Hướng dẫn học sinh THPT ứng dụng dãy số trong giải quyết một số bài toán thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT ỨNG DỤNG DÃY SỐ TRONG GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ Người thực hiện: Lê

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:

HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT ỨNG DỤNG DÃY SỐ TRONG GIẢI

QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ

Người thực hiện: Lê Thị ngọc Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

Thanh Hóa năm 2019

MỤC LỤC Nội dung Trang

Phần I: MỞ ĐẦU …… … 2

1 Lý do chọn đề tài ……… 2

2 Mục đích nghiên cứu ……… 3

3 Đối tượng nghiên cứu ……… 3

4 Phương pháp nghiên cứu ……… 3

5 Những điểm mới của SKKN ……… 3

Phần II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ……… 4

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ………… 4

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

3.1 Phương pháp xây dựng ví dụ thực tiễn 4

3.2 Hệ thống hóa các bài toán, qui lạ về quen

4 Các dạng bài tập thông qua HĐ mô hình hóa……… 5

4.1 Ứng dụng cấp số cộng, giải quyết một số bài toán thực tế………… 5

4.2 Ứng dụng cấp số nhân, giải quyết một số bài toán thực tế………….7

4.3 Hệ thống các bài tập về dãy số có nội dung thực tiễn……… 11

4.4 Bài tập học sinh tự sáng tạo………13

5 Kết quả đạt được trong việc vận dụng đề tài vào giảng dạy 15

Phần II KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ .15

- Tài liệu tham khảo 17

Phần I MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài:

Từ năm học 2016-2017 Bộ giáo dục và đào tạo chuyển hướng thi môn Toán THPT Quốc gia theo hình thức tự luận sang trắc nghiệm thì các bài toán có nội dung thực tiễn được khai thác một cách mạnh mẽ

Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống Mặt khác, giáo dục cần đào tạo ra những con người lao động có hiểu biết, có kỹ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán học vào mọi lĩnh vực trong cuộc sống Bởi vậy việc hướng dẫn học sinh vận dụng các kiến thức Toán được học trong nhà trường vào giải quyết các bài toán thực tế là điều vô cùng cần thiết cho bản thân mỗi học sinh, cho sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo dục

Tuy nhiên, những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn, cụ thể là những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động và sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình sách giáo khoa THPT hiện hành Dẫn đến khoảng cách giữa việc học sinh giải quyết bài toán

“mô hình” trong SGK với việc giải quyết bài toán thực tế còn nhiều khó khăn

Và trong quá trình giảng dạy môn Toán ở phổ thông, một số giáo viên còn chưa thường xuyên liên hệ thực tế để giúp các em phải luôn đặt câu hỏi trong đầu là “Những vấn đề toán học này có ứng dụng không và ứng dụng trong trường hợp nào?”

Xuất phát từ những nhu cầu trên tôi đã tìm tòi, nghiên cứu và viết đề tài

sáng kiến kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh THPT ứng dụng dãy số trong

giải quyết một số bài toán thực tế” Với một hy vọng là sẽ giúp các em phần

nào có phương pháp tiếp cận một bài toán thực tế để đưa về bài toán “mô hình”, đồng thời hình thành ý thức mạnh dạn, tự tin và sáng tạo trong học tập môn Toán nói riêng và các môn Khoa học tự nhiên nói chung

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài.

Qua nội dung của đề tài này, tôi mong muốn cung cấp cho học sinh kĩ năng phân tích một bài toán thực tế, quy lạ về quen, và hình thành cho các em phương pháp giải quyết một lớp các bài toán liên quan đến dãy số, cấp số Hơn nữa giúp học sinh nhìn thấy sự gần gũi của Toán học với cuộc sống, từ

đó các em thêm yêu thích bộ môn toán học

Xây dựng hệ thống bài tập đa dạng có nội dung thực tế, liên quan đến dãy số, cấp số, đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân

3 Đối tượng nghiên cứu

- Đối tượng : Chương Dãy số Cấp số cộng và cấp số nhân trong chương trình Đại số &Giải tích lớp 1

- Tài liệu : Sách giáo khoa Giải tích lớp 11, sách hướng dẫn giáo viên và mạng internet

- Giảng dạy cho HS lớp 11

4 Phương pháp nghiên cứu:

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :

4 1 Nghiên cứu tài liệu :

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung

đề tài

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo

- Các đề thi thử THPT quốc gia và đề thi THPT quốc gia các năm học 2016-2017, 2017-2018, 2018-2019

4 2 Nghiên cứu thực tế :

* Phương pháp quan sát:

Người thực hiện đề tài tự tìm tòi, nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy

* Phương pháp trao đổi, thảo luận:

Từ kết quả nghiên cứu, khi thực hiện đề tài tôi tiến hành trao đổi, thảo luận với đồng nghiệp, rút kinh nghiệm để hoàn thiện đề tài

* Phương pháp thực nghiệm:

Tiến hành dạy thể nghiệm theo phương pháp đã nghiên cứu trong đề tài

* Phương pháp điều tra:

Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài

Phần II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHỆM

1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Kiến thức về dãy số, cấp số thường gây khó khăn cho học sinh vì phải tư duy một dãy nhiều số hạng, phải tìm được quy luật giữa hai số hạng liên tiếp Với những bài toán “mô hình”, cho cấp số cụ thể, áp dụng trực tiếp các công thức đã học, hỏi trực tiếp các nội dung liên quan đến công thức, thì học sinh có thể làm được khá tốt Tuy nhiên khi giải quyết các bài toán liên quan đến thực

tế thì cả học sinh khá, giỏi cũng lúng túng khi phân tích để tìm ra cấp số được

sử dụng trong bài

2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Nghiên cứu đối tượng học sinh năm học: 2016- 2017; 2017-2018 khi tiếp cận với hình thức ra đề mới của Bộ giáo dục & đào tạo, tôi nhận thấy đa số

HS rất sợ bài toán có liên quan đến dãy số Các em chỉ làm tốt được những bài toán áp dụng ngay qui tắc, công thức và bỏ qua những bài toán trong Sgk nếu nó mang nội dung thực tiễn

Hoặc là GV dạy không chú trọng đến những kiến thức thực tiễn, để HS không cảm nhận được cái hay cái đẹp cuả toán học

Thực trạng học sinh

- Các em còn lúng túng trong các bài toán có nội dung thực tiễn

- Đa số chưa có kỹ năng sáng tạo để đề xuất các bài toán tương tự

Những vấn đề này người giáo viên phải luôn luôn tìm tòi và đưa ra hướng giải quyết khắc phục sao cho học sinh của mình đạt kết quả cao nhất trong các

kì thi và phải tìm ra được những cách giải phù hợp và nhanh cho từng dạng toán cụ thể để truyền thụ cho học sinh Thực trạng trên là những động lực giúp tôi nghiên cứu đề tài này

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

3.1 Phương pháp xây dựng ví dụ thực tiễn toán học

Một phương pháp xây dựng ví dụ hiệu quả nhất là phương pháp mô hình hoá Toán học hoá các tình huống thực tế (mô hình hoá)

Quá trình mô hình hoá toán học được mô tả gồm 4 bước:

Bước 1: Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu tố

có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các quy luật mà chúng ta phải tuân theo

Bước2:Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét,tức là diễn tả lại dưới

dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình trung gian Lưu ý là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tuỳ theo chỗ các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng

Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình

thành ở bước2 Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp

Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước 3 Trong

phần này phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia

Giảng dạy toán hiện nay tại Việt Nam đang tập trung ở bước 3, bởi vì:

- Chương trình, nội dung, sách giáo khoa chủ yếu trình bày bước3;

- Các đề thi cũng tập trung nội dung ở bước3;

- GV giỏi ở bước 3 và chưa có nhiều kinh nghiệm ở các bước còn lại

3.2 Hệ thống hóa các bài toán, qui lạ về quen thông qua hoạt động khám phá

Giáo viên đưa ra hệ thống các bài tập thực tế, qua đó hướng dẫn các em cách phân tích đề bài để tìm ra quy luật, hình thành dãy số, sau đó áp dụng các công thức phù hợp

Để làm được các bài toán thực tế liên quan đến cấp số cộng hoặc cấp số nhân, các em thường phải qua các bước sau:

- Đọc kĩ đề bài, tìm ra các từ khóa, dự đoán cấp số và chứng minh

- Đọc kĩ yêu cầu của bài toán, thành lập công thức tính và kết luận

4 Các dạng bài tập thông qua hoạt động mô hình hóa, khám phá

4.1 Ứng dụng cấp số cộng, giải quyết một số bài toán thực tế.

Bài 1.Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây… Hỏi có bao nhiêu hàng?

Hoạt động khám phá:

• Giáo viên yêu cầu học sinh phát hiện ra cấp số được sử dụng trong bài qua dữ liệu “Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây…”, vậy hàng sau hơn hàng liền trước 1 cây, từ đó ta có cấp số cộng với

là số cây ở hàng thứ i.

• Bài toán thực tế đang hỏi vấn đề gì của cấp số cộng trên?số hạng tổng quat hay là tổng ? từ nào thể hiện điều đó?

Lời giải:Gọi là số cây ở hàng thứ i.Theo bài ra ta có:

là một cấp số cộng với

Vì tổng số cây trồng là 3003 cây tương ứng với tổng số cây ở các hàng đã trồng:

Vậy có 77 hàng đã được trồng

Nhận xét : Đây là bài toán khá đơn giản,dễ phát hiện ra dấu hiệu của cấp số cộng Khuyến khích học sinh tự đưa ra các bài tập tương tự, có thể cho số hàng và tính tổng số cây đã được trồng

Bài 2.Một trò chơi được tổ chức trên truyền hình theo phương thức:

- Nếu người chơi trả lời đúng câu đầu tiên thì được thưởng 1 triệu đồng.

Tiếp đến, nếu mỗi câu trả lời đúng thì được cộng thêm 500 000 đồng -Trò chơi được chấm dứt khi bị vướng vào câu trả lời sai.

Hỏi số câu trả lời đúng tối thiểu là bao nhiêu để người chơi đạt số tiền tối thiểu là 10 triệu đồng?

Hoạt động khám phá:

• Qua dữ liệu “Tiếp đến, mỗi câu trả lời đúng thì được cộng thêm 500

000 đồng” suy ra mỗi câu trả lời đúng sẽ có mức thưởng bằng mức thưởng

của cây trả lời đúng ngay trước đó công thêm 500 000 đồng Ta được một cấp số cộngvới là số tiền thưởng ở câu trả lời đúng thứ i liên tiếp.

• Số tiền thưởng của người chơi bằng tổng số tiền thưởng ở các câu trả lời đúng liên tiếp Vậy 10 triệu đồng liên quan đến

Lời giải:

Gọi là số tiền thưởng ở câu trả lời đúng liên tiếp thứ i Theo bài ra ta có:

là một cấp số cộng có

Theo bài ra, để tổng số tiền thưởng lớn hơn hoặc bằng 10 triệu đồng thì người chơi phải trả lời đúng ít nhất 5 câu liên tiếp

Bài 3 Khi ký hợp đồng làm việc 10 năm với các công nhân được tuyển dụng Công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn, cụ thể là:

Phương án 1: người lao động sẽ nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm.

Phương án 2: người lao động sẽ nhận 7 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên và kể từ quý làm việc thứ 2 mức lương sẽ tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý.

Nếu là người lao động bạn sẽ chọn phương án nào?

Hoạt động khám phá:Số tiền nhận được liên tiếp hàng năm (hàng quý)tuân

theo quy luật của cấp số cộng.

Lời giải:

Phương án 1: Số tiền lương nhận được hàng năm liên tiếp lập thành cấp số cộng với số hạng đầu triệu và công sai triệu Vì vậy tổng số tiền người lao động nhận được trong 10 năm là: triệu

Phương án 2: Số tiền lương nhận được hàng quý liên tiếp lập thành cấp số cộng với số hạng đầu triệu và công sai triệu Vì vậy tổng số tiền người lao động nhận được trong 40 quý là: triệu

Vì vậy người lao động nên chọn phương án 2

Bài 4 Dựng các nửa đường tròn có

bán kính từ nhỏ đến lớn như hình

vẽ Gọi u 1 là diện tích của nửa đường

tròn nhỏ nhất (thứ nhất), u 2 là diện

tích phần hình nằm giữa đường tròn

thứ nhất và thứ hai,…, u k là diện tích

phầnhình nằm giữa đường tròn thứ

(k-1) và đường tròn thứ k Tính u 10 ?

Hoạt động khám phá:

• Diện tích phần cần tính nằm giữa hai nửa đường tròn liên tiếp.

Diện tích của các nửa đường tròn liên quan trực tiếp đến bán kính, từ đó nhìn ra bán kính hai đường tròn liên tiếp hơn kém nhau 1/2.

• Thành lập công thức tính diện tích các u k và dễ dàng chứng minh (u k )là cấp số cộng.

Lời giải:Ta có diện tích nửa đường tròn đầu tiên có bán kính bằng 1 là: ,

(bán kính của các nửa đường tròn là một cấp số cộng có )…

Suy ra là một cấp số cộng Nên là số hạng thứ 9 trong cấp số cộng

4.2 Ứng dụng cấp số nhân, giải quyết một số bài toán thực tế

1.Bài toán trang trí liên quan đến diện tích các hình.

Bài 1.Hình vuông có cạnh bằng 1, người ta

nối trung điểm các cạnh liên tiếp để được

một hình vuông, rồi lại tiếp tục làm như thế

đối với hình vuông mới (như hình bên) Tính

tổng diện tích các hình vuông liên tiếp đó (kể

cả hình vuông ban đầu).

Hoạt động khám phá:

• Nếu nối , dễ thấy diện tích tam giác vuông AMQ bằng diện tích tam giác vuông OMQ, từ đó so sánh diện tích của hình vuông MNPQ và hình vuông ABCD.

• Dựa vào cụm từ “Làm tiếp tục như thế mãi” có thể liên quan đến cấp

số nhân lùi vô hạn.

Lời giải: Gọi s1 là diện tích hình vuông ABCD, là diện tích hình vuông thứi (liên tiếp từ ngoài vào trong) Theo bài ra ta có:

là một cấp số nhân lùi vô hạn với

Khi đó tổng diện tích các hình vuông dựng được: (đv diện tích)

Bài 2.Cho hình vuông (C 1 ) có cạnh bằng 4 cm Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành 4 phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông (C 2 )(như hình vẽ).

Từ hình vuông (C 2 ) lại tiếp tục như trên để được hình vuông (C 3 ), …tiếp tục như trên, hỏi độ dài cạnh của hình vuông thứ 15 là bao nhiêu?

Hoạt động khám phá:

• Bài toán này, các cạnh hình vuông (C 2 ) hình thành không đi qua trung điểm các cạnh của hình vuông(C 1 ), nên khó nhìn thấy ngay tỉ lệ về độ dài cạnh của hai hình vuông Tuy nhiên độ dài các cạnh liên tiếp sẽ tạo thành

một cấp số, do đó nên tính toán trực tiếp độ dài cạnh hình vuông C k qua độ dài cạnh hình vuông thứ C k-1 sẽ tìm ra quy luật.

Lời giải : Gọi ak là độ dài cạnh của hình vuông Ck Ta có a1=4 .là một cấp số nhân có số hạng đầua1=4,

Vậy cạnh hình vuông thứ 15 có chiều dàicm

• Bài toán mua bán, xây dựng.

Bài 3.Người ta thiết kế một tòa tháp 11 tầng, theo cấu trúcdiện tích mặt sàn tầng trên bằng nửa diện tíchmặt sàn của tầng ngay bên dưới Hãy tính

số viên gạch hoa cần dùng để lát nền tòa tháp, biết diện tích mặt đáy tháp

là 50m 2 và kích cỡ mỗi viên gạch hoa là 50x50cm.

Lời giải :Gọi s1 là diện tích mặt đáy tháp: s1=50 m2 Gọi si là diện tích mặt sàn của tầng thứ thì … Vậy là một cấp số nhân có số hạng đầu s1=50 m2, công bội

Vậytổng diện tích mặt sàn của 11 tầng là:

Diện tích mỗi viên gạch là 50x50=2500cm2ứng với 0,25m2

Vậy số lượng gạch cần dùng tối thiểu là 400 viên vì 99,95: 0,25=399,8

• Bài toán tính lương,lãi suất, khấu hao…

Bài 4.Ông An có 200 triệu đồng gửi ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi suất 8%/ năm Sau 5 năm ông An thu được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

Hoạt động khám phá:

• Lãi kép là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc, mà còn tính trên

số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kì.

• Từ đó lần lượt tính số tiền cả gốc lẫn lãi sau từng kì hạn, và hình thành công thức tổng quát.

Lời giải:

Gọi M là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất theo kì hạn gửi

Sau 1 kì hạn số tiền cả gốc lẫn lãi là:

Sau 2 kì hạn số tiền là:

Sau 3 kì hạn số tiền là: