Rèn luyện kỹ năng ứng dụng lý thuyết đa thức đối xứng vào chứng minh bất đẳng thức cho học sinh trung học phổ thông

Lý do chọn đề tài Trong đại số sơ cấp nói chung và trong mảng kiến thức về bất đẳng thức nói riêng, nhiều bài toán sẽ trở nên đơn giản nếu ta biết vận dụng các kiến thức và phương pháp c

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Trong đại số sơ cấp nói chung và trong mảng kiến thức về bất đẳng thức nói riêng, nhiều bài toán sẽ trở nên đơn giản nếu ta biết vận dụng các kiến thức

và phương pháp của các môn toán cao cấp vào việc giải quyết chúng Một trong những phương pháp rất hiệu quả đó là ứng dụng lý thuyết đa thức đối xứng Biết phát hiện và ứng dụng các kết quả của lý thuyết đa thức đối xứng sẽ làm cho nhiều bài toán trở nên đơn giản hơn Ứng dụng này đã trở thành phương pháp giải thống nhất cho nhiều loại bài toán trong đại số sơ cấp mà ta lợi dụng được tính đối xứng của nó Hơn nữa, phương pháp này phát huy rất hiệu quả tính độc lập, sáng tạo và phát triển tư duy logic, óc phân tích cho học sinh Đối với những bài toán chứng minh bất đẳng thức trong các đề thi, nhất là đề thi học sinh giỏi, thường là các bài toán vận dụng cao, không có cách giải theo khuôn mẫu nên đa

số học sinh đều thấy ngại, thậm chí bỏ qua không làm loại bài này

Chính vì các lý do trên nên tôi chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng ứng dụng lý thuyết đa thức đối xứng vào chứng minh bất đẳng thức cho học sinh trung học phổ thông”, với mong muốn khắc phục phần nào những hạn chế nêu

trên, góp phần nhỏ bé của mình phục vụ công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi toán

Rất mong các đồng chí, đồng nghiệp cùng quan tâm, góp ý phê bình, bổ sung để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tôi mạnh dạn đưa ra phương pháp áp dụng toán cao cấp vào giải toán sơ cấp cho học sinh thông qua đề tài này nhằm mục đích sau:

- Phát triển tư duy logic, sáng tạo, khả năng tổng hợp, so sánh, phân tích của học sinh

- Thông qua đề tài này giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết đa thức đối xứng vào bài toán chứng minh bất đẳng thức, giúp học sinh thấy tự tin và có hứng thú khi gặp các bài toán này

- Tôi hy vọng đề tài nhỏ bé này sẽ giúp các bạn đồng nghiệp tham khảo thêm về phương pháp chứng minh bất đẳng thức, giúp cho việc dạy và học môn Toán, nhất là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đạt hiệu quả cao

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Đề tài này tôi nghiên cứu hướng tiếp cận, phương pháp và kĩ năng vận dụng lý thuyết đa thức đối xứng vào bài toán chứng minh bất đẳng thức cho học sinh trung học phổ thông

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Khảo sát, điều tra từ thực tế dạy và học

- Phương pháp đối chứng

- Phương pháp tổng hợp, so sánh và đúc rút kinh nghiệm

2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận

2.1.1 Đa thức P(x,y) được gọi là đa thức đối xứng của hai biến x, y nếu nó không thay đổi khi đổi chỗ x và y, nghĩa là:

P(x,y) = P(y,x).

2.1.2 Các đa thức 1 x y,2x y được gọi là các đa thức đối xứng cơ sở

của các biến x,y Mọi đa thức đối xứng P(x,y) của các biến x,y đều có thể biểu

diễn được dưới dạng đa thức p( ,1 2)của các biến 1,2

2.1.3 Mỗi tổng lũy thừa m m, ( 0,1, 2 )

m

S x y m  có thể biểu diễn được dưới dạng một đa thức bậc m của 1 và 2 :

1 1 2 2

S  S    S 

Chẳng hạn như:



  

3 3 ( )3 3 ( ) 3 3

2.1.4 Với m > n , (m*,n) ta có: 2n :

m n m n m n

S  S S   S  Công thức Waring

2.1.5 Đa thức P(x,y,z) được gọi là đa thức đối xứng của ba biến x, y ,z nếu nó không thay đổi với mọi hoán vị của x, y, z, nghĩa là:

P(x,y,z) = P(y,x,z) = P(y,z,x) = P(z,x,y) = P(z,y,x) = P(x,z,y).

2.1.6 Các đa thức 1 x y,2x y yz zx , 3xyz được gọi là các đa thức

đối xứng cơ sở của các biến x,y,z Mọi đa thức đối xứng P(x,y,z) của các biến x,y,z đều có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức p( ,1  2, 3)

2.1.7 Mỗi tổng lũy thừa m m m, ( 0,1, 2 )

m

S x y z m ta đều có:

1 1 2 2 3S 3

S   S    S    

Chẳng hạn như:

3

0

2 2 2 2 2

4 4 4 4 4 2 2 2 4

5 5 5 5 5 3 5 2 5 2 5

S





   

    

2.2 Thực trạng của vấn đề

Trong thực tế giảng dạy ở trường trung học phổ thông , học sinh gặp nhiều khó khăn và rất “ ngại ” khi giải các bài toán về chứng minh bất đẳng thức Bởi vì, các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường là những bài vận dụng cao, lại không có cách giải theo khuôn mẫu, không theo một phương pháp

nhất định nên học sinh rất khó xác định hướng giải bài toán Khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các em thường lúng túng, thụ động, không biết bắt đầu từ đâu, không biết phân tích bài toán thế nào, dẫn đến thực trạng hiện nay là phần lớn các em không có hứng thú, thiếu tự tin, thậm chí chấp nhận bỏ qua các bài toán về chứng minh bất đẳng thức

Th c hi n vi c ki m tra m t s b i t p v ch ng minh b t ện việc kiểm tra một số bài tập về chứng minh bất đẳng thức ện việc kiểm tra một số bài tập về chứng minh bất đẳng thức ểm tra một số bài tập về chứng minh bất đẳng thức ột số bài tập về chứng minh bất đẳng thức ố bài tập về chứng minh bất đẳng thức ài tập về chứng minh bất đẳng thức ập về chứng minh bất đẳng thức ề chứng minh bất đẳng thức ứng minh bất đẳng thức ất đẳng thức đẳng thức ng th c ứng minh bất đẳng thức

trư c khi áp d ng ụng đề tài vào giảng dạy ở hai lớp 10B1, 10B2, tôi thu được đề chứng minh bất đẳng thức ài tập về chứng minh bất đẳng thức ài tập về chứng minh bất đẳng thức t i v o gi ng d y hai l p 10B1, 10B2, tôi thu ảng dạy ở hai lớp 10B1, 10B2, tôi thu được ạy ở hai lớp 10B1, 10B2, tôi thu được ở hai lớp 10B1, 10B2, tôi thu được được c

k t qu sau:ết quả sau: ảng dạy ở hai lớp 10B1, 10B2, tôi thu được

trung bình Điểm yếu

Bất đẳng thức là kiến thức khó nhưng không thể thiếu trong vốn kiến thức của học sinh phổ thông, nhất là học sinh khá, giỏi Bởi vậy, tôi thấy việc hướng dẫn học sinh một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức là một việc làm cần thiết để giúp học sinh có thêm kiến thức và kĩ năng chứng minh bất đẳng thức, góp phần tạo nên hứng thú, kích thích tinh thần say mê học toán cho học sinh

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Đối với các bài toán chứng minh bất đẳng thức liên quan đến đa thức

đối xứng hai biến x, y.

Ta có thể áp dụng các kết quả của đa thức đối xứng để chứng minh nhiều bất đẳng thức Cơ sở của phương pháp này là:

-Giả sử x,y là các số thực Muốn tồn tại các số x,y xác định bởi điều kiện:

1 2

x y

xy











 



thì điều kiện ắt có và đủ là   12  42 0

Muốn cho các số x,y là các số thực không âm, điều kiện ắt có và đủ là:

1 2

1

2

0

0.





















Giả sử đã cho một đa thức đối xứng ( , )f x y và ta cần phải chứng minh

rằng đa thức ( , )f x y lấy những giá trị không âm với những giá trị thực bất kì x,y ( hoặc với x, y không âm bất kì, hoặc với các giá trị x,y sao cho x y a  , a

là số thực cho trước) tùy theo các điều kiện của bài toán

Muốn vậy, ta phải thực hiện các bước sau:

Bước 1: Biểu thị ( , )f x y bởi biểu thức của nó qua 1, 2 được đa thức

1 2

( , )

p  

Bước 2: Trong đa thức p ( , 1 2), thay 2 bởi biểu thức của nó qua 1 và

số không âm   12  42, ta được 2 1 12

4

     Vậy ta có được p ( , 1 2)  F ( , ) 1 

Bước 3: Chứng minh rằng với những giá trị không âm của  và với những điều kiện về 1 đã cho, đa thức F(1)chỉ lấy những giá trị không âm

Thông thường thì cách này làm dễ hơn chứng minh bất đẳng thức đã cho Tôi đã mạnh dạn đưa phương pháp dùng kiến thức toán cao cấp để giải quyết các bài toán đại số sơ cấp vào giảng dạy cho học sinh lớp 10, 11, 12, đặc biệt là học sinh khá, giỏi để kích sự chủ động, tìm tòi, sáng tạo của các em trong việc khám phá những vấn đề mới, tri thức mới Sau đây là những bài toán chọn lọc mà tôi đã sử dụng để minh họa cho giải pháp nêu trên

Quy ước: 1  x y , 2 x y

  12 42

Bài toán 1:

Cho x và y là các số thực thỏa mãn điều kiện

0

x y c c

 







rằng:

8

8 8

128

c

Lời giải: Đặt 2

1 42

  thì ta có  0

2

2 2

2

c

a x  y 

Bước 1: Áp dụng kết quả 2.1.3 của đa thức đối xứng ta có:

2 2 2

1 2 2

x  y    

           

Bước 3: Chứng minh

2 2

1

c

Thật vậy, vì   0 và theo giả thiết 1 c nên

2

c

(đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi x y 

4

4 4

)

8

c

b x  y 

Bước 1: Áp dụng kết quả 2.1.3 của đa thức đối xứng ta có

1 4 1 2 2 2

x  y       

Bước 2:

4 2 2

1 1

8 2 8

    

Bước 3: Chứng minh

4

c

       Thật vậy, vì   0 và theo giả thiết 1 c nên

4

( )

c c

        (đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi x y 

8

8 8

128

c

Tương tự câu a), câu b) ta có kết quả: 4 4 1 1 4 2 8

c

Đẳng thức xảy ra khi x y

Mở rộng: Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được kết quả sau:

“ Nếu

0

x y c

c

 







 và n là một số tự nhiên bất kì thì ta có 2 2 21 1 2

c 2

n

x  y   Đẳng thức xảy ra khi x y

Lưu ý: Cho c các giá trị khác nhau ta có các bài toán khác nhau nhưng cùng

chung một cách làm như trên

Bài toán 2:

Chứng minh rằng với mọi x,y ta đều có x4 y4x y xy3  3 (1)

Lời giải:

(1)  x4  y4  x y xy3  3  x4  y4  x y xy3  3  0.

Áp dụng kết quả 2.1.3 của đa thức đối xứng ta có:

1 1 2 2 1 2 2

1 2 1 2

x y xy x y

x y xy x y xy

2 2

( x y ) [( x y ) - ] 0 : xy

Đẳng thức xảy ra khi x y 

Bài toán 3:

Cho x y, . Chứng minh rằng:

b a b a b ab

Lời giải:

a a b  a b

Bước 1: Áp dụng kết quả 2.1.3 của đa thức đối xứng ta có:

1 1 2 2 1

Bước 2:

1

4

                

Bước 3:

1 1 1

1

7 32 ( ) 0

4

2 2

1

6  0:

    luôn đúng (đpcm)

6 6 5 5

b a b a b ab

Bước 1:

6 6 5 5 6 6 5 5

6 6 4 4

0

(a ) 0



Áp dụng kết quả 2.1.3 của đa thức đối xứng ta có:

1 1 2 1 2 1

a  b  ab  b            

Bước 2:

6 4 2 2 3

7 ( ) 13 ( ) 4 ( ) 0

    



1 1

16 8  16 

Vì x, y là hai số thực đã cho nên  0 Do đó 4 2 2 3

1 1

16 8  16  luôn

đúng (đpcm).

Bài toán 4:

Chứng minh rằng với mọi x, y không âm ta có các bất đẳng thức:

2 2

) ( ) 64 ( )

Lời giải:

2 2

Đặt x u  , y v x  ,(  0, y   0 u  0, v  0).

(1) trở thành:

2 2

3 3

3

1 1 2 1 2

2

1( 1 4 1 2) 0

( ) 3

 

    

 

Chứng minh  1( 12  4 1 2) 0

Từ giả thiết của bài toán ta có u 0,v0, từ đó suy ra

2

1 0, 1 4 2 0.

1 1 1 2

Đẳng thức xảy ra khi x y 

b x  y  xy x y 

Bước 1: Đặt x u y v u  ,  ,(  0, v  0)

(2) trở thành:

u v uv u v

u v uv u v

Bước 2: Áp dụng kết quả 2.1.3 của đa thức đối xứng ta có:

14  8  12 2  16 22  0

Thật vậy, (*)   2 0 :luôn đúng (đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi x y 

2.3.2 Đối với các bài toán chứng minh bất đẳng thức liên quan đến đa thức

đối xứng ba biến x, y, z.

Quy ước:  1   x y ,  2  x y yz zx   ,  3  xyz

Lưu ý: Với x, y, z là những số thực bất kì thì hiển nhiên ta có:

.

( x y  )  ( y z  )  ( z x  )  0

Đẳng thức xảy ra khi x y 

Đặt f(x, y) ( x y)2 (y z )2 (z x )2 là đa thức đối xứng đối với x, y, z

Áp dụng kết quả 2.1.7 của đa thức đối xứng ta có:

 

Vì vậy 12  3 ** 2  

Bài toán 5

Chứng minh rằng 1

1

2 xy yz zx



    với mọi x ,y, z thỏa mãn điều kiện

2 2

x  y  z 

Lời giải:

Để giải quyết bài toán ta đi chứng minh bất đẳng thức kép



Thật vậy, áp dụng kết quả 2.1.7 của đa thức đối xứng ta có:

1

2

1

2





+) Vì theo (**): 12  3 2 nên ta có 12  22 2



Vậy ta có đpcm.

Bài toán 6

Chứng minh bất đẳng thức:

3

2 2 2

.

x  y  z  x y z   

Lời giải:

0

x y z x y z x y z  x y z

Áp dụng kết quả 2.1.7 của đa thức đối xứng ta có:

2

2( 1 3 2)

0:

9

  

Bài toán 7

Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì:

2 2 2

2( ab bc ca   )  a  b  c

Lời giải:

Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ta có thể đặt

x = a + b- c, y = a + c b, z = b + c a– b, z = b + c – a – b, z = b + c – a

trong đó x, y, z là các số dương.

Khi đó :

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành :

.

x y x z z y x y x z z y

Đặt 1 x y,2x y yz zx  ,2xyz S, 2x2y2z2

Áp dụng các kết quả 2.1.7 của đa thức đối xứng ta có:

2

2( 3 ) 2 2

4 0



Dễ thấy bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức đúng Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và Nhà trường

- Đối với hoạt động giáo dục và bản thân:

Để kiểm chứng hiệu quả của SKKN, tôi chọn 2 lớp là 10B1; 10B2 với sự tương đồng về các mặt như sĩ số, trình độ nhận thức, năng lực cá nhân Lớp 10B1 là lớp đối chứng; lớp 10B2 là lớp thực nghiệm Kết quả khảo sát khi chưa

áp dụng đề tài vào giảng dạy như sau:

B ng 1:ảng dạy ở hai lớp 10B1, 10B2, tôi thu được

Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém

Với lớp thực nghiệm (10B2), tôi cho các em tiếp cận với phương pháp nghiên cứu này Sau đó tôi ra một đề kiểm tra cho cả 2 lớp để kiểm tra, đánh giá

và so sánh, kết quả như sau:

B ng 2:ảng dạy ở hai lớp 10B1, 10B2, tôi thu được

Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém

So sánh 2 bảng trên ta thấy, ở lớp thực nghiệm 10B2 số học sinh giỏi và khá tăng lên đáng kể, số học sinh yếu giảm xuống Thấy có hiệu quả rõ rệt, tôi

áp dụng phương pháp này cho tất cả các lớp tôi đang giảng dạy thì cũng thu được kết quả tốt

- Đối với đồng nghiệp:

Tôi giới thiệu đề tài này trước tổ chuyên môn và được tất cả các thành viên của tổ hưởng ứng Với những lớp mà giáo viên thực hiện theo phương pháp nêu trên thu được kết quả đáng mừng đối với cả giáo viên và học sinh Với phương pháp này giáo viên có thể kích thích được tính sáng tạo của học sinh; tạo được hứng thú học tập cho học sinh; giúp học sinh chủ động sáng tạo trong việc khám phá tri thức mới Bên cạnh đó phương pháp này còn giúp giáo viên trau dồi chuyên môn của mình

- Đối với học sinh:

Với phong cách trình bày trong đề tài này đã giúp các em học sinh nhất là học sinh khá, giỏi rèn luyện năng lực vận vụng lý thuyết được học vào giải toán Biết phát hiện và ứng dụng lý thuyết đa thức đối xứng sẽ làm cho nhiều bài toán trở nên đơn giản hơn Các em tỏ ra khá thích thú với phương pháp mới mẻ, bởi

có khi các em gặp những bài toán tưởng chừng như bế tắc nhưng cuối cùng lại giải quyết được nhờ phương pháp này Nhiều khi còn khá bất ngờ khi các em phát hiện ra được các vấn đề tương tự lí thú từ những kiến thức cơ bản mà các

em đã có

Việc mạnh dạn đưa kiến thức và phương pháp của toán học cao cấp, cụ thể là ứng dụng lý thuyết đa thức đối xứng để giải toán chứng minh bất đẳng thức cho học sinh trung học phổ thông đã tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận với những kiến thức và phương pháp hoàn toàn mới mẻ, tạo động lực thúc đẩy học sinh tìm tòi, sáng tạo một cách tích cực, tạo ra sự lý thú đặc biệt cho học sinh, do

đó rèn luyện tốt kỹ năng giải toán, kích thích trí tuệ phát triển, và nó có một vai trò quan trọng không thể thiếu trong nghiên cứu khoa học

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Qua việc đưa ra các bài toán cụ thể, rồi vận dụng linh hoạt các kết quả của lý thuyết đa thức đối xứng để giải quyết các bài toán chứng minh bất đẳng thức cho học sinh trung học phổ thông đã phần nào khắc phục được những hạn chế trong việc dạy và học dạng toán khó này Học sinh đã cảm thấy hứng thú với phương pháp mới mẻ và hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán chứng minh bất đẳng thức

3.2 Kiến nghị

Phương pháp ứng dụng toán học cao cấp vào giải quyết các bài toán sơ cấp được áp dụng phần lớn trong các trường chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Nó đang còn rất mới mẻ và chưa được áp dụng rộng rãi trong