Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay định hướng giải một số bài toán trắc nghiệm về phương pháp tọa độ trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỊNH HƯỚNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỊNH HƯỚNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Hồ Phương Nam

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

1 Mở đầu 3

1.1.Lí do chọn đề tài 3

1.2 Mục đích nghiên cứu 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Giải pháp thực hiện 5

3 Kết luận – Kiến nghị 16

3.1 Kết luận 16

3.2 Kiến nghị 16

1 M đ uở ầ

Từ năm học 2016-2017, đề thi môn Toán trong Kỳ thi trung học phổ thông quốc gia đã thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà trường Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm vững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng toán quan trọng mà cần có khả năng logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất đến đáp án Đây thực sự là một thách thức lớn đối với mỗi giáo viên chúng ta

Trong quá trình giảng dạy, ôn thi, làm đề tôi phát hiện ra rằng: các bài toán khó về Phương pháp tọa độ trong không gian, nếu học sinh tiếp cận theo hướng tự luận quen thuộc sẽ rất khó giải quyết được vấn đề trong thời gian ngắn

Chính vì những lý do trên nên tôi tổng hợp các kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy của mình và nghiên cứu Đề thi THPT Quốc gia năm 2018, đề minh họa

năm 2019 của Bộ giáo dục và đào tạo tôi quyết định chọn đề tài : “KỸ THUẬT

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỊNH HƯỚNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” Nhằm đưa ra phương án tối ưu nhất giúp học sinh giải quyết được các bài

toán thi THPT Quốc gia trong năm 2019 và những năm tiếp theo

Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo một tài liệu tham khảo nhỏ giúp các em học sinh trong nhà trường có thêm một phương pháp tiếp cận nhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán hình học tọa độ trong không gian nhằm giúp các em có khả năng lấy được điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019

Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung xây dựng thuật toán để sử dụng MTCT giải các bài toán hình học tọa độ trong không gian

+ Nghiên cứu lí luận: Kế hoạch năm học của Nhà trường, Kế hoạch hoạt động chuyên môn của Tổ Toán – Tin

+ Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2017, 2018; Đề minh họa năm 2019 + Thực tiễn quá trình giảng dạy của bản thân và của đồng nghiệp

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 C s lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m ơ ở ậ ủ ế ệ

2.1.1 Tính khoảng cách tự một điểm đến một mặt phẳng

Trong hệ tọa độ Oxyz , điểm A x y z và mặt phẳng( 0; ;0 0) ( )P ax by: + + + = Khi đó khoảng cách từ cz d 0 A đến mặt phẳng ( )P là:

( )

d A P

=

2.1.2 Tìm hình chiếu H của A trên mặt phẳng ( ) P

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng D đi qua A và vuông góc với ( )P

Bước 2: Tìm tọa độ điểm H =D Ç( )P

2.1.3 Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng D

Bước 1: Tìm hình chiếu H của A trên đường thẳng D

Bước 2: Tính khoảng cách từ A đến D : d A( ;D =) AH

2.1.4 Chức năng của phím CALC:

Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, phím CALC sẽ hỏi giá trị biến và tính

ra giá trị biểu thích ứng với giá trị biến ta vừa nhập Phím chức năng này cho phép

ta tính một biểu thức cồng kềnh với nhiều giá trị khác nhau chỉ với một lần nhập, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm

Qua trao đổi với các thầy cô giáo trong bộ môn toán nhà trường, tôi nhận thấy việc các thầy cô vẫn đang còn dạy các em tìm lời giải cho các bài toán: Tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng; Tìm hình chiếu của 1 điểm trên 1 mặt phẳng hoặc đường thẳng; Tìm hình chiếu của 1 đường thẳng xuống 1 mặt phẳng đều theo tư duy của bài toán tự luận như lâu nay vẫn làm Vì vậy, tôi nhận thấy với cách làm như vậy sẽ đưa học sinh vào một số thử thách trong việc làm bài thi THPT Quốc gia:

Một là, thời gian các em dành để tìm ra đáp số của bài toán mất nhiều thời

gian

Hai là, một số bài toán vận dụng cực trị hình học thì các em sẽ gặp khó khăn

trong việc định hướng tìm lời giải Ngược lại, những em có hướng giải quyết bài toán thì không đủ thời gian để tìm lời giải nên dẫn đến tình huống đoán mò

Từ thực tế đó, đòi hỏi cần có cách tư duy bài toán theo còn giải bài toán trắc nghiệm trong đó việc khai thác tối đa tình năng của MTCT trong việc giải toán là

việc làm rất cần thiết trong việc ôn thi THPT Quốc gia của nhà trường trong giai đoạn hiện nay

2.3 Gi i pháp th c hi n ả ự ệ

Trong quá trình dạy học ôn thi THPT Quốc gia trong 3 năm gần đây, qua nghiên cứu đề thi chính thức của Bộ giáo dục và đào tạo năm 2017, 2018 và đề minh họa năm 2019 Tôi xin đưa ra cách hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay tìm lời giải cho một số bài toán trắc nghiệm về phương pháp tọa độ trong không gian

Dạng 1: Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng Tính khoảng

cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Bài toán 1: Cho A x y z và mặt phẳng ( )(( ; ;0 0 0) P ax by: + + + = , H là hình cz d 0 chiếu vuông góc của A trên( )P Tìm tọa độ H hoặc tính độ dàiAH

Quy trình sử dụng MTCT

Ghi vào màn hình aX 2bY 2 cF2 d

-+ -+ dùng CALC nhập x0 = y0 =z0=

SHIFT STO M

+ Để tìm tọa độ H , ghi aM +X bM: +Y cM: + === được tọa độ H; F

+ Để tính khoảng cách: d=d A P( ,( ) ) = M a2+ +b2 c2

mặt phẳng ( )P : 2x- 2y- -z 4= Mặt cầu tâm 0 I tiếp xúc với mặt phẳng ( )P tại

H Tìm tọa độ điểm H

A (-1; 4; 4) B (-3; 0; -2) C (3; 0; 2) D (1; -1; 0)

Hướng dẫn giải

Quan sát đáp án thì ta chỉ ra được hoành độ của H là đủ (hình chiếu của I trên (P))

9

X - Y- F

2M + X = kết quả 3 nên chọn C (Tìm đủ ba tọa độ thì ghi -2M + Y: -M + F)

Nhận xét: Đối với bài toán này, học sinh cần nắm vững tính chất mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng thì tiếp điểm chính là hình chiếu của tâm trên mặt phẳng Từ đó tìm cách xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng là xong

Ví dụ 2 (Đề minh họa 2019): Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( )P x: + + - = và đường thẳng y z 3 0 : 1 2

- Hình chiếu của d trên mặt phẳng ( )P là đường thẳng có phương trình là

x+ y+ z+

x- y- z

x- y- z

x- y- z

Hướng dẫn giải

Chọn hai điểm A(0; -1; 2) và B(1; 1; 1) thuộc d Ta tìm các tọa độ hình chiếu vuông góc của A và B trên (P).

Bước 1: Tìm tọa độ A’ của A trên (P): 2 2 2 3

X + + -Y F

-+ -+ CALC 0 = - 1 = 2 =

SHIFT STO M

Ghi M + X: M + Y: M + F = = = được tọa độ A’ 2; 1 8;

Bước 2: Tìm tọa độ B’: bấm AC 3

3

X + + -Y F

SHIFT STO E

Ghi E + X: E + Y: E + F = = = được tọa độ B’ (1; 1; 1)

Bước 3: Tìm tọa độ véc tơ: ' ' ' 1 4; ; 5

3 3 3

u =A B =æçç - ÷ö÷

÷

ur uuuur

(đi qua B’) nên Chọn C

Ví dụ 3 (Đề minh họa 2019): Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng

( )P : 2x+2y - - = , điểm E(2; 1; 3) và mặt cầu có phương trình z 3 0 ( ) ( )2 ( )2 ( )2

S x- + -y + -z = Gọi D là đường thẳng qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất Phương trình D là:

A

2 9

1 9

3 8

ì = +

ïï

ïï = +

íï

ï = +

ïïî

B

2 5

1 3 3

z

ì = -ïï

ïï = + íï

ï = ïïî

C

2 1 3

z

ì = + ïï

ïï = -íï

ï = ïïî

D

2 4

1 3

3 3

ì = + ïï

ïï = + íï

ï = -ïïî

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) và (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn tâm H là hình chiếu vuông góc của tâm I(3; 2; 5) trên (P).

9

X + Y- F

AC 2M + X: 2M + Y: -M + F = = = ta được tọa độ 23 14 47; ;

9 9 9

Hæç ö÷

÷

Để dây MN nhỏ nhất thì HK lớn nhất bằng HE, hay D ^HE

Tính 5 5 20; ;

9 9 9

EH æç ö÷

uuur

và thử thấy EH uuuur uur D =0 nên chọn C

Ví dụ 4 (Đề minh họa 2019): Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( )P : 2x- y+2z- = và hai điểm 8 0 A(2; 2;4- ) và B(- 3;3 1- ) Gọi M là điểm thay đổi trong ( )P , giá trị nhỏ nhất của tổng 2MA2+3MB2 bằng:

A 135 B 105 C 108 D 145

Hướng dẫn giải

Bước 1: Tính tọa độ tâm tỉ cự I thỏa mãn: 2 IAuur+3IBuur=0

ghi 2 3

2 3

A+ B

2 = - 3 = D CALC -2 = 3 = D CALC 4 = -1 = ta được I(-1; 1; 1)

Bước 2: Tìm hình chiếu của I trên mp(P):

9

X - Y+ F

2M + X : - M + Y : 2M + F = = = Ta được M(1; 0; 3)

Bước 3: Tính GTNN: 2 1( 2+ +22 12)+3 4( 2+ +32 42)= Kết quả 135

Dạng 2: Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một đường thẳng Tính

khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài toán 2: Cho A(x1; y1; z1) và ( )

( )

0 0 0 0

:

; ;

qua x y z d

VTCPu a b c

ìïï

chiếu H của A trên d Tính khoảng cách từ A đến d.

Quy trình sử dụng MTCT

Ghi aX2 bY2 cF2

+ + CALC nhập x1- x0 = -y1 y0 = -z1 z0 =

SHIFT STO M

(Nếu cho dạng chính tắc thì thay tọa độ A vào tử số)

- Tính tọa độ điểm chiếu H: aM+ x : bM+ y : cM+ z0 0 0 = = =

- Tính d=d A d( ,( ) )= X + Y + F - a + b + c M2 2 2 ( 2 2 2) 2 =

Ví dụ 5 (Sở GD&ĐT Thanh Hóa 2019): Trong không gian Oxyz , cho điểm

(1;0;2)

= = Đường thẳng D đi qua A vuông góc với d và cắt d có phương trình:

x- y- z

:

x- y z

x- y- z

x- y z

-Hướng dẫn giải

Bước 1: Tìm hình chiếu H của A trên d: 2

6

X + +Y F

(thay tọa độ A vào tử của d)

CALC 0 = 0 = 3 = SHIFT STO M

M+1: M: 2M -1 = = = ta được H(2; 1; 1)

Bước 2: Tính uuurAH =(1;1; 1- ) Chọn A

Ví dụ 6 (Sở GD&ĐT Thanh Hóa 2019): Trong không gian Oxyz , cho điểm

(2;5;3)

-= -= Gọi ( )P là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ điểm A đến ( ) P là lớn nhất Khoảng cách từ gốc tọa độ O

đến ( )P bằng

A 2 B 3 .

11 2

1 2

Hướng dẫn giải

Gọi H, K là hình chiếu của A trên (P) và d Để khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất thì AH = AK, hay AKuuur là VTPT của (P).

Bước 1: Tìm tọa độ :2 2

9

CALC 1= 5 = 1 = SHIFT STO M

2M +1: M: 2M + 2 = = = ta được tọa độ K (3; 1; 4)Þ uuurAK = -(1; 4;1)

Bước 2: Tính ( ;( ) ): 3 4( 1) 4

6

CALC 0 = 0 = 0 = 6

2 Chọn B

Bài tập áp dụng

Bài 1 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( )a :x+ -y z+ = và đường6 0

= = Hình chiếu vuông góc của d trên ( )a có phương

trình là

x+ y+ z

x y+ z

x+ y z

x y- z

Đáp án: B

Bài 2 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( )a : 2x+ + - = và đườngy z 3 0

- - Viết phương trình đường thẳng 'd đối xứng với

đường thẳng d qua mặt phẳng ( )a

A 5 4

x y+ z

x y- z+

x y- z

x y- z

Đáp án: C

Bài 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

:

= = và mặt phẳng ( )Q : 2x+ -y z= Gọi 0 ( )P là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ( )Q Giao tuyến của ( ) P và ( ) Q

có phương trình là

A.

2

1 2 1

z

ì = +

ïï

ïï =

-íï

ï

=-ïïî

1 2 2

z

ì = + ïï

ïï =-íï

ï = ïïî

.

C.

2 2 1

1 5

ì = +

ïï

ïï =- +

íï

ï =- +

ïïî

1 2

2 5

y t

ì = + ïï

ïï = íï

ï = + ïïî

.

Đáp án: D

Bài 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm , M(2; 3;1- ) và đường

- Tìm tọa độ điểm M ¢ đối xứng với M qua d

A.M ¢(0; 3;3- ). B.M ¢(1; 3;2- ) .

C.M ¢(3; 3;0- ) D.M ¢(- -1; 2;0).

Đáp án: A

Bài 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A(2;1;3 ,) (1; 1;2 ,)

B - C(3; 6;0 ,- ) D(2; 2; 1 - - ) Điểm M x y z thuộc mặt phẳng( ; ; ) ( )P x: - y+ + = sao cho z 2 0 S=MA2+MB2 +MC2 +MD2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị của biểu thức P=x2+y2 + z2

A P= 6 B P= 2 C P= 0 D P=- 2

Đáp án: A

Bài 6 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;2;1), B(2; 1;3- ),C(3;1; 5- ) .

Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oyz sao cho ) MA2- 2MB2- MC2 lớn nhất

A 3 1; ;0

2 2

Mæç ö÷

÷

Mæ ö÷

çè ø. C M(0;0;5). D.M(3; 4;0- ).

Đáp án: D

Bài 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;4;5), B(3;4;0), (2; 1;0)

C - và mặt phẳng ( )P : 3x- 3y- 2z- 12= Gọi 0 M a b c thuộc ( )( ; ; ) P

sao cho MA2 +MB2+3MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính tổng a b c+ +

Đáp án: A

Bài 8 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1;1;1), B(0;1;2), ( 2;1;4)

C - và mặt phẳng ( )P x: - y+ + = Tìm điểm z 2 0 NÎ ( )P sao cho

2

S= NA +NB +NC đạt giá trị nhỏ nhất

A 4;2;4

Næ ö÷

C 1 5 3; ;

2 4 4

Næ ö÷

Đáp án: D

Bài 9 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( )a :x+ + -y z 4= và ba điểm0 (1;2;1)

A , B(0;1;2) và C(0;0;3) Điểm M x y z thuộc mặt phẳng ( )( ; ; ) a sao cho

MA+ MB+ MC

uuur uuur uuur

đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị biểu thức P= + + x y z

3

Đáp án: D

Bài 10 Trong không gian Oxyz cho , ( ) ( )2 ( )2 ( )2

(7;1;3)

M Gọi D là đường thẳng di động luôn đi qua M và tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại N Tiếp điểm N di động trên đường tròn ( ) T có tâm J a b c Gọi( , , )

k= a- b+ c , thì giá trị của k là

Đáp án: B

Bài 11 Cho hai mặt cầu ( ) 2 2

S x +y - x- y- z- = , ( ) 2 2

S x +y - x+ y- z- = cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn ( )C

Lấy điểm A thuộc đường tròn ( )C Gọi , I J lần lượt

là tâm của mặt cầu ( ) ( )S1 , S , S là diện tích tam giác AIJ thì S có giá trị là2

A 1 219

2

2

C 15

2

2

Đáp án: D

Bài 12 Cho hai mặt cầu ( )S x: 2+y2+8x- 6y- 4z- 11 0= và hai điểm (1;2;3 ,) ( 1;2;0)

A B - Gọi ( )P là mặt phẳng chứ A, B và khoảng cách từ tâm I đến

mặt phẳng ( )P có giá trị lớn nhất Viết phương trình mặt phẳng ( ) P

A.( )P : 3x- y- 2z+ = 5 0 B.( )P : 3x+ -y 2z+ = 1 0

C.( )P : 3x+ +y 2z- 11 0= D.( )P : 3x- y+2z+ = 5 0

Đáp án: A

Bài 13 Cho hai mặt cầu ( )S x: 2+y2- 8x- 2y- 2z- 13 0= và hai điểm (1;2;3 ,) ( 1;2;0)

A B - Gọi ( )P là mặt phẳng chứ A, B và cắt mặt cầu theo giao

tuyến là đường tròn có diện nhỏ nhất Khi đó mặt phẳng ( )P có VTPT nr=(a b c; ; ) Tính a2 + + b2 c2

Đáp án: A

Bài 14 Trong không gian Oxyz , cho điểm E(0; 1; 5- - ), mặt phẳng ( )P : 2x+2y- - = và mặt cầu z 3 0 ( ) ( )2 ( )2 2

S x- + -y + =z Gọi D là đường thẳng đi qua E, nằm trong ( )P và cắt ( ) S tại hai điểm có khoảng cách lớn

nhất Phương trình của D là?

A

11

1 2

5 26

ì = ïï

ïï = -íï

ï =- + ïïî

50

1 23

5 7

ì = ïï

ïï =- + íï

ï =- + ïïî

C

11

1 2

5 26

ì = ïï

ïï =- + íï

ï =- + ïïî

50

1 23

5 7

ì = ïï

ïï =- + íï

ï = -ïïî

Đáp án: C

2.4 Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm

Trong năm học 2018 – 2019 vừa qua, được sự góp ý xây dựng của Tổ bộ môn, được sự đồng ý của Ban chuyên môn nhà trường, tôi đã áp dụng việc dạy học tại lớp 12C2 tiết ôn tập thi THPT QG và cùng thời điểm thầy Hà Quang Hiểu cùng dạy nội dung trên đối với lớp 12C1 Sau khi dạy xong, chúng tôi đã tổ chức kiểm tra đối với lớp thực nghiệm (TN) là lớp 12C2 và lớp đối chứng (ĐC) là lớp 12C1 Ngoài kết quả bài kiểm tra, tôi còn kiểm tra mức độ hứng thú học tập của học sinh bằng phiếu thăm dò, với 4 mức độ:

- Mức độ 1: Rất hứng thú học

- Mức độ 2: Có hứng thú, nhưng không có ý định tìm tòi sáng tạo thêm

- Mức độ 3: Bình thường

- Mức độ 4: Không hứng thú Không hiểu nhiều vấn đề

Kết quả thể hiện qua biểu đồ sau:

Biểu đồ so sánh mức độ hứng thú học tập của 2 lớp sau khi thực nghiệm

Biểu đồ so sánh kết quả học tập của 2 lớp sau khi thực nghiệm

Từ kết quả trên, cũng như xem xét bài làm của học sinh, tôi thấy rằng: