KINH NGHIỆM sử DỤNG đạo hàm của hàm số hợp để GIẢI các bài TOÁN về TÍNH đơn điệu

MỤC LỤCSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ THEO ĐỊNH HƯỚNG THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

Người thực hiện: Lê Đăng Hà Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019

Trang

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài ……….2

1.2 Mục đích nghiên cứu………2

1.3 Đối tượng nghiên cứu … ……….2

1.4 Phương pháp nghiên cứu.……… 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm………3

2.2 Thực trạng của vấn đề ….……… ….….3

2.3 Giải pháp tổ chức thực hiện.………3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ……….… 15

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận……… …16

3.2 Kiến nghị ……….……… …… 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….18

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Bài toán về tính đơn điệu và cực trị của hàm số trong đề thi của các kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia và đặc biệt đề tham khảo môn Toán trong kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia năm 2019 của Bộ giáo dục và Đào tạo đã được

đề cập, khai thác ở các mức độ khác nhau, các dạng tiếp cận khác nhau gây không ít khó khăn cho học sinh trong quá trình giải quyết bài toán này

Trong đề thi chính thức và các đề thi thử của các kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia bài toán này dần tiếp cận theo hướng sử dụng đạo hàm của hàm

số hợp kết hợp với sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi giúp học sinh giải toán phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm và đòi hỏi sự nhanh nhạy, chính xác trong giải toán Đặc biệt trong đề tham khảo môn toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo bài toán sử dụng đạo hàm hợp đã xuất hiện những câu ở mức độ vận dung cao đòi hỏi khả năng tư duy sáng tạo của học sinh

Trong những năm học vừa qua bản thân tôi được phân công các lớp mũi nhọn và nghiên cứu xu hướng mới trong đề thi THPTQG tôi mạnh dạn chọn đề tài: “KINH NGHIỆM SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ THEO ĐỊNH HƯỚNG THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trong khuôn khổ của đề tài này tôi không hi vọng giải quyết được tất cả các bài toán về đơn điệu và cực trị của hàm số mà chỉ tập trung hướng dẫn và giải quyết bài toán có sử dụng đạo hàm của hàm số hợp đặc biệt bài toán mức độ vận dụng và vận dung cao trong kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia (THPTQG)

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Như đã nói ở trên trong các đề thi THPTQG, đề tham khảo và các đề thi thử THPTQG của các trường trên toàn quốc đã bắt bầu khai thác ở mức độ vận dụng và vận dụng cao có sử dụng đạo hàm của hàm số hợp để giải quyết bài toán Vì vậy trong đề tài này tôi chỉ tập trung cung cấp phương pháp và các ví

dụ áp dụng có sử dụng bảng xét dấu đạo hàm của hàm số hợp

Trong đề tài này tôi cố gắng bằng kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học và ôn thi THPTQG, giới thiệu đến độc giả và đồng nghiệp một số kinh nghiệm định hướng nhằm hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán dạng này

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Hoàn thiện hệ thống cơ sở lý luận, kiến thức cơ bản, hướng dẫn tiếp cận bài toán, phân tích, đánh giá và kết luận liên quan đến dạng toán này

Áp dụng kinh nghiệm này cho các em học sinh thông qua các bài kiểm tra, khảo sát chất lượng định hướng thi THPTQG nhà trường Báo cáo đề tài trước tổ chuyên môn, được tổ chuyên môn góp ý, nhận xét bổ sung và đánh giá

cao Bản thân tôi có tham khảo một số ý kiến của các đồng nghiệp có nhiều kinh nghiệm trong lĩnh vực ôn thi THPTQG đặc biệt là đam mê giải bài toán mức độ vận dụng và vận dụng cao đang được phát triển qua các kỳ thi THPTQG

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Trên cơ sở lý thuyết học sinh đã được học trong sách giáo khoa lớp 12 phần Cực trị của hàm số, công thức đạo hàm của hàm số hợp Học sinh đã nắm vững các định lý, tính chất cơ bản, biết vận dụng một số giải một số bài toán về cực trị đơn giản Đề tài này giúp học sinh có cái nhìn và phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng vào thực tế giải toán, giúp các em có sự tự tin khi gặp dạng toán này đồng thời giúp học sinh phát triển tư duy cũng như đam mê học toán

2.2 Thực trạng của vấn đề

Bài toán tìm cực trị của hàm số đã được phát triển đến những bài toán có tính phân loại cao trong đề thi THPTQG Nhiều học sinh có tâm lý ngại, hoang mang khi gặp bài toán về hàm số hợp và đạo hàm của chúng; các thầy cô nhiều khi cũng chỉ giới thiệu sơ qua về khái niệm hàm số hợp cũng như công thức đạo hàm nên học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc định hướng và tìm cách giải quyết dạng toán này

Trong các kỳ thi THPT Quốc gia thì bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số có sử dụng đạo hàm của hàm số hợp lại được giải quyết theo hướng tìm đáp số của phương pháp trắc nghiệm theo một số dạng nên việc trang bị cho học sinh kiến thức và phương pháp giải chung và cơ bản có phần bị xem nhẹ Trong

kỳ thi THPTQG thì đa số học sinh được ôn luyện theo kiểu học tủ nếu trúng đề, trúng dạng thì làm còn không thì chọn bừa đáp án mang tính may rủi

Ngay cả giả thiết của bài toán cũng được biến đổi cho khác đi, như cho giả thiết ở dạng hàm số biết công thức chuyển sang cho hàm số ở dạng đồ thị, cho ở dạng biết bảng xét dấu hoặc đạo hàm… gây không ít khó khăn cho học sinh Trong đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh giải quyết phần nào những khó khăn trên

2.3 Giải pháp tổ chức thực hiện

2.3.1 Một số kiến thức cơ bản.

10) Khái niệm về hàm số hợp

Cho hai hàm số y f u vàu u x   Thay thế biến utrong biểu thức

 

y f u bởi biểu thức u x , ta được biểu thức   f u x   với biến x Khi đó hàm số y g x   với g x   f u x   được gọi là hàm số hợp của hai hàm số

f và u; hàm số u được gọi là hàm số trung gian.

Trong định nghĩa trên, tập xác định của hàm số hợp y g x   là tập các giá trị của x sao cho biểu thức g x   f u x   có nghĩa (SGK Đại số và Giải tích lớp 11 trang 201)

20) Công thức đạo hàm của hàm số hợp

Định lý (SGK Đại số và Giải tích lớp 11 trang 201)

a) Nếu hàm số u u x   có đạo hàm tại điểm x và hàm số 0 y f x  có tại điểm u0 u x 0 thì hàm số hợp g x   f u x   có đạo hàm tại điểm x và0

 

u u x

b) Nếu giả thiết trong phần a) được thỏa mãn với mọi điểm x thuộc J(Trong đó

J là tập con của tập số thực  gồm một khoảng hay hợp của nhiều khoảng) thì hàm số hợp y g x   có đạo hàm trên J và

g x f u x u x 

Ta cũng sẽ sử dụng công thức sau

 

 f u x ' f u x u x'   ' 

và ghi nhớ cho học sinh phải phân biệt được hai biểu thức liên quan đến đạo hàm của hàm số hợp, đó là  f u x   và ' f u x'   Đây là điểm mà học sinh hay nhầm lẫn trong quá trình giải toán

30) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f x  mọi '  0 x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I.

b) Nếu f x  mọi '  0 x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I c) Nếu f x  mọi '  0 x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I.

Nhận xét Điều kiện trên có thể mở rộng như sau: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu f x  mọi '  0 x I (hoặc f x  mọi '  0 x I )

và f x  chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số '  0 f đồng biến (hoặc

nghịch biến) trên khoảng I

40) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a b chứa điểm ;  x và có đạo hàm0

trên các khoảng a x và ; 0 x b Khi đó0; 

a) Nếu f x  với mọi '  0 xa x; 0và f x '  0với mọi xx b0;  thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0

b) Nếu f x  với mọi '  0 xa x; 0và f x  với mọi '  0 xx b0;  thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0

Nhận xét

Với giả thiết như trên, nếu hàm số f có đạo hàm đổi dấu qua điểm x thì0 hàm số f đạt cực trị tại điểm x 0

2.3.2 Cách lập bảng xét dấu đạo hàm từ đồ thị hàm số và đồ thị đạo hàm.

a) Cách lập bảng xét dấu đạo hàm từ đồ thị hàm số

Ví dụ 1 Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Biết rằng hàm số có đạo hàm trên  Hàm số yf x'  có bảng xét dấu

là bảng nào sau đây?

A

B

C

D.

Phân tích và hướng dẫn cách giải:

- Vì mục đích nhằm giúp cho học sinh chuyển từ giả thiết từ đồ thị hàm số sang bảng xét dấu của đạo hàm Đây là một trong hướng đi giúp giải quyết tốt bài toán tìm cực trị của hàm số.

- Với giả thiết hàm số có đạo hàm trên  (hoặc trên TXĐ D ) Bảng xét

dấu đạo hàm được lập từ đồ thị hàm số có thể dựa theo nguyên tắc: Trên khoảng nào đồ thị có hướng “đi lên” thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị dương và trên khoảng nào đồ thị có hướng “đi xuống” thì trên khoảng đó đạo

hàm nhận giá trị âm Tại “điểm nối” giữa hai khoảng đó đạo hàm nhận giá trị bằng không.

Giải.

Hàm số có đạo hàm trên nên

- Trên các khoảng   ; 1 và 0;1 đồ thị có hướng đi xuống (hàm số nghịch

biến) nên đạo hàm có dấu âm

- Trên các khoảng 1;0 và 1;  đồ thị có hướng “đi lên” ( hàm số đồng

biến) nên đạo hàm có dấu dương

- Tại các điểm x 1,x0và x 1 thì f x  '  0

- Khi đó ta có bảng xét dấu đạo hàm yf x'  như sau:

- Chọn đáp án B.

b) Cách lập bảng xét dấu đạo hàm từ đồ thị đạo hàm

Ví dụ 2 Cho hàm số yf x xác định và có đạo hàm y f x'  trên  Biết

đồ thị của hàm số yf x'  như hình vẽ dưới

-2

-4

y

-1

x -1

1

Hàm số y f x'  có bảng xét dấu là bảng nào sau đây?

A.

B

C.

D.

Phân tích và hướng dẫn cách giải:

- Vì mục đích nhằm giúp cho học sinh chuyển từ giả thiết từ đồ thị của đạo hàm hàm số sang bảng xét dấu của đạo hàm Tiếp tục hướng đi giải quyết bài toán cực trị của hàm số bằng bảng xét dấu đạo hàm của nó.

- Với giả thiết hàm số có đạo hàm trên  (hoặc trên TXĐ D ) Bảng xét

dấu đạo hàm được lập từ đồ thị đạo hàm hàm số có thể dựa theo nguyên tắc:

Trên khoảng nào đồ thị của đạo hàm nằm phía trên trục Ox thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị dương và trên khoảng nào đồ thị của đạo hàm nằm phía dưới trục Ox thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị âm Tại “điểm nối” giữa hai khoảng đó đạo hàm nhận giá trị bằng không.

Giải.

Hàm số có đạo hàm trên nên

- Trên các khoảng   ; 1 và 1;2 đồ thị f x nằm phía dưới trục '  Ox nên đạo hàm có dấu âm

- Trên khoảng 2;  đồ thị  f x nằm phía trên trục '  Ox nên đạo hàm có dấu dương

- Tại các điểm x 1và x 2 thì f x  '  0

- Khi đó ta có bảng xét dấu đạo hàm yf x'  như sau:

- Chọn đáp án B.

Nhận xét:

Ta nhận thấy rằng bước đầu ví dụ 1 và 2 và một số bài tập vận dụng giúp cho học sinh cách lập bảng xét dấu của đạo hàm hàm số khi biết đồ thị của hàm số hoặc đồ thị của đạo hàm hàm số đó.

Sau đây là những bài toán đơn giản đầu tiên về cực trị của hàm số Có sử dụng đồ thị và bảng xét dấu đạo hàm

2.3.3 Bài toán về cực trị và đơn điệu của hàm số có sử dụng đồ thị.

Ví dụ 3 (Đề thi THPTQG năm 2018-Mã đề 101) Cho hàm số

y ax bx cx d a b c d   có đồ thị như hình vẽ bên., , , 

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Phân tích và hướng dẫn lựa chọn đáp án:

- Bài toán này nằm trong đề thi THPTQG năm 2018 Đây là bài toán ở mức độ nhận biết

- Nhờ dấu hiệu điểm cực trị của đồ thị học sinh có thể tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số và trả lời câu hỏi Đó là: Điểm cực đại của đồ thị là “điểm nối” giữa nhánh đồ thị có hướng “đi lên” và nhánh đồ thị có hướng “đi xuống” theo chiều từ trái qua phải Điểm cực tiểu của đồ thị là “điểm nối” giữa nhánh

đồ thị có hướng “đi xuống” và nhánh đồ thị có hướng “đi lên” theo chiều từ trái qua phải (chiều dương của trục Ox)

- Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị

- Chọn đáp án A.

Nhận xét:

- Ví dụ đầu tiên là bài toán đơn giản, học sinh chọn đáp án qua nhận dạng đồ thị hoặc dấu hiệu điểm cực trị trên đồ thị

- Ví dụ tiếp theo có mục đích giúp học sinh biết cách chuyển từ đồ thị của hàm số sang bảng xét dấu của đạo hàm f x Đây là kỹ năng quan trọng đầu' 

tiên trong phần hàm số nói chung và phần tìm điểm cực trị nói riêng Bởi suy cho cùng thì khi chúng ta lập được bảng xét dấu của đạo hàm f x thì bài' 

toán cơ bản đã được giải quyết Cũng là để tạo tiền đề giải quyết bài toán tìm cực trị của hàm số hợp bằng cách lập bảng xét dấu đạo hàm.

Ví dụ 4 (Đề minh THPTQG năm 2019) Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A 0;1 B    ; 1 C  1;1 D  1;0

Giải.

- Sử dụng bảng xét dấu của ví dụ 1 ở trên

- Từ đó chọn đáp án D

Nhận xét.

- Ở đây học sinh có thể nhận ngay khoảng đồng biến nghịch biến từ đồ thị hàm

số Tuy nhiên nhằm giúp học sinh rèn luyện cách lập bảng xét dấu đạo hàm thành thạo ta hướng cho các em cách giải trên và tiếp tục mở rộng ở các ví dụ sau để thấy tầm quan trọng của việc sử dụng thành thạo bảng xét dấu đạo hàm

kể cả đạo hàm của hàm hợp.

Ví dụ 5 (Đề thi thử THPTQG trường THPT Phan Đình Phùng – Hà Tĩnh) Cho

hàm số yf x  liên tục trên  Biết đồ thị của hàm số y f x  như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số y f x  là

Giải.

Sử dụng quy tắc lập bảng xét dấu của đạo hàm dựa trên đồ thị y f x  đã nêu

ở trên

Bảng xét dấu y f x 

Vậy hàm số đã cho không có cực trị

Chọn đáp án B

Ví dụ 6 (Đề thi thử THPTQG liên trường tỉnh Nghệ An) Cho hàm số yf x 

có đạo hàm liên tục trên R Đồ thị của hàm số yf x  được cho bởi hình vẽ bên dưới

Chọn khẳng định đúng:

A Hàm số yf x đồng biến trên khoảng  1;1

B Hàm số yf x nghịch biến trên khoảng 1;3

C Hàm số yf x đồng biến trên khoảng 0; 2

D Hàm số yf x đồng biến trên khoảng  1;1 và khoảng (3;4)

Giải

Sử dụng quy tắc lập bảng xét dấu của đạo hàm dựa trên đồ thị y f x  đã nêu

ở trên

Bảng xét dấu y f x 

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; 2

O

x

y

1

1

Chọn đáp án C.

2.3.4 Bài toán về cực trị và đơn điệu của hàm số có sử dụng đạo hàm của hàm số hợp.

a) Xét hàm hợp g x  f u x    trong đó u x là hàm bậc nhất. 

Ví dụ 7 (Đề thi thử THPTQG năm 2018-Trường THPT Triệu Sơn 1 – Thanh

Hóa) Cho hàm số y f x  xác định và có đạo hàm yf x'  trên  Biết đồ thị của hàm số yf x'  như hình vẽ dưới

-2

-4

y

-1

x -1

1

Số điểm cực trị của hàm số g x  f 2x 1 là

Phân tíchvà lựa chọn đáp án:

- Ở các ví dụ trên ta đã đưa ra quy tắc và lập bảng xét dấu của đạo hàm

 

'

f x Phần tiếp theo ta suy ra bảng xét dấu của đạo hàm số yf 2x 1 kí hiệu là  f 2x  1 (Phân biệt với ' f ' 2 x  1)

- Đối với phép suy luận tìm bảng xét dấu của  f 2x  1 ta có thể thực' hiện như sau:

 Sử dụng công thức:  f 2x1'2x 1 ' ' 2  f  x 1 2 ' 2f  x 1.

 Xét tại các điểm đặc biệt: ( f x'  0 x1; x2)

2 1 1 0 2x 1 ' 0 ' 2 1 0 3

2 1 2

2

   





     



 Xét dấu  f 2x 1'2 ' 2f  x 1 trên các khoảng.

Ví dụ trên khoảng 0; 3

2

  cho x  ta có: 0 g' 0 '2 ' 1 0f  

- Từ đó ta có bảng xét dấu của g x'   f 2x 1 như sau'

- Vậy hàm số yf 2x 1 có 1 điểm cực trị (cực đại) tại 3

2

x 

- Chọn đáp án A.