Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian oxyz 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ *PHÒNG GD&ĐT ....TRƯỜNG THPT....** *Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock; ** Font Times New Roman, cỡ 16, CapsLock, đậm SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Font Times

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ *

PHÒNG GD&ĐT (TRƯỜNG THPT )**

(*Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock;

** Font Times New Roman, cỡ 16, CapsLock, đậm)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

(Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock)

TÊN ĐỀ TÀI

(Font Times New Roman, cỡ 16-18, CapsLock, đậm)

Người thực hiện: Nguyễn Văn A Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS B SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ

TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ

Người thực hiện: Nguyễn Thị Den Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Hậu Lộc 2 SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

MỤC LỤC

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài………1

1.2 Mục đích nghiên cứu……….1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu………2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm………2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……2

2.3 Các giải pháp……… 2

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……….20

3 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận……… 21

3.2 Kiến nghị………21

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Trong chương trình toán trung học phổ thông, các bài toán tìm cực trị tronghình học không gian Oxyz là các bài toán khó, yêu cầu tư duy cao và cũng là mộtphần kiến thức quan trọng mà học sinh thường xuyên gặp trong các đề thi THPTQuốc Gia và đề thi học sinh giỏi hàng năm Tuy nhiên, các bài tập loại này thườngkhó, đặc biệt là các câu phân loại trong đề thi THPT Quốc gia và đề thi học sinhgiỏi Việc tìm ra cách giải và vận dụng cách giải để giải quyết các bài toán liênquan gặp không ít khó khăn đối với học sinh, nhất là việc xác định dạng và sửdụng phương pháp phù hợp với từng bài toán thì không dễ dàng gì

Vì thế để phân loại các dạng bài toán tìm cực trị và đưa ra phương pháp giảitương ứng với từng dạng toán cụ thể đã được chứng minh có hiệu quả rất caotrong việc dạy học sinh học phần hình học không gian Oxyz nói chung và phầntìm cực trị nói riêng

Chuyên đề này là hệ thống các bài tập có phương pháp giải cụ thể được phânloại theo hệ thống Qua đó học sinh sẽ hiểu rõ và nhận dạng được các bài toán tìmcực trị trong hình học Oxyz, cũng như biết cách vận dụng phương pháp phù hợpcho từng bài toán cụ thể Trong chuyên đề cũng có đề cập đến hai phương pháp chủyếu để giải quyết các bài tập dạng này là phương pháp đại số và phương pháp hìnhhọc Với lí do trên tôi nghiên cứu đề tài “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ”

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Học sinh khối 12 THPT

- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT

- Về nội dung chỉ tìm hiểu phương pháp giả một số bài toán cực trị trong hình họckhông gian Oxyz

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp:

- Nghiên cứu lí luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm

Cách thực hiện:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên trong tổ bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm trong thực tiễngiảng dạy

2 NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lí luận.

Phương pháp tọa độ trong không gian là mảng kiến thức rất quan trọng trongmạch kiến thức nghiên cứu về hình học Cụ thể là cung cấp kiến thức để học sinh

có thể tiếp cận được hình học giải tích; các bài toán liên quan đến cực trị trong hìnhhọc Oxyz Các dạng bài toán này rất quan trọng trong các đề thi tốt nghiệp và tuyểnsinh đại học các năm trước cũng như trong đề thi THPT Quốc gia năm nay và cácnăm tới

Số liệu thống kê trước khi áp dụng SKKN vào dạy

 Xét vị trí tương đối của các điểm A B, so với mặt phẳng ( ).P

 Nếu (ax Aby Acz Ad ax)( Bby B cz Bd) 0  thì hai điểm A B, cùng phía vớimặt phẳng ( ).P

 Nếu (ax Aby Acz A d ax)( B by B cz B d) 0  thì hai điểm A B, nằm khác phíavới mặt phẳng ( ).P

1 MA MB nhỏ nhất

 Trường hợp 1: Hai điểm A B, ở khác phía so với mặt phẳng ( ).P

Vì A B, ở khác phía so với mặt phẳng ( )P nên MA MB nhỏ nhất bằng AB khi vàchỉ khi M  ( )P AB.

 Trường hợp 2: Hai điểm A B, ở cùng phía so với mặt phẳng (P).

Gọi A' đối xứng với A qua mặt phẳng ( ),P khi đó A' và B ở khác phía ( )P và

MA MA nên MA MB MA   MB A B 

Vậy MA MB nhỏ nhất bằng A B khi M A B  ( ).P

2 MA MB lớn nhất

 Trường hợp 1: Hai điểm A B, ở cùng phía so với mặt phẳng ( )P

Vì A B, ở cùng phía so với mặt phẳng ( )P nên MA MB lớn nhất bằng AB khi vàchỉ khi M  ( )P AB.

 Trường hợp 2: Hai điểm A B, ở khác phía so với mặt phẳng ( )P

Gọi A' đối xứng với A qua mặt phẳng ( )P , khi đó A' và B ở cùng phía ( )P và

MA MA nên MA MB MA  MB A B .

Vậy MA MB lớn nhất bằng A B khi M A B  ( ).P

Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng ( )P biết:

1 ( )P đi qua đường thẳng  và khoảng cách từ A   đến ( )P lớn nhất

2 ( )P đi qua  và tạo với mặt phẳng ( )Q một góc nhỏ nhất

3 ( )P đi qua  và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất.

Hay ( )P là mặt phẳng đi qua K , nhận AK làm VTPT

2 Nếu   ( )Q  ( ), ( )P Q   900 nên ta xét  và (Q) không vuông góc với nhau

 Gọi B là một điểm nào đó thuộc , dựng đường thẳng qua B và vuông góc với( )Q Lấy điểm C cố định trên đường thẳng đó Hạ CH  ( ),P CK d. Góc giữa mặtphẳng ( )P và mặt phẳng ( )Q là BCH Ta có sinBCH BH BK .

BC BC

Mà BK BC không đổi, nên BCH nhỏ nhất khi H K.

 Mặt phẳng ( )P cần tìm là mặt phẳng chứa  và vuông góc với mặt phẳng (BCK).Suy ra n P u, u n, Q

AM AM

Mà KM AM không đổi, nên AMH lớn nhất khi H K.

 Mặt phẳng ( )P cần tìm là mặt phẳng chứa  và vuông góc với mặt phẳng ( ',d .Suy ra n P u,u u, d'

1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD khi m 2;

2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên BD Tìm các giá trị của tham số m

để diện tích tam giác OBH đạt giá trị lớn nhất

Ví dụ 3 Lập phương trình mặt phẳng ( )  đi qua điểm M(1; 9; 4) và cắt các trục tọa

độ tại các điểm A B C, , (khác gốc tọa độ) sao cho:

1 M là trực tâm của tam giác ABC;

Nên suy ra T 981 Dấu đẳng thức xảy ra khi

Cách 2: Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng ( ) 

Vì mặt phẳng ( )  luôn đi qua điểm cố định M nên d O( , ( ))  OH OM  98.

Dấu đẳng thức xảy ra khi H M , khi đó ( )  là mặt phẳng đi qua M và có véctơpháp tuyến là OM(1;9;4) 

nên phương trình ( )  là1.(x 1) 9(  y 9) 4.(  z 4) 0   x 9y 4z 98 0 

3 Vì OA OB OC  nên a b c, do đó xảy ra bốn trường hợp sau:

 Trường hợp 3: ab c Từ (1) suy ra 1 9 4 1 a 4,

a a a     nên phương trình( )  là x y z  4 0.

Ví dụ 4 Cho mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y 1)2 (z 1)2  25 và mặt phẳng ( )  cóphương trình 2x 2y z  7 0 

1 Chứng minh rằng mặt phẳng ( )  cắt mặt cầu ( )S theo một đường tròn Xác địnhtâm và tìm bán kính của đường tròn đó;

2 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 1; 2), (3; 5; 2)  B  và (P) cắtmặt cầu ( )S theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất

Thay tọa độ hai điểm A B, vào vế trái phương trình của ( )P ta được 18 và 4 nênhai điểm A B, nằm về cùng một phía so với ( )P

1 Gọi A' là điểm đối xứng với A qua ( )P , khi đó A' và B ở khác phía so với ( )P

và với mọi điểm M ( )P , ta có MA MA '

Do đó M ( ) :P MA MB A M MB A B  '   ' , mà A B' không đổi và đẳng thức xảy

ra khi M A B'  ( )P , suy ra MA MB nhỏ nhất  M A B'  ( )P

Ta có:

5 2 ' ( ) ' : 2

Tọa độ

17

5 2

7 2

2 Viết phương trình mặt phẳng ( )R chứa  và tạo với ( )P một góc nhỏ nhất;

3 Viết phương trình mặt phẳng ( )  chứa hai điểm M(1;1;1), ( 1; 2; 1)N   và tạo vớiđường thẳng  một góc lớn nhất

Lời giải

Mặt phẳng (P) có n  P (2; 1; 2) 

là VTPTĐường thẳng  đi qua B(1; 0; 1)  và có u (2;1; 1) 

2

f t f   , do đó max ( , ( )) 14

2

d A Q  , đạt được khi a  2b

Chọn b 1 ta tìm được a  2,c 3 Vậy phương trình ( ) : 2Q x y  3z 1 0 

Cách 2: Gọi K H, lần lượt là hình chiếu của A lên  và ( )Q , khi đó

( , ( ))

d A Q AH AK, mà AK không đổi nên d A Q( , ( )) lớn nhất  H K

Dẫn tới ( )Q là mặt phẳng đi qua K và nhận AK làm VTPT

Mà BK BC không đổi, nên suy ra  nhỏ nhất  H K hay ( )R là mặt phẳng đi qua

Do ( )R đi qua  và vuông góc với (BCK) nên n R n u1 ,  10; 7;13 

 

  

là VTPT của( )R , suy ra phương trình của ( ) : 10R x 7y 13z 3 0 

Ta có: cos ABH BH BK

BA BA

  , mà BK BA không đổi nên ABH lớn nhất  H K

Hay ( )  là mặt phẳng đi qua MN và vuông góc với mặt phẳng ( ) (   MN d, )

  

là VTPT của ( ) Vậy phương trình của ( ) : 16  x 10y 11z 15 0 

Ví dụ 7 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) :  x y z   3 0  và điểm(1; 2; 3)

A Lập phương trình đường thẳng  nằm trong ( )  và

1  đi qua M(1;1;1) và khoảng cách từ A đến  lớn nhất, nhỏ nhất;

2  đi qua M và khoảng cách giữa  và : 2

 Khoảng cách từ A đến  lớn nhất khi t 23 b 23

a

   , chọn b 2  a  3, 1

c  , suy ra phương trình đường thẳng : : 1 1 1

2 2

Từ đó ta tìm được max ( ) (0) 18, min ( ) (2) 1 .

Gọi I là điểm thỏa mãn: 1IA1 2IA2   n IA n  0

Do 2IA2 IB2 IC2 không đổi nên S nhỏ nhất khi và chỉ khi NI nhỏ nhất hay N

là hình chiếu của I lên mặt phẳng ( )P

Ví dụ 10 Trong không gian cho ba điểm A(1; 2; 3), ( 1; 0; 3),B   C(2; 3; 1)  

1 Tìm M thuộc mặt phẳng ( ) : 2  x y  2z 1 0  sao cho biểu thức sau nhỏ nhất

Do 3IA2  4IB2  6IC2 không đổi nên S nhỏ nhất  IM nhỏ nhất  M là hình

chiếu của I lên ( )  Ta có

Đẳng thức xảy ra  a 11,b 25,c 1 hay M ( 11; 25;1) là điểm cần tìm

2 Cách 1: Gọi I x y z( ; ; ) là điểm thỏa mãn: IA 7IB 5IC   0 IA 7AB 5AC

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với ( )P

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc ( )P sao cho MA MB nhỏ nhất

Bài 2 Lập phương trình mặt phẳng ( )  đi qua điểm M(1;4;9) và cắt các tia Ox,Oy,Ozlần lượt tại các điểm A,B,C (khác gốc tọa độ) sao cho

a) Thể tích khối tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.

3 Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất

Bài 6 Cho ba điểm A(1;2; 3),B(2;4;5),C(3;6;7)  và mặt phẳng (P) : x  y   z 3  0.

1 Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm G của tam giác ABC trên mặt phẳng (P).

2 Tìm tọa độ điểm G đối xứng với điểm G qua mặt phẳng (P).

3 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức T có giá trị nhỏ nhấtvới T  MA 2  MB 2  MC 2

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Việc phân dạng cụ thể các bài toán tìm giới hạn hàm số và đưa ra phươngpháp giải tương ứng giúp các bài toán cơ bản trở nên có hệ thống hơn, nhờ đó họcsinh dễ tiếp cận và nhớ lâu hơn Từ đó học sinh thấy hứng thú hơn khi học phầngiới hạn hàm số và thấy những bài toán này trở nên đơn giản hơn

Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này thì học sinh đã tiếp cận đượcchỉ còn rất ít học sinh gặp khó khăn trong việc giải bài toán tìm cực trị trong hìnhhọc Oxyz Cụ thể:

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận.

Trên đây là những kinh nghiệm mà tôi đúc rút được trong nhiều năm giảng dạy

ở trường THPT và cụ thể là thử nghiệm với học sinh lớp 12B3 trường THPT HậuLộc 2

Hình học Oxyz nói chung và các bài toán cực trị trong hình học Oxyz nói riêng

là nội dung rất quan trọng trong chương trình môn toán THPT Nhưng đối với họcsinh đây là mảng kiến thức tương đối khó Trong đề tài này tôi đã đưa ra được hệthống bài tập theo dạng khác nhau cùng với phương pháp giải phù hợp giúp họcsinh tiếp cận dễ dàng hơn từ đó tạo hứng thú cho học sinh học phần này góp phầnnâng cao chất lượng dạy và học Chuyên đề này là ý kiến chủ quan cũng như kinhnghiệm của cá nhân tôi nên không tránh khỏi những thiếu sót nhất định Rất mong

sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các em học sinh để chuyên đề được hoànthiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

3.2 Kiến nghị.

Nhà trường cần tổ chức các buổi thảo luận trao đổi phương pháp giảng dạy Cầnlưu lại thư viện nhà trường những chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hằngnăm để làm tư liệu phục vụ cho việc dạy và học sau này

Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiềuhơn nữa những tài liệu tham khảo về đổi mới phương pháp dạy và học để phục vụtốt công việc nghiên cứu học tập và nâng cao chuyên môn

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 05 tháng 5 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củatôi viết, không sao chép nội dung củangười khác

Người viết

Nguyễn Thị Den