Hướng dẫn học sinh lớp 11 và học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia sử dụng một số kĩ thuật tìm nghiệm

MỤC LỤCSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 VÀ HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA SỬ DỤNG MỘT SỐ

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 VÀ HỌC SINH LỚP 12 ÔN

THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA SỬ DỤNG MỘT SỐ

KĨ THUẬT TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN

Người thực hiện: Đỗ Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2018

MỤC LỤC Nội dung Trang

1 MỞ ĐẦU …… 2

1.1 Lý do chọn đề tài ……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu ……… 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu ……… 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu ……… 3

1.5 Những điểm mới của SKKN ……… 3

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 4

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 4

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.3.1 Đặt vấn đề …… 4

2.3.2 Một số kĩ thật tìm nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện … 4

Kĩ thuật 1: Biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua cùng một hàm số lượng giác ……… 4

Kĩ thuật 2: Kĩ thuật thử trực tiếp ……… 7

Kĩ thuật 3: Kĩ thuật xét mệnh đề đối lập ……… 9

Kĩ thuật 4: Kĩ thuật biểu diễn trên đường tròn lượng giác …….… 12

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giái dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 16

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17

- Tài liệu tham khảo 18

- Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp Sở GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên ……… 19

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài :

Chuyên đề về lượng giác đặc biệt là phương trình lượng giác là phần kiến

thức quan trọng trong chương trình toán THPT nói chung và trong Đại số và Giải tích 11 nói riêng Trong năm học 2017 – 2018 này, Bộ GD & ĐT áp dụng thi phần kiến thức toán 11 vào đề thi trắc nghiệm toán trong kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia và dạng toán giải phương trình lượng giác, trong đó loại phương trình lượng lượng giác có điều kiện thường làn cho học sinh bối rối Đa số các em gặp khó khăn trong khâu kết hợp nghiệm của phương trình hệ quả với điều kiện của

phương trình ban đầu

Đặc thù của phương trình lượng giác thường là có vô số nghiệm và công thức nghiệm cho một phương trình lượng giác có thể có những hình thức biểu diễn khác nhau Nội dung kiến thức ở phần này tương đối rộng, số lượng tiết học trên lớp chỉ đảm bảo cho các em nắm vững kiến thức cơ bản Để giải quyết tốt các bài toán giải phương trình lượng giác có điều kiện ở mức độ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia, học sinh cần tìm tòi thêm; biến đồi lượng giác thành thạo, linh hoạt từ đó hình thành kỹ năng xử lí các tình huống nâng cao trong đề thi

Nhằm giúp đỡ học sinh có kỹ năng tốt trong việc kết hợp nghiệm với điều kiện của phương trình lượng giác có điều kiện, qua đó có được những phương án giải quyết tối ưu và trọn vẹn cho mỗi bài toán giải phương trình lượng giác có điều

kiện, tôi chọn nghiên cứu chuyên đề : “ Hướng dẫn học sinh lớp 11 và học sinh

lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia sử dụng một số kĩ thuật tìm nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện ”.

1.2 Mục đích nghiên cứu :

- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và môn Đại số

và giải tích 11 nói riêng theo phương hướng phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay

- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn học được coi là khô khan, hóc búa, không những chỉ giúp giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng,

học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng cố và khắc sâu các tri thức

- Chuyên đề nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng tiếp cận vấn đề từ nhiều góc

độ khác nhau, từ đó chọn một phương pháp kết hợp nghiệm với điều kiện phù hợp nhất đối với mỗi bài toán phương trình lượng giác cụ thể Qua đó có thể rút ngắn đáng kể thời gian để nhanh chóng đi đến kết quả

1.3 Đối tượng nghiên cứu :

Đối tượng nghiên cứu là một số kĩ thuật tìm nghiệm của phương trình lượng

giác chứa điều kiện

Phạm vi : Giới hạn trong việc giải phương trình lượng giác chứa điều kiện

1.4 Phương pháp nghiên cứu :

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :

1.4.1 Nghiên cứu tài liệu :

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục, có liên quan đến nội dung đề tài

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo

2 Nghiên cứu thực tế :

- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung về kĩ thuật tìm nghiệm trong phương trình lượng giác có điều kiện

- Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học

- Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của hoc sinh trong quá trình giải quyết bài toán phương trình lượng giác có điều kiện Từ đó đề xuất phương án giải quyết, tổng kết thành bài học kinh nghiệm

1.5 Những điểm mới của SKKN :

Đề tài tập trung hướng dẫn học sinh giải phương trình lượng giác có điều kiện bằng một số kĩ thuật kết hợp nghiệm Đặc biệt cố gắng giúp học sinh nhận định được nên áp dụng kĩ thuật nào cho mỗi bài toán cụ thể Đề tài cũng chú ý rèn luyện cho học sinh biết kết hợp một số kĩ thuật kết hợp nghiệm với điều kiện trong một bài toán phương trình lượng giác

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm :

Phương pháp giáo dục hiện đại là phải làm sao phát huy được tính tích cực, chủ động của học sinh và bồi dưỡng cho học sinh có năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề Nhằm phục vụ cho lý luận này tôi dựa theo lý luận rằng : bồi dưỡng cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất của vấn đề rồi sau đó mới tạo cho học sinh khả năng tự học và độc lập trong suy nghĩ, từ đó học sinh có thể

tự mình phân loại các dạng bài tập theo chuyên đề Có như thế thì học sinh mới dễ dàng làm tốt bài thi trong kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :

Trong quá trình giảng dạy chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 cùng với khi ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia về phần lượng giác cho học sinh lớp 12, tôi nhận thấy rằng khi giải phương trình lượng giác có điều kiện học sinh thường lúng túng sau khi tìm được họ nghiệm của phương trình hệ quả không biết đối chiếu với điều kiện ban đầu, dẫn đến kết luận họ nghiệm không chính xác Bài viết này tôi muốn giới thiệu một số kĩ thuật tìm nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện thông qua ví dụ cụ thể

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề :

2.3.1 Đặt vấn đề :

Phương trình lượng giác có điều kiện ( chủ yếu là phương trình chứa ẩn ở mẫu số hoặc chứa ẩn trong hàm số tan hoặc cot ) là dạng cơ bản hay và khá phức tạp ` Đối với giáo viên việc dạy cho học sinh hiểu và có kĩ thuật đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện không hề dễ dàng Điều khó khăn cơ bản là số nghiệm của phương trình thường là vô hạn và được biểu diễn dưới dạng k2 k ,n *

n



Hơn nữa cùng một phương trình lượng giác nếu dùng các phép biến đổi khác nhaucos thể thu được các phương trình lượng giác cơ bản khác nhau và từ đó thu được số họ nghiệm cũng như hình thức các họ nghiệm rất khác nhau

Qua quá trình giảng dạy và thực nghiệm sư phạm, để giải quyết phần nào những khó khăn, lúng túng của học sinh khi giải phương trình lượng giác có điều kiện tôi đưa ra một số kĩ thuật tìm nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện thông qua một số ví dụ cụ thể

2.3.2 Một số kĩ thuật tìm nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện:

Kĩ thuật 1: Biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua cùng một hàm số lượng giác

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2 2 3

2

sin

x

x



Hướng dẫn: Các em thấy điều kiện là sinx ≠ 0.

Với kĩ thuật này, các em không cần làm bước sinx 0  x k mà chỉ cần viết sinx ≠ 0 là được

x



 2cos 2x cot 2 x sinx 1 cot   2x 2cos 2 x s inx 1 

2

sinx

2

x









Đến đây các em thấy điều kiện là sinx ≠ 0, còn nghiệm là

1 sinx

2









cho nên hai

giá trị của sin đều thỏa mãn và tập nghiệm cần tìm là:

5

S    k   k   k  k 



Nhận xét : Trong phương trình (1), ta đã biến đổi điều kiện và nghiệm tìm được

thông qua hàm số y = sinx Từ đó chuyển việc đối chiếu điều kiện của x về đối chiếu điều kiện của y đơn giản hơn nhiều ( giống như phương trình đại số )

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 1 sinx os2x sin 4 1 cos

x





(2)

Hướng dẫn: Điều kiện : cosx 0 sinx 1



Ta có : (2) os 1 sinx os2x 2 sin os sinx osx

4

 1 sinx  cos2x sinx  cosx  sinx cosx

2

sinx 1 ( ) 2s in x sin x+1= 0

1

2

c

L

T m











Đối chiếu với điều kiện, ta chọn được: sinx 1

2



Vậy PT(2) có nghiệm là : 2

6

x  k  ; 7 2

6

x  k  k  

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: cot sinx 1 tan tan 4

2

x

Hướng dẫn: Điều kiện :

cosx 0

2

x x











Ta có :

x

PT



x

x x

Đối chiếu với điều kiện, ta chọn được: sin2x 1

2



Vậy PT(2) có nghiệm là :

12

x k ; 5

12

x  k k  

Ví dụ 4: Giải phương trình sau: 1 1 2

cosxsin 2x sin 4x (4)

Hướng dẫn: Điều kiện :

2

sinx

2













Ta có:

1 sinx

2













Đối chiếu với điều kiện, ta chọn được: sinx 1

2



Vậy PT(4) có nghiệm là : 2

6

x  k  ; 5 2

6

x  k  k  

Ví dụ 5: Giải phương trình sau:

4

os 4





(5)

Hướng dẫn: Điều kiện :

sin 0 ; cos 0 sin 2 0

c

    , do đó PT(5) trở thành :

2

cos2x = 0

x



Đối chiếu với điều kiện, ta chọn được: sin2x = 0

Vậy PT(5) có nghiệm là :

2

k

x  k  

Bài tập đề nghị :

x



A

2

x k B 2

3

x k  C

k

x   D Vô nghiệm Bài 2 : Phương trình 2 tan cot 2 2sin 2 1

sin 2

x

A

12 2

k

x   B

6

x  k C

3

x  k D

9

x  k Bài 3 : Phương trình 48 14 22 1 cot 2 cot  0

A

k

x   B

12 4

k

x   C

16 4

k

x   D

k

x  

Kĩ thuật 2: Kĩ thuật thử trực tiếp

Đối với những phương trình lượng giác mà điều kiện và nghiệm tìm được khó đưa về cùng một hàm số lượng giác, ta có thể tìm nghiệm cụ thể, rồi thay vào điều

để kiểm tra lại

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: cos3x.tan5x = sin7x (1)

Hướng dẫn: Điều kiện: cos5x ≠ 0.

Ta có: PT(1)  cos3x.tan5x = sin7x  2sin5x.cos3x=2sin7x.cos5x

sin 8 sin12 2  

20 10

k x

k x













Thay trực tiếp các nghiệm vừa tìm được vào điều kiện :

* Với

2

k

x  thì cos5x = cos5 = cos 0 2  

* Với

20 10

k

x   thì cos5x = cos 0,

k

k

Vậy PT(1) có nghiệm là : x m  ;

20 10

k

x   m k  ; 

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 1 2 sinx osx

c





Hướng dẫn: Điều kiện: tan cot 2 0 sin 2 0



Ta có: PT(2)  sin 2x 2 sinx  sinx2 cosx 2  0

sinx 0

3

cosx =

-4 2

x k

k













Thay trực tiếp các nghiệm vừa tìm được vào hệ điều kiện :

* Với x k  thì sin 2x sin( 2 ) 0k   ( Loại )

4

x  k  thì sin 2 sin 3 4 1 0

2

x   k   

sinx osx = sin 3 2 os 3 2 2 0

4

x  k  thì sin 2 sin 3 4 1 0

2

x   k  

sinx osx = sin 3 2 os 3 2 0

Vậy PT(2) có nghiệm là : 3 2

4

x  k  k  

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: tan2x.tan3x.tan5x = tan2x - tan3x - tan5x (3)

Hướng dẫn: Điều kiện: cos2x ≠ 0 ; cos3x ≠ 0 ; cos5x ≠ 0.

Ta có: PT(3)  tan 5 1 tan 2 tan 3x  x x  tan 2x tan 3x

+ Nếu 1 + tan2x.tan3x = 0 thì  3  tan 2x tan 3x Khi đó 1 tan 2  2 x 0 ( vô lí ) + Nếu 1 + tan2x.tan3x ≠ 0 thì





Vì hàm số y = cos2x ; y = cos3x ; y = cos5x đều có chu kì T 2  nên ta chỉ cần thử trực tiếp với k bằng 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 và thấy k bằng 0 ; 2 ; 4 thỏa mãn Vậy PT(1) có nghiệm là : x k 2  ; 2

3

x k  ; 2 2

3

x  k  k  

Nhận xét : Giả sử rằng :

- Điều kiện xác định là f x   0 trong đó f(x) là hàm số tuần hoàn với chu kì T

- Phương trình hệ quả có nghiệm x k2

n





  với k   và n là số nguyên dương xác định Khi đó ta đối chiếu điều kiện như sau :

+ Nếu T  2  thì ta chỉ cần thử trực tiếp cung x ứng với n giá trị tự nhiên đầu tiên của k là 0, 1, 2, , n – 1

+ Nếu l 1 2  T l 2 l  ;l 2 thì ta cần thử trực tiếp cung x ứng với ln giá trị tự nhiên đầu tiên của k là 0, 1, 2, , ln-1

Ưu điểm của phương pháp này là đơn giản, dễ hiểu, phù hợp với đại trà nhất

là học sinh có lự học trung bình Tuy nhiên, với n càng lớn thì việc đối chiếu sẽ mất nhiều thời gian

Bài tập đề nghị :

Bài 1: Phương trình s inx osx cos2x

1 sin 2

c

x

 có nghiệm là :

A

2 4

8

2

k

x













 





  





 



B

2 4

2

x k













 





  











C

3 4 2 2 2

x k

















  











D

5 4 3 8

4

k x





















 



Bài 2: Số nghiệm phương trình sin3x - cos3x 2

x c

0; 

x  là :

A 4 B 1 C 2 D 3

Bài 3: Số nghiệm phương trình 5 s inx sin3x + cos3x os2x + 3



là :

A 4 B 2 C 1 D 3

Kĩ thuật 3: Kĩ thuật xét mệnh đề đối lập

Đối với những phương trình lượng giác mà điều kiện và nghiệm tìm được khó đưa về cùng một hàm số lượng giác cũng như việc thử nghiệm tìm được của

phương trình hệ quả vào điều kiện cũng khó khăn, phức tạp, khi đó ta sẽ đi xét mệnh đề đối lập với điều kiện ban đầu như sau :

Giả sử điều kiện là x ≠ a , ta xét mệnh đề đối lập là x = a và thay vào phương trình cơ bản (*) thu được cuối cùng xem có thỏa mãn không từ đó có kết luận nghiệm phù hợp :

- Nếu x = a thỏa mãn PT (*) thì nghiệm của PT(*) không phải là nghiệm của phương trình đã cho

- Nếu x = a không thỏa mãn PT (*) thì nghiệm của PT(*) cũng là nghiệm của phương trình đã cho

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:  2 

4

4

2 sin 2 sin 3

cos

x

x



Hướng dẫn: Điều kiện: cosx ≠ 0  sinx1

Ta có: PT(1)  sin4x c os4x2 sin 2 sin 3  2 x x 2 sin 2  2 x 1 2sin 3  x  0

2

sin 3

2

x

x x



( do 2 sin 2  2 x    1, x )

 2 3sin x 4sin 3x  1 (*)

Xét mệnh đề đối lập sinx = ± 1 thế vào PT (*) đều không thỏa mãn nên các

nghiệm của PT (*) cũng chính là nghiệm của PT (1)

Vậy PT(1) có nghiệm là : 2

18 3

k

x   ; 5 2

18 3

k

x    k  

Nhận xét : Trong PT(1), điều kiện cosx ≠ 0 biến đổi thành sinx ≠ ± 1, rồi thay

sinx = ± 1 vào PT(*) đều không thỏa mãn dẫn đến nghiệm của PT(*) chính là nghiệm của PT (1) Như vậy không cần tìm nghiệm cụ thể, ta vẫn có thể đối chiếu được điều kiện

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 1 sin 2 2 os2x 2 sinx.sin 2

1+cot

x c

x x

Hướng dẫn: Điều kiện: sinx ≠ 0  cosx1

Tacó: PT(2)  sin 2 x1 sin 2  x c os2x  2 2 sin osx 2x c

 1+2sinx.cosx+2cos 2x 1 2 2cosx 

2cos s inx osx - 2 0 cos 0 (T/m )

x

c









Xét mệnh đề đối lập sinx = 0  cosx = 1  thay vào PT(*) không thỏa mãn nên các nghiệm của PT (*) cũng chính là nghiệm của PT (2)

Vậy PT(2) có nghiệm là :

2

x k; 2

4

x k  k  

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3sin 2 cos 3 1 tan  1

cosx

Hướng dẫn: Điều kiện: cosx ≠ 0  sin x1

Tacó: PT(2)  c xos 3sin x 2cosx cosx 3sin  x 2cosx 1

3sin 2 cos 1 cosx-1   cosx=1 (T/m)





Xét mệnh đề đối lập cosx = 0  sin x = 1  thay vào PT(*) không thỏa mãn nên các nghiệm của PT (*) cũng chính là nghiệm của PT (3)

Vậy PT(2) có nghiệm là : x k 2 ; arccos 1 2

13

x   k 

( Với ; os = 2 ;sin = 3

k c   )