Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình học 11

Tuy nhiên trong nhiều bài tập, việc tính số đo góc giữahai mặt phẳng trong không gian trong trường hơp giao tuyến của chúng khôngnằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình chóp, hình lăng trụ

I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Hình học không gian chiếm vai trò quan trọng trong chương trình ToánTHPT Nội dung về hình học không gian được trình bày trong toàn bộ chươngtrình hình học 11 và hình học 12, trong đó hình học không gian thuần túy đượctrình bày trong toàn bộ chương trình hình học 11 và học kỳ I hình học 12 Trongcác đề thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi khảo sát của các trường, đề thihọc sinh giỏi cấp tỉnh các năm gần đây thì hình học không gian luôn là phầnkiến thức trọng tâm và không thể thiếu Đây cũng là câu hỏi phân loại mức độ tưduy của các học sinh giỏi Để làm được các bài toán đó, học sinh không nhữngcần nắm chắc các kiến thức cơ bản mà còn phải có hệ thống liên kết chặt chẽ cáckiến thức, phải có khả năng tư duy sáng tạo

Trong các tài liệu giáo khoa hiện hành (Sách giáo khoa và Sách bài tập cơbản và nâng cao), kiến thức về góc và khoảng cách trong hình học không gianđược trình bày ở học kỳ II sách giáo khoa Hình học 11 Vấn đề về góc giữa haimặt phẳng trong không gian, tài liệu giáo khoa và các sách tham khảo đã trìnhbày các khái niệm cơ bản và cách xác định góc giữa hai mặt phẳng, công thức

về diện tích hình chiếu Tuy nhiên trong nhiều bài tập, việc tính số đo góc giữahai mặt phẳng trong không gian (trong trường hơp giao tuyến của chúng khôngnằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình chóp, hình lăng trụ) theo cách đã nêutrong sách gặp khó khăn trong việc xác định góc giữa hai mặt phẳng, tính toánnhiều bước phức tạp, mất thời gian, dễ nhầm lẫn dẫn đến ảnh hưởng không nhỏđến kết quả thi đặc biệt là trong bối cảnh thi bằng hình thức trắc nghiệm kháchquan đòi hỏi các bài tập phải được làm một cách nhanh nhất và chính xác Luôntrăn trở trước việc “làm thế nào để học sinh có cách giải ngắn nhất và nhanhnhất trong khi làm bài tập dạng này”, từ kinh nghiệm bản thân trong các nămgiảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi và ôn thi trung học phổ thông quốcgia cũng như sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán và trên

internet, tôi lựa chọn đề tài: “Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một

mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình học 11” nhằm góp

phần nâng cao chất lượng, hiệu quả trong quá trình dạy học ở trường THPT

Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưunhất trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trìnhquy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải cácbài toán Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của họcsinh, gây hứng thú học tập cho các em.

3 Đối tượng nghiên cứu.

- Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu bài toán xác định góc giữa haimặt phẳng trong trường hợp giao tuyến của chúng là một đường thẳng khôngnằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình chóp, hình lăng trụ

- Phạm vi nghiên cứu: Học sinh các lớp 11B1, 11B5, 11B6 trường THPTBỉm Sơn

4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn 2

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

1.1 Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lầnlượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

1.2 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Khi hai mặt phẳng  P và  Q cắt nhau theo giao

tuyến   , để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một

mặt phẳng   vuông góc với   , lần lượt cắt  P và

 Q theo giao tuyến p và q Lúc đó, góc giữa  P và

 Q bằng góc giữa hai đường thẳng ,p q

(Trang 104 - Sách giáo khoa Hình học nâng cao 11)

1.3 Cho tứ diện vuông OABC có ba cạnh

, ,

của điểm O trên mpABC Khi đó ta có

1.4 Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt

phẳng   là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong

đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng  

(Trang 113 - Sách giáo khoa Hình học nâng cao 11)

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng

Những khóa trước, sau khi dạy xong bài “Hai mặt phẳng vuông góc”, tôicho học sinh kiểm tra chuyên đề “góc giữa hai mặt phẳng”, tôi thấy đối với cácbài tập tìm góc giữa hai mặt phẳng mà giao tuyến của chúng là đường nằm trongmặt phẳng đáy thì phần lớn các em làm tốt nhưng đến bài tập mà giao tuyếnkhông nằm trong mặt phẳng chứa đáy thì đa số các em không làm được, hoặcchỉ làm được ở một số bài đặc biệt, một số làm được thì làm còn dài không phùhợp với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay Trong khi đó bài tập dạng này vẫnđược xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi và thi trung học phổ thông Quốcgia ở mức độ vận dụng và vận dụng cao

Bản thân tôi cũng đã trao đổi với giáo viên trong trường và một số trườngbạn đang dạy khối 11 về bài tập dạng này thì đều được trả lời “dựng cổ điển là

ra hết nhưng tính toán hơi dài”

Đề tài này mong muốn giúp các em học sinh và các đồng nghiệp giảiquyết vấn đề trên và bổ sung thêm một cách tính góc giữa hai mặt phẳng

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

3.1 Giải pháp thực hiện.

- Bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt: quan hệvuông góc, song song; các định lí, hệ thức trong tam giác vuông, tam giácthường

- Rèn luyện tốt kỹ năng tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong cáctrường hợp cơ bản

- Hướng dẫn học sinh tìm ra công công thức mới để “tính số đo góc giữahai mặt phẳng trong không gian mà giao tuyến của chúng không nằm trong mặtphẳng chứa đáy của hình chóp, hình lăng trụ”

- Yêu cầu học sinh vận dụng tại lớp sau đó trình bày trước lớp hướng giảihoặc lời giải chi tiết và ra bài tập về nhà để học sinh ghi nhớ phương pháp và rènluyện kỹ năng làm bài

- Kiểm tra đánh giá để rút kinh nghiệm

Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD,

SA a , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB BC a  , AD2a.Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD

2 2

33

  vuông tại C CDAC  CDSAC  CD SC

23

+ Do S ABD là tứ diện vuông nên

3



Nhận xét: So sánh hai phương pháp được vận dụng vào giải quyết bài tập này

+ Cách cũ phải tính độ dài các cạnh BN MN BN, , Đặc biệt tính BN phải

dùng công thức độ dài đường trung tuyến, học sinh dễ tính toán sai.

Bài 3: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp

đường tròn đường kính AD2a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD,

Nhận xét: So sánh hai phương pháp được vận dụng vào giải quyết bài tập này

ta thấy rõ ràng cách mới đơn giản hơn rất nhiều

Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB2 ,a AD2a 3.Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi

 là góc giữa hai mặt phẳng SAD và SCD Tính sin

Cách mới:

Phân tích: Ta có SAD  SCDSD

Chọn điểm ASAD Ta cần tính d A SCD và  ;   d A SD ;  .

Lời giải

K H

+ Gọi H K, lần lượt là trung điểm của AB và CD thì SH AB và HK CD

+ Gọi H là trung điểm của AB thì SH AB Kẻ CM HD M AD

Nhận xét: So sánh hai phương pháp được vận dụng vào giải quyết bài tập này

ta thấy rõ ràng cách cũ phải tính toán qua rất nhiều bước phức tạp, dễ nhầm lẫn Hơn nữa, việc xác định góc giữa hai mặt phẳng cũng không đơn giản.

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a Tính ' ' ' ' sin với  là góc

B

A A'

+ Gọi I A C' 'B D K' ', A B' AB' IK AB D' '  BA C' '

+ Vì A AB D' ' ' là tứ diện vuông nên

I

C'

B' D'

B

A A'

+ Gọi I A C' 'B D K' ', A B' AB' IK AB D' '  BA C' '

mà AD BC'/ / ' IK/ /AD BC'/ / ' mặt khác AD'A B CD' '  IK A B CD' ' lại do A B CD' '   AB D' ' B M A B CD' , ' '   BA C' ' A N'

Nhận xét: So sánh hai phương pháp được vận dụng vào giải quyết bài tập này

ta thấy rõ ràng nếu làm theo cách cũ thì nhiều học sinh cảm thấy lúng túng vì nhìn hình thấy rất rối, nhiều học sinh không thể tìm được mặt phẳng vuông góc với giao tuyến.

Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại ' ' '

C , 2AC BC 2 ,a AA' 4 a Tính góc giữa hai mặt phẳng  AB C'  và ABC'.

Phân tích: Ta thấy AB C'   ABC' AO Để tìm được mặt phẳng vuông gócvới AO trong trường hợp này rất khó khăn vì vậy ta lựa chọn cách mới để làmbài: Chọn điểm CAB C' , ta cần tính d C ABC ; '  và d C AO ; .

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

12

Phân tích: Ta thấy SBCMNPPI Để tìm được mặt phẳng vuông góc với

PI trong trường hợp này rất khó khăn vì vậy ta lựa chọn cách mới để làm bài

Lời giải

P

I

N M

B

S J

C K

E

+ Ta có : (SAD) ( SBC)Sx//AD // BC

Gọi I là trung điểm của SB

/ / / /2

NP MI

Bài 8: Cho chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB4 ,a BC3a

Lấy H thuộc cạnh AB sao cho AH 3BH Biết SH  ABCD và SHa 3.GọiE F, lần lượt là trung điểm AD BC; Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng

SHD và SFE

Phân tích: Ta thấy SHD  SEFSQ Để tìm được mặt phẳng vuông gócvới PI trong trường hợp này rất khó khăn vì vậy ta lựa chọn cách mới để làmbài

Lời giải

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

14

G T Q F

A H

+ Kẻ HTFE tại T và kẻ HGST tại G HGSFE d H SFE ,   HG

Xét tam giác SHT vuông ở H có:  3, 3  3 7

Phân tích: Ta thấy AB C'   A BM'  IJ Để tìm được mặt phẳng vuông góc

với IJ trong trường hợp này rất khó khăn vì vậy ta lựa chọn cách mới để làm

bài

Lời giải

J

D M

C' B'

Lời giải

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

16

+ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt đáy ABC Vì

khác, trong tam giác ABC có BA BC , ABC 1200 nên tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC là điểm đối xứng với điểm B qua trung điểm M của đoạn AC

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

bằng a, tâm ;O cạnh bên bằng a 2 Gọi M là trung điểm của CD , H là điểm

đối xứng của O qua SM Tính góc giữa hai mặt phẳng SCH và SCD.

Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SAABCD,

SA a , AB a , AD2a Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng SAC và

SCD Tính sin

Đáp số: sin 2 6

5

Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAB là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi  làgóc giữa hai mặt phẳng SBC và SAC

Đáp số: sin 42.

7

 

Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có AB a AC a ,  3, BAC 150 ,

AA a Gọi I là trung điểm của CC Tính sin của góc giữa mặt phẳng AB I

kì 1 của hai lớp) Tôi nhận thấy, ở lớp 11B2, 11B6 đa số các em chỉ làm đượccác bài tính góc giữa hai mặt phẳng trong trường hợp giao tuyến của chúng nằm

ở mặt phẳng chứa đáy của đa diện, còn trong trường hợp giao tuyến không nằmtrong mặt phẳng chứa đáy của đa diện học sinh thường lúng túng không xácđịnh được góc giữa hai mặt phẳng hoặc xác định được nhưng không tính được

số đo góc dẫn đến chán nản và cho rằng hình học không gian quá khó Ở lớp11B1,11B5 tôi thấy có hiệu quả rõ rệt, các em có hứng thú, đam mê học tập hơnhẳn, các e có thể tự làm được các bài trong sách giáo khoa và tiến đến là các bàikhó hơn; đặc biệt là các em rất vui khi các bài toán “tính góc giữa hai mặtphẳng” trong các đề thi khảo sát, đề thi thử trung học phổ thông Quốc Gia đa sốcác em đều có thể giải quyết một cách dễ dàng

Sau khi dạy học thực nghiệm và đối chứng, tôi tiến hành cho học sinh bốnlớp làm bài kiểm tra 45 phút và thu được kết quả thống kê theo bảng sau:

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

18

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng trong không gian trong trường hơp giaotuyến của chúng không nằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình đa diện là bàitoán khó đối với nhiều học sinh, nó đòi hỏi người học phải vận dụng được kiếnthức tổng hợp Với mục đích nâng cao năng lực tư duy, tính sáng tạo trong giảitoán, giúp các em rút ngắn thời gian làm bài và đặc biệt tạo niềm say mê học

tập của học sinh trung học phổ thông Tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Ứng

dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình học 11”

Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng đề tài này vào giảng dạy tôi nhận thấyvấn đề này giúp ích cho học sinh trong việc làm toán, giúp các em yêu thíchhình học không gian hơn tạo niềm say mê học tập cho các em Thực nghiệmcho thấy có khoảng 80% học sinh giải quyết khá tốt các bài toán về góc giữahai mặt phẳng trong sách giáo khoa và trong các đề thi Tôi nhận định khả năngứng dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tế giảng dạy trong nhà trường sẽ đạthiệu quả cao

2 Kiến nghị.

- Thiết nghĩ đề tài này là một vấn đề mới, giúp học sinh giải quyết nhanhchóng bài toán “tính số đo góc giữa hai mặt phẳng trong không gian trongtrường hợp giao tuyến của chúng không nằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình

đa diện” - một dạng khó trong các bài toán về góc giữa hai mặt phẳng Vì vậytôi hy vọng đề tài này được nhân rộng trong nhà trường và các đồng nghiệp

- Đối với các cấp lãnh đạo:

+ Về phía Sở Giáo Dục: nên triển khai, ứng dụng các nghiên cứu khoahọc sư phạm ứng dụng, các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã đạt giải để giáoviên các trường học tập và vận dụng vào giảng dạy để dạy tốt hơn

+ Về phía nhà trường: hỗ trợ mua các loại sách tham khảo có các bài toánnâng cao của hình học không gian để các em HS có thể tham khảo, học tậptốt hơn

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

20

Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã rất cố gắng để hoàn thiện, tuy nhiêncũng không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý chânthành của các thầy cô giáo đồng nghiệp và hội đồng chuyên môn để đề tài củatôi được hoàn thiện hơn.

Tôi xin cam đoan đây là SKKN do mình tự viết, không sao chép nội dung của người khác.

Người viết

Phùng Thị Mai Hoa

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[6] Mạng Internet

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

22

II NỘI DUNG SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

17

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ