sử dụng phép dời hình vào giải một số bài tập tọa độ trong mặt phẳng và sáng tạo một số bài tập cùng mức độ

Dạy học là một nghệ thuật, người thầy phải luôn trăn trở, tư duy tìm tòi,đổi mới phương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh.Trong quá trình dạy học chúng ta luôn luô

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN 4

2.2.1 Thời gian và đối tượng thực nghiệm 4

2.2.2 Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên 4

Biểu thức toạ độ của một số phép biến hình 5

2.3.2 Phân loại mức độ khó của bài tập để gây hứng thú cho học sinh: 6

b Các bài tập vận dụng phép dời hình để giải 9

2.3.3 Sử dụng phép dời hình để sáng tạo các bài toán có cùng mức độ

với bài toán gốc

11

MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Từ trước đến nay, về cơ bản chương trình giáo dục phổ thông vẫn là theocách tiếp cận nội dung, thường chỉ nêu ra một danh mục đề tài, chủ đề của mộtlĩnh vực (môn học) nào đó cần dạy và học Tức là tập trung xác định và trả lờicâu hỏi: Chúng ta muốn học sinh biết cái gì? Vì vậy, chúng ta chủ yếu chạy theokhối lượng kiến thức, ít chú ý dạy cách học, nhu cầu, hứng thú của người học…Chương trình mới chuyển sang cách tiếp cận năng lực, nhằm phát triển phẩmchất và năng lực người học Đó là cách tiếp cận nêu rõ học sinh sẽ làm được gì

và làm như thế nào vào cuối mỗi giai đoạn học tập trong nhà trường Cách tiếpcận này không chỉ đòi hỏi học sinh nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản

mà còn chú trọng yêu cầu vận dụng kiến thức, kỹ năng vào thực hành, giải quyếtcác tình huống trong học tập và cuộc sống; tính chất và kết quả hoạt động cũngphụ thuộc rất nhiều vào hứng thú, niềm tin, đạo đức… của người học

Toán học là môn học cơ bản, nếu học tốt môn Toán thì những kiến thứctrong Toán cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành cơ sở để họctốt những môn học khác và ứng dụng trong cuộc sống

Dạy học là một nghệ thuật, người thầy phải luôn trăn trở, tư duy tìm tòi,đổi mới phương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh.Trong quá trình dạy học chúng ta luôn luôn phải đổi mới phương pháp, tìm tòisáng tạo các biện pháp để giúp học sinh có hứng thú để tiếp thu và vận dụngkiến thức đã học vào giải quyết các bài tập Nhiệm vụ của các thầy cô đang trựctiếp giảng dạy là làm cho học sinh hiểu và nắm được logic giữa các phần và cácphân môn để các em có được thói quen suy luận logic, kỹ năng làm bài tập mộtcách tổng hợp, nâng cao hiệu quả trong học tập và đạt kết quả cao trong các kỳthi

Thực tế tính sáng tạo trong việc học môn Toán của học sinh còn thấp Các

em chưa có ý thức tham gia sáng tạo, liên kết kiến thức giữa các phần này vàphần khác, phân môn này và phân môn khác để tạo ra kiến thức và phương pháplàm toán một cách tổng hợp

Sách giáo khoa toán sử dụng trong nhà trường phổ thông cung cấp chongười dạy và người học các mảng kiến thức cơ bản Trên cơ sở của các bài tậptrong sách giáo khoa, chúng ta có thể giúp học sinh sáng tạo ra các bài tập khác

Thực tế nhiều năm giảng dạy và ôn luyện học sinh thi THPTQG tôi nhậnthấy nội dung của chương I hình học lớp 11 có thể ứng dụng vào giải một số bàitập tọa độ trong mặt phẳng chương III hình học 10 và sáng tạo một số bài tậpcùng mức độ với bài toán gốc

Để tạo hứng thú cho học sinh giải quyết tốt lớp các bài tập tọa độ trong

mặt phẳng Tôi đã chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng phép Dời

hình vào giải một số bài tập tọa độ trong mặt phẳng và sáng tạo một số bài tập cùng mức độ”

1.3 Đối tượng ngiên cứu:

Các phép dời hình cơ bản: Phép tịnh tiến, Phép đối xứng trục, phép đốixứng tâm và ứng dụng của nó trong giải bài tập hình học tọa độ trong mặt phẳng

và sáng tạo một số bài tập cùng mức độ với bài toán gốc

Giới hạn của đề tài: Xuất phát từ nhiệm vụ: Là giáo viên trực tiếp giảng

dạy môn toán và ôn luyện cho học sinh thi THPTQG Vì vậy trong nội dung củaSKKN này, tôi chủ yếu tập trung vào việc “Tạo hứng thú trong học tập vàhướng dẫn học sinh sử dụng phép Dời hình vào việc giải và sáng tạo một số bàitập tọa độ trong mặt phẳng”

4 Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:

- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, các thông tin trên internet có liên quanđến đề tài

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn

- Phương pháp thực nghiệm

NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Thực tế giảng dạy cho thấy có nhiều học sinh khi học chương I – Hình học

11, các em thường không hứng thú với việc học và không biết ứng dụng của

phép dời hình để làm gì, nói cách khác các em không gắn được lý thuyết đã họcvào thực hành, do đó các em không chú trọng trong việc học chương này Ngườithầy giáo cần chỉ rõ và hướng dẫn cho học sinh ứng dụng các phép dời hình vàogiải toán Từ đó cho các em thấy được các ứng dụng của phép dời hình tronggiải toán

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2.2.1 Thời gian và đối tượng thực nghiệm:

Tìm hiểu trên đối tượng học sinh lớp 11A1, 11D2 năm học 2016-2017 và

áp dụng trên học sinh các lớp 11A3, 11A7, 11A10 năm học 2018-2019

2.2.2 Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:

Qua nhiều năm giảng dạy phần này, tôi nhận thấy: Học sinh không nắmvững, phân biệt các phép Dời hình và vận dụng vào giải một số bài tập tọa độtrong mặt phẳng Tôi đã suy nghĩ, tìm tòi, thử nghiệm và rút ra được kinhnghiệm dạy cho học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức chương 1 hình học lớp 11.Với cách dạy này đa số học sinh giải được các bài toán phù hợp với khảnăng và năng lực của mình; làm tốt bài kiểm tra Một số em có học lực khá cóthể sáng tạo ra các bài toán mới có nội dung và mức độ tương đương với bàitoán gốc

Phạm vi của đề tài chỉ nghiên cứu ở việc dạy, hướng dẫn học sinh giải toántheo các hoạt động nhằm nâng cao năng lực giải toán cũng như vận dụng cáckiến thức vào việc sáng tạo bài toán mới có nội dung và mức độ tương đươngvới bài toán gốc

Trước khi áp dụng trên các đối tượng học sinh lớp 11 trong 2 khóa khácnhau Tôi nhận thấy các em ít sử dụng kiến thức được học ở lớp 11 vào giải một

số bài tập phần tọa độ trong mặt phẳng mà hầu hết các em chỉ sử dụng kiến thứccủa lớp 10 để giải

Tôi nhận thấy đa số học sinh không chú tâm học phần phép dời hình vàphép đồng dạng Dẫn đến việc tiếp thu kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinhchưa hiệu quả Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:

- Các em còn lúng túng trong việc phân biệt các phép dời hình, tìm ảnh củamột hình qua một phép dời hình cụ thể

- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế

- Sự ham mê tìm tòi trong giải toán chương này của học sinh chưa thực sựtốt

- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học.

Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em Thực sự là khókhông chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tảikiến thức tới các em Nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh.Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xácđịnh được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn hình họctrong đời sống

2.3 Các giải pháp và tổ chức thực hiện

Trong các tiết học của chương I hình học lớp 11: “Phép dời hình và phépđồng dạng trong mặt phẳng” Học sinh ít hứng thú dẫn đến nắm kiến thức chưachắc, chưa hiểu bản chất Khả năng tư duy hàm, suy luận lôgíc, khả năng kháiquát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là phần ứng dụng các phép biến hình

Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhucầu học tập của học sinh Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xinđưa ra biện pháp mà tôi đã từng sử dụng:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho I a b( , ), M x y M x y Khi đó nếu ; , ’ ’; ’  

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v  (2; 1) , điểm M(3; 2) Tìm tọa độ

của các điểm A sao cho:

a) AT vM b) M T A v 

Giải

Học sinh thường giải:

Giả sử A(x; y), để AT vM thì MA v 

Trong đó: M   A x 3;y 2

x y

GV gợi ý: Áp dụng biểu thức tọa độ.

Giả sử A(x; y) Áp dụng biểu thức tọa độ:

x y

b) Khi đó 3 2

x y

x y

Bình luận: Đây là một bài toán cơ bản đối với việc giải toán tọa độ Các em có

thể chỉ cần nhớ biểu thức tọa độ để giải là được.

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm A(1; 2) tìm tọa độ điểm B đối

xứng với A qua đường thẳng d: y = x

Giải

Học sinh thường giải:

Gọi u là VTCP của đường thẳng d  u1;1 B(x; y) là điểm đối xứng với A qua d và H là trung điểm của AB

A, B đối xứng nhau qua d   

Bình luận: Đây là một bài toán cơ bản đối với việc giải toán tọa độ Các em

thường giải bằng các bước:

- Lập phương trình đường thẳng d’ qua A và vuông góc với d.

- Xác định tọa độ giao điểm của d và d’.

- xác định tọa độ B sao cho H là trung điểm AB.

Cách giải này cơ bản nhưng dài, chúng ta có thể giải bằng suy luận sau:

- Nếu điểm A a b thì điểm đối xứng với A qua phân giác góc phần tư thứ nhất ; 

là B b a  ; 

- Cách giải này giúp rút ngắn thời gian, phù hợp với việ giải toán trắc nghiệm.

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho véctơ (1; 3) v  , đường thẳng d có

phương trình: x2y 3 0 Lập phương trình đường thẳng d’ là ảnh của

d qua phép tịnh tiến theo vectơ v

Giải

Cách 1: Dùng tính chất của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến biến một đường thẳng

thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó [1].

Vì d’//d nên phương trình tổng quát của d’ có dạng x2y c 0 M’ thuộc d’.

Chọn M 1;1 thuộc d.

Gọi M’T M   2; 2  và M’ thuộc d’  2 2 2   c 0  c 2

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: x2y 2 0

Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến [1].

Từ biểu thức toạ độ của Tv : x y'' x y 13 x x y y ' 1' 3

  thay vào phương trình

của d : x' 1  2y' 3  3 0  ’ 2 ’ 2 0x  y  

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: x2y 2 0

Bình luận: Khi chưa học phép tịnh tiến, các em thường giải bằng cách:

- Lấy A, B bất kì thuộc d.

- Tìm ảnh A’, B’ tương ứng của A và B qua phép tịnh tiến theo vectơ v

- Lập phương trình đường thẳng A’B’.

Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:

x 12  y 22 9 Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theovec to u2;3

Giải

Cách 1 Theo tính chất phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến biến đường tròn thành

đường tròn có cùng bán kính [1].

Gọi I là tâm đường tròn (C) thì: I(1;2).

Gọi I’(x;y) là tâm đường tròn (C’) thì:

Vì M’(x’;y’) thuộc (C’) nên: x' 2 1  2  y' 3 2  2 9

x 32y 52 9

Vậy đường tròn cần lập có phương trình: x 32y 52 9

Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình

x  y  x y  Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Ox.

Giải:

Gọi (C’) là ảnh (C) qua phép đối xứng trục Ox.

Ta có: đường tròn (C) có tâm I(1;-2), bán kính R = 3

Đường tròn (C’) có tâm là I’Đ Ox  I 1;2 và bán kính R = 3

 phương trình (C) là: x 12y 22  9

b Các bài tập vận dụng phép dời hình để giải

Phương pháp (Thường thông qua một bước dựng hình):

Để dựng điểm M ta làm như sau:

Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép biến hình Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép biến hình.

Bài 1[6]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(-1;-1), B(3;1) và C(2;3) Tìm toạ

độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành OABC Có: A(-2;1) và B

thuộc đường thẳng () có phương trình: 2x y 5 = 0  Tìm tập hợp điểmC?

- Đối với bài tập này giáo viên cần chỉ rõ cho HS việc xuất hiện phép tịnh tiến.

- Phân tích cho HS kỹ thuật áp dụng phép biến hình.

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho: B(-2;2) và C(-3;1) nằm trên đường tròn

có tâm I(-3;2), điểm A thay đổi trên đường tròn đó Tìm quỹ tích trực tâm

H của ABC.

Giải:

Ta có: phương trình đường tròn (C): (x3)2 (y 2)2  1

phương trình đường thẳng BC: x y 4= 0

Theo kết quả bài toán 1 trang 7 SGK hình học 11 NC

Gọi (C’) là đường tròn đối xứng với (C) qua BC

phương trình đường tròn (C’) x22  y 12  1

Vậy quỹ tích H là đường tròn (C’) trừ hai điểm B và C

Nhận xét: Khi giải bài tập này, chúng ta đã sử dụng một kết quả đẹp trong SGK

Bài 4 [2]: Cho A(1;2) và B(3;4) Tìm P trên Ox sao cho tổng khoảng cách từ P

đến A và B là nhỏ nhất

Giải:

Ta có A, B khác phía đối với Ox.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua Ox  A’(1; -2).

x y

Nhận xét: Khi hướng dẫn HS giải bài tập này, chúng ta đã sử dụng một kết quả

đẹp trong mục 4 Áp dụng- bài phép đối xứng trục, trang 12 SGK hình học 11 NC.

Bài 5 [6]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3;1) và đường thẳng ():

x y  Tìm B và C lần lượt trên Ox và  sao cho tam giác ABC có chu

vi nhỏ nhất

Giải:

Gọi A1 là ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox suy ra A 1(3; -1)

Gọi A2 là ảnh của A qua phép đối xứng trục  suy ra A 2(1; 3).

Phương trình đường thẳng 1 2A A : 2x y  5 0

Ta có: AB BC CA A B BC CA   1   2 A A1 2

Suy ra B là giao của 1 2A A với Ox Tọa độ B là nghiệm của hệ:

50

2.3.4 Sử dụng phép dời hình để sáng tạo các bài toán có cùng mức độ với bài toán gốc.

Phương pháp và các bước sử dụng Phép dời hình để tạo bài toán mới.

Phép dời hình f H: ®H', ta có H là tạo ảnh (vật) còn H' là ảnh Khi vận

dụng phép biến hình để tạo đề toán thì xem đề toán đã cho là tạo ảnh (vật) "H"còn bài toán mới cần tìm là ảnh "H'"

"H": là bài toán gốc có thể có các đối tượng "Điểm; Đường thẳng; Mặt

phẳng" có chứa biến x; y; hoặc có các đối tượng góc, khoảng cách.

"H'": là bài toán mới được hình thành từ bài toán gốc thông qua phép biến

hình f

a) Tạo các bài toán mới từ các bài toán gốc chúng ta làm theo các bước sau:

Phương pháp 1.

Bước 1 Từ một trong các công thức (1), (2a), (2b), (3) thay vào các đối tượng

của "H" chứa x, y, bởi các biểu thức chứa x', y' ta có " H1"

Bước 2 Để xác định trong mặt phẳng Oxy ta thế các đối tượng x', y', trong "H1"

lần lượt bởi x, y sẽ được "H'" xác định trong mặt phẳng Oxy

Bước 3 Chỉnh sửa câu chữ, chặt chẽ đi đến hoàn thiện bài toán để được bài toán

mới

Phương pháp 2

Bước 1 Trong "H" các biến x, y của các đối tượng được thay thế lần lượt bởi x',

y' khi đó ta có "H1"

Bước 2 Vận dụng một trong các công thức (1’), (2a), (2b), (3’) Trong "H1" thế

các biến x', y' lần lượt bởi các biểu thức của nó ta có "H'".

Bước 3 Chỉnh sửa câu chữ, chặt chẽ đi đến hoàn thiện bài toán để được bài toán

mới

Phần tiếp theo là sử dụng các quy tắc đã xây dựng để tạo các bài toán mới có cùng mức độ.

b) Ví dụ minh họa các bước thực hiện theo mỗi phương pháp trên.

Bài toán gốc Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-3;2) và đường thẳng d

có phương trình: 2x y- + = 3 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm

A trên đường thẳng d.

Đáp án: Gọi B là hình chiếu của A lên d: B(-1;1)

Áp dụng Phương pháp 1, tạo bài toán mới như sau

Chọn Phép dời hình là Phép tịnh tiến có vr(2;3)

.

ì ïï

=-íï =

ïî trở thành

' 2 3' 3 2

x y

ì - ïï

=-íï - =

ïî Tọa độ A1

' 1' 5

x y

ì ïï

=-íï =ïî

+) Đáp án: Điểm B 1

1

x y

ì ïï

=-íï =

ïî chuyển thành

' 2 1' 3 1

x y

ì - ïï

=-íï - =

ïî Tọa độ B 1

' 1' 4

x y

ì =ïï

íï =ïî

Bước 2 Thế x', y' tương ứng bởi x, y.

ì ïï

=-íï =ïî

+) Chuyển B 1 thành B’ ' 1

' 4

x y

ì =ïï

íï =

ïî .

Bước 3.

Đề toán mới: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-1;5) và đường thẳng d

có phương trình: 2x- y+ =2 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của

điểm A trên đường thẳng d.

Đáp án: Gọi B là hình chiếu của A lên d Tọa độ B(1;4).

Áp dụng Phương pháp 2, tạo bài toán mới như sau.

Chọn phép dời hình là phép đối xứng tâm, với tâm I(2;1).

Bước 1 thế x, y tương ứng bởi x', y' hình H thành H1

x y

ì ïï

=-íï =ïî

+) Đáp án: Điểm B 1

1

x y

ì ïï

=-íï =

ïî chuyển thành B 1

' 1' 1

x y

ì ïï

=-íï =ïî