Sử dụng tỉ số thể tích giải quyết các bài toán về thể tích và khoảng cách

Trong những năm gần đây các bài toán hình học không gian về thể tích khối đa diện và khoảng cách luôn được đề cập trong các kì thi THPT quốc gia với yêucầu học sinh phải giải nhanh trong

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Hình học không gian là môn học khó đối với phần lớn học sinh phổ thông.Nhiều học sinh thấy khó và trở nên chán nản khi học môn học này Dẫn đến các emkhông tiếp thu được hoặc nắm kiến thức rất sơ sài Do đó, việc học hình học khônggian ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ ra rất lúngtúng Trong những năm gần đây các bài toán hình học không gian về thể tích khối

đa diện và khoảng cách luôn được đề cập trong các kì thi THPT quốc gia với yêucầu học sinh phải giải nhanh trong vòng vài phút Trước tình hình đó cùng với quátrình giảng dạy và nghiên cứu, tôi đã thử giải các bài toán tính thể tích khối đa diện

và tính khoảng cách bằng phương pháp tỉ số thể tích thấy rất có hiệu quả và chođược lời giải ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa học sinh chỉ cần những kiến thức cơ bản

về hình học không gian ở lớp 11 là có thể làm được, lại rất phù hợp với hình thứcthi trắc nghiệm hiện nay

Xuất phát từ lí do trên, với mong muốn có thể cung cấp cho các em học sinhthêm một phương pháp để tính khoảng cách và thể tích của các khối đa diện, tôi

nghiên cứu và viết đề tài: “ Sử dụng tỉ số thể tích giải quyết các bài toán về thể tích và khoảng cách ”

Trong đề tài này, tôi trình bày một số bài để các em tham khảo, một số bàihướng dẫn trên lớp và một số bài tập tương tự để các em tự luyện

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Giúp học sinh giải quyết nhanh chóng các bài tập về thể tích và khoảng cách, vận

dụng linh hoạt và phát huy tính sáng tạo của học sinh, liên hệ và áp dụng được vàocác dạng bài tập liên quan

- Hưởng ứng phong trào tự học, tự sáng tạo, nâng cao chuyên môn, học hỏi đồngnghiệp qua đợt viết sáng kiến kinh nghiệm và nghiên cứu khoa học mà nhà trường

và sở phát động

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài hướng tới các đối tượng học sinh khối 12, học sinh ôn thi THPT quốc gia

ở trường THPT Tĩnh Gia 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp phân tích: Nghiên cứu thực trạng vận dụng kiến thức vào giải bàitoán tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.Đặc biệt là các khó khăn học sinh thường gặp với các bài toán khó

- Phương pháp tổng hợp: Sử dụng các tài liệu tham khảo cùng với thực tế diễn ratrên lớp học, cùng với đóng góp của quý thầy cô giáo tại trường THPT Tĩnh Gia 2

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy cho học sinh khối 12 sau đókhảo sát các lớp dạy

PHẦN II: NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Xuất phát từ những thực tế trên nên trong quá trình dạy lý thuyết cho học sinh tôi

đã dùng các ví dụ cụ thể, các mô hình thực tế để học sinh tiếp cận dần dần Ngoài

ra phải bổ trợ các kiến thức về hình học không gian ở lớp 11

Trên thực tế các dạng toán về tỉ số thể tích rất phong phú đòi hỏi người dạyphải lựa chọn bài tập để giảng dạy cho phù hợp với từng đối tượng học sinh, giúphọc sinh bổ trợ kiến thức có định hướng, khai thác sâu và chắc chắn

Tôi chọn đề tài này, mong muốn giúp học sinh giải quyết nhanh chóng cácbài toán về tỉ số thể tích, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức

đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Bài toán về thể tích không phải là bài toán mới nhưng do thiếu hụt kiến thức

về hình học không gian ở lớp 11 nên nhiều học sinh gặp nhiều khó khăn trong việcxác định đường cao hoặc diện tích đáy Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy: đa sốcác em chưa hiểu cách vận dụng và phân tích, sâu chuỗi vấn đề để đưa ra dạng bàitoán liên quan, chưa khai thác triệt để các tích chất, giả thiết của bài toán để đưa rahướng giải quyết Để giải quyết nhanh chóng và ngắn gọn dạng bài toán này các

em cần tổng hợp và nắm vững kiến thức cơ sở của vấn đề này

2.3 Giải pháp để giải quyết vấn đề

Sau đây ta sẽ xét một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ

1 '. ' .sin

3

SNP S

1

Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây:

Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2…An (n� 3), trên đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1 Khi đó ta có

1 1 2

1 2

' . 1 1 1

'

n n

A A A A

S A A A

Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp

S.A1A2…An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2)

2.3.2 Các dạng bài tập minh họa

Dựa vào hai bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ số thể tích của các khối đa diện và ứng dụng của nó vào bài toàn khoảng cách

DẠNG1: ỨNG DỤNG CỦA TỈ SỐ THỂ TÍCH VÀO BÀI TOÁN THỂ TÍCH

O '

C ' I

D' B'

OC

S

B

D A

2 2 3 6

1 2 2 2

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

bình hành Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB

và SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính tỉ số

thể tích của hai khối chóp được chia bởi

mp(AB’D’)

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao

điểm của SO và B’D’ Khi đó AI cắt SC tại C’

Ta có

' '

.

' ' 1 '

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a Mặt bênSAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của SA và SD Tính thể tích khối chóp S.BMN theo a

về tính V SBCA và V SCAD dễ dàng hơn rất nhiều

2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN

Ví dụ4:

Cho khối chóp A.BCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a, AB = 2a và ABvuông góc với đáy Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên các đườngthẳng AD và AC Tính thể tích khối chóp B.CDHK theo a

Giải:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a 2

SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giaođiểm của BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a

c

b'

bc'

A

Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có I là

trọng tâm của tam giác ABC, do đó

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với

góc 60 0 Gọi M là trung điểm của SC Mặt phẳng qua AM và song song với BD, cắt

SB, SD lần lượt tại E và F và chia khối chóp thành hai phần Tính thể tích V của

khối chóp không chứa đỉnh S

+) Gọi   là mặt phẳng chứa AM và song song với BD�  là mặt phẳng đi qua

G và song song với BD và cắt SB,SD lần lượt tại E và F Do đó   cắt hình chóp

S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AEMF�  chia khối chóp S.ABCD thành hai phần là khối chóp S.AEMF và khối đa diện EMFABCD.

+) Ta có EF đi qua G và EF//BD 2

SD  với (0  x 1), khi đó theo Ta-let ta có SN SM x

* Bài tập tham khảo:

Bài1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trựctâm H và cạnh bằng a Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và

M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích của hai khốichóp H.MNP và S.ABC Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP

ĐS: .

.

1 32

16 45

S A B C D

a

Bài4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành Các

điểm A�, C� thỏa mãn 1

B

2a a

S

D A

H

cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của

A lên SB CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đếnmp(SCD)

3 2 ( ,( ))

Giải:

Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’

Suy ra B’C //(AME) nên

d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME))

Ta có .

.

1 2

a 2

M E

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, ta có BH  AE

Hơn nữa BM  (ABE) �BM  AE, nên ta được AE  HM

( ,( ))

7 14 24.

Theo giả thiết ta có A’H  (ABC)

Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến

A ABC ABC A B C

V

Suy ra

3 3 ' ' ' ' ' '

2a

3

K

C'B'

H

AA'

Vì AB A H' �A B' ' A H' � A B H' ' vuông tại A’

Suy ra B’H = a2  3a2  2a BB ' � BB H' cân tại B’ Gọi K là trung điểm

3 3 14 ( ',( ' '))

14 14

Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a, M là 1 điểm ở miền trong của tứ diện.Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện

ĐS: 1 2 3 4

3

ABCD ACB

V

S

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Việc sử dụng tỉ số thể tích để giải các bài toán hình học không gian, đặc biệt làcác bài toán tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách tỏ ra có nhiều ưu điểm,giúp cho lời giải ngắn gọn và không cần sử dụng nhiều kiến thức của hình họckhông gian lớp 11 Trong quá trình giảng dạy cho học sinh khối lớp 12 ở trườngTHPT Tĩnh Gia 2 trong học kì I năm học 2018 - 2019, tôi đã đem đề tài này ápdụng và thấy học sinh có thể tiếp cận rất nhanh và biết vận dụng để giải các bài tập

mà tôi đã cho kiểm tra trên lớp, đặc biệt là trong giải toán trắc nghiệm Trong học

kì II tôi đã tiếp tục triển khai đề tài này để giảng dạy cho các em học sinh khối 12

ôn thi THPT quốc gia, các em tiếp thu rất tốt

Với phương pháp trên tôi đã tổ chức cho học sinh tiếp nhận bài học một cáchchủ động, tích cực, tất cả các em đều hứng thú học tập thực sự và hăng hái làm bàitập giao về nhà tương tự Phương pháp dạy học trên dựa trên nhu cầu cần thiết củangười học toán:

- Khả năng vận dụng, khả năng liên hệ kết nối kiến thức cũ và mới

- Khả năng tư duy sáng tạo và tự học

- Tính thực tế và đổi mới, ham học và tích luỹ kiến thức biết liên hệ, vân dụng vàothực tiễn

Qua thực tế giảng dạy các lớp của trường THPT Tĩnh Gia 2 Các em rất hào hứng

và sôi nổi trong việc phát hiện, đề xuất cách giải cho mỗi bài toán Cụ thể kiểm trakhảo sát chất lượng học sinh khối 12 năm học 2018-2019 trước và sau khi áp dụngsáng kiến như sau:

Dưới

3đ

Từ 3đ đến 5đ

Từ 5đ đến 7đ

Từ 7đ đến 8đ

Từ 8đ đến 10đ

Dưới 3đ

Từ 3đ đến 5đ

Từ 5đ đến 7đ

Từ 7đ đến 8đ

Từ 8đ đến 10đ

12 27.9%

2 4.6% 0

5 11.6%

20 46.5%

14 32.7%

4 9.3%

42 học

sinh

6 14.2%

20 47.6%

12 28.5%

4 9.7%

7.1%

14 33.3%

15 35.7%

9 21.6%

1 2.3%

Qua một năm triển khai thực hiện đề tài này, tôi thấy tính hiệu quả của đề tàirất cao, có thể áp dụng rộng cho nhiều đối tượng học sinh của khối lớp12, ôn thiTHPT quốc gia Vì vậy, trong năm học tới tôi sẽ tiếp tục triển khai áp dụng đề tàinày để giảng dạy cho các em học sinh khối 12

Hy vọng rằng, với đề tài này, có thể giúp cho các em học sinh có thêm mộtphương pháp nữa để giải các bài toán hình học không gian trong kì thi THPT quốcgia đạt được kết quả cao

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Bài học kinh nghiệm:

Người dạy luôn say mê tìm tòi để vận dung và điều chỉnh cách dạy cho phù hợp.Biết được nhưng điểm yếu của học sinh về khả năng vận dụng hoặc trình bày lôgíc,phân tích các giả thiết Áp dụng phải đúng đối tượng phù hợp với chương trình vàtạo được ý thức học tập cho học sinh Thúc đẩy được các đối tượng học sinh cùnghọc và nghiên cứu, và thực hiện Sáng kiến kinh nghiệm này cũng là một tư liệu tốtgiúp giáo viên giảng dạy cho đối tượng học sinh: Giỏi; Khá; Trung bình

Qua quá trình giảng dạy; tôi nhận thấy: Sau khi đưa ra cách giải quyết nhưtrên học sinh không còn lúng túng nữa và đã làm được phần lớn các bài tập đòi hỏitính sáng tạo như các bài tập vận dụng trong đề tài Với kết quả thực nghiệm ở hailớp dạy là 12C3 và 12C11 trườngTHPT Tĩnh Gia 2 đã chứng tỏ đề tài giúp học sinhphần nào say mê, hứng thú và sáng tạo trong học tập, nghiên cứu Điều đó làm chocác em tiếp thu bài tốt và khích lệ tinh thần học tập của các em Thông qua kinhnghiệm này, bản thân tôi thực sự rút ra được nhiều kinh nghiệm quý báu, giúp tôihoàn thành tốt hơn công việc giảng dạy của mình

Trên đây là kinh nghiệm của tôi trong dạy học chủ đề: “Sử dụng tỉ số thể tích giải quyết các bài toán về thể tích và khoảng cách ”.

Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp; và cácđồng chí trong hội đồng khoa học của Sở Giáo dục Tôi xin chân thành cảm ơn.

3.2 Những kiến nghị

Qua quá trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến tôi thấy để đạt kết quả cao, cần lưu

ý một số điểm sau:

a) Đối với giáo viên:

- Phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao năng lực chuyên môn, nghiệp

vụ sư phạm, tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát huy nănglực học sinh, sau mỗi tiết dạy cần có sự rút kinh nghiệm, hướng điều chỉnh cho cáctiết tiếp theo nhằm giúp các em hứng thú học tập, tích cực hợp tác với các Thày Côhơn, hiểu bài hơn, tự học tự giác hơn và say mê nghiên cứu môn toán hơn

- Phải lựa chọn các bài tập phát huy được tính sáng tạo cho học sinh, kiên trì ápdụng phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh Trước khidạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật vững vàng vềnhững kiến thức cơ bản liên quan

- Giáo viên phải thực sự tâm huyết, tận tình với công việc, yêu nghề, có tinh thầntrách nhiệm cao trước học sinh

- Đối với bộ môn này có ứng dụng nhiều vào thực tế nên có những nội sinh hoạtngoại khoá để kích thích tính ham hiểu biết của học trò

- Những sáng kiến đạt giải cao nên được phổ biên rộng rãi để đồng nghiệp họctập

b) Đối với nhà trường:

- Cần có sự động viên nhiều hơn nữa trong phong trào đổi mới phương pháp dạy

học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng phát huy năng lực học sinh, viết và

áp dụng SKKN

- Nhà trường mở những chuyên đề hội thảo cho tổ nhóm chuyên môn, giao lưucác tổ nhóm chuyên môn

c) Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo:

- Sở có buổi tập huấn về chuyên môn của từng môn học có hiệu quả hơn, mờicác thầy giáo đầu nghành về tập huấn chuyên môn cho các trường

- Với các sáng kiến kinh nghiệm hay, tôi và nhiều đồng nghiệp mong muốn Sở

GD và ĐT đưa lên trang “ Trường học kết nối ” để nhiều đồng nghiệp khác thamkhảo và áp dụng hiệu quả các SKKN đã được HĐKH ngành đánh giá xếp loại.Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng khôngtránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các thầy

cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài của tôi đượchoàn thiện hơn

Cuối cùng xin trân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và các

em học sinh đã giúp đỡ tôi hoàn thành SKKN này

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯƠNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.

Hoàng Thị Huệ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa và sách bài tập hình học 12 (Nhà xuất bản giáo dục)

2 Giải toán hình học 11(Trần Thành Minh(chủ biên) – Trần Đức Huyên – Trần Quang Nghĩa – Nguyễn Anh Trường – Nhà xuất bản Giáo Dục)

3 Báo toán học tuổi trẻ

4 Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị thi vào Đại học cao đẳng ( Tủ sách toán học và tuổi trẻ)

5 Các phương pháp giải toán sơ cấp Hình học không gian 11(Phan Huy Khải – Nguyễn Đạo Phương – Nhà xuất bản Hà Nội)

6 Tuyển tập 500 bài toán Hình học không gian chọn lọc(Nguyễn Đức Đồng chủ biên – Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội)

7 Tuyển tập 170 bài toán hình học không gian(Võ Đại Mau – Nhà xuất bản trẻ)

8 Phương pháp giải toán sơ Hình học không gian (Trần Bá Hà – Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội)

9 Khai thác trên mạng Internet

10 Đề thi đại học và cao đẳng , đề thi THPT quốc Gia

MỤC LỤC

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 17