HƯỚNG dẫn học SINH PHÂN TÍCH bài TOÁN xác SUẤT từ đó vận DỤNG HAI QUY tắc đếm cơ bản và QUY tắc TÍNH xác SUẤT để tìm xác SUẤT

Nội dung...trang 5Cơ sở lí luận...trang 5Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến...trang 6Giải pháp thực hiện: Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán xác suất từ đó vận dụng hai quy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH BÀI TOÁN XÁC SUẤT

TỪ ĐÓ VẬN DỤNG HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN VÀ QUY

Lí do chọn đề tài trang 3Mục đích nghiên cứu trang 3Đối tượng nghiên cứu trang 4Phương pháp nghiên cứu trang 4Phần II Nội dung trang 5

Cơ sở lí luận trang 5Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến trang 6Giải pháp thực hiện: Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán xác suất từ đó vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản và quy tắc tính xác suât để tìm xác suất trang 7Tính xác suất bằng định nghĩa trang 7

Áp dụng quy tắc tính xác suất để tính xác suất trang 9Bài tập tổng hợp trang 13Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường trang 22Phần III Kết luận và kiến nghị trang 24Bài tập kiến nghị trang 26Tài liệu tham khảo trang 29

Phần I : MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích 11 ở chương II đềcập đến chủ đề: Tổ hợp - xác suất Để có thể giải quyết được các bài toán Tổhợp - xác suất học sinh phải nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản, các quy tắc tínhxác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toánvào những tình huống cụ thể

Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 và ôn tập cho hocsinh thi THPT quốc gia tôi nhận thấy nhiều em chưa hiểu thấu đáo các kháiniệm cơ bản của xác suất như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cốxung khắc, biến cố đối,…Đặc biệt trong bài toán tính xác suất theo định nghĩacác em chưa nắm rõ được biến cố và tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố,chưa biết cách phân chia tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố thành nhiềunhóm kết quả thuận lợi sao cho việc đếm các kết quả thuận lợi dễ dàng hơn,chưa biết cách phân tích một biến cố thành hợp các biến cố xung khắc hoặc giaocác biến cố độc lập từ đó vận dụng linh hoạt các quy tắc để tính xác suất

Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên Dođặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt

so với các bài toán đại số, giải tích, hình học Chính vì vậy, đứng trước một bàitoán xác suất học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào,thậm chí có nhiều em đã làm xong vẫn băn khoăn cũng không dám chắc mình đãlàm đúng hay chưa Để giúp học sinh nắm rõ bài toán xác suất tôi đã chọn đề tài:

Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán xác suất từ đó vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản và quy tắc tính xác suất để tìm xác suất

1.2 Mục đích

Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức cơbản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó đểgiải quyết bài toán xác suất trong nhiều tình huống khác nhau và giúp các emhọc sinh lơp 12 ôn tập tốt phần xác suất

1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Khách thể: Học sinh khối 11 và học sinh ôn thi cuối khóa trường THPTThiệu Hóa

- Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xácsuất, các bài toán xác suất

- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chươngtrình SGK cơ bản và nâng cao môn toán lớp 11

1.4 Phương pháp nghiên cứu

a) Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học

b) Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh

c) Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải

quyết các bài toán xác suất trước và sau khi được học phương pháp phân tíchnày

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Tập trung phân tích các bài tập tổng hợp nâng cao phổ biến trong các kìthi học sinh giỏi tỉnh, trong kì thi THPT quốc gia

PHẦN II: NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

1) Hai quy tắc đếm cơ bản ( quy tắc cộng và quy tắc nhân)

2) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà:

- Không đoán trước được kết quả của nó

- Có thể xác định được tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử Khônggian mẫu của phép thử kí hiệu là 

Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:

- Tập được mô tả cho biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không)

- Tập  được mô tả cho biến cố chắc chắn.

Phép toán trên biến cố

Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử T

và các kết quả của phép thử là đồng khả năng

- Cho hai biến cố A và B Biến cố “ A hoặc B xảy ra” kí hiệu A B , đượcgọi là hợp của hai biến cố A và B và được mô tả bởi tập   A B

- Cho hai biến cố A và B Biến cố “ A và B cùng xảy ra” kí hiệu AB,được gọi là giao của hai biến cố A và B và được mô tả bởi tập   A B

- Biến cố A không xảy ra gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là Và

xảy ra khi và chỉ khi không xảy ra

- Nếu    A B  thì ta nói và là xung khắc.

- Hai biến cố và được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay

không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến

cố kia

4) Định nghĩa cổ điển của xác suất

Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử T có một số hữu hạn kết quả và

đồng khả năng, kí hiệu ( )là số phần tử của tập X Ta gọi tỉ số n  n A( )( ) là xác

suất của biến cố , kí hiệu là P(A) Vậy ( ) ( )

c) Quy tắc nhân xác suất:

Hai biến cố A và B độc lập khi đó ta có: P AB( )P A P B( ) ( )

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 và ôn tập cho hocsinh thi THPT quốc gia tôi nhận thấy nhiều em chưa hiểu thấu đáo các kháiniệm cơ bản của xác suất như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cốxung khắc, biến cố đối,…Đặc biệt trong bài toán tính xác suất theo định nghĩacác em chưa nắm rõ được biến cố và tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố,chưa biết cách phân chia tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố thành nhiềunhóm kết quả thuận lợi sao cho việc đếm các kết quả thuận lợi dễ dàng hơn,chưa biết cách phân tích một biến cố thành hợp các biến cố xung khắc hoặc giaocác biến cố độc lập từ đó vận dụng linh hoạt các quy tắc để tính xác suất.

Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên Dođặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt

so với các bài toán đại số, giải tích, hình học Chính vì vậy, đứng trước một bàitoán xác suất học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào,thậm chí có nhiều em đã làm xong vẫn băn khoăn cũng không dám chắc mình đãlàm đúng hay chưa.

2.3 HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH BÀI TOÁN XÁC SUẤT TỪ

ĐÓ VẬN DỤNG HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN VÀ QUY TẮC TÍNH XÁC SUÁT ĐỂ TÌM XÁC SUẤT

1 Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển của xác suất

Xác suất của biến cố A là: ( ) ( )

đó tìm ra các bước giải bài toán.

Bài toán 1 Gieo ba đồng xu cân đối và đồng chất như nhau Tìm xác suất của

các biến cố sau:

a) Có đúng hai mặt sấp xuất hiện

b) Có ít nhất một mặt sấp xuất hiện

c) Có nhiều nhất một mặt sấp xuất hiện

Hướng dẫn học sinh phân tích:

Thực chất của bài toán là đếm số kết quả có thể xảy ra của phép thử gieo

ba đồng xu cân đối đồng chất và đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố

Ta kí hiệu S là mặt sấp xảy ra , N là mặt ngữa xảy ra Các khả năng xảy ralà: 2 3  8 đó là các khả năng:  NNN NNS NSN SNN NSS SNS SSN SSS; ; ; ; ; ; ; 

a) Gọi A là biến cố có đúng hai mặt sấp xuất hiện Số kết quả thuận lợicho A là 3 gồm NSS; SNS; SSN Vậy ( ) 3

8

P A 

b) Gọi B là biến cố có ít nhất một mặt sấp xuất hiện Số kết quả thuận lợicho B là 3 3 1   gồm hai sấp NSS; SNS; SSN , một sấp SNN; NSN; NNS và basấp SSS Vậy ( ) 7

8

P B  Nhậ xét: Ta có thể đếm phần bù là  B NNN suy ra ( ) 1 ( ) 7

Bài toán 2 Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất như nhau Tìm xác suất

của các biến cố sau:

a) Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là 8

b) Số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là bằng nhau

c) Tích số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là số chẵn

Hướng dẫn học sinh phân tích:

Thực chất của bài toán là đếm số kết quả có thể xảy ra của phép thử gieohai con xúc xắc cân đối đồng chất và đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố

Các khả năng xảy ra là: 6.6 36  đó là các khả năng :

Bài toán 3 Một hộp đựng 9 thẻ có đánh số 1, 2, 3, , 9 trên đó.Bốc ngẫu nhiên

ba thẻ Tìm xác suất để ba thẻ thu được có:

a) Tổng số ghi trên ba thẻ là số chẵn

b) Tích số ghi trên ba thẻ là số chẵn

Hướng dẫn học sinh phân tích:

Mỗi phần tử của không gian mẫu là một tập con ba phần tử của tập chín phần tử,nên số phần tử của không gian mẫu là 3

9

C a) Gọi A là biến cố tổng số ghi trên ba thẻ là số chẵn Mỗi kết quả thuậnlợi của A sẽ là hai thẻ lẻ và một thẻ chẵn hoặc ba thẻ chẵn nên số kết quả thuậnlợi của A là 2 1 3

5 4 4

C C C Vậy xác suất của biến cố A là

2 1 3

5 4 4 3 9

4 5 4 5 4

C C C C C Vậy xác suất của biến cố A là

1 2 2 1 3

4 5 4 5 4

3 9

      Cách đếm này thuận lợi hơn

Bài toán 4: Một đội thanh niên tình nguyện gồm 8 người, trong đó có An và

Bình Người ta phân một cách ngẫu nhiên thành hai nhóm mỗi nhóm 4 người.Tính xác suất để An và Bình thuộc cùng một nhóm

Hướng dẫn học sinh phân tích:

Không gian mẫu  là tập hợp tất cả các cách phân chia 8 người thành hainhóm, mỗi nhóm 4 người Mỗi cách phân nhóm lại cho ta hai nhóm Nên sốcách phân nhóm là 4

8

1

2C Gọi A là biến cố " An và Bình thuộc cùng một nhóm" Số kết quả thuậnlợi của A là số cách phân nhóm sao cho An và Bình thuộc cùng một nhóm Nên

số kết quả thuận lợi là 2

6 ( A)

n  C Vậy

2 6 4 8

3 ( )

Với mọi biến cố và bất kì ta có: P A B(  ) P A( ) P B( )  P AB( )

Bài toán 5: Một hộp đựng 18 viên bi cùng kích thước và chất liệu trong đó có 5

bi trắng, 6 bi xanh và 7 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi Tính xác suất để:

a) Bốn bi lấy ra cùng màu

b) Bốn bi lấy ra có đủ ba màu

Phân tích để giúp học sinh đưa ra nhận xét: Trong những bài toán mà các kết

quả thuận lợi của biến cố A chia thành nhiều nhóm kết quả ta có thể coi biến cố

A là biến cố hợp của các biến cố A 1 , …, A n xung khắc tương ứng Sau đó sử dụng quy tắc cộng xác suất để tính xác suất của biến cố A.

Trong bài này không gian mẫu gồm C184 phần tử

Gọi A là biến cố lấy được 4 bi cùng màu

Gọi A1 là biến cố 4 bi lấy ra cùng màu trắng, khi đó n(A1)C54

Gọi A2 là biến cố 4 bi lấy ra cùng màu xanh, khi đó n(A2)C64

Gọi A3 là biến cố 4 bi lấy ra cùng màu đỏ, khi đó n(A3)C74

Các biến cố A1, A2, A3là các biến cố xung khắc từng đôi một và A A 1 A2 A3

Vậy xác suất để bốn bi lấy ra cùng màu là:

b) Gọi B là biến cố lấy được 4 bi có đủ ba màu

Gọi B1 là biến cố 4 bi lấy ra có hai bi màu trắng, một bi xanh, một bi đỏ Ta có

P B

C



Các biến cố B1, B2, B3là các biến cố xung khắc từng đôi một và B B 1 B2 B3

Vậy xác suất để bốn bi lấy ra có đủ ba màu là:

Bài toán 6 Có hai hộp chứa các quả cầu cùng kích thước Hộp thứ nhất chứa 7

quả trắng và 2 quả đen Hộp thứ hai chứa 6 quả trắng và 3 quả đen Lấy ngẫunhiên từ mỗi hộp một quả cầu Tính xác suất để lấy được:

a) Hai quả cầu trắng

b) Hai quả cùng màu

c) Hai quả cầu khác màu

Hướng dẫn học sinh phân tích:

Việc lấy mỗi bình một quả cầu là độc lập với nhau và để lấy được hai quả cầu có màu quy định thì ở mỗi bình phải lấy một quả có màu sao cho hai quả

lấy ra phải được màu quy định đó Điều này khiến chúng ta phải vận dụng quy tắc nhân cho giao các biến cố độc lập và quy tắc cộng cho hợp các biến cố xung khắc

Cụ thể trong bài này ta tiến hành như sau:

Gọi A A1 , 2 lần lượt là các biến cố lấy được cầu trắng từ hộp thứ nhất và hộp thứhai Gọi B B1 , 2 lần lượt là các biến cố lấy được cầu đen từ hộp thứ nhất và hộpthứ hai Các biến cố trên đều độc lập với nhau

a) Xác suất lấy được hai quả cầu trắng là: 1 2 1 2

7 6 42

9 9 81

P A P A A P A P A   b) Xác suất lấy được hai quả cầu cùng màu là:

Bài toán 7 Chọn ngẫu nhiên một vé số có năm chữ số từ 0 đến 9 Tìm xác suất

để số trên vé không có mặt chữ số 1 hoặc không có chữ số 5

Hướng dẫn học sinh phân tích:

Khi chọn ngẫu nhiên một vé số có 5 chữ số từ 0 đến 9, ta có các khả năng có thểxảy ra là n  ( ) 10 5

Gọi A là biến cố chọn được vé số mà số trên vé không có mặt chữ số 1 hoặckhông có chữ số 5 Khi đó n A  ( ) 9 5 9 5  8 5

10 Tính xác suất để mục tiêu không trúng đạn

Hướng dẫn học sinh phân tích:

Gọi A1 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ nhất thì 1

3 ( ) 10

P A 

Gọi A2 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ hai thì 2

3 ( ) 10

P A  A1, A2 là độc lập

1 2

A A A là biến cố A bắn trượt cả hai lần bắn Ta có:

2

1 2

3 ( ) ( ) ( ) ( )

Từ đó giúp học sinh đưa ra nhận xét: Trong những bài toán mà các kết quả

thuận lợi của biến cố A phải đồng thời thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khácnhau ta có thể coi biến cố A là biến cố giao của các biến cố A1, , An độc lậptương ứng Sau đó sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất của biến cố A

Bài toán 9: Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25.

Lớp học không đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng cháy Tính xác suất dể lớp họckhông đủ ánh sáng

Hướng dẫn học sinh phân tích:

Mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25, mỗi bóng có xác suất sáng là 0,75

Gọi A1 là biến cố 4 bóng cháy 2 bóng sáng, A1 là biến cố hợp của C64 biến cốcon, P A( )1 C64.(0, 75) (0, 25)2 4

Gọi A2 là biến cố 5 bóng cháy 1 bóng sáng, A2 là biến cố hợp của C65biến cố

Bài toán 10: Một người bắn 3 viên đạn Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là

0,008; xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15; xác suất để 1 viên trúng vòngdưới 8 là 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm

Hướng dẫn học sinh phân tích:

Theo bài ra thì xác suất trúng vòng 10 là 0,2; xác suất trúng vòng 9 là 0,25

Gọi A1 là biến cố 1 viên 10, 2 viên 9, A1 là biến cố hợp của C31 biến cố con,

Bài toán 11.

Có 2 lô hàng Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm Xácsuất để được sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là Hãytính xác suất để:

a) Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt

b) Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt

Hướng dẫn học sinh phân tích:

Đây là bài toán cho trước xác suất nên chắc chắn ta phải sử dụng phéptoán tính xác suất để giải quyết Biến cố cơ sở sẽ là “Lấy được sản phẩm tốt từ

lô hàng thứ nhất” và “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”

Lời giải:

Gọi biến cố “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất”

“Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”

Khi đó ta có: P(A) = 0,7  P A( ) = 1 – 0,7 = 0,3

P(B) = 0,8  P B( ) = 1 – 0,8 = 0,2 a) Gọi là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt” Suy ra

Do hai biến cố là độc lập nên ta có

3 Bài tập tổng hợp vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản và quy tắc tính xác suất.

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh thường gặp kho khăn hơn ở bài toán tính xác suất bằng định nghĩa và thường gặp khó khăn ở đếm các kết quả thuận lợi cho những biến cố phức tạp Các em thường chưa biết cách phân tích để chia tập các kết quả thuận lợi cho biến cố thành nhiều tập hợp con các kết quả thuận lợi

Giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh xem bài toán xác suất dạng này như là tìm tỉ số giữa các sản phẩm thỏa mãn yêu cầu với toàn thể sản phẩm tạo

ra Khi đó bài toán được tiến hành như sau:

Bước 1 Cần xác định các nguyên liệu để tạo ra sản phẩm, các công đoạn tạo

Bài toán 12 Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ ta được một xấp

bài Tính xác suất để trong xấp bài này có chưá hai bộ đôi (tức là có hai conthuộc một bộ, hai con thuộc bộ thứ hai và một con thứ 5 thuộc bộ khác)

Hướng dẫn học sinh phân tích:

Mỗi sản phẩm hay mỗi kết quả của phép thử là chọn 5 quân bài trong 52quân Vậy có 5

52

C kết quả

Gọi A là biến cố chọn được 5 quân có chưá hai bộ đôi Mỗi kết quả thuậnlơị cho A hay một sản phẩm đạt yêu cầu là chọn được 5 quân ở ba bộ trong đómột bộ một quân, hai bộ khác mỗi bộ một đôi Từ đó ta suy ra cách để tạo ra xấpbài trên là như sau:

Cách 1 Trước hết ta chọn 3 bộ trong 13 bộ, số cách chọn là 3

13

C Tiếp theo tachọn 1 bộ trong 3 bộ số cách chọn là 1

5 quân có chưá hai bộ đôi

vậy xác suất cần tìm là 5

52

123552 198 ( )

4165

P A

C