Hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THCSTHPT bá thước cách tìm nhanh nghiệm của bất phương trình dưới dạng tích,thương các đa thức bậc n

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ cao nhất: Đại học - Năm nhận bằng: 2011 - Chuyên ngành đào tạo: Toán học III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có k

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Lò Văn Hùng

2 Ngày tháng năm sinh: 08/ 10/ 1987

3 Giới tính : Nam

4 Địa chỉ: xã Thành Sơn –Huyện Bá Thước – Tỉnh Thanh Hoá

5 Điện thoại: 0985142983 Gmail: hungtoanbt3@gmail.com

6 Chức vụ: Giáo viên

7 Đơn vị công tác: Trường THCS & THPT Bá Thước

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học

- Năm nhận bằng: 2011

- Chuyên ngành đào tạo: Toán học

III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán

Số năm có kinh nghiệm: 8 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm được xếp loại cấp tỉnh : Một số phương pháp giúp học sinh trương THPT Bá Thước 3 có kỹ năng giải phương trình chứa tham số Xếp loại C năm 2015.

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học là môn học khoa học cơ bản có vai trò và vị trí rất đặc biệt quan trọng trong khoa học kỹ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có hiệu quả Thông qua việc học toán giúp học sinh có thể vận dụng vào các môn học khác Chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông, nó đòi hỏi người thầy giáo luôn tìm tòi và sáng tạo để có những phương pháp giảng dạy giúp học sinh giải quyết bài toán Trong việc học toán cũng như trong việc học các môn khác mà học thuộc bài một cách cứng nhắc Không chịu suy nghĩ để các kiến thức tiếp thu được trở thành một kiến thức sống, linh hoạt hơn, sẵn sàng vận dụng được trong bất cứ trường hợp nào Là một giáo viên THPT, trong tình hình hiện nay tôi thấy mình phải tìm tòi, nắm bắt mọi thông tin, nhằm tự rèn luyện cho bản thân cũng như kỹ năng giảng dạy được tốt hơn Để luôn đáp ứng tốt nhu cầu của xã hội và phục vụ tốt cho chủ trương, đường lối chính sách của Đảng và nhà nước đã đề ra

Sau 8 năm công tác tôi thấy Đa số học sinh nhân thức còn chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài toán tốt hơn Trong các kỳ thi THPT quốc gia gần đây, yêu cầu học sinh nắm chắc kiến thức và tính toán nhanh các bài toán, đó là yếu điểm của học sinh trường tôi

Trong chương trình môn toán lớp 10 bậc THPT, học sinh được học về dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai Qua đó đưa đến việc xác định nghiệm của bất phương trình, đặc biệt đối với những bất phương trình phức tạp (có dạng tích các nhị thức và tam thức bậc hai) thì công việc này quả là khó đối với học sinh Để giúp học sinh khắc phục vấn đề trên tôi đã suy nghĩ và đề ra

hướng giải quyết thông qua đề tài : “Hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THCS & THPT Bá Thước cách tìm nhanh nghiệm của một bất phương trình dưới dạng tích, thương các đa thức bậc n “.

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Cña ĐỀ TÀI

1. Thuận lợi:

Trong quá trình giảng dạy tôi nhìn thấy một số học sinh rất có khả năng và muốn học hỏi từ thầy cô, bạn bè, sách tham khảo và trên mọi phương tiện truyền thông…Bên cạnh đó sự trao đổi và học hỏi lẫn nhau giữa các đồng nghiệp để trau dồi, nâng cao chuyên môn Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản

để giải toán, tìm nghiệm của một bất phương trình có dạng tích thương của các

đa thức bậc n một cách nhanh nhất

2. Khó khăn:

Trường tôi nằm ở địa hình không mấy thuận lợi như quý vị đã biết Do đó điểm thi đầu vào còn thấp nên có nhiều học sinh còn yếu về học lực Khả năng tiếp thu của các học sinh trong lớp chưa đồng đều nên vấn đề giảng dạy còn khó khăn là vấn đề làm cho người giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng luôn phải trăn trở

Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường THCS &THPT Bá Thước tôi nhận ra rằng đa số học sinh vẫn chưa ý thức được việc học Phần lớn học sinh lười học, không làm bài tập về nhà, có chăng là làm để đối phó với giáo viên mà thôi Đa số học sinh không có thời gian đọc sách, cũng như tìm kiếm tài liệu tham khảo.Vấn đề này cũng khó khắc phục bởi học sinh của tôi đa phần là con của gia đình dân tộc thiểu số, nông dân có hoàn cảnh khó khăn, sau những buổi

đi học về các em còn phải phụ giúp gia đình Sự quan tâm của cha, mẹ đối với việc học của con cái còn hạn chế nhiều mặt

Thực tế khảo sát trên một số lớp như sau:

Lớp % HS giải nhanh % HS giải chậm % HS không biết

III NỘI DUNG ĐỀ TÀI.

1 Cơ sở lý luận

Xét đa thức bậc n: f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a2x2 + a1x + ao Giả sử đa thức f(x) có đúng n nghiệm phân biệt x1, x2, , xn sao cho:

x1 < x2 < < xn-1 < xn Khi đó ta có thể viết đa thức f(x) dưới dạng

f(x) = an(x - xn)(x - xn-1) .(x - x2)(x - x1)

Ta có bảng xét dấu đa thức f(x) như sau:

x −∞ x1 x2 xn-1 xn

+∞

x - x1 - 0 + + + +

x - x2 - - 0 + + +

x - xn-1 - - - 0 + +

x - xn - - - - 0 +

f(x) trái dấu với an 0 cùng dấu với an Có thể xét dấu f(x) bằng trục số: x1 x2 xn-1 xn trái dấu với an cùng dấu với an Kết luận: f(x) luôn cùng dấu với an trên khoảng (xn ; +∞ ) và lần lượt đan dấu trên các khoảng kế tiếp còn lại

- Trường hợp đa thức f(x) có k nghiệm trùng nhau xk với k là số chẵn Khi

đó (x - xk)k ¿ 0 Do đó dấu của f(x) phụ thuộc vào dấu của đa thức

g(x) = an(x - x1)(x - x2) .(x - xn-k) nên có thể không cần ghi xk trong bảng xét dấu của f(x)

- Trường hợp đa thức f(x) có k nghiệm trùng nhau xk với k là số lẻ, ta vẫn duy trì xk trong bảng xét dấu của f(x) vì (x - xk)k > 0 khi x > xk và (x - xk)k < 0 khi x < xk

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

2.1 Về dấu của nhị thức bậc nhất f ( x )=ax+b , (a ≠0 ).

a Lý Thuyết:

¿

Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng (−b

a ; +∞) , trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng (−∞; − b

a)

b Bài tập vận dụng:

Chẳng hạn xét ví dụ 2 (tr.91 - sgk Đại số 10): Xét dấu biểu thức

f(x) =

(4 x−1)( x+2)

−3 x+5

Để giải bài này, học sinh làm các bước sau:

¿ f(x) không xác định khi x=

5

3 (tìm tập xác định của biểu thức)

¿

4 ; x+2=0 ⇔ x=−2 ; −3 x+5=0 ⇔ x=

5 3

(tìm nghiệm của các nhân tử)

¿ Bảng xét dấu

x

−∞ -2

1 4

5 3 +∞

4x - 1 - - 0 + +

x + 2 - 0 + + +

-3x + 5 + + + 0

-f (x) + 0 0 +

-¿ Trả lời: f(x) > 0 khi x∈(−∞ ; −2) hay x∈(14 ;

5

3)

f(x) < 0 khi x∈(−2 ; 1

4) hay x∈(53 ; +∞)

f(x) = 0 khi x=−2 hay x=1

4 f(x) không xác định khi x=

5 3

2.2 Về dấu của tam thức bậc hai f (x)=a x2

+bx +c , (a ≠ 0).

a Lý Thuyết:

Cho f(x) = ax 2 + bx + c (a ¿ o), Δ = b 2 - 4ac

Nếu Δ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ¿R

Nếu Δ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x =

−b

2a

Nếu Δ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x 1 hoặc x > x 2 , trái dấu với

hệ số a khi x 1 < x < x 2 trong đó x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ) là hai nghiệm của f(x)

b Bài tập vận dụng:

Chẳng hạn xét ví dụ 2 (tr.103 - sgk Đại số 10): Xét dấu biểu thức

f (x )= 2 x

2

x2−4

Để giải bài này, học sinh làm các bước sau:

¿ f(x) không xác định khi x = ±2

¿

2x2− x−1=0⇔ ¿

[ x=1

[ x=− 1

2 [ ¿

¿ Bảng xét dấu

x

- ∞ -2 −

1

2 1 2 + ∞

2x2 - x - 1 + + 0 - 0 + +

x2 - 4 + 0 - - - 0 +

f (x ) + - 0 + 0 - +

¿ Trả lời: f(x) > 0 khi x∈(−∞ ; −2) hay x∈(− 1

2 ; 1) hay x∈(2; +∞)

f(x) < 0 khi x∈(−2 ; −1

2) hay x∈ (1 ; 2)

f(x) = 0 khi x=−

1

2 hay x=1

f(x) không xác định khi x = ±2

2.3 Xét dấu đa thức.

a Lý Thuyết:

Căn cứ vào cơ sở lý luận trên, tôi đưa ra cách xét dấu một đa thức như sau:

Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức

Bước 2: Vẽ trục số, ghi tất cả các nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ ((2k + 1) nghiệm trùng nhau) theo thứ tự trên trục số Sau đó xét dấu khoảng (xi ; +∞ ),với xi là nghiệm có giá trị lớn nhất trong tất cả các nghiệm của f(x), khoảng này luôn có dấu cùng với dấu của an (an là hệ số của x với số mũ n cao nhất trong f(x)), còn các khoảng kết tiếp còn lại cứ đan dấu nhau

b Bài tập vận dụng:

¿ Ví dụ 1: Xét dấu f(x) = 3x3 - 9x2 - 18x + 24

- Bước 1: Tìm nghiệm của f(x) = 0

3x3 - 9x2 - 18x + 24 = 0 khi x = -2, x = 1, x = 4 Do đó có thể viết

f(x) = 3(x + 2)(x - 1)(x - 4)

- Bước 2: Vẽ trục số, ghi các nghiệm -2, 1, 4 trên trục số và xét dấu f(x) ở hàng dưới trục số (thay cho bảng xét dấu thực hiện như trong ví dụ 2, tr.91 - sgk

- Đs 10)

- 0 + 0 - 0 +

(cùng dấu với hệ số 3

của x3) Kết luận: f(x) > 0 khi x ¿ (−2 ; 1)∪(4 ; +∞)

f(x) < 0 khi x ¿ (−∞; −2)∪(1 ; 4)

f(x) = 0 khi x = -2 hay x = 1 hay x = 4

¿ Ví dụ 2: Xét dấu f(x) = -5x4 + 50x3 - 140x2 + 30x + 225

- Bước 1: f(x) = 0 khi x = -1, x = 5, x = 3 (nghiệm kép) Do đó có thể viết

f(x) = -5(x - 3)2(x + 1)(x - 5)

- Bước 2: Vẽ trục số, chỉ ghi các nghiệm -1, 5 trên trục số và xét dấu

- 0 + 0

(cùng dấu với hệ số -5 của x4) Kết luận: f(x) > 0 khi x ¿ (−1 ; 5)

f(x) < 0 khi x ¿ (−∞ ; −1)∪(5 ; +∞)

¿ Ví dụ 3: Xét dấu f(x) = -x5 - 5x4 + 6x3 + 76x2 + 152x + 96

- Bước 1: f(x) = 0 khi x = -3, x = -2 (ba nghiệm trùng nhau), x = 4 Do

đó có thể viết f(x) = -(x + 2)3(x + 3)(x - 4)

- Bước 2: Vẽ trục số, ghi các nghiệm -3, -2, 4 trên trục số và xét dấu f(x)

(cùng dấu với hệ số -1 của x5) Kết luận: f(x) > 0 khi x ¿ (−∞ ; −3)∪(−2 ; 4)

f(x) < 0 khi x ¿ (−3 ; −2)∪( 4 ; +∞)

2.4 Tìm nhanh nghiệm của bất phương trình một ẩn.

Việc giải bất phương trình một ẩn hoàn toàn dựa vào việc xét dấu đa thức

đã nói ở trên, sau đó cần chọn tập nghiệm của bất phương trình phù hợp với dấu của nó ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho

¿ Ví dụ 4: Giải bất phương trình

(2 x+1)( 4−x) (5−3 x)(−x2+4 x−3 )>0

Ta thấy dấu của biểu thức ở vế trái của bất phương trình cũng là dấu của đa thức f(x) = -(2x + 1)(x - 4)(3x - 5)(x2 - 4x + 3) hay

f(x) = -(2x + 1)(x - 4)(3x - 5)(x - 1)(x - 3)

Do đó để tìm nhanh nghiệm của bất phương trình đã cho ta có thể làm như sau:

Bước 1: Tìm nghiệm của các nhân tử trong biểu thức ở vế trái của bất phương trình ta được:

-1

2 , 4 ,

5

3 , 1 , 3

Bước 2: Biểu diễn các số :

-1

2 , 1 ,

5

3 , 3 , 4 trên trục số và xét dấu trên khoảng (4 ; + ∞ ) có dấu âm (là kết quả của tích các hệ số âm của x với số mũ cao nhất trong các nhân tử hay chỉ cần đếm số các dấu âm này, nếu là số lẻ ta có dấu âm, nếu là số chẵn ta có dấu dương)

− 1

5

+ 0 - + - + 0

-Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:

(−∞ ; −1

2)∪(1 ; 5

3)∪(3 ; 4 )

-Với những ví dụ minh họa cho cơ sở lí luận trên, trong thực hành học sinh có thể giải nhanh một bất phương trình qua các ví dụ sau đây:

¿ Ví dụ 5: Giải bất phương trình

(1−3 x)( x2−4 ) ( 2x+3)(−3 x2+ 2 x−1 ) ≤0

Giải: Cho 1−3 x=0 ⇔ x=1

3

x2−4=0 ⇔ x=±2

2

−3 x2+2 x −1=0 , phương trình vô nghiệm

3 2

1

+ 0 - + 0 - 0 +

(chú thích: trên khoảng (2 ; +∞) , vế trái của bất phương trình có dấu dương vì

có hai dấu âm trước hệ số của x và x2 trong các nhân tử của bất phương trình)

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

[−2 ; −3

2)∪[31 ; 2] ¿ Ví dụ 6: Giải bất phương trình

(x4−2 x2+5)( x−2 )

(−x2+x+2 )(6 x−7 )<0

Giải: Cho x4−2 x2+5=0 , phương trình vô nghiệm

x−2=0⇔ x =2

6

-1

7

-Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:

(−∞ ; −1)∪(76 ; 2)∪(2 ; +∞ )

¿ Ví dụ 7: Giải bất phương trình

(x3−2 x2−5 x +6 )( x+2) (−x2+4 )(5−x ) ≥0

Giải: Cho x3−2x2−5x+6=0⇔ x=1 , x=−2 , x=3

x+2=0⇔ x=−2

5−x=0⇔ x=5

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình la:

(− 2 ; 1]∪(2 ; 3]∪(5 ; +∞)

Tóm lại: Khi giải một bất phương trình, ta làm như sau

-Bước 1: Biến đổi tương đương bất phương trình đã cho về dạng tích hoặc thương các đa thức (vế phải của bất phương trình là 0)

-Bước 2: Tìm nghiệm của các đa thức nhân tử (lưu ý các nghiệm bội chẵn

và bội lẻ, nếu có)

-Bước 3: Thể hiện các nghiệm trên trục số kể cả nghiệm bội lẻ (không ghi nghiệm bội chẵn), các nghiệm này chia trục số thành các khoảng và xét dấu biểu thức ở vế trái của bất phương trình, khởi đầu từ khoảng tận cùng bên phải của trục số (khoảng này có dấu là tích các dấu âm của hệ số của x có bậc cao nhất trong mỗi nhân tử)

-Bước 4: Suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Rõ ràng qua đề tài trên, đã giúp học sinh tìm được nghiệm của bất phương trình một cách nhanh chóng và gọn hơn so với cách làm theo sách giáo khoa, chẳng hạn trong ví dụ 7 nói trên, nếu giải theo sách giáo khoa, học sinh sẽ làm như sau:

Đặt f(x) =

( x3−2 x2−5 x +6 )( x+2) (− x2+ 4 )(5−x )

Cho x3− 2x2−5x+6=0⇔ x=1 , x=−2 , x=3

x+2=0⇔ x=−2

5−x=0⇔ x=5

Bảng xét dấu

x −∞ -2 1 2 3 5 +

∞ x3 - 2x2 -5x + 6 - 0 + 0 - - 0 + +

x + 2 - 0 + + + + +

-x2 + 4 0 + + 0

-5 - x + + + + + 0

-f(x) - + 0 - + 0 - +

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: (−2 ; 1]∪(2 ; 3]∪(5 ; +∞) Ta thấy học sinh sẽ mất thời gian nhiều hơn khi lập bảng xét dấu Chẳng hạn với đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2008 có câu: Giải bất phương trình log0,7(log6x2+x x+4 )<0 , học sinh giải như sau là đạt điểm tối đa của câu log0,7(log6x2+x x+ 4 )<0⇔ log6x2+x x + 4 >1 ⇔ x2+x x +4 >6 ⇔ x2−5 x −24 x +4 >0 ⇔(x +3 )( x−8 ) x +4 >0⇔ x∈(−4 ; −3 )∪(8 ; +∞ ) (Để có kết quả cuối cùng, các em phải vẽ trục số trên giấy nháp và thực hiện xét dấu: -4 -3 8 - + 0 - 0 +

trạng của các học sinh trở nên tự tin hơn trong kiểm tra cũng như trong thi cử.

Đa số học sinh khi được trải nghiệm qua sáng kiến này thì cảm hứng học toán dâng tràn Hứng thú, say mê các dạng toán mang tính tư duy này, giúp học sinh luôn luôn củng cố lại các kiến thức cũ và tiếp cận kiến thức mới Việc học môn toán không còn là vấn đề nan giải nữa,làm cho các em trở nên phấn chấn và thoải mái hơn rất nhiều khi có tiết học toán, thÇy, trò không còn thấy

áp lực nữa

Sau một thời gian áp dụng sáng kiến này kết quả học tập của các em khả quan hơn Kết quả khảo sát và thống kê ở 4 lớp 10 trường THCS & THPT Bá Thước năm học 2018 - 2019 cho thấy:

Lớp % HS giải nhanh % HS giải chậm % HS không biết

V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Với đề tài trên, có thể áp dụng rộng rãi trong các đơn vị giáo dục với môn toán đại số lớp 10 như sau: sau khi giáo viên trình bày nội dung như trong sách giáo khoa đã nêu để khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh về xét dấu một biểu thức, đến phần luyện tập giáo viên có thể giới thiệu và rèn luyện cho học sinh thực hiện theo đề tài trên nhằm giúp các em đỡ mất thời gian hơn khi phải giải một bất phương trình phức tạp, nhất là trong các kì thi tuyển sinh đại học sau này

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO

Sách giáo khoa Đại số 10 - của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doản

Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài - Nhà xuất bản Giáo dục - năm 2006

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Bá Thước, ngày 09 tháng 5 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết, không sao chép nội dung của người khác

NGƯỜI CAM KẾT

Lò Văn Hùng