Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề tổ hợp xác suất ở trường THPT

Các bài toán chủ đề Tổ hợp – Xác suất luôn có mặt trong các kì thi cấpquốc gia và đặc biệt việc áp dụng các bài toán chủ đề này vào thực tế rất nhiềunhư: Thiết kế biển số xe, số điện tho

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ

MỤC LỤC

I PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 2

II NỘI DUNG 3

1 Cơ sở lý luận 3

2 Thực trạng 3

3 Một số giải pháp nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tổ hợp - xác suất……… 3

3.1 Rèn luyện cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản … ……… 3

3.2 Rèn cho học sinh biết " Quy lạ về quen ", biết thực hiện tương tự hóa, khái quát hóa, bổ sung và hệ thống hóa các bài tập 5

3.3 Rèn luyện năng lực định hướng đường lối, biết phân chia ra thành các trường hợp nhỏ để giải toán……… 9

3.4 Rèn kỹ năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán……… 11

3.4.1 Nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân 11

3.4.2 Áp dụng nhầm giữa chỉnh hợp và tổ hợp 11

3.4.3 Sai lầm khi phân chia bài toán thành các trường hợp nhỏ 12

3.5 Rèn cho học sinh năng lực thực tiễn và năng lực thực hiện mối liên hệ với các môn khác……… 14

3.6 Luôn khuyến khích học sinh giải toán bằng nhiều cách khác nhau – sáng tạo trong giải toán……… 17

III KẾT LUẬN CHƯƠNG

1 Kết luận nghiên cứu 19

2 Kết luận chung

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

DANH MỤC 21

PHỤ LỤC 22

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong bối cảnh cuộc Cách mạng công nghiệp 4.0 lan rộng khắp thế giới

đã tác động không chỉ đến sự biến đổi kinh tế mà còn biến đổi cả văn hóa, xã hộimột cách sâu sắc và toàn diện, tạo sự thay đổi lớn, đòi hỏi Giáo dục phải thayđổi cho phù hợp với sự phát triển đó

Đảng và Nhà nước ta luôn dự liệu trước những thách thức trong hoạtđộng giáo dục cho tương lai, các Nghị quyết của Đảng, Quốc hội, Chính phủ,các chỉ đạo của Thủ tướng Chính phủ, các chỉ thị của Ngành về Giáo dục qua

thời đã chỉ rõ quan điểm giáo dục:“ Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu

trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học Học đi đôi với hành” với mục tiêu:“ Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa”( Nghị quyết số 29 của

Hội nghị Trung ương 8, khóa XI)

Năng lực giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độc lập,sáng tạo của học sinh, tận lực huy động tri thức và kinh nghiệm tiến trình giảitoán để đi đến lời giải, tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho và xây dựnghướng giải các bài toán mới có từ bài toán ban đầu

Rèn lực năng lực giải toán cho học sinh nói chung có ý nghĩa vô cùngquan trọng vì việc làm đó có tác dụng bước đầu rèn cho học sinh khả năng giải

quyết tốt các “ Bài toán”( Bao gồm cả bài toán cuộc sống ).

Các bài toán chủ đề Tổ hợp – Xác suất luôn có mặt trong các kì thi cấpquốc gia và đặc biệt việc áp dụng các bài toán chủ đề này vào thực tế rất nhiềunhư: Thiết kế biển số xe, số điện thoại, mã số ổ khóa, mã vạch, sêri sản phẩm,xác định được mức độ an toàn của sản phẩm, …Trong vui chơi giải trí, thông kêthì áp dụng để thiết kế các trò chơi như máy đánh bạc, máy đếm sổ số, tỉsố, Ngoài ra kiến thức của toán Tổ hợp – Xác suất rất cần thiết cho nhiềungành khoa học từ Kinh tế tới Sinh vật, Hóa học, Vật lý và Quản trị kinh doanh

Song chủ đề này thường làm học sinh lúng túng, khó khăn, hay nhầm lẫmgiữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa, giữa khái niệm này với khái niệmkhác, công thức trìu tượng khó nhớ, gây ra tâm lý e ngại, tạo bức rào cản ngaytrong tư duy của các em

Xuất phát từ những lý do trên, với mong muốn giúp học sinh có địnhhướng, có năng lực tiếp cận thực tiễn và được tôi luyện qua các dạng toán, tôi

chọn đề tài: “ Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 thông qua dạy

học chủ đề Tổ hợp – Xác suất ”.

2 Mục đích nghiên cứu

- Phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất cho học sinh THPT

- Xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng toán trong chương trình phổ thông

3 Đối tượng nghiên cứu

HS lớp 11A1 và lớp 11A6 năm học 2018 -2019

4 Phương pháp nghiên cứu:

* Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các loại tài liệu về lí luận và phương

pháp giảng dạy môn Toán, các tài liệu về Tâm lí, Giáo dục học, có liên quanđến đề tài như năng lực, năng lực toán học,

* Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn sư phạm, qua tài liệu, quan sát

thực trạng dạy học của giáo viên và học sinh

* Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính

khả thi và hiệu quả của đề tài

II NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận:

- Dựa trên các kiến thức về khái niệm, định nghĩa, định lí và cáccông thức được chứng minh hoặc được thừa nhận trong chương trình toán trunghọc phổ thông

- Dựa trên đặc điểm phát triển năng lực nói chung và năng lực toánnói riêng

2 Thực trạng:

* Nguyên nhân khách quan:

Khóa học 2017 -2020, tôi được giao giảng dạy 2 lớp đại trà, chất lượngđầu vào thấp, việc lĩnh hội kiến thức cơ bản đối với các em còn vất vả, các emcộng trừ thậm chí còn chưa thạo Bên cạnh đó, gia đình chủ yếu là thuần nông,điều kiện còn khó khăn, nhiều gia đình phải đi làm ăn xa, việc quan tâm đến họctập của con em còn hạn chế nên ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt,chưa xác định được động cơ học tập

* Nguyên nhân chủ quan:

- Nội dung Tổ hợp – Xác suất nhiều khái niệm mới, công thức mới, cótính trìu tượng cao, khó nhớ, khó phân biệt và đặc biệt là cách suy luận khônghoàn toàn giống suy luận toán học

- Đây là nội dung mà học sinh cảm thấy khó, mới mẻ và rất hay mắc sailầm từ việc nắm ngữ nghĩa cú pháp đến việc áp dụng các công thức, quy tắc khigiải bài tập

- Học sinh khó khăn trong việc nhận thức các suy luận hợp lý trong sựphân biệt với các suy luận diễn dịch khi học xác suất( Học sinh phải tiếp thu

ngay sự hợp lý khi học xác suất)

- Khó khăn do ở học sinh cơ sở trực giác cho việc học các yếu tố của Líthuyết xác suất là chưa có

3 Một số giải pháp nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tổ hợp - xác suất

3.1 Rèn luyện cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản

* Đối với bài “ Hai quy tắc đếm ” cần yêu cầu học sinh phải phân biệtđược sự giống nhau và khác nhau của hai quy tắc này ? Khi nào áp dụng quy tắccộng, khi nào áp dụng quy tắc nhân ?

Để hoàn thành công việc có nhiều phương án thực hiện, các phương án

này độc lập nhau, ta có thể thực hiện phương án này này, không thực hiện

phương án kia mà công việc vẫn hoàn thành thì dùng quy tắc cộng Công việc

được thực hiện bởi nhiều công đoạn, nếu bỏ qua một công đoạn nào đó thì công

việc không hoàn thành thì ta dùng quy tắc nhân.

Sau đó, nên phân tích cho học sinh trong một vài ví dụ thực tế, cụ thể

áp dụng quy tắc đếm và một số bài tập trắc nghiệm nhanh nhằm giúp học sinhnắm vững kiến thức

Ví dụ 1: Trường THPT Đông Sơn 2, khối 11 có 90 học sinh nam và 130 học

* Khi dạy khái niệm về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên có thể dạybằng con đường diễn dịch hoặc quy nạp nhưng cốt lõi là học sinh phải lấy được

ví dụ cho từng dạng khái niệm

* Phân biệt được hoán vị của n phần tử với số hoán vị của n phần tử,

chỉnh hợp chập k của n phân tử với số chỉnh hợp k của n phân tử, tổ hợp với số

tổ hợp chập k của n phần tử Nắm được các công thức tính số hoán vị của n

- Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần

- Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử +) Để sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau:

- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước

- Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn +) Để sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau:

- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước

- Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.

Sau đó giáo viên có thể đưa một vài ví dụ ở mức độ nhận biết – thông hiểu, họcsinh có thể dựa vào dấu hiệu đặc trưng đưa ra cách làm

Ví dụ 2: Cho tập hợp A {3,4,5,6,7}

a) Từ A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt ?

b) Từ A có thể lập được bao nhiêu số gồm 2 chữ số khác nhau ?

Đối với học sinh yếu giáo viên có thể định hướng theo sự gợi ý :

?Ở tập hợp A có bao nhiêu số tất cả? Mỗi số xuất hiện bao nhiêu lần Có phân biệt thứ tự giữa các số không?

Ở câu a học sinh phải xác định được mỗi số tự nhiên có 5 chữ số phânbiệt là một hoán vị của 5 số ở tập hợp A nên số các số cần tìm bằng số hoán vịcủa 5, ở câu b chỉ cần lấy ra 2 trong 5 số ở tập hợp A và xếp thứ tự ta được số tựnhiên có 2 chữ số khác nhau như vậy số các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhaubằng số hoán vị chập 2 của 5

Ví dụ 3: Lớp 11A6 có 45 học sinh cần chọn ra ban cán sự lớp gồm 5 người Hỏi

* Bài toán về hoán vị thẳng, hoán vị vòng và hoán vị lặp

Để mô tả cách xếp chỗ ngồi ta có thể dùng hình ảnh trực quan như sau:

Ở câu a, ta có thể liệt kê các cách có thể xảy ra:

B D

B

C D

A

số sắp xếp 4 học sinh vào một bàn tròn bằng số hoán vị vòng của 4 phần tử :

- Số hoán vị thẳng của n phần tử là P n n!

- Số hoán vị vòng của n phần tử là P n n 1 ! ( Vì nếu chuyển đổi liên tiếp cả n phần tử thì kết quả nhận được là như nhau, số hoán vị vòng của n phần tử giảm n lần so với hoán vị thẳng )

Khi đã nắm vững bản chất của bài toán này thì ta có thể “đẻ ra” hệ thống

các bài tập tương tự, đồng thời khi gặp các bài dạng này ta có thể bóc tách cácnội dung còn lại bản chất toán học

Ví dụ 2:

a) Khi mời n người khách ngồi vào xung quanh một bàn tròn Hỏi có baonhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi? Có bao nhiêu cách xếp 10 người vào một bàntròn?

b) Có bao nhiêu cách sắp xếp n người khách vào một bàn hình chữ U? Cóbao nhiêu cách xếp 10 người vào một bàn hình chữ U?

Học sinh cần xác định : - Bài toán sử dụng hoán vị gì? (Hoán vị thẳng hay hoán

vị vòng)

- Có bao nhiêu phần tử? Kết quả?

Bài toán hoán vị thẳng thỏa mãn tính chất cho trước:

Ví dụ 1: Có n quả cầu trắng và n quả cầu đen, đánh theo các số 1, 2, 3,…,n Có

bao nhiêu cách sắp xếp các quả cầu này thành một dãy sao cho hai quả cầu cùngmàu không nằm cạnh nhau

- Các quả cầu được đánh số nên các quả cầu phân biệt với nhau bởi màusắc và số được đánh trên quả cầu

- Nếu các quả cầu đánh số được xếp thành một dãy mà không thỏa mãnđiều kiện gì thì mỗi kết quả xếp là một hoán vị (thẳng) của 2n phần tử nhưng bàitoán yêu cầu hai quả cầu cùng màu không được đứng cạnh nhau nên sẽ phải sắpxếp thế nào? Có thể định hướng cho học sinh dưới dạng trực quan từ đó các em

tự phân chia các khả năng có thể như:

Khả năng 1:

Khả năng 2:

Như vậy, có 2 khả năng:

* Các quả cầu đen chiếm ở vị trí lẻ, còn các quả cầu trắng chiếm các vị trí chẵn

* Các quả cầu trắng chiếm ở vị trí lẻ, còn các quả cầu đen chiếm các vị trí chẵn

Trong mỗi trường hợp: có n! cách xếp quả cầu trắng ( hoặc đen) nghĩa là

Đề xuất bài toán tương tự: Một nhóm học sinh gồm n nam và n nữ đứng thành hàng ngang Có bao nhiêu tình huống mà nam, nữ đứng xen kẽ nhau? Có thể cho bài toán với các số liệu n cụ thể.

Ví dụ 2: Tìm số hoán vị của n phần tử trong đó có hai phần tử a và b

không đứng cạnh nhau

+) Học sinh cần nhận thấy số các hoán vị của n phần tử chứa a, b gồmnhững hoán vị mà a, b đứng cạnh nhau và những hoán vị mà a, b không đứngcạnh nhau

+) Xem 2 phần tử a và b đứng cạnh nhau là một phần tử Lúc này số cácphần tử sẽ là n – 1 Tuy nhiên b đứng bên trái a (tức là ba)và b đứng bên phải a(tức là ab) là khác nhau Như vậy, sẽ có hai khả năng xảy ra

Giải: Số hoán vị của n phần tử là: P n n!

Số hoán vị của n phần tử trong đó b đứng cạnh bên trái a (b đứng cạnhbên phải a )là (n – 1)! Do đó, số hoán vị của n phần tử mà a, b đứng cạnh nhau

là 2(n – 1)! Vậy số hoán vị của n phần tử trong đó có hai phần tử a và b không

Bài 1: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau

Bài 2: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu số gồm 6 chữ số phân biệt sao cho:

a) Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau

b) Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau và các chữ số lẻ đứng cạnh nhauKhi giải các bài toán dạng tìm số các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chotrước, tâm lí chung là các em tỏ ra khá lúng tung trong cách phân chia trườnghợp và cách diễn đạt đặc biệt là xuất hiện chữ số 0, có thể gợi ý cho các em theotừng bước nhỏ để các em không cảm thấy rối, bỡ ngỡ ở những bài toán đó:

- Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau xảy ra những khả năng nào?

- Khi các chữ số chẵn đứng cạnh nhau thì xem như chiếm một vị trí trong tổng hai vị trí( Mỗi số lẻ chiếm một vị trí, các số chẵn đứng cạnh nhau chiếm một vị trí)

- Cần chú ý chữ số đứng đầu bên trái phải khác 0

* Đối với học sinh tiếp thu chậm, ta có thể định hướng :

Từ c,1,3,5 lập được 4!=24 số Từ  d,1,3,5 lập được 4!=24 số Tương tự từ

có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh nhau

* Đối với học sinh tiếp thu nhanh, ta có thể định hướng theo cách khác:

Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt chính là sự sắp xếp 6 chữ số khác nhauvào 6 vị trí Do có 3 chữ số chẵn, các chữ số này đứng cạnh nhau nên 3 chữ sốnày sẽ chiếm 1 vị trí

Số các số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh nhau là 4!(Kể cả các số có chữ số 0 đứng bên trái)

Số các số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh nhau và số

0 đứng đầu bên trái là 2!.3!

Vậy có 4!-2!.3! =132 số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnhnhau

b) Cũng như câu a tùy theo đối tượng học sinh mà ta có thể định hướng cáchlàm:

Theo bài cho có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ, số cách xếp 3 chữ số chẵn

là 3!, số cách xếp 3 chữ số lẻ là 3!

Nên số cách xếp số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnhnhau và các chữ số lẻ đứng cạnh nhau là 2!.3!.3!( Kể cả chữ số 0 đứng đầu bêntrái) Số các số có chữ số 0 đứng đầu bên trái là: 2!.3!

Vậy số các số thỏa mãn ycbt là 2!.3!.3! - 2!.3! = 60 số

Bài toán hoán vị vòng thỏa mãn tính chất cho trước:

Ví dụ: Một bàn tròn gồm 6 người ngồi được đánh số thứ tự Hỏi có bao nhiêu

cách xếp 6 người sao cho A và B luôn ngồi cạnh nhau?

Xếp vị trí A có 6 cách, xếp vị trí B có 2 cách ( Bên trái hoặc bên phải A), Xếp vị trí cho 4 người còn lại có 4! cách Vậy có 6.2.4! cách xếp

Đề nghị bài toán tổng quát:

1 Mời n vị khách vào ngồi một bàn tròn được đánh số thứ tự Hỏi có bao nhiêu cách xếp để cho hai vị khách A và B luôn ngồi cạnh nhau?

Học sinh dễ dàng dự đoán được công thức tổng quát số cách xếp là: n.2.(n-2)!( Yêu cầu chứng minh công thức tổng quát)

2 Mời n vị khách vào ngồi một bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách xếp để cho hai vị khách A và B luôn ngồi cạnh nhau?

Yêu cầu học sinh phân biệt đề bài 1 và đề bài 2, sự giống và khác nhau? Từ đóđưa ra cách làm?

+) Xem mỗi vị khách là một phần tử trong hoán vị vòng Khi đó, xem 2 vịkhách A và B ngồi cạnh nhau là một phần tử Lúc này số các phần tử sẽ là n – 1.Tuy nhiên B ngồi bên trái A (tức là BA)và B ngồi bên phải A (tức là AB) làkhác nhau Do đó, số cách xếp là 2.(n-2)!

Bài toán tổng quát về hoán vị lặp:

Ta đã biết bài toán có bao nhiêu phần tử xếp vào bấy nhiêu vị trí thì nghĩtới việc tìm số hoán vị của các phần tử Vậy trong các phần tử đó có những phần

Ví dụ 3: Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7, 9 có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số trong

- Số cách viết vào các vị trí còn lại?

Ví dụ 4: Từ các chữ số 1, 2, 3, 5, 7, 9 có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số trong

- Có 4! Cách viết 4 số vào 4 vị trí còn lại

3.3 Rèn luyện năng lực định hướng đường lối, biết phân chia ra thành các trường hợp nhỏ để giải toán.

Rèn luyện cho học sinh năng lực định hướng đường lối giải, biết phân

chia bài toán thành các trường hợp nhỏ để giải toán là nhiệm vụ rất quan trọngtrong dạy học giải bài tập toán Đối với dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất thìđây là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng giúp học sinh đơn giản bài toán và biếthướng làm cho các dạng tương tự

Ví dụ 1: Một hộp có 9 bi đỏ, 4 bi xanh cùng kích cỡ Chọn ngẫu nhiên một lúc

ra 5 bi Tính xác suất để trong 5 bi chọn ra có ít nhất 3 bi đỏ

Đây là dạng toán mà học sinh trung bình – yếu cảm thấy hứng thú nếu ta

hướng cho các em cách phân chia lấy đủ các trường hợp, hiểu rõ các cụm từ “có

ít nhất – có nhiều nhất- có đúng, không nhiều hơn, không ít hơn…”

- Lấy ra ít nhất 3 bi đỏ trong 5 bi sẽ xảy ra những trường hợp nào? Ứng

126143

C C C C C

C



Ví dụ 2: (Bài toán tìm số các số tự nhiên thỏa mãn tính chất cho trước được lập

từ tập hợp A, liên quan đến chia hết, tính chẵn - lẻ, )

Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau, chọnmột số tự nhiên thuộc tập hợp A Tính xác suất để chọn một số thuộc tập A và

số đó chia hết cho 3

Ở phần này ta phải nhắc lại cho học sinh tính chất và dấu hiệu chia hết ởnhững dạng đơn giản như:

Dấu hiệu chia hết cho 2 phải có tận cùng là :0,2,4,6,8

Dấu hiệu chia hết cho 5 phải có tận cùng là:0, 5

Dấu hiệu chia hết cho 3 hoặc 9 phải tổng các chữ số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 9

Dấu hiệu chia hết cho 4 là có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4

Dấu hiệu chia hết cho 8 là có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8

Dấu hiệu chia hết cho 10 là có tận cùng bằng 0

- Số tự nhiên cần tìm có bao nhiêu chữ số? ( Có 9 chữ số khác nhau) Các chữ số

đó thỏa mãn điều kiện gì? ( Tổng các chữ số chia hết cho 3)

- Lập số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau từ những chữ số nào? Từ đó để phânchia các trường hợp( Chữ số đứng đầu bên trái phải khác 0, số tự nhiên cần tìmchứa 0 hoặc không chứa 0)

Vậy n A  9.A98

tạo thành một số có 9 chữ số khác nhau chia hết cho 3 thì cần loại đi phần tử là

Trường hợp 1: Chọn B\ 0  để tạo số, mỗi số sẽ là một hoán vị của 9 chữ số nên

có 9! cách

Trường hợp 2: Chọn một trong ba tập B\ 3 , \ 6 , \ 9  B   B   .

3.4 Rèn kỹ năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán

Khi học chủ đề tổ hợp – xác suất học sinh dễ mắc sai lầm trong giải toán xuấtphát từ một số nguyên nhân phổ biến như:

3.4.1 Nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân

Mặc dù khi học lý thuyết về “ Hai quy tắc đếm ” giáo viên đã khắc sâu vàlưu ý cách thực hiện nhưng khi vận dụng học sinh vẫn mắc sai lầm

Ví dụ: Trong lớp 11A7 có 24 học sinh nam và 20 học sinh nữ Cần chọn hai

học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự đại hội Đoàn trường Hỏi có baonhiêu cách chọn?

Sai lầm thường gặp là học sinh áp dụng quy tắc cộng, cho rằng có 24 +20 =44(cách), ở đây thực chất phải áp dụng quy tắc nhân là có 24.20 = 480 (cách)

Khi học sinh áp dụng sai quy tắc, lời giải sai, ta lại phải nhắc lại yêu cầubài toán là gì? Có mấy bước( hoặc công đoạn)?, bỏ đi một bước công việc cóthực hiện được không?

3.4.2 Áp dụng nhầm giữa chỉnh hợp và tổ hợp

Đây là hai khái niệm học sinh thường khó phân biệt nên dễ dẫn đến sai lầmtrong khi vận dụng giải bài tập toán

Ví dụ: Cần chọn từ 10 học sinh nam và 7 học sinh nữ ra 3 nam và 3 nữ để ghép

thành 3 cặp nhảy nam – nữ Hỏi có bao nhiêu cách ghép?

Sai lầm 1: Thông thường học sinh nghĩ ghép cặp nên có sự thay đổi vị trí

và chọn cả nam và nữ liên tiếp nên áp dụng quy tắc nhân, có cách giải như sau:Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 nam trong 10 nam là một chỉnh hợp chập 3 của 10,

Học sinh đã mắc sai lầm khi sắp thứ tự cả 3 nam và 3 nữ, vì vậy mà sốcách ghép 3 cặp nhảy lớn hơn thực tế vì có những cách ghép được tính nhiều lần