Sử dụng máy tính casio để giải các bài toán trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số chứa tham số

Với mong muốn giúp đa số các em học sinh lớp 12 nắm vững các kiếnthức cơ bản về tính đơn điệu của hàm số đồng thời biết vận dụng một cách linhhoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tì

MỤC LỤC PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

PHẦN II NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 2

Chương 2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 3

Chương 3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 5

I Kiến thức cơ sở 5

1.1 Tính đơn điệu của hàm số 5

1.2 Kiến thức sử dụng máy tính căn bản cần biết để chinh phục bài thi trắc nghiệm 6

II Một số kĩ thuật giải nhanh và tư duy casio trong bài toán đồng biến, nghịch biến 7

2.1 Đối với các bài toán đơn giản, không chứa tham số 7

2.2 Các bài toán trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số chứa tham số 10

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 1 Kết luận 18

2 Đề xuất 18

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán khảo sát hàm số là một trong những câu không thể thiếu trongbất kì đề thi nào dành cho học sinh khối 12, từ kiểm tra định kì hay thi THPTQuốc gia

Từ năm 2017, khi thay đổi cách thi đối với môn toán từ tự luận sang trắcnghiệm, thì những câu đơn thuần như tìm khoảng đơn điệu, cực trị, giá trị lớnnhất – giá trị nhỏ nhất hay tương giao của đồ thị hàm số… luôn là những câu dễkiếm điểm đối với học sinh Tuy nhiên một số câu về tìm điều kiện của tham số

để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên một khoảng là câu không hề đơngiản đối với học sinh Do việc giải theo hình thức tự luận chiếm một thời giantương đối nhiều mà thời gian để làm một câu trắc nghiệm trung bình chỉ 1,8phút/ 1 câu

Với mong muốn giúp đa số các em học sinh lớp 12 nắm vững các kiếnthức cơ bản về tính đơn điệu của hàm số đồng thời biết vận dụng một cách linhhoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau trong khoảng

thời gian ngắn, tôi chọn đề tài: “Sử dụng máy tính casio để giải các bài toán trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số chứa tham số”

2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các tính chất cơ bản của tínhđơn điệu đặc biệt là kĩ năng sử dụng máy tính casio để giải quyết các bài toán vàtình huống cụ thể

3 Đối tượng nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học

Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh

Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải quyếtcác bài toán ở những lớp trước

PHẦN II NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

Hàm số là một khái niệm rất quan trọng trong toán học và có nhiều ứngdụng trong các khoa học thực nghiệm Chủ đề hàm số chiếm một vị trí quantrọng và có tính xuyên suốt trong chương trình toán từ trung học cơ sở đến trunghọc phổ thông ở các nước Có rất nhiều vấn đề liên quan đến hàm số, trong đóĐạo hàm là một chương vô cùng quan trọng Đạo hàm không khó nhưng nó lại

có rất nhiều những ứng dụng vô cùng hay và khiến các dạng bài tập khó trở nênđơn giản hơn nhiều Một trong những ứng dụng mà khó có thể làm được khikhông có sự góp mặt của nó chính là ứng dụng trong cách xét sự biến thiên củahàm số và các bài toán liên quan Đặc biệt là các bài toán có chứa tham số

Để có thể học tốt tính đơn điệu của hàm số, học sinh phải nắm vững cáckhái niệm và các kiến thức cơ bản của hàm số, sự đồng biến nghịch biến củahàm số, đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán

và tình huống cụ thể Qua thực tiễn giảng dạy cho học sinh lớp 12 chương trình

cơ bản môn Toán, tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm

cơ bản như: tính đơn điệu, sự đồng biến, nghịch biến, điều kiện cần, điều kiện

đủ để hàm số đồng biến nghịch biến, tìm điều kiện của tham số để hàm số đồngbiến (nghịch biến)…các em chỉ biết giải bài toán đồng biến, nghịch biến trongmột số kiểu bài tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt cáckiến thức về tính đơn điệu để giải quyết các tình huống cụ thể

Mặt khác, trong chương trình giải tích 12 phần kiến thức về tính đồngbiến, nghịch biến của hàm số chỉ được trình bày ở bài đầu tiên của chương I rất

ít và hạn hẹp Hơn nữa do số tiết phân phối chương trình cho phần này ít nêntrong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập đểhình thành kỹ năng giải cho học sinh

Trong sách giáo khoa giải tích 12 có đưa một vài ví dụ về việc tìm khoảngđơn điệu hay xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số mà không hề có một ví

dụ nào về tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên mộtkhoảng nào đó Do vậy khi gặp những bài toán có chứa tham số, học sinh khôngbiết bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào

Trong đề tài này tôi đề cập đến việc “Sử dụng máy tính casio để giải các bài toán trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số chứa tham số” theo hai

bài tập cụ thể:

- Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên một khoảng (đoạn)

- Tìm điều kiện của tham số để hàm số nghịch biến trên một khoảng(đoạn)

Chương 2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Học sinh trường THPT Cẩm Thủy 3 đa số là người dân tộc thiểu số nhậnthức còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức Khi gặp các bài toán về có chứatham số, chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng và thường bỏqua những bài tập dạng này

Đặc biệt, từ năm 2017 đến nay việc tổ chức thi trắc nghiệm đối với bộmôn toán đã khiến nhiều học sinh có tư tưởng làm tù mù, không thực sự tậptrung vào những phần khó

a Chẳng hạn, khi gặp bài toán:

Tìm giá trị của tham số m để hàm số 1 3  1 2  1 1

3

y  x  m x  m x

đồngbiến trên  ?

A m  B 24    C m 1 m  D 2 m 4

Một số học sinh sẽ khoanh tù mù các đáp án đã cho.

Đa số học sinh sẽ giải trực tiếp bằng cách sử dụng các kiến thức về tam thức bậc 2.

b Khi gặp bài toán

Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x3 3x2 3mx nghịch biến trên1

+ Tính y 3x2 6x3m

+ Để hàm số đã cho nghịch biến trên 0; thì  y  0 , x 0;

2

3x 6x 3m 0

2

2

m

Xét hàm số g x  x2  2x trên khoảng 0; , có  g x  2x 2

g x   x

Xét bảng biến thiên

x 0 1 

g’(x) - 0 +

g(x) 0 

-1

Do  mg x ,  x 0; nên   m min g x  1

Chọn đáp án C.

Nhận xét: Các bài toán trên không khó nếu học sinh hiểu được các kiến

thức về tính đơn điệu và các kiến thức liên quan đến hàm số Tuy nhiên việc giải như vậy không nhiều học sinh làm được và có làm được cũng mất khá nhiều thời gian

c Khi gặp bài toán

Tìm giá trị của tham số m để hàm số y x 3 3m x2 nghịch biến trên khoảng có

độ dài bằng 2?

A 1   B m 1 m  C 21    D m 2 m 2

Nhận xét: Nếu gặp bài toán này học sinh sẽ thực sự gặp khó khăn vì câu

hỏi đặt ra là: bắt đầu từ đâu? Bắt đầu như thế nào ???

Chương 3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Để học sinh có thể làm được các bài tập về tính đơn điệu của hàm số

một cách thành thạo và linh hoạt, ta cần cung cấp cho học sinh một hệ thống kiến thức làm cơ sở.

I Kiến thức cơ sở

1.1 Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên K

Nếu f x  0, x K thì hàm số yf x  đồng biến trên K

Nếu f x  0, x K thì hàm số yf x  nghịch biến trên K

* Chú ý: Nếu f x    0, x K thì hàm số yf x  không đổi trên K

 Tính f x  Tìm các điểm x i i  1,2, ,n mà tại đó đạo hàmbằng 0 hoặc không xác định.

 Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên i

 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

1.2 Kiến thức sử dụng máy tính căn bản cần biết để chinh phục bài thi trắc nghiệm

1.2.1 Những quy ước mặc định

- Các phím chữ màu trắng thì ấn trực tiếp

- Các phím chữ màu vàng thì ấn sau phím SHIFT

- Các phím chữ màu đỏ thì ấn sau phím ALPHA.

1.2.2 Bấm các kí tự biến số

Bấm phím ALPHA kết hợp với các phím chứa biến như: A, B, ,X, , M,

1.2.3 Công cụ CALC để thay số

Phím CALC có tác dụng thay số vào một biểu thức.

Ví dụ: Tính giá trị của hàm số

2

x y

tại điểm x 3, ta thực

hiện các bước sau:

Bước 1: Ấn tổ hợp SHIFT + tích phân

2.1 Đối với các bài toán đơn giản, không chứa tham số

Với những bài tập không chứa tham số, thường là những bài tập đơn giản,

đa phần học sinh thường giải nhanh tự luận rồi tính Tuy nhiên cách này cũngmất khá nhiều thời gian để tính toán và học sinh cũng rất dễ nhầm lẫn trong quátrình tính Ở đây tôi đưa ra các bài tập cụ thể, giải bằng cách thông thường đếncách vận dụng máy tính casio trong quá trình tính toán

Bài toán 1 Hàm số

2

x y

Đối với hàm phân thức, bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì ta phải tiếnhành chia tử cho mẫu, sau đó mới áp dụng công thức tính đạo hàm, khi đó sẽnhanh chóng, tránh phức tạp cồng kềnh

Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;2 và 2; 

Ta chọn đáp án D

Cách 2 Sử dụng casio thử trực tiếp các đáp án

Ta đã biết định lí: Giả sử hàm số yf x  có đạo hàm trên khoảng a b; 

Nếu f x  0, x a b;  thì hàm số yf x  đồng biến trên a b ; 

Nếu f x  0, x a b;  thì hàm số yf x  nghịch biến trên a b ; 

Do đó, hiểu đơn giản để biết được một hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định cho trước, ta chỉ cần dùng chức năng đạo hàm tại một điểm của casio và gán một giá trị x nằm trong tập xác định cho trước.0

* Nếu kết quả S tính được là S > 0 thì hàm số đã cho đồng biến.

* Nếu kết quả S tính được là S <0 thì hàm số đã cho nghịch biến.

Quay trở lại bài toán 1:

Đầu tiên ta loại đáp án B, vì hàm số đã cho là hàm phân thức Do đó ta chỉcần thử 3 đáp án còn lại

+ Bước 1: Bấm tổ hợp phím:SHIFT +Tích phân

màn hình sẽ hiển thị như bên

9 

y x

+ Bước 1: Bấm tổ hợp phím: SHIFT +Tích phân

màn hình sẽ hiển thị như bên





25   Loại đáp án C.

Vậy đáp án đúng là A.

Trên đây chỉ là hai trong số rất nhiều các bài toán đơn giản của tính đơnđiệu, việc giải bằng tự luận hay casio đều tương đối dễ dàng Tuy nhiên, nếu bàitoán chứa tham số thì sao? Điều đó nghĩa là : Nếu thêm một biến nữa thì ta phảilàm thế nào để giải được bài toán? Hay cụ thể hơn, đây là bài toán “Tìm tập giátrị của tham số để hàm số đơn điệu trên các tập xác định cho trước ”.

2.2 Các bài toán trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số chứa tham số

Ta biết, máy tính casio có thể tính được giá trị của biểu thức nhiều biếnbằng chức năng CALC và chức năng này lại có hỗ trợ cho chức năng tính đạohàm của hàm số tại một điểm Lợi dụng ưu điểm này, ta giải quyết bài toán

“Tìm tập giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên các tập xác định cho trước ” như sau:

+ Bước 1 (Nhập dữ liệu): Nhập hàm số chứa tham số vào máy tính casio đã bật

chức năng đạo hàm

+ Bước 2 (Đặt tên cho biến): Với biến x ta gán vào biến X, tham số đi kèm ta

gán vào biến M (hoặc một biến khác tương ứng)

+ Bước 3 (Gán giá trị): Đây là bước rất quan trọng – là bước tư duy quyết định.

Bước 3.1 (Gán giá trị cho biến X): Ta gán bất kì một điểm x nào trong tập xác0

định cho trước

Bước 3.2 (Gán giá trị cho biến M (tham số)): Ở đây chúng ta cần quan sát các

đáp án đã có để có thể gán các giá trị cụ thể vào biến M Các giá trị gán phải làmsao cho ta có thể nhận hoặc loại đáp án đó một cách nhanh nhất Điều này cònphụ thuộc vào tư duy của từng người

Cụ thể ta xét một số bài toán sau:

Bài toán 3 Hàm số

1 ( 1) ( 1) 1 3

y x  m x  m x

đồng biến trên tập xác địnhcủa nó khi:

(Chú ý: Sau khi nhập xong ta không được nhấn phím = ngay)

Bước 3.2 (Gán giá trị cho tham số M)

Quan sát đáp án, ta thấy đáp án B, C, D cùng chiều

Vậy ta gán M = 0

Nếu kết quả lớn hơn 0 thì ta loại A, B

Nếu kết quả nhỏ hơn 0 thì ta loại C, D

Thực hành bấm máy tính ta được kết quả  1 0

Vậy loại đáp án C, D

Tương tự, tiếp tục gán M  ,2

nếu kết quả lớn hơn 0 thì loại A,

nếu kết quả nhỏ hơn 0 thì loại B

Vậy đáp án của bài toán là B.

Bài toán trên trình bày khá chi tiết về việc phân tích và quy trình bấmmáy, gây cảm giác phức tạp Sau bài toán này, các bài toán sau chúng ta sẽ bỏ

qua bước 1 + 2 và những câu từ dài dòng trong bước 3 để định hướn bài toán tốthơn.

Bài toán 4 (Trích đề thi đại học khối A – A1, năm 2013)

Tìm giá trị của tham số m để hàm số y x33x2 3mx nghịch biến1trên 0; ? 

Vậy đáp án của bài toán là C.

Bài toán 5 Để hàm số

x 1

m y

* Gán X = 0 (Ở đây không được gán M = 0, vì X M  M  )0

* Gán M = 2 ta thu được kết quả 0.75 0

 Loại đáp án A

* Gán M  ta thu được kết quả 0.75 02 

 Loại đáp án B

* Gán

12

M 

ta thu được kết quả 3 0 

 Nhận đáp án C

Vậy đáp án của bài toán là C

Bài toán 6 (Đề tham khảo sở giáo dục Hà Nội – 2018 - 2019)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y lnx2 1 mx 1

Vậy đáp án của bài toán là C.

Bài toán 7 (Đề khảo sát chất lượng năm 2019 của trường THPT Hàm Rồng –

Theo bài ra, hàm số đồng biến trên 1;4 nên gán X=2

Vậy đáp án của bài toán là B.

Từ bài toán 1 đến bài toán 7 chúng ta đã đi từ những bài tập ở mức

độ từ dễ đến khó Và giờ ta sẽ quay trở lại với bài toán ở phần đặt vấn đề.

Bài toán 8 Tìm giá trị của tham số m để hàm số y x 3 3m x2 nghịch biến trênkhoảng có độ dài bằng 2?

m m

Vậy đáp án của bài toán là B.

Đây là bài toán ở mức độ vận dụng cao nhưng chưa thực sự khó, ta chưaphải sử dụng đến định lí Vi-et và xét dấu 

Dưới đây tôi đề cập đến một ví dụ khác phức tạp hơn

Bài toán 9 Với giá trị nào của m thì hàm số 1 3  1 2 4x 2

3

y x  m x  

đồngbiến trên khoảng có độ dài bằng 2 5 ?

Nhập M = 2 ta thu được kết quả bằng 0

Chọn đáp án A

Nếu thử các đáp án khác mà có kết quả bằng 0 thì ta chọn đáp án nào có

cả 2 giá trị đúng

Nhận xét: Trong các bài toán trên ta thấy rõ vai trò của casio trong việcgiải các

bài toán trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số chứa tham số

THỰC NGHIỆM

1 Khảo sát thực tế

Trước khi thực hiện đề tài, năm 2018 tôi đã khảo sát chất lượng của họcsinh 12 thông qua kiểm tra viết gồm 2 bài toán :

Bài toán 1:Xét tính đơn điệu của hàm số trong trường hợp không có tham số Bài toán 2:Xét tính đơn điệu của hàm số trong trường hợp có tham số

Kết quả như sau:

27.8 % học sinh biết cách giải bài tập 1

5.6 % học sinh biết cách giải bài tập 2

Chất lượng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu

2 Các bước thực hiện đề tài

Bước 1: Hệ thống hóa các kiến thức các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu,

biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối, các quy tắc cộng và quytắc nhân xác suất

Bước 2: Đưa ra một số ví dụ điển hình hướng dẫn học sinh phân tích và giải bài

toán

Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cho học sinh thông qua một số bài

tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng bàitoán

3 Kết quả sau khi thực hiện đề tài

Sau khi thực hiện đề tài tại lớp 12 năm 2018 tôi đã khảo sát chất lượngcủa học sinh thông qua kiểm tra viết gồm 2 bài toán :

Bài toán 1:Xét tính đơn điệu của hàm số trong trường hợp không có tham số Bài toán 2:Xét tính đơn điệu của hàm số trong trường hợp có tham số

Kết quả như sau:

Lớp Số lượng Bài toán 1 % Số lượng Bài toán 2 %

83.3% học sinh biết cách giải bài tập 1

33.3 % học sinh biết cách giải bài tập 2

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

để kiểm chứng những lý thuyết đã được trang bị để làm toán Từ đó thấy được

sự lôgic của toán học nói chung và của chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát

sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số nói riêng, thấy được việc sử dụng máy tínhcasio là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết rất nhiều bài toán về tính đơnđiệu; hơn nữa, những bài toán được giải bằng casio thì thời gian để làm được bàitoán ngắn gọn hơn

Tôi hy vọng rằng đề tài này có thể áp dụng để cải thiện phần nào chấtlượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượngdạy và học; giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa,định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học, giúp các em tránh khỏilúng túng trước một bài toán đặt ra

2 Đề xuất

Bài toán về tính đơn điệu của hàm số chứa tham số là những bài toán tương đốikhó, hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi tiếp cận với bài toán này Để giúphọc sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về tính đơn điệu đồng thời biết vậndụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khácnhau tôi xin nêu một số giải pháp đề nghị sau:

a Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản như: khái niệm tính đơn điệu, mối liên hệ

giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm, các kiến thức cơ bản về máy tính casio.Sau đó hướng dẫn học sinh làm các bài tập về tính đơn điệu bằng hai cách: tựluận và giải bằng máy, để học sinh thấy được sự tối ưu trong việc sử dụng côngnghệ vào giải toán Tuy nhiên cũng cần lưu ý cho học sinh: nắm chắc kiến thức

cơ bản, máy tính chỉ là công cụ hỗ trợ, muốn làm đúng và chính xác cần có tưduy toán học

b Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cho học sinh thông qua các bài tập bổ sung

từ cơ bản đến nâng cao Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng bàitoán

Trên đây là một số ý kiến nhỏ của tôi qua quá trình giảng dạy bài toán vềtính đơn điệu ở lớp 12 THPT Vì thời gian nghiên cứu có hạn nên không tránhkhỏi sai sót Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các em họcsinh Xin chân thành cảm ơn