Các câu hỏi phần vận dụng cao thường rơi vào bài toán xác định thiết diện hoặc tính diện tích thiết diện có yếu tố vuông góc bài toán mà bấy lâu nay đa số các em học sinh thấy nản lòng..
Trang 1MỤC LỤC
2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 2 2.3 Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề 2
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 11
1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài
Trong chương trình môn toán ở trường THPT, phần hình học không gian giữ một vai trò hết sức quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức,
kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: Cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính sáng tạo, tính bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy cho học sinh Không những thế hình học không gian lại là phần rất quan trọng trong nội dung thi đại học của Bộ giáo dục Đặc biệt là phần quan hệ vuông góc trong không gian chiếm phần lớn trong
Trang 2nội dung hình học Các câu hỏi phần vận dụng cao thường rơi vào bài toán xác định thiết diện hoặc tính diện tích thiết diện có yếu tố vuông góc bài toán mà bấy lâu nay đa số các em học sinh thấy nản lòng
Qua thực tế giảng dạy môn Toán ở trường THPT DTNT Ngọc Lặc, nhiều học sinh khi đứng trước bài toán tìm thiết diện, đặc biệt là thiết diện có yếu tố vuông góc trong không gian thường có tâm trạng hoang mang, không xác định được phương hướng, không biết phải làm những gì để tìm ra lời giải cho bài toán Học sinh đọc phần hướng dẫn trong SGK, sách bài tập hay gợi ý của giáo viên thì dễ hiểu nhưng để tự làm một bài toán tìm thết diện thì lúng túng và khó khăn
Xuất phát từ lý do trên trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi đã gom các dạng toán về thiết diện có yếu tố vuông góc và cách giải cụ thể để học
sinh dễ hình dung hơn về loại toán này, với đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 11
dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng có yếu tố vuông góc trong không gian” tôi mong muốn học sinh hứng thú học hình hơn, giáo
viên có phương pháp dạy học hiệu quả và nâng cao chất lượng giáo dục THPT nói chung và của Trường THPT DTNT Ngọc Lặc nói riêng
1.2 Mục đích nghiên cứu.
- Ôn tập, củng cố kiến thức một cách hệ thống phần quan hệ song song
- Rèn luyện kỹ năng dựng thiết diện phần quan hệ song song
- Học kĩ các tính chất về quan hệ vuông góc thuộc bài “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài Hai mặt phẳng vuông góc”
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
- Đề tài này sẽ nghiên cứu hoạt động dựng thiết diện của học sinh cho các bài
toán thiết diện có yếu tố vuông góc - hình học không gian lớp 11.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu thông qua các tài liệu có sẵn
- Tự nghiên cứu thông qua các ý tưởng toán học của bản thân
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1 Cơ sở lý luận
Hình học không gian là môn học khó đối với học sinh lớp 11 và nhiều em không làm được bài tập Vấn đề xác định thiết diện đặc biệt là thiết diện có yếu
tố vuông góc gặp nhiều khó khăn: Về thời gian, phương pháp, trí tưởng tượng không gian, vẽ hình, lập luận, trình bày
Qua những tiết dự giờ, quan sát dạy và học môn hình học lớp 11 phần quan hệ vuông góc đồng thời thăm dò ý kiến của giáo viên và học sinh trường
Trang 3
a a
loại thiết diện nói chung và thiết diện có yếu tố vuông góc nói riêng nhằm tháo
gỡ những khó khăn mà đa phần học sinh không nắm vững
2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Qua kết quả điều tra thực trạng học sinh học hình trong nhà trường THPT DTNT Ngọc Lặc:
+ Rất ít học sinh có hứng thú đối với môn hình học, chưa có phương pháp học tập hiệu quả đối với môn học
+ Các kiến thức cơ bản về hình học nói chung và hình học không gian lớp 11 nói riêng còn rất hạn chế
+ Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối tượng trong hình không gian còn yếu
+ Kỹ năng vẽ hình trong không gian chưa tốt
+ Kỹ năng dựng thiết diện nói chung và thiết diện có yếu tố vuông góc nói riêng còn chưa thành thạo và còn mơ hồ
2.3 Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề
2.3.1 Các kiến thức liên quan
* Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu
/ /( ) ( ) ( ) ( )
a a
b
thì a // b
a
b
*Tính chất 3: (SGK trang 101)
a
b a b a
b
* Hệ quả 1(SGK trang 109):
(P)⊥(Q )
A ∈( P) a∋ A
a ⊥(Q) }⇒a⊂( P )
Trang 42.3.2.Các dạng toán và phương pháp
* Dạng 1 Xác định thiết diện đi qua một điểm và vuông góc với một đường
thẳng
Bài toán: Dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P) đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng a cho trước
Phương pháp giải.
Bước 1 Tìm các đường thẳng vuông góc với đường thẳng a, áp dụng tính chất
3(trang 101 SGK) thì đường thẳng đó sẽ song song với (p), áp dụng định lý 2(trang 61 SGK) để tìm các giao tuyến
Bước 2 Nếu trong bài toán không tìm thấy được đường thẳng vuông nào góc
với đường thẳng a, hoặc tìm chưa đủ các giao tuyến với hình chóp thì từ điểm M
ta dựng MH vuông với a để tìm tiếp các giao tuyến còn lại
Ví dụ 1 Cho hình chópS ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tạiB, cạnh bên
SA ABC Mặt phẳng ( )P đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB
cắt AC SC SB, , lần lượt tại N P Q, , Tứ giácMNPQ là hình gì?
Phân tích: Theo bước 1 ta đi tìm các đường thẳng vuông góc với SB, ta dễ dàng
thấy được BCSB từ đó áp dụng Tính chất 3(SGK trang 101) thì BC/ /( )P
Từ đó áp dụng Định lý 2(SGK trang 61) để tìm giao tuyến
Lời giải
Q
P
N M
S
Trang 5Ta có:
AB BC
BC SB
SA BC
Vậy
/ /
BC SB
P BC
P SB
Mà P ABC MN (2)
Từ (1) và (2) MN/ /BC
Tương tự ta chứng minh được PQ BC/ / , MN/ / BC, BC(SAB)
Mà SA BC PN NM
Vậy thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại M Q, Chọn A
Ví dụ 2 (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN)
Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy góc 450 Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt hình chóp S ABCD. theo thiết diện là tứ giác AHKL có diện tích bằng:
A.
2
3
2
a
B.
2
3 6
a
C.
2
3 3
a
D.
2
3 4
a
Phân tích: Giống với VD1 ta làm từng bước theo cách làm, ta dễ thấy rằng
/ /( )
BDSC BD
Nhưng SC và A lại không cùng thuộc một mặt phẳng nên trước khi sử dụng định lý 2 (SGK trang 61) ta phải tìm một điểm vừa thuộc mp( ) vừa cùng thuộc mặt phẳng với BD Do đó ta phải sử dụng bước 2 trước
là dựng AK vuông góc với SC, gọi I là giao điểm của SO và AK khi đó I là điểm cần tìm rồi mới quay lại bước 1 để tìm giao tuyến
Lời giải
L I
O
C
D
S
K H
Trang 6Gọi K là hình chiếu của Atrên SC Trong SAC gọi I SOAK
BD SA
BD SAC
BD AC
BD SC
mặt khác SC nên BD/ /
Ta có
/ /
BD SBD
BD
SBD HL BD H SD L SB/ / , ,
Thiết diện là tứ giác AHKL
Ta có
/ /
HL BD
HL AK
BD AK
Suy ra
1 2
AHKL
Mà
6 3
a
AK
và
2
2 2
HL SL a
BD SB a
2 2
a HL
Vậy
2
.
AHKL
S AK HL a
Chọn B
Ví dụ 3 Cho hình chópS ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và
2
SA SB SC b a b
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Xét mặt phẳng ( )P
đi qua B vuông góc với SC tại điểm I nằm giữa S và C Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( )P là?
A
2 3 2 2
2
a b a S
b
B
2 3 2 2
4
a b a S
b
C
2 3 2 2
2
a b a S
b
D
2 3 2 2
4
a b a S
b
Phân tích: Theo bước 1 ta đi tìm các đường thẳng vuông góc với SC, nhưng
không có đường thẳng nào vuông góc với SC, Do đó ta sử dụng bước 2 là từ B
hạ đường thẳng vuông góc với SC, từ đó tìm các giao tuyến còn lại
Lời giải
J
I
G
S
Trang 7Kẻ AI SC AIB SC Thiết diện là tam giác AIB
Ta có
Gọi J là trung điểm của AB AIB cân tại I suy ra IJ AB
2 2 2
Chọn B
Ví dụ 4 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, đáy lớn AD8,BC6, SAABCD, SA 6 Gọi M là trung điểm của AB ( )P là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB Thiết diện của ( )P và hình chóp có diện tích bằng?
Lời giải
K I
N M
A
B
D
C S
P AB P / /SA
Gọi I J K, , lần lượt là trung điểm SB CD SC, ,
Thiết diện là hình thangMNKI vuông tại M
3 7 3 15
MNKI
IK MN
Chọn C
*Bài tập tự luyện
Bài 1 Cho hình chópS ABC. có đáy ABC là tam giác đều, O là trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC,SO vuông góc với đáy Gọi I là điểm tùy ý trên đoạn thẳng OH(không trùng với O vàH), mặt phẳng ( )P quaI và vuông góc với OH Thiết diện của ( )P và hình chóp là hình gì?
Bài 2 Cho hình chóp S ABCD. , SAABCD, SA a , mặt ABCD là hình chữ nhật với AB a AD , 2a M là điểm thuộc cạnh AB, đặt AM x0 x a Mặt
Trang 8phẳng qua M và vuông góc với ABcắt CD SC SB, , lần lượt tại N P Q, , Thiết diện của ( )P và hình chóp là hình gì?
Bài 3: Cho tứ diện đềuABCDcạnh a 12, AP là đường cao của tam giác ACD Mặt phẳng P đi qua B và vuông góc với AP cắt ACD theo giao tuyến có độ dài bằng?
Bài 4: Cho hình chóp S ABCD. ,có đáy ABCD là hình vuông tâm O,SAABCD Gọi M là trung điểm của BO, P là mặt phẳng qua M và P BC Thết diện
là hình gì?
Bài 5: Cho hình chópS ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tai B,
AB a SA a và SAABC Gọi M là điểm trên cạnh AB và
0
AM x x a mặt phẳng đi quaMvà vuông góc với AB Giả sử thiết diện của hình chóp S ABC. với là tứ giác MNPQ Tìm x để thiết diện MNPQ lớn nhất?
A 2
a
x
a
x
3 2
a
x
D.x a
* Dạng 2 Xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt
phẳng
Bài toán: Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P) chứa đường thẳng a và
vuông góc với mp(Q)
Phương pháp giải.
Bước 1: Từ 1 điểm A trên đường thẳng a sao cho qua A có thể dựng được
đường thẳng b vuông góc với mp(Q) một cách dễ nhất
Bước 2: khi đó, mp(a,b) chính là mp(p) cần dựng.
Bước 3: Tìm giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp bằng các cách đã
biết
Ví dụ 1 Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA, ABC Gọi
E là trung điểm cạnh SC M, là một điểm trên cạnh AB Gọi là mặt phẳng chứa EM và vuông góc với SAB Xác định thiết diện của và tứ diện
A Hình thang B Hình thang vuông.
Phân tích: Theo cách làm, bước 1 từ một điểm trên ME dựng đường thẳng
vuông góc với (SAB), ta thấy điểm thuộc mp(SAB) nên từ E ta dựng EF vuôngF
N
E
S
M
Trang 9góc với (SAB), ta lại dễ thấy BC cũng vuông góc với (SAB) nên EF//BC Từ đó
ta có lời giải
Lời giải
BC AB
BC SAB
BC A
Ta lại có:
S
SAB
BC
BC AB
Kẻ MN BC ;EFBC
Nối MF,NE ta được thiết diện cần tìm
là hình thang MNEF Chọn A
Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD. , ABCD là hình chữ nhật, SA(ABCD) Gọi I J, lần lượt là trung điểm của AB CD, Gọi P là mặt phẳng qua IJ và vuông góc với mặt SBC Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng P
Lời giải
IJ AB
IJ SAB IJ SB
IJ SA
Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với SB tại K
Do đó P KIJ
Ta có
P SAB KI
P ABCD IJ
P IJ BC P SBC KN BC
P SCD NI
Vậy giao tuyến là hình thang KNIJ
Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA= a, và vuông góc với đáy, gọi ( ) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi ()
N
J I
D
A S
K
Trang 10Phân tích: Trong bài toán này ta chỉ cần tìm giao điểm của ( ) với hai cạnh SC
và SD Vì (SCD) vuông góc với ( ) nên chắc chắn (SCD) sẽ chứa một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( ) Dễ nghi ngờ đường thẳng đó chính là SD vì ta có SDAB( )
Bây giờ ta giả sử () cắt SD tại H Nếu ta chọn H sao cho SDAH thì lúc đó, kết hợp với SDAB, ta có SD(ABH) Suy ra (SCD) ( ABH)
Như vậy ta có (ABH) Chứa AB và vuông góc với (SCD) Điều này buộc
(ABH) Vậy mấu chốt giúp ta xác định được ( ) chính là điểm H
Lời giải
Trong tam giác SAD kẻ AH SD(1)
AB CD
AB SCD SD AB
SA AB
Từ (1) và (2) suy ra SDAHB SCD AHB Vì (ABH) chứa AB và vuông góc với (SCD) nên AHB
Do CD/ /AB nên SCD HK CD\ \ Với K thuộc SC Vậy thiết diện cần tìm là hình thang ABKH Mặt khác do ABSCD ABAH, mà
HK CD HK AB HK SCD HK AH Vậy hình thang ABKH là hình thang vuông tại A và H Ta có
1 ( ) 2
ABKH
Trong đó AB=a, Vì SA=AD=a nên HK là đường trung bình của tam giác SCD, nên 2
a
HK
,
2
AH a
AH SA AD a a
Trang 11Vậy
2
ABKH
S AH HK AB a
*Bài tập tự luyện
Bài 1 Cho hình chóp S ABCD. có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) ABCD là
hình chữ nhật tâm O Gọi (P) là mặt phẳng qua SO và vuông góc với mặt phẳng (SAD) Hãy tìm thiết diện của hình chóp S ABCD. và mặt phẳng (P)
Bài 2 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, SA(ABCD) Gọi O
là tâm của hình vuông ABCD, M là trung điểm của cạnh SD Một mặt phẳng
đi qua O M, và vuông góc với mặt phẳng ABCD Hãy xác định thiết diện tạo bởi và hình chópS ABCD.
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song
song Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (SCD)
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song
song Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của hai tam giác SBC và SAB Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua E, F và vuông góc với (SCD)
Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có SA(ABCD) gọi I là điểm trên đoạn SA sao cho 2AI = SI J là điểm trên đoạn CD sao cho DJ = 2 JC Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua I,J và vuông góc với (SBD)
Trang 122.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1 Kết quả thực nghiệm
Để hiểu rõ hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm tôi tiến hành thực nghiệm
sử dụng phương pháp trong sáng kiến kinh nghiệm dạy ở lớp 11A3 và dạy theo giáo án bình thường ở lớp đối chứng 11A6 sau đó tôi cho học sinh thực hiện bài kiểm tra 15 phút kết quả như sau:
TB trở
Lớp
thực
nghiệm
11A3 30 16 53,3 2 6,7 7 23,3 3 10 2 6,7 0 0
Lớp đối
Nh
ậ n x é t :
* Tỉ lệ học sinh đạt loại giỏi tăng so với kết quả kiểm tra trước thực nghiệm
* Tỉ lệ học sinh đạt loại khá cũng không chênh lệch so với kết quả kiểm tra trước thực nghiệm
* Tỉ lệ học sinh trung bình ở lớp thực nghiệm nhiều hơn so với kết quả kiểm tra trước thực nghiệm và nhiều hơn
* Tỉ lệ học sinh chưa đạt yêu cầu đã giảm rõ ở lớp thực nghiệm khi so với kết quả kiểm tra trước thực nghiệm và lớp đối chứng
Qua số liệu của bảng, chứng tỏ phương pháp tôi đưa ra đã giúp đỡ học sinh tìm được thiết diện của hình chóp khi có yếu tố vuông góc Tuy chưa làm tăng tỉ lệ học sinh giỏi, chỉ làm tăng nhẹ tỉ lệ học sinh khá và trung bình nhưng
đã làm giảm tỉ lệ học sinh yếu kém Và qua số liệu của bảng, tôi thấy tự tin và rất mừng vì đã giúp đỡ được các em học sinh thích học toán và chất lượng tăng lên rõ rệt, giúp các em tự tin hơn khi làm bài tập phần xác định thiết diện này
2.4.2 Kết quả chung
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã giải quyết được những vấn đề sau:
+ Học sinh đã chủ động hơn trong các bài tập về tìm thiết diện khi có yếu tố vuông góc
+ Giúp các em hứng thú hơn khi học đến dạng toán này, từ đó hứng thú hơn khi
Trang 133 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận.
Qua quá trình nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 dựng
thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng có yếu tố vuông góc
trong không gian” đã thu được một số kết quả:
+ Đề tài này tôi đã phân loại được các dạng bài tập và phương pháp giải các bài
toán dựng thiết diện có yếu tố vuông góc một cách rõ ràng hơn
+Dựa trên kinh nghiệm thực tế của giáo viên và qua kết quả thực nghiệm cho
phép xác nhận giả thuyết của đề tài là chấp nhận được, có tính hiệu quả và mục
đích nghiên cứu đã hoàn thành
3.2 Kiến nghị.
Đối với giáo viên dạy học môn toán cần tách lọc các đối tượng học sinh
để từ đó có phương pháp dạy học phù hợp
+ Đối với học sinh ở mức trung bình và dưới trung bình thì trang bị cho các em
phương pháp và các bài tập dạng đơn giản để các em thực hành
+ Đối với học sinh khá giỏi thì ngoài kiến thức cơ bản cần trang bị them cho các
em các kiến thức rộng hơn và các bài tập có tính tư duy nhiều hơn
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác
Tác giả
Trịnh Thị Hạnh