Một số kĩ thuật hướng dẫn học sinh lớp 12 giải các bài toán tính tích phân vận dụng cao trong đề thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KĨ THUẬT HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KĨ THUẬT HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

Người thực hiện: Lê Thị Ngọc Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: THPT Hoằng Hóa 4 SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KĨ THUẬT HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG

ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

Người thực hiện: Lê Thị Ngọc Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: THPT Hoằng Hóa 4 SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề Dạng 1: Kĩ thuật đổi biến số 3

Dạng 2: Kĩ thuật tích phân từng phần, kĩ thuật đổi biến số kết hợp với kĩ thuật tích phân từng phần 6

Dạng 3: Kĩ thuật biến đổi đưa về tích phân của các hàm thường gặp và đạo hàm đúng 8

Dạng 4: Kĩ thuật phương trình hàm 10

Dạng 5: Kĩ thuật đưa về bình phương 12

Dạng 6: Kĩ thuật đánh giá dựa vào Cauchy 15

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 16

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 17

3.2 Kiến nghiệm 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO 18

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu các đề thi, đề minh họa môn toán trong

kì thi THPT Quốc gia từ năm 2017 đến nay Tôi nhận thấy đề thi luôn có sựphân hóa rõ ràng từ mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, cao Đặc biệtnăm 2018 đề thi khó hơn, mức độ kiến thức dàn trải từ chương trình lớp 11 đếnlớp 12 điều đó đòi hỏi học sinh phải có tư duy chứ không chỉ là bấm máy tínhthông thường Với lượng thời gian theo phân phối chương trình và các bài giảngtrong sách giáo khoa hiện hành thì đa phần các em chỉ làm được các bài tập ởmức độ nhận biết, thông hiểu và một lượng ít các bài tập vận dụng thấp Các bàitoán vận dụng cao dường như giáo viên chưa có thời gian giảng dạy cho họcsinh, nếu có cũng chỉ là cung cấp các bài tập và hướng dẫn về làm Bởi vậy họcsinh chưa hình thành được kĩ năng giải các bài tập ở dạng này

Ở chương 3, sách giáo khoa Giải tích 12, Giải tích 12 nâng cao hiện hành đãcung cấp một số phương pháp tính tích phân: tích phân của các hàm thường gặp,đổi biến số, tích phân từng phần Tuy nhiên nội dung chương trình chỉ mới đápứng được các kiến thức để làm các phần trong đề thi như nhận biết, thông hiểu.Các bài tập tính tích phân ở dạng vận dụng cao đa phần các em không làm được,một số học sinh khá giỏi có tư duy nhưng vẫn còn khá lúng túng khi làm bài tập

ở dạng này Một phần do phân phối chương trình cho phần phương pháp tínhtích phân còn ít, tài liệu trên mạng tuy nhiều nhưng chưa có hệ thống và còn lanman Vì vậy để giúp học sinh ở lớp mình trực tiếp giảng dạy và học sinh trongtrường có thể làm tốt các bài tập tích phân vận dụng cao, trong khuôn khổ củasáng kiến kinh nghiệm tôi đã tổng hợp, khai thác và hệ thống hóa lại các kiếnthức thành một chuyên đề:

“Một số kĩ thuật hướng dẫn học sinh lớp 12 giải các bài toán tính tích

phân vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Nội dung sáng kiến nhằm mục đích hướng tới giải quyết các vấn đề sau:

- Cung cấp cho học sinh một số kĩ thuật để tính tích phân ở dạng vận dụng cao

- Giúp học sinh nhận ra các dấu hiệu để tính toán

- Rèn luyện kỹ năng làm toán thông qua hệ thống bài toán viết dưới dạng trắcnghiệm có hướng dẫn ở lớp và bài tập tự rèn luyện ở nhà

- Việc giải các bài toán vận dụng cao giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tư duylôgic của toán học, yêu thích môn học, sáng tạo trong công việc

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Các kĩ thuật giải các bài toán tính tích phân vận dụng cao

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Để thực hiện được chuyên đề này trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụngcác phương pháp sau:

- Phương pháp quan sát ( quan sát hoạt động dạy và học của học sinh)

- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế (khảo sát thực tế học sinh)

- Phương pháp thực nghiệm, so sánh, đúc rút kinh nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt

động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo

nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Hoạt động học giúp học sinh củng cố những

kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán không thể thiếu trong đời sống củacon người Mục đích của dạy học toán là mang lại cho học sinh những kiến thứcphổ thông, những kĩ năng cơ bản của người lao động, qua đó rèn luyện duylogic, phát triển được năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế giới quan nhânsinh quan đúng đắn cho các em Tuy nhiên môn Toán lại là một môn khoa học

tự nhiên khó với kiến thức rộng, đa phần các em rất ngại học môn này

Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa họccủa bộ môn một cách có hệ thống, biết vận dụng lí thuyết linh hoạt vào từngdạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, không những thế họcsinh phải có tư duy logic và cách biến đổi Vì vậy giáo viên cần định hướng chohọc sinh nghiên cứu môn toán một cách có hệ thống trong chương trình phổthông, vận dụng lí thuyết vào làm bài tập, phân dạng bài tập rồi tổng hợp cáccách giải

Căn cứ vào nhiệm vụ, mục đích dạy và học của môn toán, tôi đã mạnhdạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT nóichung, học sinh lớp 12 bổ sung, hoàn thiện thêm một số kĩ thuật tính tích phân

Trong sách giáo khoa Giải tích 12 chỉ nêu hai phương pháp tính tích phân:

Phương pháp đổi biến số:

Định lí 1:[2] Cho hàm số u u x ( )liên tục trên K, hàm số yf u( ) liên tục và saocho hàm hợp f u x[ ( )] xác định trênK; a b, là hai số thực thuộc K Khi đó:

( )

( ) [ u( )]u'( ) (u)

u b b

dv uv  du

Trên thực tế khi gặp các bài toán tính tích phân phần đa chúng ta không thể

áp dụng ngay hai phương pháp trên để làm mà phải có kĩ năng tư duy, biến đổi.Đặc biệt thi trắc nghiệm lượng kiến thức dàn trải, đề thi đa dạng các phần bài tậpkhông giống như bài tập tự luận trước đây Vì vậy trong sáng kiến kinh nghiệmnày ngoài việc khai thác sâu hơn dạng bài tập sử dụng phương pháp đổi biến số,tích phân từng phần Trong giới hạn của sáng kiến kinh nghiệm tôi hướng dẫnthêm học sinh các kĩ thuật tính tích phân: biến đổi để đưa về tích phân của cáchàm thường gặp, đạo hàm đúng; kĩ thuật phương trình hàm, kĩ thuật đưa về bìnhphương, kĩ thuật đánh giá dựa vào Cauchy

2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Học sinh trường THPT Hoằng Hóa 4 đa phần là con em nông thôn, điều

kiện kinh tế còn nhiều khó khăn nhưng các em có truyền thống hiếu học Tuyvậy với hình thức thi mới khai thác rộng, kiến thức dạy và học trên lớp học sinhchưa có nhiều thời gian để làm các bài tập vận dụng cao và rèn luyện kĩ nănggiải toán Đặc biệt môn toán được các em nhìn nhận chung là một môn tự nhiênkhó và tích phân cũng là một trong nội dung khó của chương trình giải tích 12 Đổi mới theo hình thức thi trắc nghiệm, từ năm 2017 khi dạy và ôn thi chohọc sinh lớp 12 tôi đã khai thác thêm các dạng bài toán tính tích phân vận dụngcao để học sinh khá, giỏi trong lớp tiếp cận và vận dụng làm Tuy nhiên thờigian không nhiều, tài liệu khai thác cho việc dạy học phần này còn hạn chế trongcách tiếp cận và trình bày Vì việc rèn luyện không thường xuyên và chưa có hệthống nên trong quá trình học, trong các bài kiểm tra định kì và làm đề, học sinhthường bỏ qua không làm bài tập ở dạng toán này Một số ít học sinh khá giỏi có

tư duy nhưng vẫn còn lúng túng chưa định hình ra cách giải ở mỗi bài

Từ thực trạng nói trên, trong năm học 2018-2019 khi được phân công dạy

và ôn thi cho lớp 12A7 nhận thấy trong lớp có nhiều học sinh khá nên tôi đã ápdụng một số giải pháp khắc phục phần học này có hiệu quả hơn

2.3 CÁC GIẢI PHÁP SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Qua nghiên cứu đề thi, đề minh họa, tham khảo các kiến thức trong sách,

trên mạng, trên các diễn đàn Toán học tôi đã đưa ra giải pháp giải quyết vấn đềnhư sau:

- Trang bị các kiến thức về tích phân và các phương pháp tính đã học trong sáchgiáo khoa một cách đầy đủ

- Phân dạng các kĩ thuật tính toán với các dấu hiệu nhận biết đặc trưng

- Mỗi dạng đều có ví dụ minh họa, hướng dẫn giải Sau mỗi dạng đều có bài tậptương tự và đáp số để học sinh kiểm tra

- Các ví dụ và bài tập đều trình bày dưới dạng trắc nghiệm để các em rèn luyệntrong kì thi

- Hướng dẫn các em kết hợp làm tự luận và trắc nghiệm, sử dụng máy tính cầmtay có hiệu quả

Lưu ý: Vì bài toán có đáp án ở dạng trắc nghiệm nên tác giả để trích dẫn

nguồn tài liệu tham khảo ở phần đầu mỗi câu.

Dạng 1: Kĩ thuật đổi biến số.

Dấu hiệu nhận biết:

Trong giả thiết hoặc yêu cầu của bài toán thường xuất hiện dạng hàm f g x( ( )),

1 2

f x dx 

2019 1

2 2

3 2

I f x dx

A I  41 B I 41 C I 41 D I 21.

Đáp số: Câu 6: A, câu 7: B, câu 8: C, câu 9: D

Dạng 2: Kĩ thuật tích phân từng phần và kĩ thuật đổi biến số kết hợp với kĩ thuật tích phân từng phần.

Dấu hiệu nhận biết:

Giả thiết bài toán hoặc tích phân cần tính thường xuất hiện hàm g x f x( ) '( ) dướidấu tích phân

I f x xdx



A I 13 B I 7 C I 7 D I 13

f  f x dx Tính

1

0 '(3 )d

(3 6 ) '( )

ln | ( ) | ( )

Câu 6: [3] Cho yf x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1], (0)f  f(1) 0  Biết

f  f x dx Tính

1

0 '(4 )d

Đáp số: Câu 6: B, câu 7: C, câu 8: A, câu 9: D.

Dạng 3: Kĩ thuật biến đổi đưa về tích phân của các hàm thường gặp và đạo hàm đúng.

Dấu hiệu nhận biết:

Từ Giả thiết của bài toán ta phát hiện mối liên hệ giữa các hàm:có thể đưa

vào dấu vi phân hay đổi biến để được nguyên hàm của các hàm thường gặp.Hoặc từ giả thiết bài toán xuất hiện đạo hàm của một tổng hiệu, tích, thương

Câu 2: [3] Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x'( )liên tục và nhận giá trị không

âm trên [1;  ), (1) 0,f  e2 ( )f x.[ '( )]f x 2  4x2  4x 1 với x  [1; ) Mệnh đề nào sau đây đúng:

A   1 f'(4) 0  B 0  f'(4) 1  C 1  f'(4) 2  D 2  f'(4) 3 

Hướng dẫn: e2 ( )f x.[ '( )]f x 2  4x2  4x  1 e f x( )f x'( ) 2  x  1 e f x( )f x dx'( ) (2x 1)dx

f g C I f x g x dx dx

x

hay I 8ln 2.( Bấm máy tính cầm tay) Chọn D.

Câu 5: [3] Cho hàm f x( ) có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn 3 ( )f x xf x'( ) x2018 với mọi x [0;1] Tính

1

0 ( )

2021

x

C  f x  Vậy

1 1 2018

1 ( )

f x dx

f x f x  x f x  với mọi x [0;3], (0) 0f  Tính f(3)

A 0 B 1 C 3 D 3 11

2 ( 1) '( ) ( )

x x f x f x x x với mọi x R\ 0; 1 , (1)   f  2ln 2 Biết f(2) a bln 3   với

Dấu hiệu nhận biết:

Giả thiêt của bài toán thường xuất hiện biểu thức liên hệ giữa hàm f x( )và

(a )

f x b (hoặc f( c )

ax b , )

Phương pháp:

Thay x bởi ax b (hoặc c

ax b , ) ta có hệ phương trình hàm mới, từ đó tìm được

Hướng dẫn: Từ giả thiết thay x bằng x ta được 2

Dạng 5: Kĩ thuật đưa về bình phương

Dấu hiệu nhận biết:

Giả thiết của bài toán xuất hiện hoàn toàn hoặc không hoàn toàn hằng đẳng thức

 Sau đó căn cứ vào yêu cầu của

đề bài và suy ra kết quả cần tính

Chú ý: Một số bài toán phải sử dụng liên kết bình phương mới suy ra kết quả

Câu 3: [3] Cho hàm số yf x( ) liên tục, có đạo hàm trên [0;1], thỏa mãn

1 3 0 [ ( )]

2 '( )

4 [ '( )]

13 2 '( )

1 3 0 [ ( )]

Đáp số: Câu 5: A, câu 6: B, Câu 7: D, câu 8: B, Câu 9: C

Dạng 6: Kĩ thuật đánh giá dựa vào bất đẳng thức Cauchy.

Dấu hiệu nhận biết:

Giả thiết của bài toán thường xuất hiện bất đẳng thức có chứa tích phân, cáchàm dưới dấu tích phân không âm

Phương pháp:

Biến đổi, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các biểu thức dưới dấu tích phân

Từ điều kiện xảy ra dấu bằng suy ra mối liên hệ

Ví dụ minh họa:

Câu 1: [3] Cho hàm số yf x( )nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên

[0;1], thỏa mãn f(1) e (0)  f và

2 2

1

[ '( )] 2 ( )dx f x dx

1

[ '( )] 2 ( )dx f x dx

2

1 '( ) ( ) '( ) 1

( )

( ) ( ) '( )

xf x dx

Pf x dx.

A 2( e 1) B 2(e 1) 2  C e D 1

Câu 4: [3] Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn

f x dx

xf x 

 Tính f( 2)

A 1 B 5 C 4 D e

Đáp số: Câu 3: A, câu 4: B, câu 5: C.

2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG

Tôi đã áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy trong năm học

2018 – 2019 tại lớp 12 A7 trường THPT Hoằng Hóa 4 Qua đó, so với năm học

2017 – 2018 khi giảng dạy tại lớp 12 A8 nhưng chưa áp dụng Sáng kiến kinhnghiệm này, tôi nhận thấy học sinh lớp 12 A7 có những hiệu quả tích cực khôngnhỏ, đó là:

- Khi gặp các bài toán tính tích phân vận dụng cao các em không bỏ qua nhưnăm học trước Ngược lại, các em rất thích thú làm và làm có hiệu quả trong cácbài kiểm tra định kì, các đề thi, đề minh họa Nhiều học sinh còn chủ động traođổi bài với giáo viên đưa ra thêm cách giải khác, chủ động xin thêm bài tập vềlàm Tư duy logic toán của nhiều em tiến bộ đáng kể

- Việc phân loại các dạng toán đã giúp học sinh nắm vững và biết cách sửdụng các kiến thức để giải các dạng bài toán tương ứng Các em đã thấy yêuthích loại toán này, giải bài tập nhanh nhẹn, chủ động, giờ học trở nên sôi nổi,thú vị hơn Việc tư duy được loại toán này giúp các em hình thành được những

kĩ năng tư duy cho các dạng toán khó khác

- Các em biết sử dụng thành thạo CASIO vào những phần tính toán liên quan.Đối với bản thân, khi sử dụng Sáng kiến kinh nghiệm này tôi thấy hiệuquả tiết dạy tốt hơn, tạo sự tự tin và hứng thú khi giảng bài Giúp tôi truyền đạtmột cách cô đọng nhưng đầy đủ, chính xác và trọn vẹn nội dung cần giảng dạytrong khoảng thời gian ngắn

Ngoài ra, Sáng kiến kinh nghiệm này đã được tổ chuyên đánh giá tốt, thiếtthực và được đồng ý triển khai vận dụng cho những năm học tới trong toàntrường nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán trong Nhà trường nóiriêng và địa phương nói chung

Đồng thời, Sáng kiến kinh nghiệm này còn là một tài liệu tham khảo hữuích cho giáo viên và học sinh 12 trong quá trình ôn thi, đặc biệt là ôn thi THPTQuốc gia năm nay và các năm tiếp theo

Như vậy, Sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại hiệu quả tích cực vàthiết thực cho người học và người dạy Đáp ứng đúng con đường đổi mớiphương pháp dạy và học, nâng cao hiệu quả giáo dục trong giai đoạn hiện nay

- Nội dung giảng dạy của giáo viên cần được viết dưới dạng Sáng kiếnkinh nghiệm hoặc tập hợp thành tài liệu và cung cấp cho học sinh Qua đó, pháthuy được khả năng tự học của học sinh.

- Những nội dung truyền tải cho học sinh, giáo viên cần phải nghiên cứu

kỹ lưỡng, tìm ra phương pháp giảng dạy hợp lý, đảm bảo xúc tích, ngắn gọnnhưng đầy đủ, chính xác

Những cách làm trên sẽ giúp tiết dạy đạt hiệu quả cao, người dạy và ngườihọc đều hứng thú, tiết kiệm thời gian và phát huy tính chủ động, sáng tạo, khảnăng tự học của học sinh Đó chính là những điều tôi rút ra từ Sáng kiến kinhnghiệm này

Sáng kiến kinh nghiệm này là một tài liệu để các em lớp 12 ôn thi THPTQuốc gia năm học 2018-2019 và cho những năm học tiếp theo trong trường THPT Hoằng Hóa 4 nói riêng và các trường THPT nói chung

3.2 KIẾN NGHỊ

1 Đối với tổ chuyên môn và đồng nghiệp: Đề nghị Tổ chuyên môn Toán

triển khai ứng dụng Sáng kiến kinh nghiệm này trong giảng dạy tại Nhà trườngtrong các năm học tới

2 Đối với Sở GD&ĐT: Đề nghị Sở GD&ĐT đóng góp ý kiến và tạo điềukiện để tôi tiếp tục phát triển Sáng kiến kinh nghiệm này cũng như tìm tòi nhữngSáng kiến mới

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giải tích 12 ,Vũ Tuấn và cộng sự, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam,2007

2 Giải tích 12 Nâng cao, Nguyễn Huy Đoan và cộng sự, Nhà xuất bản giáodục Việt nam, 2007

3 Tham khảo tài liệu trên mạng internet: www.luyenthithukhoa.vn; Diễnđàn Giáo viên Toán, Nhóm Toán VD-VDC