáo dục năm 2005 tiếp tục xác định “ Hoạt động giáo dụcphải được thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao

động sản xuất, lý luận phải gắng liền với thực tiễn ”[3] Trước bối cảnh mà toàn

nghành giáo dục nước ta đang chuẩn bị cho quá trình đổi mới toàn diện chươngtrình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông sau năm 2015, Bộ Giáo Dục và Đào Tạochủ trương cần thiết phải đổi mới đồng bộ phương pháp dạy học và kiểm tra đánhgiá kết quả giáo dục theo định hướng phát triển năng lực người học Đất nước tađang trong quá trình hội nhập quốc tế sâu rộng, trong sự phát triển nhanh chóng củakhoa học và công nghệ, khoa học giáo dục và sự cạnh tranh quyết liệt trên nhiều lĩnhvực giữa các quốc gia trên thế giới Xu thế chung của thế giới khi bước vào thế kỉ

XXI là các nước tiến hành đổi mới mạnh mẽ và cải cách giáo dục [ 3 ].

Mục tiêu của giáo dục ngày nay là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ để phục vụ đấtnước Do vậy các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với các bài tập vận dụng

và có tính tư duy Chính vì lẽ đó mà các nhà giáo dục đã không ngừng chỉnh sửa cải

cách nội dung giảng dạy cho phù hợp với yêu cầu của xã hội [ 3]

Trong hình học lớp 10, chương I - Vectơ là chương đầu tiên và cũng là phần kiến thứcmới đối với các em học sinh, đặc biệt là những kiến thức này các em thường cho làkhó và lạ với các em khi bước vào Trung học phổ thông Ở lớp 10, vectơ được ápdụng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn Nó cũng

là cơ sở để trình bày phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Ngoài ra, các kiến thức vềvectơ còn được áp dụng trong Vật lý như vấn đề tổng hợp lực, phân tích một lực theohai lực thành phần…và nó còn giúp các em sử dụng để giải quyết những bài toán hìnhhọc không gian liên quan đến véc tơ ở lớp 11 và 12, đặc biệt là các bài toán trong các

kỳ thi học sinh giỏi [4]

Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương là bài toán ngược của bàitoán tính tổng của hai vectơ, việc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùngphương còn giúp học sinh giải các bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng, các bàitoán áp dụng trong vật lý… Nó cũng là một dạng bài tập mới lạ đối với các em lớp

10, tạo nhiều hứng thú đối với các em yêu thích môn Hình học Từ thực tế những nămhọc đã qua, có nhiều em còn lúng túng và rất ngại học khi gặp các bài tập về dạngnày

Với tư tưởng dạy học sinh không chỉ dạy kiến thức cho các em mà cần dạy cảphương pháp suy luận, khả năng vận dụng, khả năng kết nối các môn khoa học, đặcbiệt hướng tư duy khái quát Xuất phát từ những lí do chủ quan của bản thân và tínhtất yếu về yêu cầu thực tiễn của đổi mới giáo dục Chính vì lẽ đó mà tôi chọn đề tài:

"Nâng cao năng lực tư duy Toán học qua việc hướng dẫn học sinh lớp 10 trường

THPT Lê Lợi giải một số bài toán áp dụng phương pháp phân tích véc tơ "

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Trong quá trình công tác và giảng dạy môn Toán ở trường THPT Lê Lợi tôi thấy.Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, đã có không ít học sinh thi đạt kết quả cao đạtđiểm 8 thậm chí đạt điểm 9 đến điểm 10, nhưng khi vào học thì kết quả học tập chỉđạt trung bình, thậm chí điểm yếu hoặc không thể học tiếp Lí do vì sao? Có một số

em không chú ý học nhưng nguyên nhân chủ yếu là các em chưa có phương pháp họctập đúng, khả năng suy luận, khái quát còn yếu, chưa quen với chương trình Toán ởcấp THPT Do đó vấn đề đặt ra cho người thầy là:

+ Ngoài sự yêu nghề, lòng đam mê bộ môn toán học người thầy phải có phươngpháp tạo ra tình huống có vấn đề cho học sinh từ đó gợi mở sự sáng tạo, phát triển tưduy của các em

+ Người thầy không chỉ thường xuyên rèn luyện phẩm chất đạo đức, học tập đểnâng cao trình độ mà còn phải đổi mới về phương pháp, cách truyền đạt cho học sinh

để giúp các em tiếp thu kiến thức mới một cách nhẹ nhàng

+ Cần giúp các em giải quyết các bài tập để nâng cao năng lực tư duy Toán học

từ đó các em học Toán dể dàng hơn

Vì vậy tôi chọn đề tài này nhằm mục đích hướng dẫn các em học sinh có thể tiếp cậnvới môn hình học, đặc biệt là hình học véc tơ ở lớp 10 để các em học sinh có hứngthú, say mê học tập môn toán và đáp ứng một phần câu hỏi khó trong kỳ thi THPTQuốc gia sắp tới

1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong nhà trường phổ thông khi dạy bộ môn Toán thì sự

hứng thú và đam mê học để có kết quả cao là một nhiệm vụ quan trọng đối với họcsinh và các thầy cô giáo cũng như tập thể nhà trường Nhiệm vụ quan trọng này đượccác em học sinh quyết tâm nổ lực phấn đấu và rèn luyện để đạt kết quả tốt nhất Kếtquả này phụ thuộc rất lớn vào sự nổ lực phấn đấu của các em học sinh và quá trìnhgiảng dạy của các thầy cô giáo, đặc biệt là các thầy cô dạy lớp 10, lớp đầu tiên của

cấp học Trung học phổ thông Chính vì vậy đề tài này của tôi tập trung nghiên cứu dành chủ yếu cho các em học sinh lớp 10 trường THPT Lê lợi khi mà các

em còn bở ngỡ, chưa quen với tư duy cách học của cấp Trung học phổ thông 1.4 Phương pháp nghiên cứu.

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết

Nghiên cứu các tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài như: Sách, báo, các phươngtiện truyền thông

1.4.2 Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

Phương pháp thống kê sử lí số liệu

Phương pháp thực nghiệm sư phạm

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Trong các tiết học thông qua các vấn đề hoặc các bài tập trong sách giáo khoa,người thầy phải cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy

luận, khả năng tư duy Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt để học sinh có đượcnhững kiến thức nâng cao một cách tự nhiên Hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộngbài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ giúp học sinh có khả năng tổng hợp,khái quát hoá các vấn đề giúp nâng cao năng lực tư duy Toán học cho học sinh.

Để cụ thể hoá điều trên, tôi đã trình bày trong đề tài này: Từ các bài tập đơn giản,với cách giải là áp dụng phương pháp có sẵn, nhưng ta thấy:

Có nhiều cách trình bày giải khác nhau

Từ một bài toán cụ thể ta có thể mở rộng ra những bài toán tổng quát, nâng cao Kết quả của bài toán này có thể sử dụng để làm bài toán khác

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2.2.1.Thuận lợi:

Các em được học “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” sau khi đãhọc các phép cộng, phép trừ hai vectơ, phép nhân một vectơ với một số và các tínhchất của các phép toán đó Các em so sánh được các phép toán trên vectơ và các phéptoán trên các tập hợp số đã học

Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương có áp dụng trong một số bàitoán có nội dung vật lý liên quan đến thực tế

Sách giáo khoa, tài liệu tham khảo phục vụ cho việc học tập của các em đầy đủ

Đa số các em học sinh ở trường tôi chăm chỉ học tập, nắm vững những kiến thức cơbản ở các lớp dưới và các kiến thức liên quan, chủ động, tích cực trong học tập

2.2.2 Khó khăn:

“Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” là một mục nhỏ trong bài

“Tích của vectơ với một số” thời gian học khoảng 10 đến 15 phút Bài tập dạng này

và áp dụng của nó là bài mới và khó đối với các em mới được học về vectơ, không cóthời gian luyện tập, nhiều em còn lúng túng trong việc tìm cách giải và cách trình bàybài giải

Các bài tập trong sách giáo khoa còn ít, chưa phát huy được tác dụng rèn luyện kỹ

năng giải bài tập cho học sinh

2.3 Các kiến thức trọng tâm và bài tập áp dụng.

2.3.1 Một số kiến thức liên quan:

*Quy tắc ba điểm: với 3 điểm M, N, P tùy ý ta có:

uuurMP  uuuuMNruuuNPr

Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:

OB OA ABuuur uuur uuur  (hoặc OA OB BAuuur uuur uuur  ) hay uuur uuur uuurAB OB OA 

*Quy tắc hình bình hành:

Cho hình bình hành ABCD thì uuur uuurABAD uuurAC

*Tính chất của trung điểm của đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB � MA MBuuur uuur r  0

A

D

M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm I ta có:

G là trọng tâm tam giác ABC � GA GB GCuuur uuur uuur r  0

Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có:

*Điều kiện hai vectơ cùng phương:

Hai véc tơ a b br r r r,  � 0 cùng phương � k a k b:r  r, (k� �) Khi k>0 thì ta có

 

, 0

a b br r r r� cùng hướng.

*Điều kiện ba điểm thẳng hàng:

Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng � k sao cho uuurAB k AC uuur, (k� �, k� 0, k 1 �)

*Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

Cho hai vectơ ar và br không cùng phương Khi đó mọi vectơ rc đều phân tích đượcmột cách duy nhất theo hai vectơ ar và br, nghĩa là có duy nhất cặp số thực m, n saocho c ma nbr r r

Có hai hướng giải:

Hướng1: Từ giả thiết của bài toán xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khaitriển vectơ cần biểu diễn bằng phương pháp “chèn” điểm theo quy tắc ba điểm

Hướng 2: Giả sử đã có một cặp số m, n Dùng các tính chất đã biết và giả thiết của bàitoán biến đổi về hai vectơ không cùng phương cho trước rồi dùng điều kiện cùngphương để suy ra m, n

2.3.

2 Các bài tập vận dụng :

2.3.2.1 Hướng dẫn học sinh phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương qua bài tập sau.

Bài tập 1: Cho  ABC có trọng tâm G Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểmcủa các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF

Đặt ur uuur r uuur AE v;  AF Hãy phân tích các vectơ uur uuur uuur uuurAI AG DE DC, , ,

theo hai vectơ r r ,

u v

Giáo viên: Với bài này học sinh dể dàng sử dụng tính chất trung điểm, quy tắc 3 điểm,tính chất trọng tâm mà không phải tư duy nhiều Giáo viên có thể gọi học sinh lên bảng để giải

uuur uuur uuur uuur r r

Bài tập 2 Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích s

vectơ sau theo hai vectơ ar uuur r uuuurAK b BM, 

Giáo viên: Theo quy tắc ba điểm và giả thiết của bài, vectơ uuurAB có thể phân tích thành

tổng của hai vectơ không cùng phương nào?

Trả lời : uuur uuur uuurAB AK KB

uuur uuuur uuurAB AM MB

uuur uuur uuurAB AC CB

………

Giáo viên : Gọi một em lên bảng làm bài

Khi học sinh hoàn thành bài giải trên bảng, giáo viên sửa lời giải:

Lời giải chi tiết:

Cách 1 : Theo quy tắc ba điểm ta có:

 a br r Giáo viên: Theo em còn cách nào phân tích vectơ uuurAB theo hai vectơ uuur uuuurAK BM,

nữa

không? Áp dụng hiệu của hai vectơ ta có cách giải như thế nào?

Cách 2: Ta có: uuur uuur uuurAB CB CA   2BKuuur2uuuurAM

� uuurAB  2(uuur uuurAK AB ) 2(  BM BAuuuur uuur ) � 3uuurAB 2uuurAK 2BMuuuur

 a br r

Để rèn luyện tư duy của học sinh, giáo viên cho nhận xét về vị trí của điểm M và K?

Từ đó suy ra cách giải 3

Cách 3: Vì M, K lần lượt là các trung điểm của các cạnh AC và BC, ta có:

2uuur uuur uuur uuurAK  AB AC AB 2uuuur uuurAM  AB 2(uuur uuuurAB BM ) � 3uuurAB 2uuurAK 2BMuuuur

 a br r Giáo viên : Nếu tinh ý hơn, vẫn theo qui tắc ba điểm nhưng nếu sử dụng tính chấttrọng tâm của tam giác ta có cách giải khác như thế nào?

Cách 4: Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC

AB AG GB  AK  BM

uuur uuur uuur uuur uuuur 2

( ) 3

 a br r Nếu trình bày bài giải theo hướng thứ hai thì ta làm như thế nào ?

Cách 5: Giả sử đã có cặp số m, n sao cho: uuurAB mAK nBM uuur uuuur (1)

Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC

AG  AK BG BM

uuur uuur uuur uuuur

Theo qui tắc ba điểm: uuur uuur uuurAB AG GB

1 0

3 2

1 0

m m

 a br uur

Sau khi hướng dẫn học sinh các cách giải và trình bày ý thứ nhất, giáo viên cho các

em nhận xét và trình bày bài giải vào vở bằng cách ngắn gọn nhất Qua đó giáo viêncũng lưu ý các em là cách phân tích véc tơ có nhiều hướng để làm Tuy nhiên các emnên tư duy để đưa ra cách ngắn nhất để tiết kiệm thời gian trong các lần thi trắcnghiệm và đặc biệt là phát triển tư duy cho các em như cách giải 3

b, Làm tương tự với việc phân tích vectơ uuurBC theo hai vectơ ar uuur r uuuur AK b BM, 

Giáo viên : Gọi học sinh trình bày cách giải và nên cho học sinh tư duy theo hướngngắn và khoa học nhất Kết quả: uuurBC 2 4

3 3

 ar br

Để học sinh luyện khả năng khái quát giáo viên có thể hỏi: Có một công thức nào để

áp dụng phân tích nhanh một vectơ theo hai vectơ không cùng phương cho trướckhông? Cho học sinh làm bài toán sau:

Bài toán 3: Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho

Giáo viên :Lưu ý học sinh đưa ra nhận xét k = – 1

2

AM  AB AC

uuuur uuur uuur

Đúng với tính chất trung điểm của đoạnthẳng

Ta có thể thay đổi giả thiết của bài toán để được bài toán mới:

Bài toán 4: Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho

nBMuuuurmMCuuuur Phân tích vectơ uuuurAM theo hai vectơ uuurAB, uuurAC

Giáo viên: Gọi học sinh nhận xét giả thiết của bài toán 3 so với bài toán 2 để áp dụng được công thức của bài toán 3 ta làm thế nào?

Bài giải: Ta có: nBMuuuurmMCuuuur �n AMuuuur uuurAB m AC AMuuur uuuur 

m n

- Nếu MB k MC kuuur uuuur � 1 thì với điểm A bất kì ta có:

1

AB k AC AM

Áp dụng 1: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao

cho uuurMB5uuuurMC Hãy phân tích vectơ uuuurAM

theo hai vectơ uuurAB

Giáo viên: Lưu ý hai kết quả trên rất phù hợp với các bài tập trắc nghiệm.

Chú ý: Với một số bài khi phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương cho

trước, ta có thể phải qua một số bước trung gian

2.3.2.2 Từ các bài toán trên, ta có thể hướng dẫn học sinh giải một số bài tập áp dụng phương pháp phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Nếu cho tam giác ABC và có một điểm M thoả đẳng thức vectơ uuuurAM mAB n ACuuur uuur

thì điểm M có chắc thuộc đường thẳng BC hay không và cần thêm điều kiện gì ? Khinào điểm M thuộc đoạn thẳng BC

Để giải quyết vấn đề đó ta xét ba bài toán sau:

Bài toán 5: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng BC khi

và chỉ khi tồn tại các số m n, sao cho uuuurAM mAB n ACuuur uuur với m n  1

Bài giải: M thuộc đường thẳng BC khi và chỉ khi B, C, M thẳng hàng (điều kiện 3

điểm thẳng hàng) � k AM:uuuur 1 k AB k ACuuur uuur

m n (đặt m  1 k n k,  ) ( Điều phải chứng minh)

các số m n, xác định như trên là duy nhất (đã được chứng minh trong phần phân tíchmột vectơ theo hai vectơ không cùng phương của bài học)

Để nâng cao năng lực tư duy cho học sinh giáo viên có thể đưa ra bài toán mở rộngsau:

Bài toán 6: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng điểm M thuộc đoạn thẳng BC khi

và chỉ khi tồn tại các số m n, sao cho �  1 ; , (0;1)

Bài giải: M thuộc đoạn thẳng BC khi và chỉ khi B, C, M thẳng hàng và M nằm giữa

hai điểm B, C Khi đó hai véc tơ BM, BC uuuur uuur

Bài toán 7: Cho đoạn thẳng BC Chứng minh rằng điểm M thuộc đoạn thẳng BC khi

và chỉ khi tồn tại các số m n, sao cho 1 ;( , (0;1))

Giáo viên: Với bài này thì giáo viên gợi ý cho học sinh vẽ hình Từ hình vẽ có có thểđưa ra điều kiện điểm M thuộc đoạn thẳng BC khi B, C, M thẳng hàng và M nằmgiữa hai điểm B, C Khi đó hai véc tơ BM, BC uuuur uuur

cùng hướng Từ đó đưa ra hướng giải

Lời giải: M thuộc đoạn thẳng BC khi và chỉ khi B, C, M thẳng hàng và M nằm giữa

hai điểm B, C Khi đó hai véc tơ BM, BC uuuur uuur

Để rèn luyện kỹ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương , cho

học sinh làm thêm các bài tập.

Bài tập 8 : Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB

AM  AB CN  CD.a) Phân tích vectơ uuurAN

theo hai vectơ uuur r uuur rAB a AC b , 

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN Hãy phân tích uuurAG theo hai vectơ a br r ,

.Giáo viên : Gọi học sinh vẽ hình, phân tích đề bài để tìm ra cách giải hợp lí nhất

Lưu ý: Nếu giả thiết bài toán cho có trung điểm thì nên kiểm tra cách dùng tính chất trung điểm của đoạn thẳng trước, sử dụng giả thiết sao cho linh hoạt

Bài giải:

B M

C

A

G

a) vì N là trung điểm của đoạn CD, nên với điểm A bất kỳ, ta có: 2ANuuur uuur uuur AC AD ; ABCD là hình bình hành nên: uuur uuur uuurAB AD  AC�uuur uuur uuurAD AC AB

Vậy 2uuur uuur uuur uuurAN  AC AC AB   2uuur uuurAC AB Do đó: 1 1

AN  AC AB  a b uuur uuur uuur r r

b) Vì G là trọng tâm của tam giác MNB, với điểm A bất kỳ, ta có:

uuur uuur uuur r r

*Bài toán 8 ta có thể tổng quát, mở rộng, phát triển bài toán trên như sau:

Bài tập 9 : Với giả thiết bài toán 8, giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi sau:

c) Gọi I, J lần lượt là các điểm xác định bởi uurBI  pBC AJuuur uuur, q AIuur Hãy phân tích các vectơ uur uuurAI AJ,

theo hai vectơ a br r ,

Để AI đi qua G thì 3 điểm A, I, G thẳng hàng Khi đó uur uuurAI AG,

Bài tập 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM và K là

điểm trên AC sao AK=1

3AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng

Lời giải: Với bài toán này giáo viên có thể cho học sinh

tư duy và đưa ra hướng giải Giáo viên có thể gợi ý

hướng giải cho học sinh

uuuur uuur uuur uuur

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

a.Hãy phân tích các vectơ MN MGuuuur uuuur ,

theo hai vectơ uuur uuurAB AC,

.b.Chứng minh MN đi qua trọng tâm G

Giáo viên: Gọi học sinh vẽ hình, trình bày bài giải trên bảng câu a

Từ đó suy ra cách giải câu b

b) Theo kết quả câu a Từ (1) và (2) ta có: 5 2 10

Bài tập 12: Cho tam giác ABC, E là trung điểm của cạnh BC Gọi D, F lần lượt là các