Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh

1.Mở đầu1.1.Lý do chọn đề tài Kể từ năm 2017 kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, môn toán thi theohình thức trắc nghiệm.Trong số 50 câu trắc nghiệm sẽ có các bài toán áp dụngkiến thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ

NHẰM TẠO HỨNG THÚ HỌC TOÁN CHO HỌC SINH

Người thực hiện: Vi Thanh Hoàng

Nội dung Trang

1 Mở đầu 1

1.1.Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 Nội dung nghiên cứu 2

2.1 Cơ sở lý luận 2

2.1.1 Kiến thức cơ bản về tích phân 3

2.1.2 Ứng dụng hình học của tích phân 4

2.2 Thực trạng của đề tài 6

2.3 Các biện pháp giải quyết vấn đề 7

2.3.1 Ứng dụng tích phân trong thực tiễn liên quan đến vật lý và sinh học 7

2.3.2 Ứng dụng tích phân trong thực tiễn liên quan đến hình học 11

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 16

3 Kết luận, kiến nghị 17

3.1 Kết luận 17

3.2 Kiến nghị 17

Tài liệu tham khảo……… 18

1.Mở đầu

1.1.Lý do chọn đề tài

Kể từ năm 2017 kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, môn toán thi theohình thức trắc nghiệm.Trong số 50 câu trắc nghiệm sẽ có các bài toán áp dụngkiến thức toán học để giải các bài toán thực tế hoặc các bài toán liên quan đếncác môn học khác Một thực tế đáng buồn là nhiều học sinh vẫn còn rất lúngtúng thậm chí không biết cách giải khi gặp các câu hỏi liên quan đến các bàitoán vận dụng toán học vào thực tế và vào giải các bài toán liên quan đến mônhọc khác

Để đáp ứng với sự phát triển của kinh tế tri thức và sự phát triển của khoahọc thì ngay từ bây giờ khi ngồi trên ghế nhà trường phải dạy cho học sinh trithức để tạo ra những con người lao động, tự chủ, năng động sáng tạo và có nănglực để đáp ứng được những yêu cầu phát triển của đất nước và cũng là nguồn lựcthúc đẩy cho mục tiêu kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc Chính vìthế dạy học toán ở trường trung học phổ thông phải luôn gắn bó mật thiết vớithực tiễn đời sống

Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường trung học phổ thông nhìnchung mới chỉ tập chung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở

kỹ năng vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩnăng vận dụng tri thức trong toán học vào nhiều môn khác vào đời sống thựctiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên

Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông nói chung cũng như trong chương trình toán 12 nói riêng

Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng

và ý thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộngphạm vi ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ýthường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làmcho toán học không trừu tượng khô khan và nhàm chán Học sinh biết vậndụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống

và ngược lại Qua đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi vớihành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáodục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” Chính vìvậy tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài: “Ứng dụng tích phân đểgiải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh’’.Vớimục đích giúp học sinh lớp 12 nắm vững cách vận dụng kiến thức về tích phân

để giải các bài toán thực tế, các bài toán liên môn Đặc biệt có thể giúp học sinhlớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia

1

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng

cường vận dụng kiến thức về tích phân để giải các bài toán có nội dung thực tiễn

- Phân tích và xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán học thểhiện về mối liên hệ giữa toán học với các môn học khác và thực tiễn, các bàitoán thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy ở trung học phổ thông Qua đó thấyđược ý nghĩa: “Học đi đôi với hành”

- Biết vận dụng toán vào giải các bài tập thực tế và các bài tập môn học khác

- Góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học môn toán ở trườngTHPT

- Giúp học sinh ôn luyện tốt kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi trung học phổthông quốc gia

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tàilà:

- Nghiên cứu về tính thực tiễn, tính ứng dụng của tích phân

- Toán học liên hệ với thực tiễn đựơc thể hiện như thế nào trong một sốnội dung của chương trình toán lớp 12

- Tìm hiểu thực tiễn dạy học môn toán 12 và vấn đề tăng cường vậndụng các bài toán có nội dung thực tiễn hoặc các bài tập môn học khác vàogiảng dạy

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phương pháp giảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp điều tra quan sát thực tiễn, thu thập thông tin

- Thực nghiệm sư phạm

2

2 Nội dung nghiên cứu

2.1 Cơ sở lý luận

Theo nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 4 tháng 11 năm 2013- nghị quyết hội

nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo

nêu rõ: nhiệm vụ trung tâm trong trường học là hoạt động dạy của thầy và hoạt

động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân

lực, bồi dưỡng nhân tài” Trong các văn kiện trình Đại hội XII, Đảng ta nhấn

mạnh sự quan tâm đặc biệt và làm rõ hơn lập trường, quan điểm, tính nhất quán

về sự cần thiết phải đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triểnnguồn nhân lực

Hiện nay giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáodục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới Ta

đã biết Unesco đã đề ra 4 trụ cột của giáo dục trong thế kỉ 21 là: “ học để biết,học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định mình” (Learning toknow, Learning to do, Learning to live together and learning to be) [6] Chính vìthế vai trò của các bài toán có nội dung liên quan đến môn học khác hoặc nộidung thực tế trong dạy học toán là không thể không đề cập đến

Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thểhiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ,sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúcđẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm

vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học Toán học cóvai trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên

hệ mật thiết với môn học khác và liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thựctiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng Toán học cónguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại toán học

là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên,một số ngành khoa học luôn cần toán học phát triển trước và toán học làcông cụ để lĩnh vực đó phát triển

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúpcho học sinh lớp 12 vận dụng kiến thức về tích phân để giải một số bài toán thực

tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh Giúp học sinh chuẩn bị tốt kiếnthức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia

Để vận dụng tốt tích phân vào giải một số bài toán thực tế cần nắm vững kiếnthức ở chương III trong sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản nhà xuất bản giáo dụcViệt Nam năm 2009 như sau:

3

2.1.1 Kiến thức cơ bản về tích phân

+ Các định nghĩa: Cho hàm số là hàm số liên tục trên đoạn Giả sử

là một nguyên hàm của trên đoạn

Hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định

trên đoạn ) của hàm số , kí hiệu là

a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số yf x  liên tục,trục hoành và hai đường thẳng x a x b ;  được tính theo công thức

Chú ý: Trong trường hợp dấu của f x  thay đổi trên đoạn a b;  thì taphải chia đoạn a b;  thành một số đoạn con để trên đó dấu của f x không đổi, do đó ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối trên đoạn đó.

b Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Cho hai hàm số yf x  và y g x   liên tục trên đoạn a b;  Khi đó diện

tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x , y g x   và haiđường thẳng x a x b ,  là    

b a

.Giả sử phương trình có hai nghiệm c d c d;    Khi đó f x  g x  khôngđổi dấu trên các đoạn a b c d; , ;   , ;d b Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trênđoạn a c;  thì ta có

Thể tích vật thể

Cho vật thể (T) giới hạn bởi 2 mp song song (P), (Q) Xét hệ tọa độ Oxy sao cho Ox vuông góc với (P), (Q) Gọi giao điểm của (P), (Q) với Ox là a, b (a<b) Một mp( ) vuông góc với Ox tại x và cắt (T) theo một thiết diện có diện tích S(x)

Giả sử S(x) là hàm liên tục trên [a; b] Khi đó thể tích của (T) là :

2.2 Thực trạng của đề tài

- Trong sách giáo khoa Toán 12 hiện nay các bài tập về vận dụng kiến thức vềtích phân để giải các bài toán thực tế, các bài toán liên quan đến vật lý có sốlượng rất hạn chế Hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi giải các bài toán dạngnày

- “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú họctoán cho học sinh’’ cho ta phương pháp giải các bài toán liên quan đến thực tếmột cách dễ hiểu hơn đối với các đối tượng học sinh có học lực trung bình trởlên

- “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú họctoán cho học sinh’’ kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi, ham khám phá củahọc sinh

- “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú họctoán cho học sinh’’ giúp học sinh yêu thích học tập môn toán hơn, thấy được

“vẻ đẹp’’ và tính thực tiễn của toán học

- “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú họctoán cho học sinh’’ có thể giúp học sinh phát huy tối đa sự tự học, tự bồi dưỡngtri thức – một con đường tiết kiệm, kinh tế nhất để học tập tốt

7

2.3 Các biện pháp giải quyết vấn đề

2.3.1.Ứng dụng tích phân trong thực tiễn liên quan đến vật lý và sinh

Vận tốc của điểm B tại thời điểm t (giây) tính từ lúc B xuất phát là: ( )v t B at

Quãng đường điểm B đi được cho đến khi hai điểm gặp nhau là:

8

Bài 1 Một chất điểm A xuất phát từ 0, chuyển động thẳng với vận tốc biến

thiên theo thời gian bởi quy luật

khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, một

chất điểm cũng xuất phát từ 0, chuyển động thẳng cùng hướng với A, nhưng

chậm 5 giây so với A và có gia tốc bằng a ( m/s2 )( a là hằng số) Sau khi B

xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp

A bằng:

A 22 (m/s) B 15 (m/s) C 10 (m/s) D 7 (m/s)

[7]

10 2

50 ( ) 2

Bài 2 Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm

đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc (m/s), trong đó t

là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạpphanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A 0,2 m B 2 m C 10 m D 20 m

[1]

Lời giải

Nguyên hàm của hàm vận tốc chính là quãng đường mà ô tô đi được sau

quãng đường t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh xe.

Vào thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với

Thời điểm ô tô dừng lại ứng với , khi đó

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại quãng đường ô tô đi được là:

Do đó ta chọn đáp án C.

Ghi nhớ: Hàm số thể hiện quãng đường vật đi được tính theo thời gian là biểu

thức nguyên hàm của hàm số vận tốc

Bài 3 Một chiếc ô tô đang đi trên đường với vận tốc

(m/s) Giả sử tại thời điểm thì Phương trình thể hiện quãng đườngtheo thời gian ô tô đi được là

s t

2

s t

Lời giải

Do đó ta chọn đáp án A

Bài 4 Một vật chuyển động với vận tốc đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy

luật, và có gia tốc (m/s2) Xác định quãng đường vật đó đi được trong

Biểu thức gia tốc là đạo hàm của biểu thức vận tốc, đến đây, kết hợp với 2 ví dụđầu ta kết luận: “Biểu thức gia tốc là đạo hàm cấp một của biểu thức vận tốc, và

là đạo hàm cấp hai của biểu thức quãng đường” Từ đây ta có lời giải:

Lời giải

Ta có (do ban đầu vận tốc của vật bằng 0)

Vậy quãng đường vật đi được trong 40 phút đầu tiên là:

(m) Do đó ta chọn đáp án C

Ghi nhớ : Biểu thức gia tốc là đạo hàm cấp một của biểu thức vận tốc, và là đạo

hàm cấp hai của biểu thức quãng đường

2 0 0

Bài 5 Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (km/h) phụ thuộc thời

gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình dưới Trong khoảng thời gian 1 giờ

kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I2;9 và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đường s

mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

31 khi 1 3 4

(10) 8000 ln(1 0,5.10) 250000 264334.

2.3.2 Ứng dụng tích phân trong thực tiễn liên quan đến hình học

Bài 1. Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và

độ dài trục bé bằng 10m Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m vànhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồnghoa là 100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dảiđất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)

Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp 4 lần diện tích phần gạch chéo, do đó

ta chỉ cần đi tìm diện tích phần gạch chéo

Ta có phương trình đường elip đã cho là Xét trên nên thì

Khi đó Vậy diện tích trồng hoa của ông

cheo

An trên mảnh đất là (m2) Khi đó số kinh phí phải

của cạnh AB và đi qua

hai điểm C, D Kinh phí

9   đồng Do đó ta chọn đáp án C

13

4

2 2 0

5

4 8 76,5289182 8

S    x dx 76,5289182.100000 7.653.000 

C D

N M

4 m

12 m

Bài 3. Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước hình

Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể tích vật thể

Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi thiết

diện của vật thể (vuông góc với trục Ox) tại x là một hình vuông có cạnh

(chính là phần gạch chéo trong hình ) Do đó diện tích thiết diện sẽlà:

Do đó ta chọn đáp án A

Bài 4 Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol Người ta

dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này Hãy tính diện tích mặt kínhcần lắp vào biết rằng vòm cửa

2

128 ( )

Gọi  P1 :y ax 2c là Parabol đi qua hai điểm A4;0 , B0;8

Nên ta có hệ phương trình sau:

Bài 5 Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng

người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp cách nhau40m, biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O (0;0) là chân cầu( điểm tiếp xúc

Parabol trên), đỉnh I( 25;2), điểm A (50; 0) ( điểm tiếp xúc Parabol trên với chân

đế)

16

Gọi Parabol trên có phương trình:

V S  m  số lượng bê tông cần cho mỗi nhịp cầu 2m3

Vậy 10 nhịp cầu hai bên cần 40m3

Do đó ta chọn đáp án C.

Nhận xét Qua bài trên ta thấy rằng: Tùy theo hình dáng của hình cần tính diện

tích hoặc thể tích mà ta thiết lập phương trình của đường giới hạn các hình đó dựa vào giả thiết cho trước Bước này rất quan trọng, nó ảnh hưởng trực tiếp đến sự thành công hoặc thất bại của việc giải các bài toán thực tế.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến này tôi thực hiện từ năm học 2017-2018 và tiếp tục hoàn thiệnvào năm học 2018-2019 Kết quả thu được là rất khả quan Sau đây là kết quảkiểm nghiệm:

17