VẬN DỤNG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIUTƠN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC và PHÁT TRIỂN hệ THỐNG bài tập

Trong thực tế học tập và giảng dạy học sinh và giáo viên trong nhà trườngđứng trước bài toán chứng minh các đẳng thức xuất phát từ các khai triển nhịthức Niutơn ,việc đưa ra phương hướng

1

10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 6

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

THANH HÓA, NĂM 2018

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt

động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà

I.MỞ ĐẦU.

1.Lí do chọn đề tài.

Toán học là một môn khoa học mở rộng vốn tri thức của học sinh, phát huy

tính tích cực tự giác chủ động và sáng tạo trong học tập của học sinh Đó là conđường để thực hiện đổi mới phương pháp dạy học

Trong thực tế học tập và giảng dạy học sinh và giáo viên trong nhà trườngđứng trước bài toán chứng minh các đẳng thức xuất phát từ các khai triển nhịthức Niutơn ,việc đưa ra phương hướng giải quyết bài toán là còn lúng túng , cóảnh hưởng đến chất lượng dạy và học nói riêng trong tổ chuyên môn và ảnhhưởng đến phần nào chất lượng giáo dục chung trong nhà trường Mục tiêu của

tổ chuyên môn xây dựng chuyên đề giảng dạy bồi dưỡng thêm kiến thức chứngminh các đẳng thức dựa trên khai triển nhị thức Niutơn cho học sinh và giáoviên Từ đó tôi luôn đặt vấn đề các bài toán đó từ đâu ra, dựa vào cơ sở nào đểđịnh hướng được phương hướng giải toán ? Có xây dựng được một lớp bài toántương tự không?

Vì những vấn đề nêu trên cùng với thực tế giảng dạy trong nhà trường làyêu cầu cần thiết, với các kiến thức tích luỹ của bản thân tôi đã chọn đề tài

“Vận dụng khai triển nhị thức Niutơn chứng minh đẳng thức và phát triển hệ thống bài tập” thú vị Qua đó giúp người dạy định hướng đượcphương pháp giải cụ thể lô gic, giúp người học rễ tiếp thu và có cơ hội sáng tạocủa bản thân xây dựng bổ sung lớp các bài toán trên cùng cơ sở phương phảigiải toán

2.Mục đích.

Trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm giảng dạy các bài toán chứng minh đẳng thức xuất phát từ khai thác khai triển nhị thức Niutơn , chủ động xây dựng

hệ thống thành các dạng bài tập giảng dạy cho học sinh

Hướng dẫn học sinh định hướng và giải các bài tập chứng minh dựa trên cơ

sở suy luận số hạng tổng quát trong các tổng khai triển nhị thức Niutơn, và tư duy lô gic chủ động phát triển thành chuỗi các bài tập cùng dạng, cùng cơ sở lí luận, tự tin trong học tập bộ môn toán

Qua thực tế giảng dạy các bài tập về công thức nhị thức Niutơn Đề tài này giúp giáo viên và học sinh tự tin hơn khi đứng trước một bài toán chứng minh đẳng thức trong tổng chứa tổ hợp ,có số hạng tổng quát Người dạy và người học định hướng được phương pháp giải toán, biết khai thác kiến thức một cách chủ động làm tăng cường hứng thú học tập cho học sinh và giáo viên trong bộ

môn toán

23

3 Đối tượng nghiên cứu.

Vận dụng khai triển công thức nhị thức Niutơn, tính đạo hàm,lấy tích phântrong khai triển nhị thức Niu tơn, qua đó định hướng xây dựng phương pháp giảitoán và xây dựng hệ thống bài tập

4 Phương pháp nghiên cứu.

Xây dựng cơ sở lý luận, ghi nhận kiến thức cơ bản, chuẩn bị hệ thống bài tập

và tổ chức triển khai thực hiện:

*Năm học : 2015- 2016 tôi thử nghiệm trên 2 đơn vị lớp 11C1 và 11C2

*Năm học : 2016- 2017 tôi thử nghiệm trên 2 đơn vị lớp 11A1 và 11A2

*Năm học : 2017- 2018 thử nghiệm trên 1 lớp 11B1

Kiểm tra, đánh giá ,rút các kinh nghiệm thu được từ thực tiễn giảng dạy vàhọc tập, báo cáo kết quả chuyên môn ở tổ, tranh thủ các ý kiến đóng góp của tổviên để hoàn thiện đề tài và tổ chức thực hiện

II-NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

k k n k n n

b a C b

a

0 (nN*)

SGK đại số & giải tích 11 đã trình bày và thực hiện một số phép toán tính đạo

hàm, lấy tích phân mà “khai triển” nên hệ thống các bài tập, từ đó giúp học sinhđịnh hướng được phương pháp giải toán

Bằng kinh nghiệm và hệ thông câu hỏi thích hợp giáo viên có thể dẫn dắthọc sinh phát triển một hệ thống bài tập với cùng cơ sở lí luận và cùng phươngpháp giải toán

Giáo dục phải lấy người học làm trung tâm, phải khơi dậy được lòng đam

mê, hứng thú và khát vọng của học sinh Giáo dục toàn diện học sinh là phải đàotạo những con người lao động tự chủ, tư duy sáng tạo, có năng lực giải quyết cácvấn đề thường gặp

Thay đổi phương pháp giảng dạy, khắc phục lối truyền thụ một chiều Rènluyện học sinh phát triển năng lực tự tư duy, sáng tạo là nhiệm vụ quan trọngcủa giáo viên bộ môn , đó là nội dung đổi mới phương pháp giảng dạy

Để làm được những mục tiêu trên đó là trách nhiệm của người giáo viên là vôcùng quan trọng Vì vậy mỗi thầy cô phải không ngừng học tập ,nâng cao trình

độ chuyên môn ,yêu nghề thực sự tận tụy và tâm huyết với nghề ,với học trò vàkhông ngừng đổi mới phương pháp và tìm tòi các phương pháp mới, cách tiếp

24

cận mới sao cho đơn giản và hiệu quả tạo tinh thần phấn khởi và hứng thú ởngười học.

2 Thực trạng của vấn đề.

Học sinh trong nhà trường phần lớn là học sinh có học lực trung bình, tỉ lệ

học sinh có học lực khá giỏi là không nhiều Nhiệm vụ của tổ nhóm chuyên mônphải tổ chức đánh giá xếp loại năng lực học sinh ,nhóm chuyên môn phải xâydựng kế hoạch bồi dưỡng phụ đạo theo nhóm học sinh có học lực khác nhau Trong các buổi thảo luận về chuyên môn xây dựng phương pháp dạy họccho nhóm đối tượng học sinh khá giỏi, đã có nhiều ý kiến trao đổi giảng dạy chohọc sinh phần chứng minh đẳng thức trong khai triển nhị thức Niutơn, đây là nộidung khó đối với học sinh trong nhà trường và cũng không đơn giản đối với giáoviên

Là một nội dung khó và thời lượng trong chương trình không nhiều, học sinh

và giáo viên ít va chạm, giáo viên không biết cách tổng hợp, khái quát bản chấtcủa các dạng toán sẽ khó định hướng được phương pháp giải toán cho học sinh.Tuy nhiên nếu giáo viên nắm bắt chắc công thức nhị thức Niu tơn, phương ántriển khai nhị thức Niu tơn thì việc giải quyết các bài toán chứng minh đẳng thứctrong khai triển nhị thức Niutơn sẽ đơn giản và dễ hiểu đối với học sinh

* Năm học : 2015- 2016 tôi thử nghiệm trên 2 đơn vị lớp 11C1 và 11C2

K t qu ki m tra ki n th c khi ch a tri n khai ết quả kiểm tra kiến thức khi chưa triển khai đề tài: ả kiểm tra kiến thức khi chưa triển khai đề tài: ểm tra kiến thức khi chưa triển khai đề tài: ết quả kiểm tra kiến thức khi chưa triển khai đề tài: ức khi chưa triển khai đề tài: ưa triển khai đề tài: ểm tra kiến thức khi chưa triển khai đề tài: đề tài: ài: t i:

Năm học Lớp/ Sĩ số GiỏiSL TL% SL KháTL% Trung bìnhSL TL% YếuSL TL%

*Năm học : 2016- 2017 tôi thử nghiệm trên 2 đơn vị lớp 11A1 và 11A2.

K t qu ki m tra ki n th c khi ch a tri n khai ết quả kiểm tra kiến thức khi chưa triển khai đề tài: ả kiểm tra kiến thức khi chưa triển khai đề tài: ểm tra kiến thức khi chưa triển khai đề tài: ết quả kiểm tra kiến thức khi chưa triển khai đề tài: ức khi chưa triển khai đề tài: ưa triển khai đề tài: ểm tra kiến thức khi chưa triển khai đề tài: đề tài: ài: t i:

Năm học Lớp/

Sĩ số

Giỏi

Khá Trung bình Yếu

SL

Kết quả kiểm tra kiến thức khi triển khai đề tài đến cả hai đơn vị lớp 11A1, 11A2:

Năm học : 2017- 2018 tôi thử nghiệm trên 2 đơn vị lớp 11B1, 11B2

Khi chưa triển khai đề tài, kiểm tra kiến thức chứng minh các đẳng thức có vậndụng công thức nhị thức Niutơn vào giải toán ,kết quả như sau:

Năm học Lớp/ Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu

Từ thực trạng đó, trên cơ sở sử dụng công thức nhị thức Niutơn SGK đại số

& giải tích 11 đã trình bày và thực hiện một số phép toán mà “khai triển” nên

hệ thống các bài tập, Từ đó giúp người dạy định hướng được phương pháp giải

cụ thể lô gic, giúp người học phát triển tư duy sáng tạo, rễ tiếp thu khắc sâu

được kiến thức trọng tâm Hiệu quả hơn trong kết quả học tập và giảng dạy

3.Giải pháp và tổ chức thực hiện

3.1Dạng 1: Sử dụng trực tiếp khai triển nhị thức Niu tơn:

n k

k n k n

n n

n n

n n n

k

k k n k n

b a

-Số hạng tổng quát (SHTQ) theo công thức (CT) (1) là: k n k k

k n k n

n n

n n

n n n

k

k k n k n

b a

n n

n C C C C 2 )

1 1

Kết luận:

-Giáo viên không phụ thuộc vào việc tìm bài tập tương tự trong các tài

liệu,mà chủ động xây dựng hệ thống bài tập tương tự bài toán 1, bằng cách

từ công thức (1) cho a, b các giá trị cụ thể

Chẳng hạn từ công thức (1) cho a, b các giá trị cụ thể ta có lớp các bài toán sau:

n n n

1

2

1 2

2 1

+Với a=1, b=21 ta có:

Bài toán 4 CMR :n  N*,

n n

n n

n n

1 ) 1 (

2

1 2

2 1

+Với a=2, b=21 ta có :

Bài toán 5 CMR : n  N*,

n n

n n n

n n n n

2 2

2 0 2 1 4 2 +Với a=2, b=1 ,ta có: Vì (a+b)n =(2+1)n = (1+2)n = 3n

=> Bài toán 6 CMR : n  N*, n n n

n n

n n

n n

-Đề xuất phương pháp giải hệ thống các bài tập nói trên

Căn cứ vào dạng bài tập, có tổng các số hạng mà có số hạng tổng quát

n

k C a b

1  thì ta áp dụng khai triển nhị thức Niutơn để giải

toán ,cụ thể như sau: Bước 1 Tìm SHTQ của khai triển cần chứng minh( Các thông số thay đổi ta viếttheo bk.)

Bước 2 So sánh SHTQ của khai triển cần chứng minh với SHTQ theo CT(1) là:

k k n

n n

n n

1 ) 1 (

2

1 2

2 1

27

*)Theo công thức nhị thức Niutơn :

n k

k n k n

n n

n n

n n n

k

k k n k n n

b C b

a C b

a C b a C a C b a C b

n n

1 ) 1 (

2

1 2

2 1

n k

k n k

1 ) 1 ( 1

So sánh SHTQ suy ra : a = 1, b = 21, thay vào CT(1):

n n

n n

n n

n n

n

C C

1 ) 1 (

2

1 2

1 2

1

2 1 0

Vậy(**) được chứng minh

Lưu ý: Các bài toán 2,3,5,6 giải tương tự.

3.2Dạng 2: Xuất phát từ khai triển nhị thức Niu tơn với a = a, b = x.

n k

k n k n n

n n

n n

n n n

n

x C x

a C x

a C x a C x a C a

) 1 (

2 3 2

k n k n n

n n

n n

n n n

n

x C x

a C x

a C x a C x a C a

So sánh SHTQ suy ra : a = 1, x = -1, thay vào CT(2/) :

Kết luận:

-Giáo viên không phụ thuộc vào việc tìm bài tập tương tự trong các tài liệu,mà chủ động xây dựng hệ thống bài tập tương tự bài toán 7, bằng cách

từ công thức (2 / ) ,(2 // ) cho a, x các giá trị cụ thể

Chẳng hạn từ công thức (2/) ,(2//) cho a, x các giá trị cụ thể ta có lớp các bài

2 3

-Đề xuất phương pháp giải hệ thống các bài tập nói trên

Căn cứ vào dạng bài tập, có tổng các số hạng mà có số hạng tổng quát

Bước 2 So sánh SHTQ của khai triển với SHTQ theo CT(2/) hoặc(2//)

2 3

k n k n n

n n

n n

n n n

n

x C x

a C x

a C x a C x a C a

) 1 (

2 3 2

Lưu ý: Các bài toán 7,8,9 giải tương tự.

3.2.2.Hướng 2: Lấy tích phân 2 vế của CT(2) cận từ 0 đến x: n  N*

n k

k n k n

n n

n n

n n

n n

n

x C x

a C x

a C x a C x a C a

1

1

1

4

1 3

1 2

1 1

3 3 3

2 2 2

1 1 0

1

0

3 3 3 2 2 2 1 1 0

n n

n n

n n

n n

n n

x

n n n k

k n k n

n n

n n

n n

n n

a C x

a C x

a C x a C n

a C x

a C x a C x a C a C dx

n n n n

n

C n C

C C C C n

1

5

1 4

1 3

1 2

1 1

1 1

T

n n

n n n n

n

C n C

C C C C n

1

5

1 4

1 3

1 2

1 1

1 1

-Giáo viên không phụ thuộc vào việc tìm bài tập tương tự trong các tài

liệu,mà chủ động xây dựng hệ thống bài tập tương tự bài toán 11, bằng cách

từ công thức (3) cho a, x các giá trị cụ thể

Chẳng hạn từ công thức (3) cho a, x các giá trị cụ thể ta có lớp các bài toán sau:+ Với a =1, x= 1 ta có:

n n

n n n n

n

C n C

C C C C n

1

5

1 4

1 3

1 2

1 1

1 1

n n

n

n C

C C

C C

1

1 1

5

1 4

1 3

1 2

n k n

n n

n n

n n

n n

n

n

C n

C k C

C C

C n

1

2 1

1

2 4

1 2 3

1 2 2

1 2 1

Lưu ý: Các bài toán 12,13 giải tương tự.

-Đề xuất phương pháp giải hệ thống các bài tập nói trên.

Căn cứ vào dạng bài tập, có tổng các số hạng mà có số hạng tổng quát



k

)thì ta lấy tích phân công thức ( 2) với cận từ 0 đến x, áp dụng SHTQ trong CT (3) để giải toán ,cụ thể như sau: Bước 1 Tìm SHTQ của tổng cần chứng minh

Bước 2 So sánh SHTQ của khai triển với SHTQ theo CT(3) ta tìm được a và x

3.3.Một số bài tập tham khảo.

n n

n n

n n

1 2

2

5 2

3

2 1 0

n n

n

n

C n C

C C

C

3 3 2 2

1 1

2

1

2

1 4 2

1 3 2

1 2 2

n n

n

C n

n C

C C

n

2 3

2 2

2

1 ).

1 (

2

1

4 2

1 2 3 2 2

1

2 4

1 2

3

1 2

2 2 1

1

1

n n

n n

n n

n

n

n

C n

C C

C C

Trong năm học 2017 -2018 tôi đã áp dụng đề tài giảng dạy bồi dưỡng ở đơn

vị lớp 11B1 trường THPT Triệu Sơn 6, tôi nhận thấy trong giờ học lớp 11B1 học sôi nổi ,hứng thú hơn giờ học của đơn vị lớp 11B2 ( lớp 11B2 chỉ chữa các bài tập SGK11, SBT 11) Trong giờ học lớp 11B1 chủ động hơn khi làm bài tập,nắm bắt được công thức, định hướng được lời giải ,có tư duy sáng tạo, biết đề xuất xây dựng hệ thống các bài tập tương tự , hiệu quả giờ học được nâng lên Kết quả kiểm tra học kì 2 thi tập trung theo số báo danh, kết quả tổng hợp đa số học sinh lớp 11B1 làm được câu 2) bài toán chứng minh các đẳng thức có vận dụng công thức nhị thức Niutơn trong đề thi, số lượng học sinh lớp 11B1 làm được câu 2) nhiều hơn hẳn so với số học sinh 11B2 làm được câu 2) Năm học : 2017- 2018 khảo sát trên 2 đơn vị lớp 11B1, 11B2,( trong đó lớp 11B1 được triển khai đề tài; Lớp 11B2 không triển khai đề tài).Kết quả khảo sát làm bài kiểm tra trên 2 đơn vị lớp 11B1 ,11B2 v i th i lới thời lượng 90 phút, số liệu ời lượng 90 phút, số liệu ưa triển khai đề tài:ợng 90 phút, số liệu ng 90 phút, s li u ố liệu ệu

t ng h p nh sau:ổng hợp như sau: ợng 90 phút, số liệu ưa triển khai đề tài:

Năm học Lớp/ Sĩ số GiỏiSL TL% SL KháTL% Trung bìnhSL TL% YếuSL TL%

So sánh kết quả trong hai lần khảo sát ,kết quả phản ánh việc triển khai

đề tài đến lớp học kết quả học tập tốt hơn, học sinh chủ động và nghiêm túc làmbài tập hơn, bài làm trình bày rõ ràng khoa học Đó là những kết quả bước đầurất khả quan của SKKN

Sáng kiến kinh nghiệm được xây dựng dưới dạng chuyên đề ,nên trong sinhhoạt chuyên môn của tổ được nhiều thầy cô giáo góp ý cũng như đánh giá caotính hiệu quả của đề tài Qua đề tài giúp bản thân và giáo viên trong tổ chuyênmôn chủ động hơn trong việc dạy học sinh tiếp cận, giúp giáo viên phán đoánđịnh hướng phương pháp giải dựa trên cơ sở khoa học, dễ nhận biết và cụ thểhơn, bên cạnh đó giúp giáo viên xây dựng hệ thống bài tập từ mức độ khó đến

dễ tuỳ vào năng lực học sinh mà có thể không cần dùng đến tài liệu tham khảo

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.

1 Kết luận.

Đề tài đã đi vào thực tiễn dạy và học trong nhà trường, kết quả khảo sát phảnánh đạt hiệu quả tốt trong việc áp dụng đề tài, góp phần nâng chuyên mônnghiệp vụ cho cán bộ giáo viên , đồng thời nâng cao chất lượng giáo dục trongnhà trường Đề tài cũng là nội dung đổi mới phương pháp dạy học tích cựcđược tổ chuyên môn và hội đồng khoa học nhà trường đánh giá cao trong thựctiễn dạy và học của thầy và trò

Nội dung trong đề tài, quá trình chứng minh luôn thông qua việc phân tích và

so sánh các số hạng tổng quát trong các khai triển để giải quyết bài toán Đây là

32

một vấn đề rất thú vị xin bạn đọc hãy nghiên cứu, so sánh nhận dạng đó là chìakhóa để giải các bài toán dạng này.

Trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm không thể triển khai hết các vấn

đề liên quan đến công thức nhị thức Niutơn Vì vậy tôi xin đề xuất hướng pháttriển thêm trong đề tài, khi chúng ta thay các giá trị của a, b,x trong các khaitriển hoặc cộng trừ các khai triển với nhau ta sẽ có một lớp các bài tập sinh động

và khó hơn Trong mục 3.2.2, nếu ta thay cận là a,b thì ta có lớp bài toán mớitrông có vẻ phức tạp hơn song phương án giải quyết vẫn đơn giản như trên Đó

là một trong những lí do của đề tài mà tôi không nêu thêm một lớp các bài tập,

hy vọng các bạn sẽ tự nêu các bài tập theo phương án đề xuất

Trên đây là kinh nghiệm thực tế mà bản thân đã giảng dạy nhiều năm tôi rút

ra cho bản thân và bước đầu được áp dụng có kết quả khả quan Tri thức là mộttập hợp vô hạn, truyền thụ kiến thức và lĩnh hội tri thức là một việc không hềđơn giản Điều quan trọng là người thầy phải luôn trăn trở làm thế nào để kíchthích tư duy tính sáng tạo tinh thần tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi để nâng caokiến thức cho học sinh qua đó nâng cao nghiệp vụ chuyên môn cho bản thân Dokinh nghiệm chưa nhiều nên đề tài không tránh được những hạn chế, tôi tiếp tục

bổ sung và hoàn thiện dần Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý vị

và các bạn đồng nghiệp để đề tài đi vào thực tiễn được áp dụng nhiều hơn và đạthiệu quả cao hơn trong giảng dạy

2 Kiến nghị.

2.1) Đối với sở GD&ĐT Thanh Hóa.

Tổng hợp các sáng kiến có chất lượng, hiệu quả trong thực tiễn, Đánh giá

xây dựng thành chuyên đề triển khai đến các tổ chuyên môn trong nhà trườnghọc tập , nghiên cứu ,rút kinh nghiệm thành tài liệu chung trong công tác giảngdạy và học tập

2.2) Đối với các trường phổ thông.

Ban giám hiệu nhà trường cần thành lập hội đồng khoa học nhà trường ,cóhội thảo khoa học ,đánh giá xếp loại các đề tài chính xác ,khách quan ,động viênkhen thưởng kịp thời Tạo điều kiện để các thầy các cô có điều kiện tự học, tựbồi dưỡng để nâng cao năng lực chuyên môn nghiệp vụ, kiên trì, tích cực đổimới phương pháp trong giảng dạy nhằm phát huy tốt năng lực tự học của trò vànăng lực dạy học của người thầy

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

33