GIẢI bài TOÁN cực TRỊ số PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH học GIẢI TÍCH

các số phức.Bằng cách đặt tương ứng mỗi số phức zxyi x, ylà những số thực,i2   1 với mỗi điểm ; y x M trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thấy giữa Đại số và Hình học có mối liên hệ với

Trang 1

Mục lục: Trang

I Mở đầu 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 4

III Kết luận, kiến nghị 24

3.1 Kết luận 24

3.2 Kiến nghị 24

Tài liệu tham khảo: 25

Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp phòng GD&ĐT, Cấp Sở GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên: 25

Trang 2

I Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình Toán THPT phần Giải tích lớp 12,học sinh được hoàn thiệnhiểu biết của mình về tập hợp số thông qua việc cung cấp một tập hợp số,gọi là Sốphức.Trong chương này, học sinh đã bước đầu làm quen với các phép toán

cộng,trừ,nhân, chia,khai căn,lũy thừa;lấy mô đun, các số phức.Bằng cách đặt tương ứng mỗi số phức zxyi (x, ylà những số thực,i2   1) với mỗi điểm

)

;

( y x

M trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thấy giữa Đại số và Hình học có mối liên hệ

với nhau khá gần gủi.Hơn nữa nhiều bài toán về Số phức,khi chuyển sang hình học,từ những con số khá trừu tượng,bài toán đã được minh họa một cách rất trực quan,sinh động và cũng giải được bằng Hình học với phương pháp rất đẹp.Đặc biệt,trong các kỳ thi Đại học,Cao đẳng và THPT Quốc gia những năm gần đây,việc

sử dụng phương pháp Hình học để giải quyết các bài toán về Số phức là một trongnhững phương pháp khá hay và hiệu quả ,đặc biệt là các bài toán về Cực trị trong

số phức.Hơn nữa,với những bài toán Hình học theo phương pháp trắc nghiệm,nếu khi biểu diễn được trên giấy thì qua hình ảnh minh họa,ta có thể lựa chọn đáp án một cách dễ dàng

Tuy nhiên,trong thực tế giảng dạy,việc chuyển từ bài toán Đại số nói chung và

Số phức nói riêng sang bài toán Hình học ở nhiều học sinh nói chung còn khá nhiều lúng túng,vì vậy việc giải các bài toán về Số phức gây ra khá nhiều khó khăncho học sinh

Bài toán Cực trị số phức thông thường thì có khá nhiều cách lựa chọn để giải như dùng Bất đẳng thức,dùng khảo sát hàm số, Qua đề tài này,tôi muốn gợi ý cho học sinh một lối tư duy vận dụng linh hoạt các phương pháp chuyển đổi từ bài toán Đại số sang Hình học cho học sinh,giúp các em có cái nhìn cụ thể hơn về việc chuyển đổi đó và vận dụng tư duy này cho những bài toán khác.Với mục tiêu đó,trong SKKN này,tôi chỉ tập trung giải quyết bài toán theo hướng Hình

học.Không đặt nặng việc so sánh phương nào nhanh hơn,tối ưu hơn phương pháp nào

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trong số các bài các bài toán cơ bản là tính toán trên tập hợp số phức,tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước,tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức,thì học sinh trung bình có thể làm được,còn bài toán Cực trị số phức cần có tính tư duy,vậndụng thì học sinh thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán,không chú trọng đếnbản chất của bài toán,một phần vì học sinh ngại bài toán khó,một phần vì giáo viênkhi dạy cũng chưa chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh.Nhằm giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp,kỹ năng để giải quyết các bài toán Cực trị số phức một cách hiệu quả và kết quả tốt thì sau nhiều năm giảng dạy dạng toán

này,với kinh nghiệm đã tích lũy và học hỏi được,tôi mạnh dạn chọn đề tài Giải bài toán Cực trị số phức bằng phương phương pháp hình học giải tích để giúp học

sinh và giáo viên tham khảo nhằm đạt kết quả cao hơn trong học tập và giảng dạy

1.3 Đối tượng nghiên cứu

2

Trang 3

Đề tài này sẽ nghiên cứu cách giải bài toán Cực trị số phức bằng phương

phương pháp hình học giải tích trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

+) Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết,chuyển đổi nội dung bài

toán Đại số sang bài toán Hình học giải tích trong mặt phẳng tọa độ Oxy để giải

quyết

+) Phương pháp thu thập thông tin,tìm kiếm các bài toán trong đề tài này trong các đề minh họa ,đề thi THPT quốc gia năm 2017,đề thi thử của các trường trong toàn quốc trên mạng internet

+) Phương pháp thống kê,xử lý số liệu: tự giải các bài này bằng phương pháp hình học giải tích,hoặc tìm kiếm lời giải bài toán này bằng phương pháp hình học giải tích trên các sách,báo,mạng internet

II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

x gọi là phần thực, y gọi là phần ảo.

c) Với mỗi số phức z = x+yi, giá trị của biểu thức x 2 y2 gọi là mô đun của

z Kí hiệu là z Như vậy z  x2  y2

d) Với mỗi số phức z = x+yi, Số phức z ’ = x - yi, gọi là số phức liên hợp của z.Kí hiệu z,

Như vậy, nếu zxyi thì zx yi

e) Với mỗi số phức z = x+yi, Xác định điểm M(x;y) trên mặt phẳng tọa độ

Oxy.Điểm M gọi là biểu diễn hình học của số phức z.

Để cho tiện,trong SKKN này,tôi kí hiệu M(x;y) = M(z) hay đơn giản M(z) để chỉ M là điểm biểu diễn cho số phức zx yi

z z z

Trang 4

Với M0 M0(z0),R 0,tập hợp các điểm M  M (z) thỏa mãn hệ thức z z0 R

là đường tròn tâm M0, bán kính R

Với F1F1(z1),F2F2(z2),tập hợp các điểm M  M (z) thỏa mãn

a z

z

z 1   2  2 , z1  z2  2a , ( a >0) là đường Elip có hai tiêu điểm F1, F2 tiêu

cự F1F2  2c , độ dài trục lớn 2a, độ dài trục bé 2b , ( b2 a2  c2)

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Bài toán Cực trị nói chung và bài toán Cực trị số phức số phức nói riêng là dạng toán tương đối khó,do vậy học sinh thấy khó khăn,ngại học,không chủ

động,hứng thú làm bài, một mặt thì kiến thức hình học giải tích trong mặt phẳng

tọa độ Oxy các em học đã lâu (lớp 10),một mặt thì thời gian học trên lớp hạn

chế,tập hợp số phức lại là loại tập hợp mới mà các em vừa được tiếp cận

Từ thực tế trên tôi thấy cần phải đưa ra phương pháp giải cho từng dạng Cực trị

số phức nhằm tháo gỡ những khó khăn mà đa phần học sinh không nắm vững.2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Bài toán Cực trị số phức có các cách giải khác, đánh giá theo Bất đẳng

thức,Khảo sát hàm số,đặc biệt là bài thi trắc nghiệm có thể dùng máy tính cầm tay

để khảo sát giá trị,từ đó tìm ra đáp án đúng,

Trong SKKN này,tôi chia bài toán cực trị số phức thành tám dạng,có phân tích,nhận xét về vai trò,tác dụng,hiệu quả của từng dạng,từ đó các em có cách nhậnbiết để tiến hành lời giải hoặc tìm ra kết quả đúng

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

SKKN giải bài toán Cực trị số phức bằng phương pháp hình học giúp học sinh

cũng cố kiến thức về Hình học giải tích trong mặt phẳng tọa độ Oxy, có tư duy linh

hoạt,nhìn nhận bài toán Đại số dưới con mắt Hình học để thấy được ý nghĩa hình học của bài toán

Từ bài toán Hình học trực quan này giúp học sinh dễ dàng tìm ra lời giải,đặc

biệt có thể vẽ hình biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy để suy ra đáp án đúng

trong bài thi trắc nghiệm khách quan, học sinh thấy hứng thú,tự tin hơn khi giải bàitoán loại này

Từ kinh nghiệm này giúp học sinh học tốt bộ môn Toán trong chương trình THPT,từ đó nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường

Trang 5

Bài toán chuyển thành:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của M0M với M 

b) Tìm M  sao cho M0M nhỏ nhất

Ta thấy,với mọi điểm M  thì M0M M0H,

trong đó H là hình chiếu của M0 lên 

Do đó, min z z0 dM0;  khi M là hình chiếu của M0 lên 

Lời giải

Từ hệ thức z z1 z z2 , suy ra phương trình đường thẳng 

Với câu a),ta tính khoảng cách dM0; , và kết luận minz z0 dM0; 

Với câu b)

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M0,vuông góc với 

Giải hệ gồm hai phương trình:  và d suy ra nghiệm x; y

Kết luận,số phức cần tìm là zx yi

Đặc biệt: zmin tức là tìm số phức z sao cho mô đun của z là nhỏ nhất.

Ví dụ 1.1 Trong tất cả các số thức z thỏa mãn z 1  2i z 3  4i Tìm giá trị nhỏnhất của mô đun của z

Vậy,

13

13 5 min z Chọn đáp án A

Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô,rồi đoán đáp án đúng.

Ví dụ 1.2 Trong tất cả các số thức z thỏa mãn z 1  3i z 3  5i Tìm giá trị nhỏnhất của z 2 i

(1;-2) O

Trang 6

4 ( 1

6 ) 1 ( 4 2

; 2

min

2 2

Ví dụ 1.3 Trong tất cả các số thức zabi thỏa mãn z 2  5i z i Biết rằng

1 :

M o (-2;-1)

(3;5)

(1;-3)

Δ O

y B(0;1)

M o (-1;1)

x Δ

O d

H I(1;-2) A(2;-5)

Trang 7

7 3

y

x y

x

y x

Suy ra hình chiếu của M0 lên  là 

23

; 10

23 10

BÀI TOÁN 2: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z z0 R 0.Trong đó

Từ đẳng thức z z0 R,suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm I,bán kính R

Bài toán chuyển thành:

a) Tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của AM với M  (C)

b) Tìm M  (C) sao cho AM lớn nhất (hay nhỏ nhất)

Gọi M1, M2 là giao điểm của đường thẳng AI và (C) thì với mọi điểm M  (C) taluôn có AM1 AM AM2

R

M 2

Trang 8

Từ hệ thức z z0 R suy ra phương trình đường tròn (C)

Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A(z1),I(z0)

Giải hệ gồm phương trình của (C) và d, suy ra các nghiệm (x1;y1), (x2;y2)

Thử lại để chọn bộ ( y x; ) thích hợp từ hai bộ trên

Từ hệ thức z 1  3i  3,suy ra M thuộc đường tròn tâm I,bán kính R=3.

Vậy, minz 1  i  minMAAI  R  1

Chọn đáp án A

Ví dụ 2.2 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức z i  1.Tìm giá trị lớn nhất của z

x

Trang 9

Ví dụ 2.3 Trong tất cả các số phức zabi thỏa mãn hệ thức z 1  2i  1.Biết

5

13

; 5 9 0

5 4 3

1 ) 2 ( ) 1

y x

y x y

x

y x

Với

5

13 ,

Ví dụ 2.4 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z i  2.Biết rằng z đạt giá trị lớn

A(-3;1)

x

Trang 10

Lời giải

Đặt M(x;y) M(z).Từ hệ thức z i  2  M (C) :x2  (y 1 ) 2  4

Đường thẳng d qua O( 0 ; 0 ) và tâm ( 0 ; 1 ) của (C) có phương trình x = 0

1 , 0 4

) 1 (

0

2

y x y

x x

Với x  0 ,y   1 thì z i z  1

Với x 0 ,y 3 thì z 3i z  3

Vậy, z lớn nhất khi z 3 i Chọn đáp án A

BÀI TOÁN 3: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z z1 z z2 ,với z1, z2 là các

- Từ hệ thức z z1 z z2 Suy ra, M thuộc đường thẳng 

Dẫn đến bài toán: Tìm M   sao cho MA  MB nhỏ nhất

A, B khác phía so với  A, B cùng phía so với 

Ta thấy rằng,

+ Nếu A, B nằm về hai phía so với  thì với mọi điểm M  ,MAMBAB.

Vậy MA  MBnhỏ nhất là MAMAAB khi và chỉ khi M,A,B thẳng hàng hay

M’(-1;0) M(0;3)

Trang 11

Nếu A, B nằm về cùng một phía so với ∆ thì gọi A’ là điểm đối xứng với A

qua ∆ Khi đó, với mọi điểm M   ,MAMBMA' MBA'B Vậy, MA  MB nhỏ nhất là MAMBA'B khi và chỉ khi A’, M, B thẳng hàng hay M   A'B

Lời giải

- Từ hệ thức z z1 z z2 Suy ra phương trình đường thẳng 

- Thay tọa độ các điểm AA z3 ,BB z4 vào phương trình  để kiểm tra xem A,

B nằm cùng phía hay khác phía so với 

- Nếu A, B khác phía với  thì

+ minz z3  z z4 z3  z4

+ Để tìm z thì ta viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,

B Giải hệ gồm phương trình  và phương trình d Nghiệm (x;y) suy ra số phức

yi

x

z  cần tìm

+ Nếu A, B khác phía so với  thì viết phương trình đường thẳng a qua A và

vuông góc với  Giải hệ phương trình gồm phương trình của  và phương trình

của a suy ra nghiệm là tọa độ điểm I là trung điểm của AA’ Từ tọa độ của A, I và công thức tính tọa độ trung điểm suy ra tọa độ A’.

+ minz z3'  z z4 z3'  z4 với A’ = A’(z 3 ’).

+ Để tìm z thì ta viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A’, B Giải

hệ gồm phương trình ∆ và phương trình d Nghiệm (x;y) suy ra số phức zxyi

Lời giải:

Đặt M  M z

Từ hệ thức z 1 i z 2  3i , suy ra, M   : 2x 8y 11  0

Đặt A 2 ; 1 ,B 3 ;  2

Thay A vào phương trình , ta được: 2  2 8  1  11  0

Thay B vào phương trình , ta được: 2  3  8  2 11  0

Vậy A, B nằm cùng phía so với 

1

B

M 0 A’

O

Trang 12

Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với  thì

4

1 1

2 : x y

61 9

Chọn đáp án B

Nhận xét: Nếu ta biểu diễn bài toán trên giấy có ô thì ta cũng có thể chọn đáp án

phù hợp với 1 trong 4 đáp án đưa ra

Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng.

Ví dụ 3.3 ( Câu 46 – Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018)

Trang 13

Xét các số phức zabia,b  Thỏa mãn z 4  3i  5 Tính Pab khi

i z

Theo phần lý thuyết ở trên, ta thấy MA+MB lớn nhất, khi MI lớn nhất, khi M  K (Hình minh họa)

Đường thẳng qua I, vuông góc với AB có phương trình: x 2y 2  0

5 3

y x

2 , 2

y x

Tức là

2 ; 2 ,K 6 ; 4

H Chọn K (như đã nói trên) Vậy Pab 4  6  10 Chọn đáp án A

Bình luận: Nếu ta có thể hiện bài toán trên giấy thì cũng dễ dàng lựa chọn đáp án

là A

BÀI TOÁN 4: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z z1 z z2 Tìm

a) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z z A 2  z z B 2

b) Tìm số phức z để z z A 2  z z B 2 đạt giá trị nhỏ nhất Ở đây, z1,z2,z A,z B là các số phức cho trước.

Nhận xét:

- Đặt AA z A ,BB z B ,M M z thì z z A 2  z z B 2 MA2 MB2

- Từ hệ thức z z1 z z2 Suy ra M thuộc đường thẳng 

Dẫn đến bài toán, tìm M  sao cho MA 2 MB2 nhỏ nhất

1

A(-1;3)

I(1;0) O B(1;-1)

Trang 14

- Gọi I là trung điểm AB Khi đó, với mọi điểm M , ta có

4 2

2 2

2

MI MB

Do A, B, cố định nên AB không đổi, do đó MA 2 MB2 nhỏ nhất  MI nhỏ

nhất  M  M0, trong đó M0 là hình chiếu của I trên đường thẳng ,và giá trị nhỏ

2 ,

2 2 2

2 2

0 2

I d

AB I

M MB

Lời giải

- Từ z z1 z z2 Suy ra được phương trình đường thẳng 

- Tìm trung điểm I của đoạn thẳng AB.

+ Với câu a): Tính khoảng cách từ I đến , và độ dài đoạn thẳng AB Kết

2 ,

2

I d MB

+ Với câu b): Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với 

Nghiệm x,y của hệ hai phương trình , d là phần thực và phần ảo của z

Ví dụ 4.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z 1  2i z 3 i Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa zi2  z 2 i 2

8 68

169 2 2 ,

2

2 2

2

I d MB

Trang 15

Đường thẳng I, vuông góc với  có phương trình:

1

1 1

2

0 2

y

x y

x

y x

Vậy, số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là z 2

Chọn đáp án B

Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng.

Ví dụ 4.3 Cho số phức z thỏa mãn z 7  5i z 1  11i Biết rằng, số phức

yi

x

6 6 8

y

∆ (1;3)

B(3;1) I(1;1)

M(0;4)

(1;11)

I(4;7) y

∆

Trang 16

Đặt Mx;yM z

Từ hệ thức z 7  5i z 1  11i Ta được M  : 4x 3y 12  0

Đặt A   2 ; 8 ,B6 ; 6 I là trung điểm AB thì I(4;7).

Đường thẳng d qua I và vuông góc với ∆ có phương trình: 3x 4y 16  0.Xét hệ phương trình:

16 4 3

0 12 3 4

y

x y

x

y x

Vậy, P  16.Chọn đáp án A

BÀI TOÁN 5: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z z1 z z2 .

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức z z A  z z B

b) Tìm số phức z để z z A  z z B đạt giá trị lớn nhất.

Nhận xét:

- Đặt AA z A ,BB z B ,M M z thì z z A MA,z z B MB

- Từ z z1 z z2 Suy ra, M thuộc đường thẳng 

Dẫn đến bài toán: Tìm trên đường thẳng  cho trước điểm M sao cho MA  MB

lớn nhất Tính giá trị đó

A, B cùng phía so với  A, B khác phía so với 

- Với A, B cố định

+ Nếu A,B cùng phía so với  thì với mọi điểm M , ta luôn có MA MB AB

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng hay M   AB

+ Với: A, B khác phía so với , gọi A’ là điểm đối xứng với A qua  thì với mọi

điểm M , ta luôn có MA MB MA' MB A'B Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

M, A’, B thẳng hàng hay M   A'B

Lời giải:

- Từ hệ thức z z1 z z2 Suy ra phương trình đường thẳng 

- Thay lần lượt tọa độ điểm A, B vào phương trình  để kiểm tra xem A, B cùng

phía hay khác phía so với 

+ Nếu A, B cùng phía với 

Với câu a): thì giá trị lớn nhất của z z A  z z B là AB.

Với câu b): viết phương trình đường thẳng AB Giải hệ gồm phương trình

đường thẳng  và AB ta được nghiệm x,y là phần thực và phần ảo của z.

+ Nếu A, B khác phía với 

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	1,19 MB