Phát triển năng lực tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy phương trình và bất phương trình ở trường trung học phổ thông

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM...3 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm...3 2.2 Thực trạng về việc phát triển tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học giải phương trình, bất

MỤC LỤC Trang

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng về việc phát triển tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học giải phương trình, bất phương trình ở trường trung học phổ thông 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5

Giải pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng hiểu và vận dụng đúng bài toán cần và đủ 5

Giải pháp 2: Rèn luyện cho học sinh biết lật ngược vấn đề, giải bài toán trên cơ sở xem xét bài toán ngược 9

Giải pháp 3: Biết linh hoạt thay đổi vai trò giữa ẩn số và tham số và ngược lại 14

Giải pháp 4: Luyện tập cho học sinh biết chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán để tạo ra một bài toán mới, giải quyết đơn giản hơn 15

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 17

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19

3.1 Kết luận 19

3.2 Kiến nghị 19

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Trong các công trình nghiên cứu về tư duy, cụm từ “tư duy thuận nghịch”còn ít người biết đến vì chưa có một định nghĩa nào bàn về tư duy thuận nghịchmột cách tường minh với đầy đủ nội hàm và ngoại diên của nó Tuy nhiên nănglực về tư duy thuận nghịch đã được thực hiện phổ biến trong quá trình dạy họccho học sinh, không chỉ ở bậc trung học phổ thông mà còn ở ngay cả bậc tiểuhọc và trung học cơ sở Ví dụ như khi học sinh giải sai một bài toán, người giáoviên có năng lực sẽ là người không vội vàng bày cho các em cách làm đúnghoặc lập tức giải lại, mà phải đóng vai trò người phản biện, trong đó có thể đingược lại từ đáp án để chỉ ra sự vô lí, từ đó giúp học sinh lần ra được những chỗsai của mình để có thể tự khắc phục

Trong cuộc sống thường ngày, người ta nhắc nhở nhau : “ Nghĩ đi thì phảinghĩ lại”, nghĩa là cần phải suy đi xét lại một cách thấu đáo, nắm bắt thông tin từnhiều phía để có cái nhìn khách quan, đúng đắn về một sự việc đã và đang xảy

ra, chứ không nên suy nghĩ một chiều chỉ cốt để có lợi cho bản thân hay một cánhân nào đó

Trong thực tiễn dạy học toán ở trường phổ thông, ta thường xuyên bắt gặpnhững tình huống biểu thị mối liên hệ hai chiều mà tạm xem một chiều là thuận

và một chiều là ngược Chẳng hạn như các hoạt động tư duy phân tích và tổnghợp, khái quát hóa và đặc biệt hóa, suy ngược và suy xuôi, nhận dạng và thểhiện, lật ngược vấn đề Tất cả những điều trên đã cho chúng ta gợi ý: Phảichăng có thể nghiên cứu về một loại hình tư duy có tên gọi “ tư duy thuậnnghịch”?

Như thế, có nghĩa “tư duy thuận nghịch” là một loại hình tư duy không xa

lạ trong toán học và giáo dục toán học, liên quan đến việc nhận thức, xem xét sựvật và hiện tượng theo các chiều hướng ngược nhau, tựa hồ như những hànhđộng phổ biến diễn ra trong cuộc sống hàng ngày

Trước những biến đổi to lớn của thế giới trong thời đại ngày nay, đòi hỏinhà trường phải đào tạo ra những con người có năng lực phát hiện và giải quyết

vấn đề trong học tập cũng như trong thực tiễn cuộc sống Hình thành và bồidưỡng năng lực giải quyết vấn đề sẽ trở thành yêu cầu cấp bách của tất cả cácquốc gia, các doanh nghiệp, đặc biệt là trong trường học Tư duy thuận nghịch làmột trong những biểu hiện của năng lực giải quyết vấn đề.

Phương trình, bất phương trình , hệ phương trình là những nội dung cốtlõi của bộ môn Toán, xuyên suốt trong tất cả các năm học của chương trìnhTHPT, bao gồm phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số, vô tỷ,mũ, lôgarit, lượng giác Các dạng toán giải, giải và biện luận phương trình, bấtphương trình luôn có mặt trong các đề thi đại học, cao đẳng cũng như thi họcsinh giỏi hàng năm Trong quá trình giải toán, học sinh thường đi từ giả thiếtvới những suy luận logic, lập luận chặt chẽ để đi đến kết luận Thế nhưng, tronggiải phương trình, bất phương trình không phải bài nào cũng có thể giải quyếttheo chiều hướng đó và nếu có giải theo chiều hướng đó đi chăng nữa thì kết quảchưa chắc đã thực sự chính xác, đặc biệt khi đứng trước những phương trình, bấtphương trình chứa tham số hoặc được giải bằng cách đặt ẩn phụ Do vậy, nhiềukhi ta cần đặt vấn đề ngược lại, phải đi từ kết luận của bài toán từ đó phân tích,tổng hợp để tìm lời giải Có nhiều khi cần đi từ kết quả sai của lời giải đểphân tích nguyên nhân, vị trí sai lầm ở đâu nhằm lần ra hướng giải quyết đúngđắn Cũng có một số bài toán giải và biện luận từ việc dùng phương pháp phảnchứng hoặc thực hiện ngược lại với yêu cầu,

Tất cả những điều trên cho chúng ta thấy được dấu hiệu của một hình thức

tư duy đó chính là “ tư duy thuận nghịch”( TDTN )

Đến nay, đã có nhiều công trình nghiên cứu trong và ngoài nước đề cậpđến các loại hình tư duy trong giảng dạy toán học Tuy nhiên, chưa có công trìnhnào nghiên cứu một cách đầy đủ, có hệ thống về biểu hiện của năng lực tư duythuận nghịch của học sinh trong chuyên đề phương trình, hệ phương trình và bấtphương trình

Từ những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình

là: “ Phát triển năng lực tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy phương trình và bất phương trình ở trường Trung học phổ thông”.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học nội dungphương trình, bất phương trình

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề cóliên quan đến đề tài

Phương pháp điều tra quan sát: Dự giờ, quan sát và lập phiếu điều tra thựctrạng về việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học phươngtrình, bất phương trình ở trường Trung học phổ thông

Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm đểđánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Trong thực tiễn cuộc sống, có rất nhiều cái mà ta chưa biết, chưa hiểu Đểlàm chủ được thực tiễn, con người cần phải hiểu thấu đáo những cái chưa biết

đó, phải vạch ra cái bản chất, mối quan hệ, liên hệ có tính quy luật của chúng.Quá trình đó gọi là tư duy

Trước hết chúng ta xét một số bài toán ví dụ thể hiện các hoạt động tư duycủa học sinh để làm căn cứ khi đưa ra khái niệm tư duy thuận nghịch:

Ví dụ 1.1: Đối với học sinh lớp 2, sau khi học về mối quan hệ hơn kém

giữa các đối tượng A và B, giáo viên rèn luyện kĩ năng của học sinh bằng 2 bàitập:

Bài 1 An có 5 cái kẹo, Bình có nhiều hơn An 3 cái Hỏi Bình có mấy cái kẹo?

Bài 2 Lớp A có 30 học sinh , lớp A nhiều hơn lớp B 5 học sinh Hỏi lớp B cóbao nhiêu học sinh?

Ở bài 1, chắc chắn nhiều em làm được, vì các em đã có quy tắc mà giáoviên trang bị cho là : “ Hơn thì cộng”, nên số kẹo của Bình là: 5 + 3 = 8 cái

Tuy nhiên, cũng với quy tắc đó thì cũng không ít em có đáp án của bài 2

là :

30 + 5 = 35 Tất nhiên đây là một kết quả sai, vì sự rập khuôn của học sinh khitiếp thu bài dạy của giáo viên Những học sinh có tư duy tốt sẽ hiểu ngược lại:Lớp B ít hơn lớp A 5 học sinh, như vậy các em đã biết cách tìm sự liên hệ giữacái chưa biết so với cái đã biết!

Ví dụ 1.2: Đối với học sinh THCS thường cho rằng: x2 > 9 suy ra x > 3,

vì tương tự như việc x > 3 suy ra được x2 > 9

Ta thấy được điều sai này khi kiểm tra với x = -4 Việc lấy ví dụ phản biện giúphọc sinh có định hướng để giải đúng bất phương trình x2 > 9 Đây chính là mộttrong các dấu hiệu của năng lực tư duy thuận nghịch

Ví dụ 1.3: Tìm điều kiện của tham số a để bất phương trình sau có

vô nghiệm, hay tìm a để bất phương trình f(x) = (a-1)x 2 + ( 2a + 1 )x – 3 < 0

nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực R (2) Từ kết quả của bài (2) sẽ tìmđược kết quả của bài (1) bằng việc lấy giá trị a ngược lại

Những ví dụ trên đây minh hoạ cho năng lực tư duy thuận nghịch trongkhi giải quyết vấn đề, đó là sự chặt chẽ trong lập luận, kiểm soát được các trườnghợp có thể xảy ra và đặc biệt là biết lật ngược vấn đề, khả năng tự phản biện Đó

là cơ sở để chúng ta có thể tạm đưa phát biểu định nghĩa sau: Tư duy thuận

nghịch là cách suy nghĩ theo hai chiều ngược nhau nhưng hỗ trợ lẫn nhau giúp

con người nhận thức và giải quyết vấn đề sâu sắc hơn, toàn diện hơn, đầy đủ hơn.

2.2 Thực trạng về việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học giải phương trình, bất phương trình ở trường trung học phổ thông

Qua tham khảo các tài liệu về thực trạng phương pháp dạy học toán ởtrường phổ thông, qua kết quả trả lời phiếu hỏi, qua kết quả giải toán của HS,qua dạy học một số giờ tôi nhận thấy: Nhìn chung năng lực TDTN của HS chưatốt Một số HS đã có suy nghĩ theo kiểu thuận nghịch trong quá trình học tậpmôn Toán ở trường THPT Tuy nhiên, số đó không nhiều và khả năng TDTNchưa thực sự tốt Vẫn còn nhiều HS chưa linh hoạt thay đổi thói quen suy nghĩkhi đứng trước một vấn đề cần giải quyết, HS không có thói quen chuyển hướngquá trình tư duy ngay cả trong trường hợp với kinh nghiệm, kiến thức tại thờiđiểm đó không thể giải quyết được

Thực trạng trên sẽ là cơ sở thực tiễn quan trọng giúp cho tôi xây dựngcác biện pháp sư phạm để bồi dưỡng TDTN cho HS trong dạy học môn Toán

ở trường THPT

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Giải pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng hiểu và vận dụng đúng bài toán cần và đủ

1a) Hiểu và vận dụng đúng điều kiện cần và đủ trong việc biến đổi tương đương PT, BPT

Trong môn Toán, HS thường xuyên sử dụng các phép toán lôgic, điềukiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ của một mệnh đề Việc HS khônghiểu rõ đâu là điều kiện cần, điều kiện đủ cũng như việc nhận diện được bài toán

có dạng cần và đủ, khai thác mối quan hệ tương hỗ giữa chúng sẽ dẫn tới sựthiếu chính xác, khó khăn trong giải toán

Ví dụ 2.1: Giải bất phương trình: x2  x 6 x 1

( SGK Đại số 10, phần bài tập)

Với bài toán này, học sinh giải bằng cách biến đổi tương đương đưa về

bất phương trình bậc hai, với điều kiện cần và đủ là:

(3)

x x x

sử dụng lối tư duy đảo ngược rằng giả sử x - 1 < 0 ( hoặc x - 1 = 0) thì dẫn tớiBPT vô nghiệm mà không cần giải Thế nhưng nếu ta không biện luận trườnghợp này mà tiến hành bình phương hai vế thì kể cả khi nghiệm thu được làm cho

x – 1 < 0 ta cũng không biết Giáo viên có thể lấy ví dụ : 3   4 là sai nhưng

( 3)   ( 4) lại đúng !

GV kiểm tra khả năng tiếp thu của HS bằng bài tương tự:

Giải bất phương trình: x2  x 6  x 1 ( thêm dấu “ =” )

Ví dụ 2.2: Giải bất phương trình: x2  5x 14  2x 1

( SGK Đại số 10, phần bài tập )

Cách giải bài này là ta chia hai trường hợp

Kết quả nghiệm của bất phương trình là hợp của hai tập nghiệm của hai hệ trên

Đây là một cách giải đúng và được hầu hết các giáo viên áp dụng giảngdạy cho học sinh như là một quy tắc giải bất phương trình dạng này Tuy nhiênkhông phải học sinh lại dễ nhớ và nhớ được lâu khi các em không hiểu nguyên

do từ đâu lại có được như vậy?

Một thói quen của học sinh khi đứng trước BPT là đặt điều kiện để bìnhphương hai vế nhằm khử căn, đưa về bất phương trình bậc hai quen thuộc.Nhưng khi các em có được thói quen “ tư duy thuận nghịch” thì sẽ đặt được câuhỏi ngược lại là: Tại sao 2x– 1 phải dương ?? Nếu 2x – 1 âm thì sao? Khi đóviệc phân chia hai trường hợp để giải như trên mới thấy được sự có lí của nó.

Chính vì vậy mà sách giáo khoa Đại số 10 không đưa ra phương phápgiải các dạng bất phương trình như ở ví dụ 2.1 và 2.2 ở trong phần lí thuyết màchỉ đưa ra dưới dạng bài tập, còn việc nhìn nhận để đưa ra cách giải như thế nàothì cần phải có tư duy phù hợp

Với cách suy luận đảo ngược vấn đề như vậy sẽ cho học sinh hiểu thấuđáo hơn và linh hoạt trong các bất phương trình khác chứ không phải học theokiểu thuộc lòng tất cả các dạng

Việc biện luận thường được hiểu là thực hiện đối với các phương trình,bất phương trình chứa tham số, tuy nhiên có nhiều bài toán giải đối với bấtphương trình có hệ số bằng số thì việc biện luận vẫn rất quan trọng, nếu không

có tư duy này sẽ dẫn tới những sai sót

Khi đó bất phương trình tương đương với: x 1 0   x 1

Kết hợp với điều kiện, được nghiệm 3

2

x  Điều này xem qua thì thấy có lí, vì đã có 2x2  x 3 0  , nên chỉ cần x  1 0thì

sẽ thỏa mãn bất phương trình đã cho Khi trực tiếp dạy các học sinh lớp 10, tôi

đã yêu cầu học sinh thực hiện bài này, đa số các em giải như trên, và không cóhướng khắc phục khi giáo viên chưa gợi ý

Rõ ràng, nếu xảy ra2x2  x 3 0  , thì không cần đến điều kiện của x -1nữa

( bất phương trình có kèm theo dấu “ = ” Đó chính là chỗ sai của bài giải Vấn

đề này được chỉ ra khi có sự biện luận và phản biện

Ví dụ 2.4: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

2

4x 2( 1)2x 4 0

     (1)Với bài này, ta đặt 2x = t đưa về phương trình: t2  2(m 1) t m2  4 0 

(1’) Nhiều học sinh cho rằng chỉ cần điều kiện PT(1’) có  > 0 là được vì mỗinghiệm của (1’) cho một nghiệm của (1) Tuy nhiên đây mới chỉ là điều kiệncần, nếu(1’) có nghiệm âm sẽ không có nghiệm nào của (1) Giáo viên thay thếgiá trị m thỏa mãn kết quả học sinh đưa ra nhưng lại cho ra nghiệm âm, dẫn tớiphương trình (1) không có hai nghiệm phân biệt như yêu cầu Từ lập luận và ví

dụ phản biện đó sẽ giúp học sinh hiểu ra vấn đề, biết cần bổ sung thêm điều kiện

đủ cho bài toán Việc đặt điều kiện đúng cho ẩn phụ t coi như là một bài toántrung gian: Tìm tập giá trị của hàm số t = u(x) , với đk của x

Nhờ có sự phản biện trong lập luận sẽ giúp học sinh đưa ra được điều kiệnchặt chẽ và chính xác trong bài toán sau đây:

Ví dụ 2.5: Tìm các giá trị của m để hệ sau có nghiệm (x; y)

với x 0, y  0

1

 







Bài giải đúng. Ta có: hệ  2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 1 1 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.2 4 4 2 x y x y x x x x x x x y x y x y x m   m m                                 (1) * Đặt 2x= t, phương trình (1) trở thành: 2 8 2 t t m t    (2)

Do y  0 nên 3-x  0  x ≤ 3 từ đó 0 ≤ x ≤ 3  1 ≤ t ≤ 8 * Hệ có nghiệm (x; y) với x 0, y  0  PT (2) có nghiệm t  [1;8]  đường thẳng y = m cắt (P): y = f(t) = 2 8 2 t t t   trong đoạn [1;8] Ta có f'(t) = 2t3 22t2 8 2(t 2)(t22 t 2) t t       , f'(t) = 0  t = 2 BBT t 1 2 8

f'(t) - 0 +

f(t) 7 49

4

Nhìn vào BBT ta có đường thẳng y = m cắt (P) khi và chỉ khi 4 ≤ m ≤ 49

Vậy PT có nghiệm (x; y) với x 0, y  0 khi và chỉ khi 4 ≤ m ≤ 49

Nhận xét: Sai lầm thường gặp của học sinh ở chỗ: Đặt 2x= t, do x  0 nên

t 1 mà quên liên hệ với điều kiện y  0 để dẫn tới 3 - x  0  x ≤ 3 , cho nên thiếu mất điều kiện t ≤ 8 dẫn tới đáp số sai

Giải pháp 2: Rèn luyện cho học sinh biết lật ngược vấn đề, giải bài

toán trên cơ sở xem xét bài toán ngược.

Trước hết, có thể đưa ra quan niệm bài toán ngược như sau:

Có những bài yêu cầu tìm các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn một điều kiện nào đó mà việc giải trực tiếp gặp nhiều khó khăn hoặc cần đến nhiều trường hợp phức tạp thì ta có thể làm bài toán theo yêu cầu ngược lại , sau đó kết luận ngược trở lại với đáp án giải được của bài toán

ngược lại đó Cách làm này còn gọi là cách làm gián tiếp, được áp dụng trongnhiều lĩnh vực không chỉ là giải phương trình , bất phương trình như: toán xácsuất, hình học không gian, biện luận dấu tam thức bậc hai, ứng dụng tích phântính diện tích của hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay đây là một biểu hiệnđiển hình của phương pháp tư duy thuận nghịch.

Chẳng hạn, với bài toán tìm m để phương trình có nghiệm thì ta đi tìm m

để phương trình vô nghiệm, với bài toán tìm m để bất phương trình f(x) > 0 cónghiệm thì có khi ta lại đi làm bài toán ngược là: tìm m để BPT f(x) ≤ 0 nghiệmđúng với mọi x thuộc R Hoặc như với bài toán tính xác suất để lấy được ít nhấtmột viên bi màu vàng thì ta lại làm ngược lại là tính xác suất để lấy ra mà không

có viên bi nào màu vàng cả, hay như bài toán tính diện tích của hình phẳng nàythì ta lại đi tính diện tích của hình phẳng khác mà bù với hình cần tính

Thực hiện biện pháp này sẽ giúp HS biết cách tạo bài toán đảo, bài toánngược từ một bài toán đã cho HS biết được không phải định lý nào cũng cóđịnh lý đảo HS có thể tự tạo một số bài toán đảo từ một bài toán và điều nàyphụ thuộc vào việc thay đổi cấu trúc của bài toán ban đầu HS sẽ có ý thức trongviệc khai thác bài toán ngược để tìm cách giải bài toán thuận, khai thác cách giảicủa một bài toán để có thể tìm cách giải của các bài toán còn lại trong hệ thốngbài toán thuận - đảo, qua đó góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS

Thực tiễn dạy học giải bài tập cho thấy khi đứng trước một bài toán, HS

có xu hướng cố gắng tìm cách giải trực tiếp bài toán, kể cả khi việc giải đó cóthể đi đến bế tắc hoặc cồng kềnh vì phải xét nhiều trường hợp Các em chưathực sự linh hoạt trong việc xem xét bài toán trong mối quan hệ với những bàitoán khác có khả năng hỗ trợ cho cách giải bài toán của mình Chúng tôi đã tiếnhành điều tra HS về bài toán: “Tìm m để bất phương trình 2 ( 2 1 ) 7 0

(1) có nghiệm” Kết quả nhận được như sau:

- Đa số HS tìm cách giải trực tiếp bài toán, bằng cách phân chia cho cáctrường hợp m = 0, m 0 Trong trường hợp m 0, một số em đã xem điều kiện

có nghiệm của bất phương trình bậc hai tương tự như phương trình bậc hai, từ

đó tìm m từ điều kiện   0; một số HS khác tiếp tục chia cho trường hợp m > 0,

m < 0 và trong mỗi trường hợp đó xét theo điều kiện   0 ,   0, dẫn đến việctính toán rất cồng kềnh, phức tạp, không đi đến kết quả đúng

- Một số HS đã có ý thức tìm bài toán hỗ trợ nhưng còn sai Cụ thể HS

diễn đạt như sau: Xét m  0, bpt (1) có nghiệm  2 ( 2 1 ) 7 0

; 2

7 3 8

7 3 8

Như vậy, HS vẫn có xu hướng suy nghĩ theo “lối mòn”, không linh hoạtthay đổi hướng suy nghĩ ngay cả khi gặp khó khăn, thậm chí khi không thể giảiđược bài toán nếu sử dụng phương pháp cũ, kinh nghiệm cũ

+) Sau khi HS giải xong một bài toán có khai thác mối liên hệ với bài toán

ngược, thầy giáo nên nhấn mạnh hiệu quả của bài toán ngược đối với việc giải

bài toán đã cho

Ví dụ 2.6: Cho phương trình (m +2 )x2 – 2mx –1 = 0 (1)