Một vài kinh ghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thứ

Qua thực tế giảng dạy, việc chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng kiến thức về lượng giác đối với học sinh còn mới mẻ, chưa thành thạo.. Tuy nhiên với một số bài toán về bất đẳng th

Mục lục

Phần I : Mở đầu trang 2 Phần II : Nội dung trang 2

1 Cơ sở lý luận trang 2

2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến trang 4

3 Các giải pháp trang 5

4 Hiệu quả của sáng kiến………trang 16 Phần III : Kết luận trang 17 Tài liệu tham khảo trang 19 Phụ lục trang 20-21

1 MỞ ĐẦU 1.1.Lí do chọn đề tài:

Nhiệm vụ trọng tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi

dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố và nâng cao kiến thức phổ thông, đặc biệt

là bộ môn Toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này

Trong hoạt động dạy và học của nhà trường, vấn đề tìm tòi đúc kết nâng tầm giải toán theo hướng tổng quát, từ đó làm rõ nội dung những bài toán ở dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu và có nhiều cơ hội sáng tạo, đó cũng chính là đổi mới phương pháp dạy học

Qua thực tế giảng dạy, việc chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng kiến thức về lượng giác đối với học sinh còn mới mẻ, chưa thành thạo Tuy nhiên với một số bài toán về bất đẳng thức đại số nếu ta sử dụng kiến thức lượng giác vào giải quyết thì lại rất dễ dàng.Với lý do đó, tôi nghiên cứu thực hiện đề tài: ‘ Một vài kinh ghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức

đại số’’.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Nghiên cứu ứng dụng của lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại số 1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại số

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm

Cách thực hiện:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn, tham khảo tài liệu liên quan

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp trong năm học 2017-2018 và 2018-2019

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến

+.Tập xác định, tập giá trị, chu kỳ của các hàm số lượng giác.

Hàm số y = sinx :

-Tập xác định : R

-Tập giá trị :  1 ; 1

-Chu kì : 2π

Hàm số y = cosx :

-Tập xác định : R

-Tập giá trị :  1 ; 1

-Chu kì: 2π

Hàm số y = tanx

-Tập xác định: D \ π kπ, k

2

-Tập giá trị: R

-Chu kì: π

Hàm số y = cotx

-Tập xác định: D   \ kπ, k  

-Tập giá trị: R

-Chu kì: π

Chú ý: Áp dụng BĐT Bunhiacôpski, ta có kết quả sau

2 2

Vậy ta có: sinxcosx  2 2 (*)

Kết quả (*) sẽ được áp dụng nhiều trong đề tài

+.Các dấu hiệu:

Dựa vào một số dấu hiệu sau đây để có thể ứng dụng lượng giác vào giải quyết

một số bài toán về đại số

1) Nếu có điều kiện của x là x a (a 0), ta có thể đặt:

.sin

2 2

 

   

  hoặc x a .cos với 0; Trong trường hợp riêng:

 Nếu 0 x a, ta có thể đặt:

.sin

x a  với 0;

2



  

  hoặc x a .cos với 0;

2



  

 

 Nếu a x 0, ta có thể đặt :

2



  

  hoặc x a cos với ;

2



  

 

2) Nếu có điều kiện của x là x a, (a 0), ta có thể đặt:

sin

a x



2 2

 

   

cos

a x



 với 0;  \

2



    

  3) Nếu x  R, ta có thể đặt:

tan

2 2

 

   

  hoặc x cot với 0; Trong trường hợp riêng:

Nếu x 0, ta có thể đặt:

tan

x  với 0;

2



 

  hoặc x cot với 0;

2



   

 

 Nếu x  , ta có thể đặt :0

tan

2



  

  hoặc x cot với ;

2



  

 4) Nếu ,x y thỏa mãn điều kiện a x2 2 b y2 2 c2 với , , a b c  , ta được :0

1

đặt

sin cos

ax

c by

c

















sin cos

c x

a c y

b













 



với 0; 2

Trong trường hợp này nếu cần sử dụng tới dấu của x và y ta có thể hạn chế góc .

Ngoài ra học sinh cần nắm vững cách giải phương trình lượng giác

Chú ý : Vì hàm lượng giác là tuần hoàn nên khi đặt điều kiện các biểu thức lượng

giác thật khéo léo sao cho lúc khai căn không có giá trị tuyệt đối, có nghĩa luôn luôn dương

5) Các biểu thức thường được lượng giác hóa

Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức

2 2

a  x xa sin với ;

2 2

 

  

  hoặc xa cos với 0;

x  a

sin

a x



2 2

 

  

cos

a x



 với 0;  \

2



a x xa tan với ;

2 2

 

   

  hoặc xa cot với 0;

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

Hầu hết học sinh kể cả với những học sinh khá giỏi các em đều cảm thấy

“ngại” khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.Quá trình giảng dạy tại trường THPT Quan Hóa giúp tôi thấy được thực trạng đáng buồn là gần như 100% học sinh đều xem như “không có” bất đẳng thức trong việc học tập và ôn luyện môn toán Qua tìm hiểu và khảo sát với câu hỏi “Bất đẳng thức là gì? Có quan tâm đến bài toán bất đẳng thức trong các kỳ thi hay không?” tôi nhận được kết quả như sau:

Trả lời

Số HS

được hỏi

Không biết, không quan tâm

Biết chút ít nhưng không quan tâm

Có quan tâm nhưng thấy quá khó

Biết, quan tâm

nghiên cứu

Từ thực tế “đáng buồn” như vậy dẫn đến việc cả giáo viên và học sinh thường hay bỏ qua chủ đề bất đẳng thức trong việc ôn luyện, ảnh hưởng không nhỏ đến kết quả cuối cùng trong việc thi cử Với mong muốn phần nào đó dần dần khắc phục vấn đề này tôi đã thực hiện thí điểm đề tài ở các lớp 11A1, 11A4 trong các tiết tự chọn sẵn có

2.3 Các giải pháp

Để thay đổi hình thức của bài toán từ việc chứng minh bất đẳng thức đại số thành việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác, ta thực hiện theo 2 bước sau đây:

-Bước 1: Từ bài toán với cách đặt hợp lý, ta chuyển từ bài toán bất đẳng thức

đại số về bài toán bất đẳng thức lượng giác

-Bước 2: Thực hiện việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác.

Chú ý: Để thực hiện đề tài trên một cách hiệu quả, ta phân loại thành các dạng cụ

thể, qua cách phân loại đó khi áp dụng đề tài trên giảng dạy cho học sinh thì học sinh dễ dàng tiếp thu hơn và hình thành kỹ năng cơ bản khi sử dụng lượng giác vào chứng minh một số bài toán về bất đẳng thức đại số một cách rõ ràng Trong khuôn khổ của đề tài phân thành một số dạng sau:

1- Dạng 1: Nếu cho x 1

Ta đặt: x cos với  [0;π]

( hoặc đặt xsin với [ π π; ]

2 2

   )

Các ví dụ minh họa dạng 1:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng

4 x  (1 x ) 3( x 1 x )  2 (1) Giải

Điều kiện: 1 – x2  0  ½x½  1

Đặt x = cos với   [0; ]

Khi đó bất đẳng thức (1) được biến đổi về dạng:

4 cos 3 (1 cos ) 3(cos 2 3    1 cos 2 )  2 (2)

 ½4(cos3 - sin3) – 3 (cos - sin)½  2

 ½(4cos3 - 3cos) + (3sin - 4sin3)½ 2½cos3 + sin3½ 2

cos(3α- ) 1

4  (đúng)

Vậy (1) được chứng minh

Nhận xét: Qua ví dụ 1, từ bài toán bất đẳng thức đại số (1) với cách đặt x c os ,

ta chuyển về chứng minh bất đẳng thức lượng giác (2) Sử dụng kiến thức lượng giác ta chứng minh được bất đẳng thức (2), có nghĩa là bất đẳng thức (1) được chứng minh

Ta xét tiếp các ví dụ tiếp theo sau đây

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng :

 1 6 1x  x2 8 9x2  (1)

Giải

Điều kiện: x 1

Đặt: x = cos với 0   

Khi đó (1) trở thành:  5 6  x 1  x2  4(2x2  1) 5 

5 ) 1 cos 2 ( 4 cos 1

cos









     3 sin 2   4 cos 2   5 (luôn đúng) Thật vậy theo BĐT Bunhiacopxki thì 3sin 24cos 2  324 sin 22 2 cos 22  5 Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng : 2hx 1  x2 k x(2 2 1)  h2 k2 (1)

Giải

Điều kiện: x 1

Đặt: x = cos với 0   

Khi đó (1) trở thành:

2 cos sinh   k(2cos2 1)  h2 k2

 h.sin 2  kcos 2  h2 k2 (2)

Theo BĐT Bunhiacôpski thì (2) luôn đúng, vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : Nếu x 1 và y 1 thì

1 ) 1 2 )(

1 2 ( ) 1 )(

1

(











Giải

Từ giả thiết: x 1, y 1 nên ta đặt

xcos ,  ycos với  ,  0 ; 

Khi đó (1) trở thành:

4cos cos sin sin    cos 2 cos 2  1

 sin 2  sin 2   cos 2  cos 2   1

 cos( 2   2  )  1 (luôn đúng)

Vậy (1) được chứng minh

2- Dạng 2: Nếu cho x a a ( 0)

Ta đặt: x a cos với  [0;π]

( hoặc đặt x a sin với [ π π; ]

2 2

Các ví dụ minh họa dạng 2:

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng :

2

3 9 x 4x 15 (1) Giải

Điều kiện: x 3

Đặt x = 3sin với   

2

; 2







Khi đó (1) trở thành : 3 9 9sin 2 4.3.sin 15

 9 cos   12 sin   15 (luôn đúng )

Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng: với a >0

2 2 2

2 x kx a h k a

h     (1) Giải

Điều kiện: x a

Đặt: x a sin với   

2

; 2







Khi đó (1) trở thành: h a2 a2sin2 kasin a h2k2

a hcos  ksin  a h2 k2

 hcos  ksin   h2 k2 (luôn đúng)

Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 3 : Với a > 0 Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2

2hx a  x k x  a a h k (1) Giải

Điều kiện: x a

Đặt: x ac os với  0; 

Khi đó (1) trở thành:

2 cos ha  a2(1 cos 2)ka2(2cos21) a2 h2 k2

 a2 2 cos sinh  kcos 2 a2 h2k2

 hsin 2 kcos 2  h2k2

Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : Với a > 0, ta có

h x x  y y a  x k xy a  x a  y a h k (1) Giải

Điều kiện: x a y, a

Đặt: x = a sin , y = a sin với   

2

; 2



2(sin cos sin cos ) 2(sin sin cos cos ) 2 2 2

2 2 2

2h sin( ) kcos( ) a h k

      h sin(    )  k cos(    )  h2k2

(luôn đúng )

Vậy (1) được chứng minh

3- Dạng 3: Nếu cho x y2+ =12

Ta đặt: x cos và ysin

( hoặc đặt x sin  và y cos )

Các ví dụ minh họa dạng 3:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Nếu x 2 +y 2 = 1 thì xy  2

Giải

Vì x2+y2 = 1, nên ta đặt: cos

sin

x y













 Khi đó, ta có:

y

4



Ví dụ 2: Cho x2 + y2 = 1 ; u2 + v2 = 1 Chứng minh rằng

a) ½xu + yv½ 1

b) ½xv + yu½ 1

c) –2  (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v)  2

Giải

Đặt x = cosa ; y = sina ; u = cosb ; v = sinb

và 0  a, b  2 Khi đó

a) ½xu + yv½=½cos(a – b)½ 1.

b) ½xv + yu½=½sin(a + b)½ 1.

c) (x – y)(u + v) + (x + y) (u – v)=(cosa – sina)(cosb+sinb)+(cosa + sina)(cosb –

sinb)

2 sin( ) 2 sin( b) 2cos( ) 2cos( b)

Rõ ràng –2  2cos(a + b)  2 nên

–2  (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v)  2

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng: Với mọi a, b ta có

2

1 ) 1

)(

1

(

) 1

)(

(

2









b

a

ab

b

a

(1) Giải

Ta có : ( (1 )(1 )) ( (1 1 2)(1 2))2 1

2 2















b a

ab b

a

b a

Nên ta đặt: 2 2 sin , 1 2 2 cos

(1)

2 (1 )(1 ) (1 )(1 )

2

1 2 sin 2

1 2

1 cos

.

Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 4 : Chứng minh rằng: Với mọi x , y ta có :

1 )

1 )(

1 (

) 1 ( 2 ) 1 ( 2

2 2

2 2













y x

x y y

x

(1) Giải

1

1 ( ) 1

2

2 2







x x

x

1

1 ( ) 1

2

2 2







y y

y

Nên ta đặt:

2

cos , sin

2

cos , sin

Khi đó (1) trở thành :

cos  sin   cos  sin   1

 sin(    )  1 (luôn đúng)

Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 5 : Cho a  1, b  1 Chứng minh rằng :

1 1 1 1

1

2 2 2 2 2

b a a b a

(1)  21 21  1

ab b a

2 1 1 2 1 1

Ta có: ( 2 1) 2 (1) 2 1







a a

a , ( 2 1) 2 (1) 2 1







b b

nên ta đặt: cos a2 1, sin 1

cos b2 1, sin 1

Khi đó (2) trở thành: cos  sin   sin  cos   1  sin(    )  1 (luôn đúng) Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh

4- Dạng 4: Nếu cho x2+y =2 a2

Ta đặt: x a cos và y a sin

( hoặc đặt x a sin và y a cos )

Các ví dụ minh họa dạng 4:

Ví dụ 1 : Cho x2 y2 4 Chứng minh rằng

3x2 8xy 3y2 20 (1)

Giải

Đặt: x2 cos ,  y 2sin

Khi đó (1) trở thành : 12 cos2  32sin cos  12sin2 20 

 12(cos2 sin2) 16.2sin cos     20

 12cos 2 16sin 2  20 (luôn đúng)

Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 2 : Cho x2 y2 R2 Chứng minh rằng

hx  kxy hy R h k (1)

Giải

Đặt: x R cos ,  y R sin

Khi đó (1) trở thành: hR2 (cos 2 sin 2) kR2 2sin cos  R2 h2 k2

 R h2 cos 2 ksin 2 R2 h2 k2

 hcos 2ksin 2  h2 k2 (luôn đúng)

Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 3 : Cho x2  y2 4 Chứng minh rằng :

3 3 3 3 2 2

x  x y y  (1)

Giải

Đặt: x2cos ,  y2sin

Khi đó (1) trở thành : 8cos3  6 cos 6sin  8sin3 2 2

 2(4cos3 3cos ) 2(3sin    4sin3)  2 2

 2cos32sin 3 2 2 (luôn đúng)

Vậy (1) được chứng minh

5- Dạng 5: Nếu cho (ax)2 + (by)2 = 1

Ta đặt: ax = sin , by = cos

( hoặc đặt ax = cos , by = sin )

Các ví dụ minh họa dạng 5 :

Ví dụ 1 : Cho 4x2 + 9y2= 25 Chứng minh rằng

25 12

6x y  (1) Giải

4x2 + 9y2 = 25 2 2 3 2

( ) ( ) 1

Đặt: sin 2

5

x

  , cos =3

5

y



Khi đó (1) trở thành : 6 sin5 12 cos5 25

 15sin 20cos 25 (luôn đúng)

Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 2 : Cho 2 1

2 2

2









y x

Chứng minh rằng

2 2 2 2



a

by

ax   (1)

Giải

Đặt:

sint

sint cost cost

x

x























Khi đó (1) trở thành: asint b cost  a22 b22 (luôn đúng) Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 3 : Cho 4x2  9y2  1 Chứng minh rằng : 4x2 9y2 12xy  12 (1)

Giải

Đặt : 2x = cos , 3y = sin

Khi đó (1) trở thành : cos2  sin22sin cos   2

cos 2  sin 2  2

Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 4 : Cho a x2 2b y2 2 1 Chứng minh rằng : h(a2x2  b2y2 ) k2abxy  h2 k2

(1) Giải

Đặt: ax = cos , by = sin

Khi đó (1) trở thành: h(cos2 sin2)k.2sin cos   h2 k2

 hcos 2 ksin 2  h2 k2 ( luôn đúng )

Vậy (1) được chứng minh

6- Dạng 6: Nếu cho x a, (a 0)

Ta đặt: x =

cos

a

 với [0; ] \

2



     

 

( hoặc đặt x =

sin

a

 với [ ; ] \ 0 

2 2

 

Các ví dụ minh họa dạng 6:

Ví dụ 1 : Cho x 1 Chứng minh rằng :

2 1 3

2

x x

 

 (1) Giải

Vì giả thiết x 1 nên ta đặt 1 , 0; ;



Ta có x2 1 3

x

1

cos 1 cos





 

= cos(tan + 3) = 3 cos sin

2 1 3

3 cos sin 2

x

 

Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 2 : Cho x 1 Chứng minh rằng:

2 1

1

x

x





 

  (1) Giải

Vì x 1 nên ta đặt 1 , 0; ;

t



x2 1 cos (tant t ) cost sint

x



 

2 1

x

x



 

Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 3 : Cho x   0 Chứng minh rằng:

x

x



 (1)

Giải

Vì x   0 nên ta đặt , 0; ;

t



cos

x

t



















(







t

t

(luôn đúng) Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 4 : Cho a 1, b 1 Chứng minh rằng:

ab b

a2  1  2  1  (1) Giải

(1)

2 1 2 1

1

ab

Vì a  1, b  1 nên ta đặt 1 , 1

    

Khi đó (2) trở thành : tan tan 1

1 cos cos





cos cos (tan   tan ) 1 sin( ) 1

Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh

Ví dụ 5: Chứng minh rằng:

x2 1 3 2 (1) x

Giải